一元二次不等式知识点讲解及习题

第二节：一元二次不等式

1、概念：形如（其中a不等于0）的不等式叫做一元二次不等式；

2、解集的求法：求一般的一元二次不等式

的解集，我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的

= 0的根，再根据函数图像与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。

3、列表如下：

3、一元二次不等式解法的逆向思维：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程的两根，由韦达定理可知a,b,c之间的关系。

4、含有参数的不等式的解法：解含有参数的一元二次型

的不等式。

（1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论。

（2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再用判别式与零的大小关系作为分类标准进行讨论

（3）如果判别式大于零，但两根式不能确定，此事再以两根的大小作为分类标准在进行分类讨论；

5、分式不等式的解法：解分式不等式的思想是把分式不等式转化为

整式不等式，即：

)x(g )x(f

>0转化为f(x)g(x)>0

)x(g

)x(f

转化为f(x)g(x)<0

注意：解此类分时式不等式时，转化为整式不等式后，应注意分子可以取零，但是分母不可以取零。

6、一元高次不等式的解法：数轴穿根法

（1）将f(x)最高次项的系数化为正数

（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积。（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点

画曲线（注意：重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）（4）根据曲线显现出的f(x)值得符号变化规律，写出不等式的解集

（解普通一元二次不等式）

例1、(1) x2+3x-10<0; (2)3 x2+5x-2>0

（跟踪训练）(1)- x2+4x-5>0 （2）9 x2-6x+1>0

(3) -3x2-2x+8≤0

(不等式恒成立问题)

例2、(1)3x2+x-4>0 (2) x2+2x+3＞0

(含有绝对值的不等式)

例3、(1)x2-2|x|-3>0 (2)2x2+|4x+3|＜0

（跟踪训练）

（1）︱2x-1︱＜3 (2)︱2x2-x-1︱≥1

(含有参数的不等式)

例4、(1)56 x2-ax-a2<0 (2) -x2+(a-1)x+ a>0 （3）ax2-(a+1)x+1＜0

（分式不等式） 例5、（1）2

1

3--x x ≤-1 x x 241--＞0

（一元高次不等式）

例6（1）03

2232

2≤--+-x x x x (2) (x-2)2(x-3)3

(x+1)>0.

(跟踪训练)

（1）(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. (2)12

3422

+≥+--x x x x

(思考) (x-x 2+12)(x+a)<0.

（韦达定理与一元二次方程）

例7、已知一元二次不等式ax 2+bx+1＞0的解集为｛x ︱-1＜x ＜3

1

｝，则ab 的值为

（一些恒成立问题）

例8、已知不等式x 2+ax+4＜0解集为空集，求a 的取值围

（跟踪训练1）当a 为何值时，不等式（a 2-1）x 2-(a-1)x-1＜0的解集是全体实数。

（跟踪训练2）若对 x∈R，ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立，数a的取值围。