小波分析及其应用.ppt
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小波分析的应用课件
小波分析的应用
报告人：张健明
组员：梁华庆、郭文彬、轩黎明、 周华、刘志平、王海婴、陈泽强、 常永宇、郭晓强、付景兴、李卫东
精
1
小波应用简介 小波在图像编码中的应用 小波在时变线性系统建模中的应用 小波分析的应用前景
精
2
小波应用简介
小波分析在时域和频域同时具有良好的 局部化特性，对于信号处理、信息处理 起着至关重要的作用。
精
10
小波在图像编码中的应用
一幅图像在二维频域
LL1
HL1
可被分解为四个子带，如
右图。图中LL1，LH1，
LH1
HH1
HL1，HH1分别表示
(x, y)，1(x, y)， 2(x, y)， 3(x, y)
对应的分解。
L是图像的低频部分，H是图像的高频部分。
精
11
小波在图像编码中的应用
变换域编码的数据压缩过程如下图：
原始图像
正交 变换
量 化
熵 编 码
信道 解 码
逆 量 化
逆正交 重建图像 变换
精
6
小波在图像编码中的应用
为什么小波变换能用于图像编码
离散信号能量的度量
将离散信号x(n)用N维矢量表示x=(x0,x1,…,xN-1) 连表示，其能量定义为
N 1
Ex xT x xi2
图像压缩的变换域编码方法
将时域信号（如声音信号）或空域信号（如 图像信号）变换到另外一些正交矢量空间；
使变换域中的信号分量相关性很小，从而其码中的应用
常用的变换域方法有离散余弦变换、Haar 变换、Walsh-Hadamard变换等，小波变换 方法也属变换域方法中的一种；
报告人：张健明
组员：梁华庆、郭文彬、轩黎明、 周华、刘志平、王海婴、陈泽强、 常永宇、郭晓强、付景兴、李卫东
精
1
小波应用简介 小波在图像编码中的应用 小波在时变线性系统建模中的应用 小波分析的应用前景
精
2
小波应用简介
小波分析在时域和频域同时具有良好的 局部化特性，对于信号处理、信息处理 起着至关重要的作用。
精
10
小波在图像编码中的应用
一幅图像在二维频域
LL1
HL1
可被分解为四个子带，如
右图。图中LL1，LH1，
LH1
HH1
HL1，HH1分别表示
(x, y)，1(x, y)， 2(x, y)， 3(x, y)
对应的分解。
L是图像的低频部分，H是图像的高频部分。
精
11
小波在图像编码中的应用
变换域编码的数据压缩过程如下图：
原始图像
正交 变换
量 化
熵 编 码
信道 解 码
逆 量 化
逆正交 重建图像 变换
精
6
小波在图像编码中的应用
为什么小波变换能用于图像编码
离散信号能量的度量
将离散信号x(n)用N维矢量表示x=(x0,x1,…,xN-1) 连表示，其能量定义为
N 1
Ex xT x xi2
图像压缩的变换域编码方法
将时域信号（如声音信号）或空域信号（如 图像信号）变换到另外一些正交矢量空间；
使变换域中的信号分量相关性很小，从而其码中的应用
常用的变换域方法有离散余弦变换、Haar 变换、Walsh-Hadamard变换等，小波变换 方法也属变换域方法中的一种；
第六章小波分析基础ppt课件
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
最新小波分析(讲稿)课件ppt
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis
FFT变换是将信号分解成不同频率的正弦波的叠加和，即把信号
投影到一组正交基 e j.t 上。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（1） 无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部
1.Fourier Analysis 存在的主要问题： （3）傅氏分析采用窗宽固定的窗函数。为了分析提取信号的低频成分，T0应
取较大值，且频率分辩率较高；为了分析提取信号的高频成分，T0应取较小 值，时域分辩率较高，而对频率分辨率要求不高。 但T0固定时，两者不能同 时满足。
2.短时傅里叶变换 STFT（Short-Time Fourier Transform）
主要缺陷：STFT的窗函数一旦确定，就不能再变换。对于频率成分较多 的信号，很难找到一个最合适的窗函数，从而很难获得一个最佳的分析 精度。
2.STFT（Short-Time Fourier Transform）
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
3.Wavelet Analysis
（2） 不能实现时频分析。信号分解转换到频域后，丢失掉了时域的信息， 频域中某频率或频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息没有直接的对 应关系，即不能给出某一指定频带内的时域图形。这种对应关系称为时频分 析，所以傅里叶分析不能进行时频分析，而时频分析在工程中却相当有用。
一.FFT、STFT到Wavelet
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
STFT将信号在时域上加窗函数，然后进行傅立叶变换，再在时域上 移动窗函数，最后完成连续重叠变换，得到与时间有关的信号频谱的描 述。从而在时频域得到一个信号能量的三维分布。
《小波分析》PPT课件
(Orthonormal Wavelet and Multiresolution Analysis)
3.1. 多分辨分析
(Multiresolution Analysis)
➢ 在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间 ，二进离散小波谱点的分布规律可以用 Appendix C Fig.3. 加以说明。
Appendix C Fig.3.
正交小波的点谱吸收特性
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
01234567
0
1
2
3
0
1
0
§3. 正交小波和多分辨分析
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变
换是信号的等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT
的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
注释
注释：如果小波母函数 x
的
3.1. 多分辨分析
(Multiresolution Analysis)
➢ 在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间 ，二进离散小波谱点的分布规律可以用 Appendix C Fig.3. 加以说明。
Appendix C Fig.3.
正交小波的点谱吸收特性
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
01234567
0
1
2
3
0
1
0
§3. 正交小波和多分辨分析
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变
换是信号的等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT
的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
注释
注释：如果小波母函数 x
的
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析及其工程应用(01)
小波变换的特性
小波变换具有时频局部化、多尺 度分析、灵活性高等特点，能够 提供信号在不同尺度上的时频信
息。
小波变换的算法实现
离散小波变换
离散小波变换是对连续小波变换的离散化， 通过选取合适的小波基和离散化参数，能够 实现信号的小波变换。
快速小波变换
快速小波变换是小波变换的一种高效算法，能够快 速计算小波变换，提高信号处理的实时性。
02
小波变换的基本原理
小波变换的数学基础
小波变换的定义
小波变换是一种在时间和频率域 分析信号的方法，通过将信号分 解为不同频率和时间尺度的小波 分量，能够提取信号的时频特征。
小波基的选取
小波基是小波变换的核心，不同 的小波基具有不同的特性，适用 于不同的应用场景。选择合适的 小波基对于信号处理至关重要。
小波变换用于医学图像的压缩、去噪、增强和融合， 有助于医学影像诊断和治疗。
生物信号处理
小波分析用于处理心电、脑电等生物信号，提取特征 并进行疾病诊断和治疗。
药物分析和化学分析
小波变换用于药物分析和化学分析中的光谱数据处理， 有助于药物研发和化学物质检测。
谢谢观看
详细描述
小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上检测图像的边缘。通过分析 小波变换后的系数，可以确定边缘的位置和方向。这种方法在图像处理中广泛应 用于特征提取和图像识别。
图像的增强与恢复
总结词
小波分析可以用于图像的增强和恢复，通过 对图像进行小波分解和重构，可以改善图像 的视觉效果和恢复受损图像。
小波包变换
小波包变换是小波变换的一种扩展，能够提 供更加精细的频率分辩，适用于非线性、非 平稳信号的处理。
小波变换的逆变换
小波逆变换
《基于MATLAB的小波分析应用》课件第1章
第1章 小波分析基础
因此，如何求解Wn是下一步需要解决的问题。求解的
基本思想是：找到一个函数 (x) ，像函数 (x) 的伸缩和
平移 {2n/2(2n x k) ；k Z} 能够张成空间Vn一样，函数 (x) 的伸缩和平移 {2n / 2 (2n x k ) ；k Z} 也能张成空间Wn。同
第1章 小波分析基础
图1.5 V4中的分量
第1章 小波分析基础
图1.6 W7中的分量
第1章 小波分析基础
1.3 一维连续小波变换
定义2 设 (t) L2 (R) ，其傅里叶变换为，当满足容许
条件(完全重构条件或恒等分辨条件)
ˆ () 2
C
d
R
时，称 (t) 为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和 平移后得
ˆ *() ˆ (2 j ) 2
j
由上式可以看出，稳定条件实际上是对上式分母的约束 条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在。
Wf (a, b)
第1章 小波分析基础
1.4 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波
变换必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 a,b (t)
时要求 (x) 和 (x) 能够建立直接的联系。
第1章 小波分析基础
定理1 设Wn是由形如 kZ ak(2n x k)( ak R)的函数所组成
的线性空间，其中ak含有限个非0项，则Wn构成Vn在Vn+1中 的正交补，并且Vn1 Vn Wn 。
定理2 能量有限空间L2(R)可以分解为如下形式之和： L2 (R) V0 W0 W1
V j {0}, V j L2 (R)
jZ
jZ
(4) 平移不变性：f (x)V0 f (x k)V0 ,k Z ；
小波分析PPT课件
4
一首数学史诗
• 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强 烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier分析的核 心内容．
• 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著——《热的解析理 论》(The Analytic Theory of Heat)．由于这一理论成功地求解了困扰 科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几 乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。
• 目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电 话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科 学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞Fourier 分析是一 首伟大的数学史诗。
5
Fourier分析的核心内容
①用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余 弦函数之和。这一无限和现称之为Fourier级数。也就是说，任 何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑 的曲线之和，见图。
实际上是将信 号投影在由正 弦和余弦函数 组成的正交基 上，对其实施 Fourier变换。
6
Fourier分析的核心内容
②他解释了为什么这一数学论断是有用的。1807年，他显示任何周 期函数(最下图形)是由正弦和余弦函数叠加而成。 Fourier分析 从本质上改变了数学家对函数的看法．他提供了某些微分方程的 直接求解方法，为计算机和CD等数字技术的实现铺平了道路。
但FFT 的本质还是Fourier变换。
10
Fourier变换的缺点
① Fourier分析对非线性问题感到力不从心。
因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线 性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是 十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。 正如著名科学家Korner指出：“19世纪的伟大发现是证 明自然方程是线性的，20世纪的伟大发现是证明自然方程 是非线性的。” ② Fourier变换公式没有反映出随时间变化的频率。实际
一首数学史诗
• 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强 烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier分析的核 心内容．
• 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著——《热的解析理 论》(The Analytic Theory of Heat)．由于这一理论成功地求解了困扰 科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几 乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。
• 目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电 话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科 学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞Fourier 分析是一 首伟大的数学史诗。
5
Fourier分析的核心内容
①用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余 弦函数之和。这一无限和现称之为Fourier级数。也就是说，任 何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑 的曲线之和，见图。
实际上是将信 号投影在由正 弦和余弦函数 组成的正交基 上，对其实施 Fourier变换。
6
Fourier分析的核心内容
②他解释了为什么这一数学论断是有用的。1807年，他显示任何周 期函数(最下图形)是由正弦和余弦函数叠加而成。 Fourier分析 从本质上改变了数学家对函数的看法．他提供了某些微分方程的 直接求解方法，为计算机和CD等数字技术的实现铺平了道路。
但FFT 的本质还是Fourier变换。
10
Fourier变换的缺点
① Fourier分析对非线性问题感到力不从心。
因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线 性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是 十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。 正如著名科学家Korner指出：“19世纪的伟大发现是证 明自然方程是线性的，20世纪的伟大发现是证明自然方程 是非线性的。” ② Fourier变换公式没有反映出随时间变化的频率。实际
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小波系数 小波分解
waJ sn AJ n wd j snDj n ,
j J,,1
反变换
J
J
snaJ ndinwaJ AJ nwd jDj n
j1
j1
其中： AJ n, Dj n 是小波基函数
参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年 （. ,” ”，p.375)
24
一维信号小波变换例子
2级小波系数 w2=[2 , 2 , 1 ]
6598
1 3 3 9]
16位
wa2 [ 28 23 28 16 ] 2 wd2 [ 6 3 6 8 ] 2
17ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小波基函数和滤波系数( 4正交，近似对称)
18
小波基函数和滤波系数( 2.4 –双正交，对称)
19
小波基函数和滤波系数( 6.8 –双正交，对称)
20
2、小波分析在一维信号处理中的应用
小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ，[ , ] 包括近似()系数 与细节()系数
• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过 给定滤波系数生成。
• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是对称的，有的是非对称的。
• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波 系数直接导出，而不需要确切知道小波基 函数，这是 I. 等的重要发现，使计算简化， 是快速小波分解和重建的基础。
14
小波基函数和滤波系数(正交，对称)
O f M lo 2M g, O wM
9
小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 ()基
小波基
时间采样基 “时频局域性” 图解：变换的基（上）小波变换基（中） 和时间采样基（下）的比较
10
小波基母函数
（a） “近似”基函数 （b） “细节”基函数
低频滤波系数
高频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q
H1= [ 1 -1] ×q
多分辨度分析（）
• 1988年 提出的多分辨度分析理论，统 一了几个不相关的领域：包括语音识 别中的镜向滤波，图象处理中的金字 塔方法，地震分析中短时波形处理等 。
• 当在某一个分辨度检测不到的现象， 在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如：
6
7
参考： M. , ” “,
, 1995 p.11
= [ q q]
=[ q ]
其中：
q 2 0.7071
11
小波的基函数
尺度函数 近似基函数
小波函数 细节基函数
第 1 行基函数是取平均（近似）， 第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
12
小波分析发展历史
1807年 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导 解析理论”论文
3
小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频 率”的变化。
时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。 顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分； 而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成 分。
小波基D
原始信号
小波系数wd
小波基A 小波系数wa 正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量 反变换：所有“小波分解” 合成原始信号 例如： 小波分解 小波系数 × 小波基A
23
离散小波变换公式
• 信号 s 有M个样本，J 级小波变换：
正变换
n 1,, M.
wJ [waJ ,wdJ ,,wd1]
8
小波的3 个特点
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象 。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
• 小波变换比快速变换还要快一个数量级。信号 长度为M时， 变换（左）和小波变换（右） 计算复杂性分别如下公式：
近似系数平均成分（低频）
细节系数变化成分（高频）
21
小波原始信号分解过程：
原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。 s=
小波系数 w = [ , ] 的分量，乘以 基函数，形成小 波分解：
小波近似系数 ×基函数近似分解 a 平均 小波细节系数 ×基函数细节分解 变化
22
小波分解和小波基
4
小波的成就
小波分析是纯数学、应用数学和工程技术 的完美结合。从数学来说是大半个世 纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶 分析、函数空间等）。
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。 在计算机应用、信号处理、图象分析、 非线性科学、地球科学和应用技术等 已有重大突破，预示着小波分析进一 步热潮的到来。
5
小波，例子： 16点信号: [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1
3 3 9] 通过实现() 波形图 小波正变换：小波系数：
小波近似系数（加）；小波细节系数（减） 小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。
有2种：近似分解；细节分解
25
一维信号的二级小波变换系数
原始信号 16位
s[6 5 9 8 3 7 8 5
1910年 提出最简单的小波 1980年 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质
勘探。 1985年 和稍后的提出“正交小波基”，此后形成
小波研究的高潮。 1988年 提出的多分辨度分析理论（），统一了语
音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理 中的金字塔法等几个不相关的领域。
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小波基可以通过给定滤波系数生成
小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
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高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数( 2正交，不对称 )
小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
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高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数( 4正交，不对称)
2003年6月10日研究生
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研究生讲座：小波分析及其应用
1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应 用 3 、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印
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1、小波的特点和发展
“小波分析” 是分析原始信号各种变化的特 性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选 择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长 短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的 尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解。