九年级数学上册第22章二次函数小结精品导学案新人教版

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人教版数学九年级上册第22章《二次函数》全章导学案

22.1.4 二次函数y ax2bx c 的图象学习目标：1. 能经过配方把二次函数y ax 2bx c 化成 y a( x h)2 + k 的形式，进而确立张口方向、对称轴和极点坐标。

2．熟记二次函数y ax 2bx c 的极点坐标公式；3．会画二次函数一般式学习要点：掌握二次函数y ax 2bx c 的图象．y ax2bx c 的图象和性质.学习难点：运用二次函数y ax2bx c 的图象和性质解决实质问题 .学习方法：问题式五步教课法 .学习过程一、出示目标二、预习检测1. 抛物线y2；对称轴是直2 x 31的极点坐标是线；当 x =时 y 有最值是；当 x时，y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小。

2.二次函数分析式 y a(x h)2 +k 中，很简单确立抛物线的极点坐标为，所以这类形式被称作二次函数的极点式。

三、怀疑互动：（1）你能直接出函数y x22 x 2的像的称和点坐？（2）你有法解决（ 1）？解：y x22x 2 的点坐是，称是.（3）像我能够把一个一般形式的二次函数用的方法化点式进而直接获得它的像性 .（4）用配方法把以下二次函数化成点式：① y x 22x 2② y 1 x22x 5③2y ax2bx c（5）：二次函数的一般形式y ax 2bx c 能够用配方法化成点式：，所以抛物y ax2bx c 的点坐是；称是，（6）用点坐和称公式也能够直接求出抛物的点坐和称，种方法叫做公式法。

用公式法写出以下抛物的张口方向、称及点坐。

① y 2x 23x 4② y2x 2x 2③ yx 24x四、达用描点法画出 y 1 x2 2 x 1的像 .（1）点坐2；（2）列表：点坐填在；（列表一般以称中心，称取．）x⋯⋯y1 x2 2x 1 ⋯2（3）描点，并：6 y5 4 3 21 x7654321O1 2 312 3 4（4）察：① 象有最点，即x =，y 有最是；② x，y 随 x 的增大而增大；xy 随x 的增大而减小。

人教版九年级数学上册第22章22.1.1二次函数《二次函数》导学案

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.知道二次函数的概念,明确二次函数的特征.2.能够表示简单的变量间的二次函数关系.3.重点:二次函数的概念.知识点二次函数的概念阅读教材本课时内容,回答下列问题.1.正方体有6个面,若其棱长为x,则一个面的面积为x2,正方体的表面积y=)x的函数,理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.6x2,y 是(填“是”或“不是”2.在“问题1”中,用参赛队数n表示比赛场次数m的关系式是m=n2-n,m 是(填)n的函数,理由:对于n的每一个值,m都有一个对应值.“是”或“不是”)x的函数,3.在“问题2”中,y与x的关系式是y=20x2+40x+20,y 是(填“是”或“不是”理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.4.以上三个函数关系式的共同点:等式右边是关于自变量的整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.【归纳总结】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【讨论】二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗?当a=0时,没有二次项了,不是二次函数,b,c可以是0.【预习自测】下列函数中,哪些是二次函数?①y=5x+1;②y=4x2-1;③y=2x3-3x2;④y=-;⑤y=-(x-1)2;⑥y=2x2-x+;⑦y=x(1-x);⑧y=2x2+x(1-2x).②④⑤⑦．互动探究1:在学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数;小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数;小华:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)是一个二次函数;小佳:y=+x-1是一个二次函数;小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数.。

22二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导学案人教版九年级数学上册

九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质》导学案1、理解二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标2、理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。

重点：运用二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。

难点：理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。

1、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1）图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。

（2）性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的．2、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a＞0时，抛物线开口；当a＜0时，抛物线开口；a还可以决定开口大小，a越大开口就。

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点。

九年级数学上册22二次函数教案新版新人教版 7147 精品导学案

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第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．(一)教师组织合作学习活动：1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．三、做一做1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2(2)y＝－1x2(3)y＝2x2－x－1(4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x)3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．难点画二次函数y＝ax2的图象．一、引入新课1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2(4)y＝3(x－1)2＋12．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．二、教学活动活动1：画函数y＝－x2的图象．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．(2)提出问题：它的形状类似于什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．不同点：开口大小不同．(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质图象(草图) 开口方向顶点对称轴最高或最低点最值a＞0当x＝____时，y有最____值，是________.a＜0当x＝____时，y有最____值，是________.(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．答案：(1)下，(0，0)，x ＝0，＞0；(2)k ＞2.5；(3)a ＞b ＞d ＞c. 三、课堂小结与作业布置课堂小结1．二次函数的图象都是抛物线．2．二次函数y ＝ax 2的图象性质：(1)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．(2)当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．作业布置教材第32页练习．22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．2．了解y ＝ax 2，y ＝a(x －h)2，y ＝a(x －h)2＋k 三类二次函数图象之间的关系．3．会从图象的平移变换的角度认识y ＝a(x －h)2＋k 型二次函数的图象特征．重点从图象的平移变换的角度认识y ＝a(x －h)2＋k 型二次函数的图象特征．难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．一、复习引入二次函数y ＝ax 2的图象和特征：1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a ＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x 轴的________(除顶点外)；当a ＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x 轴的________(除顶点外)．二、合作学习在同一坐标系中画出函数y ＝12x 2，y ＝12(x ＋2)2，y ＝12(x －2)2的图象．(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？ (4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2图象之间的关系1．结合学生所画图象，引导学生观察y ＝12(x ＋2)2与y ＝12x 2的图象位置关系，直观得出y ＝12x 2的图象――→向左平移两个单位y ＝12(x ＋2)2的图象．教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)； (2，2)――→向左平移两个单位(0，2)； (－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)．②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y ＝12x 2的图象――→向右平移两个单位y ＝12(x －2)2的图象．3．请你总结二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．y ＝ax 2(a≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象．函数y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h. 4．做一做 (1)(2)①抛物线y ＝2x 2向________平移________个单位可得到y ＝2(x ＋1)2；②函数y ＝－5(x －4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．四、探究二次函数y ＝a(x －h)2＋k 和y ＝ax 2图象之间的关系1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．首先引导学生观察比较y ＝12(x ＋2)2与y ＝12(x ＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y ＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示)再引导学生观察刚才得到的y ＝12x 2的图象与y ＝12(x ＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y ＝12x 2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x ＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：函数解析式图象的对称轴图象的顶点坐标y ＝12x 2 y ＝12(x ＋2)2 y ＝12(x ＋2)2＋33.总结y ＝a(x －h)＋k 的图象和y ＝ax 图象的关系y ＝ax 2(a≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象――→当k ＞0时，向上平移k 个单位当k ＜0时，向下平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象． y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，k)．口诀：(h ，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．4．练习：课本第37页练习五、课堂小结1．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和函数y ＝ax 2图象之间的关系．2．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质．六、作业布置教材第41页第5题22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2课时)第1课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．重点通过图象和配方描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．难点理解二次函数一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的配方过程，发现并总结y ＝ax 2＋bx ＋c与y ＝a(x －h)2＋k 的内在关系．一、导入新课1．二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象，可以由函数y ＝ax 2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．2．二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．3．二次函数y ＝12x 2－6x ＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、教学活动活动1：通过配方，确定抛物线y ＝12x 2－6x ＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．你能画出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？ (1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动3：对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)和y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象．(3)引导学生观察二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y 随x 的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象和性质．活动4：已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋9的顶点在坐标轴上，求a 的值．活动5：检测反馈 1．填空：(1)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y ＝2x 2－2x －1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝________. 2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y ＝3x 2＋2x ；(2)y ＝－2x 2＋8x －8.3．求二次函数y ＝mx 2＋2mx ＋3(m ＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 的顶点是(－1，2)，则a ，c 的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x ＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x ＝－13，(－13，－13)；(2)开口向下，x ＝2，(2，0)；3.对称轴x ＝－1，当m ＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a ＝1，c ＝3.三、课堂小结与作业布置课堂小结二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与性质．作业布置教材第41页第6题．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．重点二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．难点利用图象观察性质．一、复习引入1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．二、例题讲解例1 根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．例2 已知函数y＝x2－2x－3，(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：系数的符号图象特征a的符号a>0 抛物线开口向____a<0 抛物线开口向____－b2a的符号－b2a>0 抛物线对称轴在y轴的____侧b＝0 抛物线对称轴是____轴－b2a<0 抛物线对称轴在y轴的____侧c的符号c>0 抛物线与y轴交于____c＝0 抛物线与y轴交于____c<0 抛物线与y轴交于____本节课你学到了什么？四、作业布置教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．3．会用计算方法估计一元二次方程的根．重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．难点二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．一、复习引入1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当x ＝－b 2a 时，函数y 有最小值4ac －b24a.当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小；当x ＝－b 2a 时，函数y 有最大值4ac －b24a.二、新课教学探索二次函数与一元二次方程：二次函数y ＝x 2＋2x ，y ＝x 2－2x ＋1，y ＝x 2－2x ＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x 轴有几个交点？(2)一元二次方程x 2＋2x ＝0，x 2－2x ＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x 2－2x ＋2＝0有根吗？(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点有三种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y ＝0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax 2＋bx ＋c 的两个根x 1与x 2；当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点；当b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．举例：求二次函数图象y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的交点A ，B 的坐标．结论：方程x 2－3x ＋2＝0的解就是抛物线y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1，x 2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别是A(x 1，0)，B(x 2，0)．例1 已知函数y ＝－12x 2－7x ＋152，(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2)自变量x 在什么范围内时，y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．三、巩固练习请完成课本练习：第47页1，2四、课堂小结二次函数与一元二次方程根的情况的关系．五、作业布置教材第47页第3，4，5，6题.22.3实际问题与二次函数(2课时)第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？提问2：如何用l表示另一边？提问3：面积S的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x＝－x22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？答案：0＜x≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页．五、课堂小结与作业布置课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。

九年级数学上册第22章二次函数导学案3 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学学案

二次函数【学习目标】1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会用待定系数法求二次函数的解析式；4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值。

【学习重点】二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定【课堂学习】【合作探究·释疑】一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是.①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =错误！未找到引用源。

；⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值X围为。

4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。

6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b2 4a1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝. 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_.7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是。

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（最新精品导学案）第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：______．(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1填空：(1)函数y＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上；(2)根据抛物线y＝ax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x2，开口大的为y＝12x2，在x轴下方的为y＝－2x2.点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？。

九年级数学上册第二十二章二次函数的图象和性质二次函数导学案新版新人教版

九年级数学上册导学案新版新人教版：第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数一、新课导入1.导入课题：问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h 与它距离喷头的水平距离x 之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？今天我们就来学习“二次函数”.（板书课题）2.学习目标：（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.3.学习重、难点：重点：二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系.难点：列二次函数表示实际问题中的数量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第28页到第29页“思考”上面部分的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式.（4）自学参考提纲：①正方体的表面积y 与棱长x 的关系式为y=6x 2，y 是x 的函数吗？是②问题1中，有 n 个球队参加比赛，每个队要与其他n-1个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为（）n n 112.这样比赛的场次数m 与参加比赛的球队数n 的关系式为（）m n n =-112，m 是n 的函数吗？是 ③问题2中,产品原产量是20t ，一年后的产量是原产量的（1+x ）倍；再经过一年后的产量是一年后的产量的（1+x ）倍.于是两年后的产量y 与增加的倍数x 的关系式为（）y x =+2201，y 是x 的函数吗？是2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会找等量关系列函数关系式.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组相互研讨.4.强化：（1）利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数的理由.（2）总结：列实际问题中两个变量的函数关系式，关键是寻找问题中的等量关系.（3）练习：①已知圆的面积y(cm 2)与圆的半径x (cm)，写出y 与x 之间的函数关系式；解：y=πx 2②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x ，两年后王先生共得本息和y 万元,写出y 与x 之间的函数关系式；解：（）y x =+221 ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式.解：S=4πr 21.自学指导：（1）自学内容：教材第29页“思考”以后到“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察上面各函数的右边的代数式的特点，用一般形式表示出来.（4）探究提纲：①请写出二次函数的一般形式.y=a x 2+b x +c （a ，b ，c 是常数，a≠0）②请写出上面“练习”中的3个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项. a.y=πx 2二次项系数：π一次项系数：0常数项：0 b. （）y x x x =+=++2221242二次项系数：2一次项系数：4常数项：2 c.S=4πr2二次项系数：4π一次项系数：0常数项：02.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生自学提纲的解答情况.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨、改正.4.强化:（1）交流及总结：①二次函数的定义，重点强化自变量，各项及各项系数.②强调a≠0.（2）练习：()a y a x +=-11是二次函数，求常数a 的值. 解：依题意，得，，a a +=-⎪⎩≠⎧⎨⎪1210 解得a=-1 三、评价 1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性，回答问题与小组合作情况，存在问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的经历过程和探究体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）下列函数是二次函数的是（C ）A.y=2x +1B.y=-2x +1C.y=x 2+2D.y=12x -2 2.（10分）二次函数y=3x 2-2x -4的二次项系数与常数项的和是（B ）A.1B.-1C.7D.-6 3.（10分）已知函数y=(a-1)x 2+3x -1,若y 是x 的二次函数，则a 的取值范围是a≠1.4.（10分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，则经过两次降价后的价格y （单位：元）与每次降价的百分率x 的函数关系式是（）y x =-221.5.（15分）正方形的边长为10cm ，在中间挖去一个边长为x cm 的正方形，若剩余部分的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式是y=100-x 2，x 的取值范围为0＜x ＜10.6.（15分）一辆汽车的行驶距离s （单位：m ）与行驶时间t （单位：s ）的函数关系式为s t t =+2192，则经过12s 汽车行驶了180m ，行驶380m 需20s. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，写出△PBQ 的面积S 与出发时间t （s ）的函数关系式及t 的取值范围解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.∵AB=12,∴PB=12-2t,∴（）＝S PB BQ t t t t ==--+211122442422.t 的取值范围为0≤t≤6.三、拓展延伸（10分）8.(10分)m 为何值时，函数()m m y m x mx -+=-+2564是关于x 的二次函数.解：由题意可得m m ,m ,-+=-≠⎧⎨⎩256240解得m=1.∴当m=1时，函数()m m y m x mx -+=-+2564是关于x 的二次函数.。

2022-2022学年九年级数学上册第22章第22课时二次函数导学案(新版)新人教版

二次函数学习目标1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。

（重点难点）学生自主活动材料一.前置自学1、二次函数247y x x =--的顶点坐标是 ( )A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（）（A ）直线1x =（B ）直线3x =（C ）直线1x =-（D ）直线3x =- 3、二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) （A ）3<k （B ）03≠<k k 且（C ）3≤k （D ）03≠≤k k 且4、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则点(,)ac bc 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6、在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x －2 －1 0 1 2 3 4 y72－1－2m27则m ＝__________．7、抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 .8、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号; ②当1x =和3x =时,函数值相等; ③40a b +=;④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个9、已知抛物线过点A(2,0),B(－1,0),与y 轴交于点C,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（）A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二.合作探究10、国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2 （万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？y x11、如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．412、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.13、如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线1212-=x y 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为___________。

人教版数学九年级上册22 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质导学案

第二十二章二次函数知人者智，自知者明。

《老子》原创不容易，【关注】，不迷路！22.1.3二次函数y =a (x －h )2+k 的图象和性质第2课时二次函数y =a (x －h )2的图象和性质学习目标：1.会画二次函数y =a (x －h )2的图象. 2.掌握二次函数y =a (x －h )2的性质. 3.比较函数y =ax 2与y =a (x －h )2的联系. 重点：会画二次函数y =a (x －h )2的图象.难点：掌握二次函数y =a (x －h )2的性质并会应用其解决问题.一、知识链接1.说说二次函数y =ax 2+c (a ≠0)的图象的特征.2.二次函数y =ax 2+k (a ≠0)与y =ax 2(a ≠0)的图象有何关系？3.函数21(2)2yx 的图象，能否也可以由函数212y x 平移得到？二、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －h )2的图象和性质引例在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x 与21(2)2y x 的图象．根据所画图象，填写下表：试一试画出二次函数2112yx ，()2112y x =--的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想通过上述例子，函数y =a (x －h )2的性质是什么？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的性质当a ＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最小值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；x ＞h 时，y 随x 的增大而增大. 当a ＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最大值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；x ＞h 时，y 随x 的增大而减小. 典例精析例1已知二次函数y ＝(x -1)2 （1）完成下表；x … … y……（2）在如图坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（4）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．（5）若3≤x ≤5，求y 的取值范围；想一想：若-1≤x ≤5，求y 的取值范围；（6）若抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜1，试比较y 1与y 2的大小．变式：若点A (m ，y 1)，B (m +1，y 2)在抛物线的图象上，且m ＞1，试比较y 1，y 2的大小，并说明理由．探究点2：二次函数y =ax 2与y =a (x －h )2的关系想一想抛物线2112yx ，2112y x 与抛物线212y x 有什么关系？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2与y =ax 2的图象的关系y =ax 2向右平移︱h ︱得到y =a (x －h )2； y =ax 2向左平移︱h ︱得到y =a (x +h )2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.例2抛物线y ＝a 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．练一练将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个位D ．向右平移1单位三、课堂小结1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 22(3)x 22(2)x23(1)4x 2.如果二次函数y ＝a (x -1)2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是_____．3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.4.若（-134，y1）（-54，y2）（14，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________.5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．能力提升已知二次函数y＝（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.参考答案自主学习知识链接1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，c）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值c），当x0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值c），当x0时，y随x 增大而减小.2.答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位长度得到.当k<0时，向下平移-k个单位长度得到.3.能课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质引例列表如下：描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.图①图② 填表如下：试一试填表如下：1212-292-892-21212-2描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示. 例1解：（1）填表如下：x…-10 1 2 3 …y… 2 120 122 …（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.想一想∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∵当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.变式∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系想一想抛物线向左平移1个单位得到抛物线，抛物线向右平移1个单位得到抛物线.例2解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a=14，∴平移后二次函数关系式为y＝14(x－3)2.练一练C当堂检测 1.填表如下： 22(3)x 22(2)x23(1)4x2.a ＞03.y =-(x +3)2或y =-(x -3)24.y 1＞y 2＞y 35. 解：图象如图.函数y =2(x -2)2的图象由函数y =2x 2的图象向右平移2个单位得到. 能力提升解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜-1≤x ≤3，x ＝-1时，y 取得最小值4，可得（-1-h ）2＝4，解得h ＝-3或h ＝1（舍）；②若-1≤x ≤3＜h ，当x ＝3时，y 取得最小值4，可得：（3-h ）2＝4，解得：h ＝5或h ＝1（舍）；③若-1＜h ＜3时，当x ＝h 时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h 的值为-3或5.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。

九年级数学上册第二十二章二次函数小结学案 (新版)

二次函数【学习目标】1．掌握二次函数的定义及表达式．2．巩固二次函数的图象和性质．3．强化二次函数的实际应用．【学习重点、难点】二次函数的图象、性质及其运用．【教学建议】建议本课分两课时，依据学情采取其中一种方式．方式一：第一课时自学自研并交流展示知识模块一～三；第二课时自学自研并交流展示知识模块四及练习巩固提升．方式二：第一课时进行自学自研，第二课时进行交流展示、巩固提升．【推荐方式一】第一课时目标导学(5分钟)；自学自研(20分钟)；交流展示(15分钟)；第二课时目标导学(2分钟)；自学自研(15分钟)；交流展示(15分钟)；巩固提升(8分钟) ．情景导入生成问题知识结构我能建：（略）知识梳理我能行：(略)自学互研生成能力知识模块一二次函数的图象与性质【自主探究】典例1：写出抛物线y＝－x2－2x的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时，y的值最小(大)?解：∵－b2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac－b24a＝4×（－1）×0－（－2）24×（－1）＝1.∴抛物线y＝－x2－2x的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点是(－1，1)．当x＝－1时，y最大值＝1.【合作探究】典例2：已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．典例5易错点：1．将销售价x看成降价．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－1＝(x －2)2－1.∴其函数的顶点C 的坐标为(2，－1)，∴当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x>2时，y 随x 的增大而增大．(2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)．当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB ＝|1－3|＝2.过点C 作CD⊥x 轴于D ，则△ABC 的面积＝12AB ·CD ＝12×2×1＝1. 知识模块二二次函数的图象与字母系数的关系【自主探究】典例3：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴相交于负半轴．(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b ＋c ＝0.其中正确结论的序号是①④．(2)给出四个结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋c ＝1；④a>1.其中正确结论的序号是②③④．知识模块三求二次函数的解析式【合作探究】典例4：已知抛物线y ＝x 2＋(b －1)x ＋c 经过点P(－1，－2b)．(1)求b ＋c 的值；(2)若b ＝3，求这条抛物线的顶点坐标；(3)若b>3，过点P 作直线PA⊥y 轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且BP ＝2PA.求这条抛物线对应的二次函数关系式．解：(1)∵抛物线过点P(－1，－2b)，∴1－(b －1)＋c ＝－2b ，∴b ＋c ＝－2.(2)由(1)中的关系式可知，若b ＝3，则c ＝－5.∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－5，即y＝(x＋1)2－6，其顶点坐标为(－1，－6)．(3)根据题意画出抛物线的示意图如图所示：∵PB＝2PA，点P(－1，－2b)，∴点B的坐标为(－3，－2b)．∴9－3(b－1)＋c＝－2b，即－b＋c＝－12.∴y＝x2＋4x－7.知识模块四二次函数的实际应用【合作探究】典例5：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(3)每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)设每箱售价为x元，根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240.(2)因为该批发商平均每天的销售利润等于平均每天销售量×每箱销售利润，所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600.(3)由w＝－3x2＋360x－9600，得a＝－3<0，所以抛物线开口向下．当x＝－b2a＝60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大．所以当x＝55元时，w的最大值为1125元．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数的图象与性质知识模块二二次函数的图象与字母系数的关系知识模块三求二次函数的解析式知识模块四二次函数的实际应用当堂检测达成目标【当堂检测】1．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝1，x 2＝2．2．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3．3．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y ＝ax 2＋bx －75.其图象如图．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)y ＝ax 2＋bx －75图象过点(5，0)、(7，16)，y ＝－x 2＋20x －75，顶点坐标是(10，25)．当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

人教版九年级上数学第22章《二次函数》第1课时《二次函数的概念》导学案

第二十二章《二次函数》第1课时 22.1.1 二次函数的概念【学习目标】：1.探素并归纳二次函数的定义;2.能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习过程】：一、一元二次方程定义：1、什么叫函数?2、正比例函数的一般形式：；一次函数的一般形式：。

3、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与 x 之间的关系：(1)圆的面积 y (cm)与圆的半径 x(cm)：；(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x ，3月份的利润为y ：；（3）某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定：；(4)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y(m 2)：。

4、形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数，a 为二次项系数，ax 2叫做，b 为，bx 叫做一次项。

c 为常数项。

例如：。

二、典例精析：【例1】.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。

（1）写出正方体的表面积S （cm ²）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm ²）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm ²）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系。

【例2】、把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数,一次项系数,常数项。

（1）23(1)1y x =-+；（2）232s t =-。

1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项：（1） y=-x 2+58x-112；（2）y=πx 22、指出下列函数y=ax ²+bx+c 中的a 、b 、c（1） y=-3x 2-x-1 （2） y=5x 2-6 （3） y=x(1+x)四、典例精析：【例3】、m 取何值时，函数221(1)(3)mm y m x m x m --=++-+是二次函数？【例4】、函数27(3)my m x -=+，（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m 取什么值时，此函数是二次函数？五、达标测试：1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式 .2. n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式 .3、下列函数中，（x 是自变量），是二次函数的有。

新人教版九年级数学上册导学案：第22章《二次函数》3

新人教版九年级数学上册导学案：第22章《二次函数》教师寄语今日事，今日毕。

不要把今天的事拖到明天。

学习目标1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；教学重点类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系教学难点类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系教学方法导学训练学生自主活动材料【学习过程】一、依标独学：1、直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

2、练习：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。

解：3、由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？猜想：。

二、围标群学（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y . 3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。

三、扣标展示：（一）抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向；当0a <时，开口；2. 顶点坐标是； x y y = x 21O3. 对称轴是。

（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax =平移得到的。

（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上下。

（三）a 的正负决定开口的；a 决定开口的，即a 不变，则抛物线的形状。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值。

教学反思：自我评价专栏(分优良中差四个等级)自主学习：合作与交流：书写：综合：。

九年级数学上册 22 二次函数小结教案新人教版(2021年整理)

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第22章二次函数
点
五、教法学法讲解、讨论、分析、练习
六、教学过程设计
师生活动设计意图一、本章知识结构框图
二、知识梳理
(见课件）
（师生共同梳理，学生完成填空。

）
三、巩固练习
（见课件）
(学生独立完成，教师巡视，然后集体订正。

)
四、检测
课本P56页：1—--3题。

五、小结
（1)我们是如何研究二次函数的？
（2)二次函数在实际问题应用中需要注意什么?
六、作业：
通过梳理知
识,形成有关
二次函数的知
识体系。

进一步熟练掌
握二次函数的
有关知识。

九年级数学上册 第22章 二次函数小结 精品导学案 新人教版