气体动力学基础chapter6

y
μ
μ
χ
图6-2(a) 直线扰动源所产生的马赫波
图6-2(b) 左伸与右伸马赫线
•最后还要指出的是，如果超声速气流沿其垂直方向气流参数不 均匀，则马赫线将变成曲线。
分析超声速气流物体的流动
§6.2膨胀波的形成及普朗特—迈耶流动

膨胀波的形成 普朗特—迈耶流动的形成 普朗特—迈耶流动的数学特征
M a >1
O
dθ
除了超声速气流沿外凸壁流动 外，在其它一些情况下，如扰动源 为压强差，也可能会产生膨胀波。
图6-3
气流经膨胀波后的折转
二、普朗特—迈耶流动的形成
对于定常均匀平面超声速流绕外凸 壁面的流动，通常称为普朗特迈耶 流动，如图6-4所示。
图6-4
Ma1
Ma1
μ1
μ2
Ma2
δ
普朗特——迈耶流动
3、基本简化
从以上分析可知，激波厚度很簿，而我们在实际中关 心的是气流通过激波后气流参数的变化，若不关心激 波内部的流动,因此在处理激波时，通常采用下列简化 条件： 忽略激波厚度； 激波前后气体是理想绝热完全气体，且比热不变。
M a M a max
对空气，k＝1.4，则 M a max 1300 27
k 1 1 2
图形见下页
附录2表4 给出了普朗特——迈耶函数 M a 随 或 M a 的变化数值表。
最大折转角及普朗特迈耶函数的意义
第六章

膨胀波与激波
微扰动在气流中的传播及马赫锥 膨胀波的形成及普朗特—迈耶流动 波的相交和反射 激波的形成及传播速度 激波计算公式 激波的相交与反射 锥面激波及其数值解 波的组合及超声速进气道的激波系
§6.1微扰动在气流中的传播及马赫锥
微扰动在气流中的传播规 律，对于M a 1和 M a 1有 本质差别，如图6-1所示。
c 3c 2c c 3c V c 2c
对于 M a 1 的流动，存在 马赫角 ：
sin c 1 （6-1） V Ma
V c
(a) V 0
(b) V c
3c 2c V

3c
图6-1（d）中的马赫锥的 锥面即为马赫波，马赫波 不仅可以是微弱压缩波， 也可以是膨胀波。 演示PLAY
M
a1
真空
θ
max
=υ M a max ) (
四、微弱压缩波
• 微弱压缩波相交形成强压缩波
强压缩波
Ma 1
d1
d 2
d 3
弱压缩 波
微弱压缩波相交
第二种扰动源
t p* Ma<1 Mat=1 t e Mae<1 Pe=Pb=P3
§6.3
波的相互作用
膨胀波在固体壁面上的反射与消波 膨胀波的相交
膨胀波在自由边界上的反射
膨胀波与压缩波的相交
一、膨胀波在固体壁面上的反射与消波
图6-7为一均匀超声速气流以马赫数 M a1 沿壁面流动，这时自 A点必产生一束膨胀波，我们用一道平均波AB来表示。均匀 的超声速气流经膨胀波AB后沿下壁面流动，此时波后气流方 向与上壁面不平行，因而膨胀波AB必然在B点反射出一道膨 胀波。②区气流经反射膨胀波BC后进入③区，又沿上壁面方 向流动。以下同理。由于膨胀波DE后的上下壁面平行，在E 点膨胀波将消失。
V1
V1
V1
正激波
（a）
斜激波
曲线激波
（b ）
（c ）
图6-11 几种激波的示意图
二、激波的形成过程
1、 管内激波的形成过程
2、激波的形成及特点（弱波的追赶） 形成: 若活塞速度从零增加到一个有限的速度V，将这一压 缩气体的过程分成n个过程，每一过程都是在前一过程基础 上增加一个速度 V ,而活塞每增加一次，在管内将产生一道 微弱压缩波，该压缩波是以当地声速向前传播。可见活塞先 后发出的微弱压缩波并不以相同的绝对速度向前传播，而后 面的波是在前面的波已扰动的基础上发出的，因此后面的扰 动波的速度比前面波的速度要快，故后面的波最终将追赶上 前面的波而形成一道强的压缩波即激波。图6-12给出了这种 追赶过程。
注：运动介质与其它介质之间的切 向（与速度平行的方向）交界面称 为自由边界。自由边界的特性是接 触面两边的压强相等。
2 1
B A
3
4
D
C 图6-9 膨胀波在自由边界上的反射
四、膨胀波与压缩波的相交
动画演示PLAY
如果平面通道的上下壁面都往上折转角 （如图6-10所示）， 在AA’两处必分别产生膨胀波A’B和压缩波AB，B为两波交点， 流场有4个区。在2区和3区内气流均向上偏转角 。由于气 流压强不等（ p 2 p3 ）。这两股气流不可能平行地流下去 是的。在B点两股气流相遇后，2区的低压气流将受到3区高 压气流压缩，产生一道压缩波BC’；而3必产生一膨胀波BE’。 这样近入第4区，气流的压强和方向都一致了。可以形象地 看，膨胀波和压缩波相交时，两波可以相互穿过（ 波的方 向要改变）。 δ A′ 从上述几种典型的膨胀波的 C′ Ma 相交与反射问题中，可以看出 Ma 2 4 B 在流场中的同一个区内，气流 2 δ 3 1 E 的方向一致和静压相等。不同 C δ 方向，不同压强的超声速气流 A 相接触必定会产生波。
1 M a1 2 M a 2
k 1 1 k 1 2 2 Ma tg M a 1－tg 1 M a 1 k 1 k 1
可见，超声速气流绕外凸壁流动时，气流参数的总的变 化只决定于波前气流参数和气流总的转折角度，而与气流 的折转方式无关。 当气流由声速膨胀加速到马赫数为无穷大时，气流需折 转的角度为 k 1
其中： M a
k 1 1 k 1 2 tg M a 1－tg 1 M a2 1 k 1 k 1
（6-8）
上式即为普朗特——迈耶函数。
对于左伸波： M a C1 对于右伸波： M a C2
（6-9） （6-10）
即
p t= 1 p c 2+Δ V χ p c1 c3+ 2 V Δ c2+Δ V χ
χ
c1
c1 χ
图6-wenku.baidu.com2激波的形成
特点:从以上讨论可见，活塞的速度从零增加V到的过程是非 常短暂的，因而气体被压缩产生的一系列压缩波聚集的过程 也是非常迅速的，这种量的变化引起了质的飞跃，使激波的 性质与微弱压缩波有着本质的区别。其主要表现为： a)激波是强压缩波，经过激波气流参数变化是突跃的； b)气体经过激波受到突然地、强烈地压缩，必然在气体内部造成 强烈的摩擦和热传导，因此气流经过激波是绝能不等熵流动； c)激波厚度很簿激波的强弱与气流受压缩的程度（或扰动的强 弱）有直接关系。
t
Vt Vn V V +d V Vt Vt
（6-1）
tg
sin 1 2 cos M a 1
d
μ
d θ
V
dV d 2 V M a 1
d
V +d V
图6-6
膨胀波前后的速度三角形
超声速气流沿 外凸壁流动的 基本微分方程。
（6-5）
2、普朗特——迈耶函数
取对数后微分 dV
4 1
图6-10
膨胀波与压缩波的相交
§6.4
激波的形成及传播速度
激波的特点及分类
激波的形成 激波的传播速度
斜激波的形成
一、激波的特点及分类
激波是超声速气体受到强烈压缩后产生的强压缩波，气流 经过激波后，流速减小，相应的压强、温度和密度均升高 。 激波厚度很薄，且参数变化的每一状态不可能是热力学平 衡状态，这种过程是一个不可逆的耗散过程和绝热过程，因而 必然会引起熵的增加。 按形状，激波可分为：1. 正激波：气流方向与波面垂直； ⒉ 斜激波：气流方向与波面不垂直；⒊ 曲线激波：波形为 曲线形。如图6-11所示：
当气流流过图6-4所示的外凸壁时，可以 看作是流过一系列折转无限小的外凸壁的流 μ μ O d 动（如图6-5），从而形成不平行也不相交 θ O dθ μ O 的发散的膨胀波系。如果壁面的几个折转点 dθ 都无限接近点 01 ，就形成了如图6-4所示 图6-5 普朗特－－迈耶 的普朗特——迈耶流动。 流动的形成 PLAY
3c
(c ) V c (d ) V c
图6-1
微扰动在介质中的传播规律
扰动所影响的范围
c 1 sin V Ma
Ma 1 Ma

Ma 1 90

对于直线的扰动源（如平板）所产生的平面扰动波，扰动波的 波面为一楔面，如图6-2(a)所示，楔面在平面上的投影称为马 赫线。通常把面向下游（顺气流方向）看，从扰动源伸向左方 的称为左伸马赫线，伸向右方的称为右伸马赫线，如图6-2(b) 所示。
B Ma1>1
1 2 3
D
4
A
δ
5
C E
由此可见，只要超声速气流方向 与壁面不平行，就会在壁面处反射膨 胀波（或压缩波），因此膨胀波在固 壁上反射仍为膨胀波。同理可知，压 缩波在固壁上反射为压缩波。
图6-7
膨胀波在固体壁面上的反射
动画演示PLAY
二、膨胀波的相交（兰线表示）
动画演示PLAY
膨胀波的相交的简化分析 如果管道的上、下壁面在A、B处都向外转折一个有限角 度 ，则超声速气流流过时，在A、B两点处均会产生一 束膨胀波，它们的平均马赫波相交于C点如图（6-8）所示。 超声速气流流过AC、BC后，分别向外折转一个角度 ，沿 波后壁面流动。②、③区气流参数分别可按膨胀波计算公 式求得。②、③区气流方向不平行而在C点又一次膨胀，从 而产生膨胀波CD和CE，气流经过这两道波后进入④区和⑤ 区，气流方向向内折转一个角 ，直到④、⑤两区气流方 向一致，压强平衡为止。 D
2 2 M a 1dM a 2 2 M a 2 (k 1) M a
dV 代入（6-5）
dM a V Ma
2 (k 1) M a 1 2 2 (k 1) M a （6-7）
积 分
k 1 1 k 1 tg M a2 1 tg 1 M a2 1 C1 M a C1 k 1 k 1
1 1 2 1 2 2 3 3 3
三、普朗特—迈耶流动的数学特征
基本方程 普朗特——迈耶函数
1、基本方程
tg d dV Vd
Vn 常数 VnVt 常数
（6-3）
Vt 常数
（6-4）
tg d tg
dV tg d V
F 0
B
2 4
可见膨胀波相交时，在交点处必定 又产生两道膨胀波。同理可知，压缩波 相交后仍然是压缩波。
Ma1
1
C
3
A
5
E
图6-8
膨胀波的相交
三、膨胀波在自由边界上的反射
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膨胀波在自由边界上反射的简化
如果喷管出口截面的超声速气流其压强 p e大于外界压强 p a， 则在喷管出口产生膨胀波AB和A’B（平均马赫波），并交于B 点（如图6-9）。气流经过膨胀波AB和A’B后，压强降到外界 大气压强，并向外折转一个角度 ，AC和A’C’即是自由边界。 气流流过B点之后必产生膨胀波BC和BC’。②、③区气流经膨 胀波BC、BC’进入④区，并向内折转角度 ，且 p4 p2 p3 pa 因为气流在自由边界上必须满足压强相等，所以外界气流必 定压缩4区气流，而在点C和C’处，气流必然受到压缩而产生 压缩波，即气流经过压缩波CD和C’D后，速度降低，压强升高， 气流方向向内折转角 。即膨胀波遇到自由边界时，反射为 C′ 压缩波。 ′ A
dV d 2 V M a 1

dM a dc （6-6） V Ma c k 1 2 取对数后微分 dc (k 1) M a dM a c 2 kRT kRT 1 Ma 2 2 c 2 (k 1) M a
V M ac
d
一、膨胀波的形成
超声速直匀流沿如图6-3所示的外凸壁流动，在壁面转折处， 产生一道马赫波，其马赫角 sin 1 (1/ M a ) 。气流通过马赫波 之后，流动方向将沿波后壁面折转一个dθ ，称为气流折转 角。通常规定相对于来流方向逆时针方向折转为正，而顺气 流方向折转角为负。 动画演示PLAY