6—5 电容 电场的能量 电介质的相对电容率.

-Q
t=0
t=t
►自t = 0开始，每次自下极板把微量电荷dq移至上极板
，电容器间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动外力 都要克服静电力作功。
►t时刻，电容器已带电q，此时若再移动dq，外力作功为
dW Udq q dq C
►最后，使电容器带电Q ，则外力作功共
W
Q
dw
1
Q
qdq
)

1 2
4π
Q2 R2 R1
R2 R1
讨论
（1）We

Q2 2 C
C

4π0
R2 R1 R2 R1
（球形电容器电容）
（2） R2
We

Q2
8 π 0R1
（孤立导体球贮存的能量）
例6 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场
来自百度文库
强是 Eb 3106 V m-1 ，电容器外径 R2 102 m ，
§6—5 电容 电场的能量 电介质的相对电容率
一、电容器与电容
1.电容器：两金属极板，其间充以电介质。
2.电容：电容器带电量与其电压之比
CQ V
•电容决定于电容器本身的结构(极板的形状、尺寸及极 板间的电介质情况)和所带电量无关。
•单位：1F 1C/V
1μF 106 F
1pF 10 12 F
C

Q V

4π 0R
•地球: RE 6.4106 m, CE 7 10 4 F
Q R
二、电容的计算

步骤:
1）设两极板分别带电 Q ； 2）求 E ；
3）求 U ；4）求C
例1 平板电容器
d
(1)设两导体板分别带电 Q
+
-
+
-
(2)两带电平板间的电场强度 E Q 0 0S
ln
R2 R1
-+
l
-+ -+
R1 R2
-+
__ _
_ +++++ _ _ ++ + _
_
We

2 4π 0
ln
R2 R1
Eb

max 2π 0R1
max 2π 0Eb R1
We
π
0 Eb2 R12
ln
R2 R1
dWe dR1
π
0Eb2R1(2 ln
R2 R1
1) 0

1
QU

1
CU 2
0
C0
2
2
电容器贮存的电能
We

Q2 2C

1 QU 2

1 CU 2 2
注意:大电容千万不能摸
(指极板处)！！！
应用：(1)照相机闪光灯 (2)心 脏起搏器
心脏起搏器(利用电容器储存 的能量)
8
2.电场的能量
电容器的能量是储存在电容器的电场中。
►平板电容器情形
单位体积 中能量
解
E

1
4π
Q r2
er
we

1 2

0
E
2

Q2
32 π2 0r 4
dWe

wedV

Q2
8 π 0r 2
dr
R1 dr
r
R2
We
dWe

Q2
8π0
R2 dr Q2 ( 1 1 )
r R1 2 8 π 0 R1 R2
We

Q2
8π0
(1 R1

1 R2
在空气不被击穿的情况下，内半径
存储能量最多.空气 r 1
R1
?可使电容器
解
E
2π
Eb
0r
(R1
m a x

2π 0 R1
r

R2 )
U R2 dr ln R2
2π 0 R1 r 2π 0 R1
单位长度的电场能量
We

1 2
U

2 4π 0
R1

R2 e
10 2 e
m 6.07 10 3 m
-+
l
-+ -+
R1 R2
-+
__ _
_ +++++ _ _ ++ + _
_
U max Eb R1 ln
R2 R1

Eb R2 2e
9.10 103 V
五、电介质
电介质—绝缘介质
1.电介质内没有可以自由移动的电荷 在电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。
l
(4)电容
C

Q U

2π
0l
ln RB RA
d RB RA RA,
C 2π 0lRA 0S
d
d
l RB
-+ -+
RA
-+ -+
RB
平行板电 容器电容
例3 球形电容器的电容
解 设内球带正电（ Q），外球带负电（ Q）．

E

Q
4π 0r 2
er
We

1 2
CU
2

1 2
0 E 2 Sd

1 2
0E2
V体
•引入电场能量密度：
we

1 2
0E2
►一般情况下
对全部电场体积积分
•物理意义：电场 是一种物质，它具 有能量.
We

V wedV

V
1 2
0 E 2dV
例5 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R1 和R2，所带电荷为Q．问此电容器贮存的电场能量为多少？
(R1 r R2 )
U
E dl
Q
R2 dr
l
4π 0 R1 r 2
＋
＋ ＋
R1
＋ ＋
r Q ( 1 1 )
P 4π 0 R1 R2
R2
＋
＋
＋*
R2 , C 4π 0R1
孤立导体球电容
例4 两半径为 R的平行长直导线中心间距为d, 求单位
o
P
x d x x
E
E
单位长度的电容 C


U
π
0
ln d R
d
三、电容器的串并联 １ 电容器的并联
C C1 C2
２ 电容器的串联
11 1
C C1 C2
C1
＋

C2
＋
C1

C2
四、静电场的能量 能量密度
1.电容器储能
0
dq
2dq
q
…
q+dq
Q
…
0
-dq -2dq
-q -q-dq
S
+ +
-
+
-
+
(3)两带电平板间的电势差
Q Q
U Ed Qd
0S
(4)平板电容器电容:
C

Q U

0
S d
例2 圆柱形电容器
(1)设两导体圆柱面单位长度上
分别带电

(2)
E
,
2π 0r
(RA r RB )
(3)U RB dr Q ln RB
RA 2π 0r 2π 0l RA
长度的电容 .d R
解 设两金属线的电荷线密度为
E

E

E

2π 0 x

2π
0 (d

x)
2R

E

dR
U Edx

dR (1
1 )dx
R
2π 0 R x d x
ln d R ln d
π 0
R π 0 R
2.电容率： 0 r
相对电容率： r
平行板电容器电容：
C

rC0

0 rS
d
电场能量密度：
we

1 E 2
2