数学模型(第四版)课后详细答案

数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。

我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。

即：V=k1L3，因此，模型为：33111M V k l K Lρρ===……………………………模型一利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K1=0.014591，所以模型为：31M0.014591 L=上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

因此，有必要改进模型。

如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k2d2L，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：实际数据M 765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。

每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。

解：将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系：25记r 为第i 区的大学生人数，用0-1变量x ij =1表示（i ，j ）区的大学生由一个代售点供应图书（i<j ，且i ，j 相邻），否则x ij =0，建立该问题的整数线性规划模型。

i j iji.jMax r r x s.t.21,{0,1}i j i j ijjji j x x xix =+≤+≤∀∈∑∑∑∑相邻（）即：12132325344546566747121323242534454647566712131223242513233424455646Max 63*x 76*x 71*x 85*x 63*x 77*x 39x *x 74*x 89*x 92*x s.t.x x x x x x x x x x x 2 x x 1x x x x 1 x x x 1 x x x 1 x =+++++++++++++++++++≤+≤+++≤++≤++≤5667ij ij x x 1 x 0x 1++≤==或将上述建立的模型输入LINGO ，如下： modle:max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67<=2; x12+x13<=1;x12+x23+x24+x25<=1; x13+x23+x34<=1;x24+x45+x56<=1; x46+x56+x67<=1@gin(x12); @gin(x13); @gin(x23); @gin(x25); @gin(x34); @gin(x45); @gin(x46);@gin(x47); @gin(x67); End 运行，得到的输出如下：Local optirnal solution found at iteration Objective value: Vauable Value Reduced Costx12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x24 0.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.000000 0000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000 x67 0.000000 0000000从上述结果可以得到：最优解 2547x x 1==(其他的均为0)，最优值为177人. 即：第2、5区的大学生由一个销售代理点供应图书，代理点在2区或者5区，第4、7区区的大学生由另一个销售代理点供应图书，代理点在4区或者7区。

作业二3.P181.14 在鱼塘中投放n 0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。

(1)设尾数n(t) 的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。

分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

(2)用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量|ṅ/n| 表示，记作E ，即单位时间捕获量是En(t)。

问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大。

解： （1）鱼塘的初始鱼苗为n 0尾，且随着时间的增长，尾数将减少。

设尾数n(t) 的(相对)减少率为为k 1，因此由题意建立微分方程为：,(0)(0)dnkn k dt n n =->= 求解得：0()kt n t n e -=在鱼塘里，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，即：S αI(t)=在鱼塘里，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，即：m βD(t)=所以每尾鱼重量的净增长率r(t)为：S m αβ-r(t)=因此，建立微分方程为：dmS m dtαβ-= 因为该微分方程涉及多个变量间的数量关系，所以我们暂时无法求解该微分方程。

但是要想解决此微分方程还需要更多的信息，例如，每尾鱼表面积与其重量间的关系，一旦此关系确定，便可轻松解出每尾鱼的质量随时间的变化，即m(t)。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，假设t=T 时开始捕捞，且单位时间的捕捞率为E ，依题意建立微分方程：,()dnkn En t T dt=--≥因此得:()()0()t E t T n t n e e λλ--+-=所以单位时间的捕捞鱼的尾数为En(t)，因此从T 时刻开始的总捕捞量为：()()Ty m t En t dt ∞=⎰问题就转化为求E 和λ的值，使得y 最大，由于条件不足导致m(t)求解不出，因此无法求出y 的具体解释式。

4.P213.2 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在空气中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

解：雨滴速度问题中涉及的物理量：雨滴的速度v ，空气密度ρ，粘滞系数μ,重力加速度g ，长度γ。

要寻找的关系是：(,,,)v g ψγρμ=更一般的将各个物理量之间的关系写作：0),,,,(=g v f μργ这里没有因变量与自变量之分，进而设：35124.................(1)y y y y y v g πγρμ=其量纲表达式为：0130110002[]LM T []L MT ,[]L MT []LM T []LM T g νρμγ-----=====,,，其中L ，M ，T 是基本量纲。

因此量纲表达式可以写成:5120000130110002(LM T )(L MT )(L MT (LM T (LM T )y y y L M T -----=34y y ))根据量纲原则可写成：⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y量纲矩阵为：11311()0011()10012()()()()()()L A M T v g γρμ--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解得方程的基本解为：1211(1,,0,0,)22......................(2)31(0,,1,1,)22Y Y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩将（2）代入（1）可得两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 为了得到形如(,,,)v g ϕγρμ=的关系，取12()πψπ=，其中ψ是某个函数，所以（2）式为：1/21/23/211/2()v g g γψγρμ-----=于是：3/211/21/21/2()()v g g ψγρμγ---=作业三5.P248.13 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。

爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存。

在适当假设下建立三者关系的模型，求其平衡点。

解：)(1t x 、)(2t x 、)(3t x 分别表示植物、哺乳动物、食肉爬行动物在时刻t 的数量。

假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。

设1r 为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是建立植物数量的模型：)()(21111x r x dtt dx λ-= 比例系数1λ反映了哺乳动物消耗植物的能力。

哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为2r ，则哺乳动物独自存在时有：222)(x r dtt dx -= 而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，于是建立哺乳动物数量模型：)()(312222x x r x dtt dx μλ-+-= 其中比例系数2λ反映了植物对哺乳动物的供养能力，μ反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力。