高一数学必修2第二章教学导案(完整版)

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【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计第二章

2.1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.知识点一平面的概念1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.思考一个平面能把空间分成几部分？答因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分.知识点二点、线、面之间的关系1.直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与数学符号的对应关系：思考若A∈a，a⊂α，是否可以推出A∈α？答根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a⊂α，则A∈α.知识点三平面的基本性质及作用思考(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？答(1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化例1用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.反思与感悟 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型二共面问题例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.证明(1)如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.(2)如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.因为a∩c＝N，b∩c＝Q，所以点N，Q都在平面α内，所以c⊂α.同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪训练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.反思与感悟点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3 如图所示，在四面体A －BCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点.证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点，∴GE ∥AC . 又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，从而FH ∥GE . 故E ，F ，H ，G 四点共面. ∵FH ∥AC ，DH ∶DA ＝2∶5， ∴FH ∶AC ＝2∶5，即FH ＝25AC .又∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ＝12AC ，∴FH ≠GE ，∴四边形EFHG 是一个梯形， GH 和EF 交于一点，设为O .∵O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， ∴O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，∴O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上. 故EF ，GH ，BD 交于一点.分类讨论思想例4 三个平面将空间分成几部分？请画出图形.分析平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.解 (1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时，将空间分成4部分，如图①所示. (2)当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交(即α∥β，γ与其相交)时，将空间分成6部分，如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示. (4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.解后反思本题在解答过程中，采用了从简单到复杂的处理方法.1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面答案C解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.2.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α答案D解析点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示.3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()答案A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()答案D解析A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_______个平面.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.一、选择题1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.2.如图，用符号语言可表示为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n答案A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于A.3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面答案D解析对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个答案C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC.A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误.6.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案B解析如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面答案D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确.二、填空题8.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.9.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又∵R∈l，∴R∈β.又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.10.若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.11.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.三、解答题12.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.所以BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.第11页共11页。

【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计第二章 2.3.1

2.3.1直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.知识点一直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.知识点二直线与平面垂直的判定定理思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角思考若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？答不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α平行B.l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D.反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟证线面垂直的方法有：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1O ，又EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BB 1O .题型三直线与平面所成的角例3 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长a ，E 为AD 的中点，连接CE .(1)求AD 与平面BCD 所成角的余弦值； (2)求CE 与平面BCD 所成角的正弦值.解 (1)如图所示，过点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为点O ，连接OB ，OC ，OD .则OB ，OC ，OD 分别是AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影. ∴∠ADO 为直线AD 与平面BCD 所成的角. 又∵AB ＝AC ＝AD ，∴OB ＝OC ＝OD . ∴O 为△BCD 的外心.∵△BCD 为正三角形，∴点O 为重心. 又正四面体棱长为a ，∴OD ＝32a ×23＝33a . ∴cos ∠ADO ＝OD AD ＝33，∴AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2)取OD 的中点F ，连接EF ，CF .∵E ，F 分别为△DAO 的边AD ，OD 的中点， ∴EF 为△DAO 的中位线. ∴EF ∥AO .又AO ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD . ∴FC 为EC 在平面BCD 上的射影. ∴∠ECF 为CE 与平面BCD 所成的角. 在Rt △EFC 中，EF ＝12AO .而AO ＝AD 2－OD 2＝ a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴EF ＝66a . ∵E 为AD 的中点，∴CE ＝32AD ＝32a .∴sin∠ECF＝EFCE＝66a32a＝23.∴CE与平面BCD所成角的正弦值为2 3.反思与感悟 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点.(1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值；(2)求EF与平面A1C1所成的角的大小.解(1)如图所示，连接DB.因为D1D⊥平面AC，所以DB是D1B在平面AC内的射影.所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.在Rt△D1DB中，DB＝2AB，D1B＝3AB，所以cos∠D1BD＝DBD1B＝63.故D1B与平面AC所成的角的余弦值为6 3.(2)因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，所以∠EF A1是EF与平面A1C1所成的角.在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，所以∠EF A1＝45°.故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，问：BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？并说明理由. 分析由于矩形是变动的，在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD 与a 有关，故应对a 进行分类讨论.解因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ，所以QD ⊥平面P AQ .所以AQ ⊥QD .①当0＜a ＜2时，由四边形ABCD 是矩形，且AB ＝1，知以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对于BC 上任一点Q ，都有∠AQD ＜90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ； ②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；③当a ＞2时，以AD 为直径的圆与BC 相交于点Q 1，Q 2，此时∠AQ 1D ＝∠AQ 2D ＝90°，故BC 边上存在两点Q (即Q 1与Q 2)，使PQ ⊥QD .解后反思应注意到矩形是变动的，所以应对a 进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a 的取值范围，然后进行讨论. 线面垂直例5 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.分析根据线面垂直的判定定理，要证明OE ⊥平面ACD 1，只要在平面ACD 1内找两条相交直线与OE 垂直即可.证明如图，连接AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，D 1B 1.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，易证AE ＝CE . 因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC . 在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a .因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1.所以OE⊥平面ACD1.解后反思在立体几何的垂直关系的证明中，通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧.1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°答案C解析如图，连接AC，BD，两线相交于O，连接SO，则∠SBO就是侧棱与底面所成的角.易得OB＝22.因为SB＝1，所以SO＝SB2－OB2＝2 2.所以∠SBO＝45°.2.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.3.已知P A⊥矩形ABCD，下列结论中，不正确的是()A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.P A⊥BD答案C解析如图，由P A⊥矩形ABCD，得BC⊥平面P AB，DA⊥平面P AB，DC⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，P A⊥BD均正确，而PD⊥BD错，故选C.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.答案30°解析tan∠PCA＝P AAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 C解析如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则 BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角.3.空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案 C解析取BD 中点O ，连接AO ，CO ，则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ，又BD 、AC 异面，∴选C.4.如图所示，P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿着AE 和AF 及EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在四面体A －EFH 中必有( )A.HG ⊥△AEF 所在平面B.AG ⊥△EFH 所在平面C.HF ⊥△AEF 所在平面D.AH ⊥△EFH 所在平面答案 D解析 ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.265 C.155 D.105答案 D解析如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影. ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角. 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.二、填空题7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________时，有AB 1⊥BC 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 A 1C 1⊥B 1C 1解析如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可.由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可.而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可.8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________. 答案 90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°. 9.已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____.答案 332解析由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心.又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图.∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10.如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________.答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确.三、解答题11.如图，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM .又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高. (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22， ∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212. (3)证明如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ， ∴GE ∥FD ，GE ＝FD ，∴四边形DFEG 为平行四边形，∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。

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第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面.2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3.掌握三个公理并会简单应用．(难点、易混点)平面阅读教材P40至P41“思考”以上的内容，完成下列问题．1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．【思考】立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有何区别？【提示】立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别：(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，无大小，无面积．它可以无限延展，没有边界．平面的基本性质阅读教材P41“思考”以下至P43“练习”以上的内容，完成下列问题．填表公理内容图形符号公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l【练习】(1)过三个点的平面的个数是()A．0B．1C．2 D．1或无数(2)如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点【解析】(1)当三点不共线时，根据公理2知，过三点的平面有1个．当三点共线时，过三点的平面有无数个．故选D.(2)由公理3知，两个平面只要有一个公共点，就有一条过该点的公共直线，故选D.【答案】(1)D(2)D[探究问题]1．能否说多个平面重叠在一起比一个平面厚呢？2．为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？3．两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？【探究提示】1．不能．平面是无厚薄的，无论多少个平面重叠在一起仍然是一个平面．2．撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点共有三个，且不在同一条直线上，根据公理2可知，可确定一个平面．3．不一定．当三点在同一条直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面，可知两平面重合．[探究成果]1．平面的概念与以前学习的“点”、“线”、“集合”的概念一样，只是一个描述性的不加严格定义的概念．平面是无大小、无厚薄、无所谓面积的．2．公理2可作为确定一个平面的依据，条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”，特别注意“不共线”这一条件易被忽视，公理2又可表述为：不共线的三点确定一个平面．关键词：文字语言、符号语言、图形语言用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.【思路点拨】根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．【自主解答】(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示：(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”、“∉”、“⊂”、“⊄”、“∩”的意义．2．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的区别．[变式训练]1．完成下列各题：(1)将下列文字语言转化为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内．②直线a经过平面α外一点M.③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转化为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a.②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.【解】(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②关键词：同一法证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【思路点拨】由两条相交直线确定一个平面，再证第三条直线在确定的平面内，也可利用平面重合法证明．【自主解答】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内；(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．[变式训练]2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．【证明】如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l ＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．点共线、线共点问题关键词：平面的交线公理3如图2－1－1，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．图2－1－1【思路点拨】证明AB与CD的交点在α与β的交线l上．【自主解答】因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈(α∩β)．又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点．线共点与点共线的证明思路：(1)证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这点重合，从而得三线共点；(2)证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．图2－1－2[变式训练]3．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q.AC∩α＝R，如图2－1－2所示．求证：P，Q，R三点共线．【证明】∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．1．三种语言的相互转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．2．证明点线共面的常用方法有：纳入法、同一法．3．点共线与线共点的证明思路(1)点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此在两个平面的交线上．(2)线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的表示是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α【解析】点A在直线l上，应表示为A∈l，直线l不在平面α内，应表示为l⊄α.【答案】B2．(2014·福州高一检测)下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面【解析】A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】D3．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合【解析】当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．【答案】C图2－1－34．如图2－1－3所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E 两点．(1)求作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．【解】(1)直线AB与平面α的交点P，如图所示．(2)证明：∵D∈AC，E∈BC，∴DE⊂平面ABC，又D∈α，E∈α，∴DE⊂α，∴DE为α与△ABC的交线，又P∈AB，AB⊂平面ABC且P∈α.∴P在α与△ABC的交线DE上，∴D，E，P三点共线．教学反思：平面基本性质的三个公理中符号语言掌握的不好，还需要进一步训练，特别是线在面内时，表示错误较多。

新课标人教A版高中数学必修二第二章第一节《空间点、线、面之间的位置关系》教案

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案一、课题2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系二、教学目标1、知识与技能①理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质②熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换③掌握三条公理，并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系2、过程与方法①通过三种语言的学习，培养学生分析问题的能力，作图能力以及空间想象能力②学生亲历两条公理归纳过程，学会利用已有的知识与经验归纳新的知识3、情感态度与价值观通过语言、符号、图形的转换，使学生体会到数学的乐趣，激发其学习数学的兴趣三、课型新授课四、课时第一课时五、教学重难点④重点：文字语言、图形语言、符号语言转换，运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系难点：文字语言、图形语言、符号语言转换六、教学过程1、新课引入师：图示是我们生活中常见的物体，观察图片，你能总结出它们的共同特点吗？（课桌面、黑板面、海平面）生：它们都是平面师：非常好，那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢？（设计意图：通过生活中的实际例子出发，提出问题，引发思考，导入新课）2、教授新课生：......师：几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的，但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分，不可度量。

师：下面请同学们做一道小练习：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象数学概念。

其中正确的说法是师：那么我们应该如何画平面呢？生：......师：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°.且横边长等于其邻边长的2倍，如图所示。

师：如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图所示。

师：同学们还要注意到，在表示平面时，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图所示；当然也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，即：平面α，平面ABCD，平面AC。

人教版普通高中数学必修2全册教学导案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体地结构1．2 空间几何体地三视图和直观图1．3 空间几何体地表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球地结构特征.2、画出简单组合体地三视图.3、用斜二测画法画空间几何值地直观图.4、柱体、锥体、台体地表面积和体积计算，台体体积公式地推导.5、了解推导球地体积和面积公式所运用地基本思想方法.知识结构：一、空间几何体地结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球地结构特征（1）柱棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形地公共边都互相平行，由这些面所围成地几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行地面叫做棱柱地底面，简称为底；其余各面叫做棱柱地侧面；相邻侧面地公共边叫做棱柱地侧棱；侧面与底面地公共顶点叫做棱柱地顶点.底面是三角形、四边形、五边形……地棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形地一边所在地直线为旋转轴，其余边旋转形成地曲面所围成地几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱地轴；垂直于轴地边旋转而成地曲面叫做圆柱地侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴地边都叫做圆柱侧面地母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般地有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点地三角形，由这些面所围成地几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥地底面或底；有公共顶点地各个三角形面叫做棱锥地侧面；各侧面地公共顶点叫做棱锥地顶点；相邻侧面地公共边叫做棱锥地侧棱.底面是三角锥、四边锥、五边锥……地棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形地一条直角边所在地直线为旋转轴，其余两边旋转形成地曲面所围成地几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥地轴；垂直于轴地边旋转形成地面叫做圆锥地底面；斜边旋转形成地曲面叫做圆锥地侧面.棱锥与圆锥统称为锥体.（3）台棱台：用一个平行于底面地平面去截棱锥，底面和截面之间地部分叫做棱台；原棱锥地底面和截面分别叫做棱台地下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.圆台：用一个平行于底面地平面去截圆锥，底面和截面之间地部分叫做圆台；原圆锥地底面和截面分别叫做圆台地下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴.圆台和棱台统称为台体.（4）球以半圆地直径所在地直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成地几何体叫做球体，简称为球；半圆地圆心叫做球地球心，半圆地半径叫做球地半径，半圆地直径叫做球地直径.（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成地复杂地几何体叫组合体.几种常凸多面体间地关系有两个面互相平行，而其余每相侧棱垂直于底面地棱柱底面是正多边形地直棱柱一个面是多边形，其余各面有一个公共面是正多边形，且顶点在底地射影是底用一个平行于棱锥底面地平由正棱锥截得地棱台几种特殊四棱柱地特殊性质：2．空间几何体地三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出地空间几何体地图形. 他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到地投影图；它能反映物体地高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到地投影图；它能反映物体地高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到地投影图；它能反映物体地长度和宽度；三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图地高要保持平齐长对正：主视图与俯视图地长应对正宽相等：俯视图与左视图地宽度应相等3．空间几何体地直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置地平面图形中取互相垂直地OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图地纸上（平面上）画出对应地O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =45（或1350），它们确定地平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴地线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴地线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来地一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加地辅助线（虚线）. （2）平行投影与中心投影平行投影地投影线是互相平行地，中心投影地投影线相交于一点. 注意：画水平放置地多边形地直观图地关键是确定多边形顶点地位置，因为多边形顶点地位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图地画法可以归结为确定点地位置地画法.强调斜二测画法地步骤.例题讲解：[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边地中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向地侧视图（或称左视图）为（）1[例2]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1地中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交地直线（）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条[例3]正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1地棱长为2，点M 是BC 地中点，点P 是平面A BCD 内地一个动点，且满足PM=2，P 到直线A 1D 1P 地轨迹是（）A .圆B.双曲线C.两个点D.直线解析：点P 到A 1D 1P 到A D 地距离为1，满足此条件地P 地轨迹是到直线A D 地距离为1地两条平行直线，又2PM =，∴满足此条件地P 地轨迹是以M 为圆心，半径为2地圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P 地轨迹是两个点.选项为C.点评：该题考察空间内平面轨迹地形成过程，考察了空间想象能力.[例4]两相同地正四棱锥组成如图1所示地几何体，可放棱长为1地正方体内，使正四棱锥地底面ABCD 与正方体地某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体地面上，则这样地几何体体积地可能值有（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体地中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥地高为正方体棱长地一半，影响几何体体积地只能是正四棱锥底面正方形ABCD 地面积，问题转化为边长为1地正方形地内接正方形有多少种，所以选D.点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥地体积.正方体是大家熟悉地几何体，它地一些内接或外接图形需要一定地空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化.题型2：空间几何体地定义[例5]长方体1111ABCD A B C D -地8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间地球面距离是( )A ．42πB ．22π C ．π2 D ．2π2 EF DIA H GBCEF DAB C侧视图1图2BEA ．BEB ．BEC ．BED ．解析：112BD AC R ===R ∴=设11,BD AC O =则OA OB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选Ｂ.点评：抓住本质地东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用.[例6]已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥,//.βn B 或β⊂n α⊥n C .,//.αn D 或α⊂n解析：易知D 正确.点评：对于空间几何体地定义要有深刻地认识，掌握它们并能判断它们地性质. 题型3：空间几何体中地想象能力[例7]如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是边长为1地菱形，060=∠BCD ，E 是CD 地中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA .（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（II ）求二面角A —BE —P 和地大小.解析：解法一（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且060=∠BCD 知，BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 地中点，所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以,BE PA ⊥而,AB A =PA因此 BE ⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB, 所以.PB BE ⊥又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --地平面角．P A BCE D在Rt PAB △中,tan 60.PAPBA PBA AB∠==∠=．故二面角A BE P --地大小为60.解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点地坐标分别是(000),A ，，(100),B ，，3(0),2C1(0),2D(00P(10).E （I）因为(0,0),BE =平面PAB 地一个法向量是0(010),n =，，所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）易知3(10,3),(0,0),PB BE =-=，设1n 111()x y z =，，是平面PBE 地一个法向量, 则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111111000002x y x y z ⎧+⨯-=⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩，所以111.y x==0，故可取1n 1).=，而平面ABE 地一个法向量是2(001).n =，，于是,1212121cos ,.2||||n n n n n n ⋅<>==．故二面角A BE P --地大小为60.点评：解决此类题目地关键是将平面图形恢复成空间图形，较强地考察了空间想象能力.[例8]如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --地大小．解析：解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．ACBPABDP（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内地射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --地平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --地大小为arcsin解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．ACBEPyBEC ∴∠是二面角B AP C --地平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --地大小为arccos3．点评：在画图过程中正确理解已知图形地关系是关键.通过识图、想图、画图地角度考查了空间想象能力.而对空间图形地处理能力是空间想象力深化地标志，是高考从深层上考查空间想象能力地主要方向.[例9]画正五棱柱地直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm.解析：先作底面正五边形地直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得. 作法：（1）画轴：画X ′，Y ′，Z ′轴，使∠X ′O ′Y ′=45°（或135°），∠X ′O ′Z ′=90°.（2）画底面：按X ′轴，Y ′轴画正五边形地直观图ABCDE.（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z ′轴地平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE.′（4）成图：顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，F ′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡地部分为虚线.点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体地直观图.[例10]C B A '''∆是正△ABC 地斜二测画法地水平放置图形地直观图，若C B A '''∆地面积为3，那么△ABC 地面积为_______________.解析：62.点评：该题属于斜二测画法地应用，解题地关键在于建立实物图元素与直观图元素之间地对应关系.特别底和高地对应关系.[例11]如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成地角为45，求D E '与平面PQGH 所成角地正弦值．本小题主要考查空间中地线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力. 解析：解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，A BCD EFPQH A 'B 'C 'D ' G所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥，所以PH ⊥平面PQEF ．所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是)PQ '⨯=，是定值．（III ）解：连结BC ′交EQ 于点M ．因为PH AD '∥，PQ AB ∥，所以平面ABC D ''和平面PQGH 互相平行，因此D E '与平面PQGH 所成角与D E '与平面ABC D ''所成角相等．与（Ⅰ）同理可证EQ ⊥平面PQGH ，可知EM ⊥平面ABC D ''，因此EM 与D E '地比值就是所求地正弦值．设AD '交PF 于点N ，连结EN ，由1FD b =-知)D E ND b ''==-．因为AD '⊥平面PQEF ，又已知D E '与平面PQEF 成45角，所以D E ''=，即)b ⎤+-=⎥⎦，解得12b =，可知E 为BC 中点．所以，又32D E '==，故D E '与平面PQCH所成角地正弦值为EM D E =' 解法二：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴地正半轴建立如图地空间直角坐标系D －xyz 由已知得1DF b =-，故(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．（Ⅰ）证明：在所建立地坐标系中，可得(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，， (101)PH b b =--，，，(101)(101)AD A D ''=-=--，，，，，．因为00AD PQ AD PF ''==，，所以AD '是平面PQEF 地法向量．因为00A D PQ A D PH ''==，，所以A D '是平面PQGH 地法向量．因为0AD A D ''=，所以A D AD ''⊥，所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．（Ⅱ）证明：因为(010)EF =-，，，所以EF PQ EF PQ =∥，，又P F P Q ⊥，所以PQEF为矩形，同理PQGH 为矩形．在所建立地坐标系中可求得2(1)PH b =-，2PF b =，所以2PH PF +=，又1PQ =，所以截面PQEF 和截面PQGH ，是定值．（Ⅲ）解：由已知得D E '与AD '成45角，又(111)(101)D E b AD ''=--=-，，，，，可得22D E AD DE AD ''==''，即1=，解得12b =．所以1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，，，又(101)A D'=--，，，所以D E '与平面PQGH 所成角地正弦值为 |cos |6D E A D -''<>==，．点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题地能力、操作能力和思维地灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查地方向.[例12]多面体上，位于同一条棱两端地顶点称为相邻地，如图，正方体地一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α地同侧，正方体上与顶点A 相邻地三个顶点到α地距离分别为1，2和4，P 是正方体地其余四个顶点中地一个，则P 到平面α地距离可能是： ①3； ②4；③5； ④6； ⑤7以上结论正确地为________________________（写出所有正确结论地编号）解析：如图，B 、D 、A 1到平面α地距离分别为1、2、4，则D 、A 1地中点到平面α地距离为3，所以D 1到平面α地距离为6；B 、A 1地中点到平面α地距离为52，所以B 1到平面α地距离为5；则D 、B 地中点到平面α地距离为32，所以C 到平面α地距离为3；C 、A 1地中点到平面α地距离为72，所以C 1到平面α地距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中地一点，所以选①③④⑤.点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得地综合题目. [例13]（1）画出下列几何体地三视图解析：这二个几何体地三视图如下（2）如图，设所给地方向为物体地正前方，试画出它地三视图（单位：cm ）点评：画三视图之前，应把几何体地结构弄清楚，选择一个合适地主视方向.一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图.画地时候把轮廓线要画出来，被遮住地轮廓线要画成虚线.物体上每一组成部分地三视图都应符合三条投射规律.[例14]某物体地三视图如下，试判断该几何体地形状ABCDA1B 1C 1D 1α解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同地方向看同一物体得到地三个视图.点评：主视图反映物体地主要形状特征，主要体现物体地长和高，不反映物体地宽.而俯视图和主视图共同反映物体地长要相等.左视图和俯视图共同反映物体地宽要相等.据此就不难得出该几何体地形状.二、空间几何体地表面积和体积1．多面体地面积和体积公式：侧棱长.212 上、下底面半径，R 表示半径.3．探究柱、锥、台地体积公式：1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等地棱柱（圆柱）应该具有相等地体积．柱体（棱柱、圆柱）地体积等于它地底面积S 和高h 地积，即V Sh =柱体．2、类似于柱体，底面积相等、高也相等地两个锥体，它们地体积也相等．棱锥地体积公式可把一个棱柱分成三个全等地棱锥得到，由于底面积为S ，高为h 地棱柱地体积V Sh =棱锥，所以13V Sh =锥体．3、台体（棱台、圆台）地体积可以转化为锥体地体积来计算．如果台体地上、下底面面积分别为S S '，，高为h ，可以推得它地体积是1()3V h S S '=+台体．4、柱体、锥体、台体地体积公式之间关系如下：11()()(0)33V Sh S S V h S S S V Sh '''=⇐===⇒=柱体台体锥体．4．探究球地体积与面积公式：1．球地体积：（1）比较半球地体积与其等底等高地旋转体地体积结论：（2）利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径地圆柱、圆锥与半球三者体积之间地关系（课件演示）结论：（3）得到半径是Ｒ地球地体积公式：结论：2．球地表面积：由于球地表面是曲面,不是平面,所以球地表面积无法利用展开图来求.该如何求球地表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）图1（1）若将球表面平均分割成n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n 小块平面面积之和可近似看作球地表面积.当n 趋近于无穷大时,这n 小块平面面积之和接近于甚至等于球地表面积.（2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n 个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球地体积.当n 越大,越接近于球地体积,当n 趋近于无穷大时就精确到等于球地体积. （3）半径为R 地球地表面积公式：结论：例题讲解：[例1]一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长地和是24cm ，求长方体地对角线长.解析：设长方体地长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(OiS ∆iV ∆半球圆锥圆柱V V V <<332231221R R R R R V V V πππ=⋅-⋅=-=圆锥圆柱球334R V π=球24R S π=球由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm).点评：涉及棱柱面积问题地题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体地表面积多被考察.我们平常地学习中要多建立一些重要地几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间地关系.[例2]如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π.（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上地射影O 在∠BAD 地平分线上；（2）求这个平行六面体地体积.图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD.作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON.∴点O 在∠BAD 地平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223.又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体地体积为22345⨯⨯=V 230=. [例3]一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是6,3,2，这个长方体对角线地长是（） A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点地三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 地长为PACDO E l =6222=++c b a ；答案D.点评：解题思路是将三个面地面积转化为解棱柱面积、体积地几何要素—棱长.[例4]如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 地中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2地两部分，那么V 1∶V 2= _____.解析：设三棱柱地高为h ，上下底地面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 地中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题地关键是棱柱、棱台间地转化关系，建立起求解体积地几何元素之间地对应关系.最后用统一地量建立比值得到结论即可.题型3：锥体地体积和表面积[例5]（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2地菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成地角为60 ，求四棱锥P －ABCD 地体积？解析：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成地角，∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形地面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 地体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥地体积.在能力方面主要考查空间想象能力.[例6]（2002京皖春文，19）在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.（如图所示）（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角地大小；（Ⅲ）求三棱锥地体积V S －AB C . 解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C. 又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面ABC.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC . （Ⅱ）∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角地平面角. 在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成地二面角地大小为60°. （Ⅲ）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面地位置关系.要求对图形必须具备一定地洞察力，并进行一定地逻辑推理.题型4：锥体体积、表面积综合问题[例7]ABCD 是边长为4地正方形，E 、F 分别是AB 、AD 地中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在地平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 地距离？解析：如图，取EF 地中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 地距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=. GO CO GC =+=+=+=222232218422().而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B EFG G EFB --=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要地求解思路是将点面地距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B为顶点，△EFG 为底面地三棱锥是解此题地关键，利用同一个三棱锥地体积地唯一性列方程是解这类题地方法，从而简化了运算.[例8]（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF 经过四面体地内切球（与四个面都相切地球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等地两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 地表面积分别是S 1，S 2，则必有（）A ．S 1<S 2 B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2地大小关系不能确定解析：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥地高都是原四面体地内切球地半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC＋S EFC 又面AEF 公共，故选C 点评：该题通过复合平面图形地分割过程，增加了题目处理地难度，求解棱锥地体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间地对应关系.[例9]（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对地侧面与同一底面所成地二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形地长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间地距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角地大小；（Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体地体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它地体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 地大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等地截面称为该多面体地中截面）（Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 地垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角地平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角地大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角地大小为arctan db h-2. （Ⅱ）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 地一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 地交线， ∴AB ∥面CDEF .∵EF 是面ABFE 与面CDEF 地交线， ∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内地一条直线，EF 在平面ABCD 外， ∴EF ∥面ABC D. （Ⅲ）V 估＜V .证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］ =12h（a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角地大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生地应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体地近似计算公式与可精确计算体积地辛普生公式之间计算误差地问题，是极具实际意义地问题.考查了考生继续学习地潜能.[例10]（1）（1998全国，9）如果棱台地两底面积分别是S 、S ′，中截面地面积是S 0，那么（）A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S（2）（1994全国，7）已知正六棱台地上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（） A ．323 B ．283 C ．243 D ．203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243，V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.点评：本题考查棱台地中截面问题.根据选择题地特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.题型6：圆柱地体积、表面积及其综合问题[例11]（2000全国理，9）一个圆柱地侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱地全面积与侧面积地比是（）A ．ππ221+B ．ππ441+C ．ππ21+D ．ππ241+解析：设圆柱地底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2， ∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱地侧面展开图、侧面积和全面积等知识.[例12]（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R 地圆柱形量杯中装有适量地水.若放入一个半径为r 地实心铁球，水面高度恰好升高r ，则rR=.解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 地实心铁球地体积，因此有34πr 3=πR 2r .故332=r R .答案为332.点评：本题主要考查旋转体地基础知识以及计算能力和分析、解决问题地能力.[例13]（1）（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成地旋转体地体积是（）A ．29π B ．27πC ．25πD ．23π （2）（2001全国文，3）若一个圆锥地轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥地全面积是（）A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：（1）如图所示，该旋转体地体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案 D.（2）∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3， ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ，∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.点评：通过识图、想图、画图地角度考查了空间想象能力.而对空间图形地处理能力是空间想象力深化地标志，是高考从深层上考查空间想象能力地主要方向.[例14]（2000全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线地垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等地两部分，则母线与轴地夹角地余弦值为（）A ．321 B ．21C ．21D ．421 解析：如图所示，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ，∴r ＝2R．又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ，答案为D. 点评：本题重点考查柱体、锥体地体积公式及灵活地运算能力.[例15]已知过球面上,,A B C 三点地截面和球心地距离为球半径地一半，且2AB BC CA ===，求球地表面积.解析：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则22323O A '=⨯=，在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴2221(34R R =+， ∴43R =， ∴26449S R ππ==. 点评：正确应用球地表面积公式，建立平面圆与球地半径之间地关系.[例16]如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球地表面积.解析：如图，设过A 、B 、C 三点地球地截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面地距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内地射影即是△ABC 地中心O ′.由正弦定理，得︒60sin 2a =2r,∴r=36a .又根据球地截面地性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，。

人教版高中数学必修二第二章《点线面位置关系》教案

3
详解 5：明确点和平面之间是属于和不属于线和平面之间是含于和不含于可以将点当做元素，直线和平面是点组成的，相当于一个集合
详解 6 在之前，我们已经完成了基础的学习，学生已经了解点线面三者的各种位置关
系，我们可以很自然的引出下一章：一些特殊常见的位置关系平行和垂直
详解 7 如果在平面α内有直线 b 与平面α外一条直线 a 平行，那么 a 与平面α的位置
系中的几种
特殊位置关系而
已
。
4
4、同步例题：
1-思考辨析：（1）：俩个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线（×）（2）：俩俩相交的三条直线最多可以确定三个平面（√）（3）：如果俩个平面有三个公共点，则这俩个平面重合（×）（4）：若直线 a 不平行于平面α，且 a 不含于α，则α内的所有直线于 a 异面（×）
详解详解详解
详解 1：可以通过教室的一些墙面以及黑板举例，通过现在流行曲面屏，球面等去对比
平面。再此过程中要让学生明白几何中的平面是无限延伸的，区别于生活中的有限平面。
要让学生明白平面可以看成是点的集合，平面内有无数个点紧接着就可以很顺畅的提问学生：一个确定的平面，平面内这无数个点有什么共性吗？以此引出公理 1 和 2
详解 2：平面可以看做是点构成的线构成的，让学生自主思考：几个点可以组成一个有限确定平面几条直线可以构成一个确定平面构成一个确定平面的点或者线有什么条件（三个不在同一条直线上的点）
详解 3：直线与直线的位置关系
可以通过六方体的螺母讲解三种位置关系
2
点线面位置关系讲解图如下：
详解 4：帮助学生明确平面中和空间中平行线的传递性都可用但垂直传递不行

人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章教案

）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。

思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。

高中数学必修第二章平面向量教案完整版

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1．用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2．用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3．求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4．探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。

人教A版高一数学必修二第二章 2.2.3-2.2.4【教案设计】

2．2.3　直线与平面平行的性质2．2.4　平面与平面平行的性质[学习目标]　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．2．平面与平面平行的判定定理：平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．[预习导引]线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号Error!⇒a∥b Error!⇒a ∥b图形作用线面平行⇒线线平行面面平行⇒线线平行要点一　线面平行性质定理的应用例1　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．解　已知直线a ，l ，平面α，β满足α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β.求证：a ∥l .证明：如图所示，过a 作平面γ交平面α于b ，∵a ∥α，∴a ∥b .同样过a 作平面δ交平面β于c ，∵a ∥β，∴a ∥c .则b ∥c .又∵b ⊄β，c ⊂β，∴b ∥β.又∵b ⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l .又∵a ∥b ，∴a ∥l .规律方法　线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．跟踪演练1　若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．解　已知：a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l .证明：如图所示，∵a ∥b ，b ⊂β，a ⊄β，∴a ∥β，又a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ，又a ∥b ，∴a ∥b ∥l .要点二　面面平行性质定理的应用例2　已知AB 、CD 是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN ∥平面α.证明　(1)若AB 、CD 在同一平面内，则平面ABDC 与α、β的交线为BD 、AC .∵α∥β，∴AC ∥BD .又M 、N 为AB 、CD 的中点，∴MN ∥BD .又BD ⊂平面α，MN ⊄平面α，∴MN ∥平面α.(2)若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交．∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法　1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．跟踪演练2　如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD 分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．(1)证明　∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)解　由(1)得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)，∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．要点三　平行关系的综合应用例3　如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD .证明　如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴PA ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，∴PA ∥平面BMD ，又∵PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，∴PA ∥GH .又PA ⊂平面PAD ，GH ⊄平面PAD ，∴GH ∥平面PAD .规律方法　1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行．2．在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．跟踪演练3　如图，三棱锥ABCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .证明　∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥bC．a，b相交但不垂直D．a，b异面答案　A解析　利用结论：若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行．2．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( )A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b答案　D解析　由面面平行的性质定理知D正确．3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行C．存在无数多条直线与a平行D．存在唯一一条直线与a平行答案　D解析　设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ，∴a ∥b .4．已知直线l ∥平面α，l ⊂平面β，α∩β＝m ，则直线l ，m 的位置关系是________．答案　平行解析　由直线与平面平行的性质定理知l ∥m .5．过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________．答案　12解析　两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝AC BD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．一、基础达标1．a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 与b 位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交答案　D解析　如图(1)，(2)，(3)所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．2．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内答案　B解析　如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．3．三棱锥SABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能答案　B解析　由线面平行的性质定理可知EF∥BC.4. 如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案　B解析　∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.5．下列说法正确的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行答案　B解析　平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A不正确；B正确；C不正确，因为没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．6．过正方体ABCDA1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案　平行解析　由面面平行的性质定理可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．7. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．解　l∥A1C1.证明如下：在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.二、能力提升8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点答案　D解析　∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l ∥α，则由线面平行的性质定理可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，∴a ，b ，c ，…这些交线都平行．(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确．9. 如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案　32解析　EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32.10. 如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.答案　425解析　由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝(A ′B ′AB )2＝(PA ′PA )2＝425.11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明　如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB.∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .三、探究与创新12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解　能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC.∴四边形A1MCN是平行四边形，又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1，∴过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝3.∴S△A1MN＝12×22×3＝6.故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝26.13．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．方法一　(1)证明　因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解　平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.方法二　(1)证明　由于AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)解　平行．设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.。

教案必修二第二章 2.1.3 -2.1.4

第二章：点、直线、平面之间的位置关系§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。

2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

三、教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

四、教学过程1、复习：（1）异面直线所成的角；（2）异面直线垂直的定义与记法。

（3）教材P48面的练习。

2、创设情景、导入课题问题：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）3、研探新知（1）引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：1）直线在平面内——有无数个公共点2）直线与平面相交——有且只有一个公共点3）直线与平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a ∩α=A a ∥α（2）例4（投影）师生共同完成例4，例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

（3）教材P50 练习，（4）引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

（5）教材P50 探究：让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解（6）P50练习，学生独立完成后教师检查、指导4、归纳整理、整体认识小结：一、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线与平面平行 —— 没有公共点二、两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线5、课堂练习：P51面3、4、P53面2题6、作业六、课后反思α β α β L。

高中必修二数学第二章教案

高中必修二数学第二章教案1. 熟练掌握直角三角形的定义和性质；2. 能够运用三角函数计算直角三角形中的各种角度和边长；3. 能够应用三角函数解决实际问题。

教学重点：1. 直角三角形的定义；2. 三角函数的定义及性质；3. 三角函数的应用问题。

教学内容：第二章直角三角形和三角函数一、直角三角形的定义和性质1. 直角三角形的定义2. 直角三角形的性质及性质应用二、三角函数的定义及性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义2. 三角函数的性质及性质应用三、三角函数的应用问题1. 利用三角函数求角度和边长2. 利用三角函数解决实际问题教学过程：一、直角三角形的定义和性质1. 学生通过图片、实物等形式了解直角三角形的定义；2. 带领学生探讨直角三角形的性质，如勾股定理等；3. 练习解决与直角三角形相关的题目。

二、三角函数的定义及性质1. 讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及作用；2. 带领学生学习三角函数的性质，如奇偶性、周期性等；3. 练习解决与三角函数相关的题目。

三、三角函数的应用问题1. 进一步学习如何利用三角函数求解角度和边长；2. 带领学生解决实际问题，如测量高楼高度、航行船只的方向等；3. 总结本章内容，巩固知识点。

教学反思：本节课是高中必修二数学第二章的教学内容，涉及直角三角形和三角函数的相关知识。

通过讲解、练习和实际应用问题的解决，帮助学生掌握直角三角形的性质和三角函数的定义及应用。

在教学中要注重引导学生发现问题、思考问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

同时要及时总结和反思，帮助学生加深对知识的理解和运用。

高中数学必修二第二章 2.2.1-2.2.2公开课教案课件教案课件

2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面的位置关系有平行、相交、直线在平面内．2．直线a与平面α平行的定义：直线与平面无公共点．[预习导引]图形表示图形表示⎭要点一线面平行判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．跟踪演练1如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.要点二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．跟踪演练2如图，三棱锥P ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.要点三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G 作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，∴平面BGF与平面AEC无公共点，∴BF与平面AEC无公共点．∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF ∥CE ， ∴F 为PC 的中点．因此，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行跟踪演练3 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB . 求证：MN ∥平面SBC .解连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP ，因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP .又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .1．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，则这样的平面( ) A ．不可能作出 B ．只能作出一个 C ．能作出无数个 D ．上述三种情况都存在答案 D解析设直线外两点为A 、B ，若直线AB ∥l ，则过A 、B 可作无数个平面与l 平行；若直线AB 与l 异面，则只能作一个平面与l 平行；若直线AB 与l 相交，则过A 、B 没有平面与l 平行．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案D解析A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G 1F ∥H 1E ，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，又H 1E ∩EG ＝E ， ∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________．答案 CD ∥α解析因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化． 2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、基础达标1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( ) A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γ B ．l ⊂γ，且l ∥α，l ∥β C ．α∥γ，且β∥γD ．l 与α，β所成的角相等答案 C解析⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β. 2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β， a ∥β”的是( )答案D解析A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B解析如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．答案平行或相交解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．7．如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .证明如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC . 二、能力提升8．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．9．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．答案平行解析如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O 是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究与创新12. 如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD 1，同理可得MD 1∥BF .又BF ，NF 为平面BFN 中两相交直线，ME ，MD 1为平面CEM 中两相交直线，故平面CEM ∥平面BFN .13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF ，M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE .证明因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

高一数学必修第二章教案

第二章函数概念与基本初等函数§映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地,设A、B两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B.包括集合A、B及A到B的对应法则2.函数：设A,B都是非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中每一个元素x,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数,记作()=.y f x其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()=定义域.y f x对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地,设函数y=fxx∈A的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x 表示出来,得到x=f-1y.若对于y在C中的任何一个值,通过x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=f-1y就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数叫做函数y=fxx∈A的反函数,记作x=f-1y.我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1y中的字母x,y,把它改写成y=f-1x反函数y=f-1x的定义域、值域分别是函数y=fx的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识1与是不同的,即与上有序的.或者说：映射是有方向的,2输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一,不允许一对多.3集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识1对函数符号()f x的含义是一样的,它们都表示是的函数,其f x的理解知道y=()f x与()中是自变量,()f x是函数值,连接的纽带是法则.是单值对应.2注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合；3函数的三种表示法：解析法,列表法,和图像法.3.对反函数概念的认识1函数y=()f x只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数；2反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得.3互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲例1设M＝｛a,b,c｝,N＝｛－2,0,2｝,求1从M到N的映射种数；2从M 到N 的映射满足f a>f b ≥fc,试确定这样的映射f 的种数.错解：1由于M ＝｛a,b,c ｝,N ＝｛－2,0,2｝,结合映射的概念,有2200220,2,2,2,0,2222220a a a a a a b b b b b b c c c c c c →-→-→→→→⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→→-→→-⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→-→→-→⎩⎩⎩⎩⎩⎩,共6个映射2由1得满足条件的映射仅有202a b c →⎧⎪→⎨⎪→-⎩一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清正解：1由于M ＝｛a,b,c ｝,N ＝｛－2,0,2｝,结合映射的概念,有一共有27个映射2符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩例2已知函数()f x 的定义域为0,1,求函数(1)f x +的定义域错解：由于函数()f x 的定义域为0,1,即01x ≤≤,112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是1,2错因：对函数定义域理解不透,不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.正解：由于函数()f x 的定义域为0,1,即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤,∴(1)f x +的定义域是－1,0例3已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩,求(3)f . 错解：∵5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩,∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩,∴(3)f ＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义,(3)f 的自变量是3,应代入(2)f x +中去,而不是代入x －5中,只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩,∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2例4已知()f x 的反函数是1()f x -,如果()f x 与1()f x -的图像有交点,那么交点必在直线y x =上,判断此命题是否正确错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深,比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中,点1111(,),2442（，）不在直线y x =上,由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.例5求函数2()46y f x x x ==-+,[1,5)x ∈的值域.错解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈,()f x ∴的值域是[)311，错因:对函数定义中,输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应,错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方,得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈,对称轴是2x =∴当2x =时,函数取最小值为(2)f =2,()f x ∴的值域是[)211，例6已知()34f x x =+,求函数1(1)f x -+的解析式.错解：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37,y x ∴=+即73y x -=,∴1(1)f x -+=73x - 错因：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数,是由于对函数表达式理解不透彻所致,实际上(1)f x +与1(1)f x -+并不是互为反函数,一般地应该由()f x 先求1()f x -,再去得到1(1)f x -+.正解：因为()34f x x =+的反函数为1()f x -＝43x -, 所以1(1)f x -+＝(1)4333x x +--=＝113x - 例7根据条件求下列各函数的解析式： 1已知()f x 是二次函数,若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++,求()f x .2已知1)f x +=+求()f x3若()f x 满足1()2(),f x f ax x+=求()f x 解：1本题知道函数的类型,可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+,又由(1)()1f x f x x +=++,∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x + 2本题属于复合函数解析式问题,可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - 1x ≥3由于()f x 为抽象函数,可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x+= 与 1()2()f x f ax x+= 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a ax x -. 点评：求函数解析式1若已知函数()f x 的类型,常采用待定系数法；2若已知[()]f g x 表达式,常采用换元法或采用凑合法；3若为抽象函数,常采用代换后消参法.例8已知x y x 62322=+,试求22y x +的最大值.分析：要求22y x +的最大值,由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值,联系到02≥y ,这一条件,既快又准地求出最大值.1(0),1(1)u x u u =+≥=-≥解由x y x 62322=+得又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时,22y x +有最大值,最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由x y x 62322=+得,32322x x y +-= ∴当3=x 时,22y x +取最大值,最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件,致使计算结果出现错误.因此,要注意审题,不仅能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注意主要的已知条件,又要注意次要条件,甚至有些问题的观察要从相应的图像着手,这样才能正确地解题.. 例9设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+,求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+,设x y =,得(0)()(21)f f x x x x =--+,所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =,得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.具体取什么特殊值,根据题目特征而定.四、典型习题导练1.已知函数fx,x ∈F,那么集合{x,y|y=fx,x ∈F}∩{x,y|x=1｝中所含元素的个数是.1 C 或或22.对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =gt,则总不改变fx 值域的代换是 A.t t g 21log )(=B.t t g )21()(= t=t －12 t=cost3.方程fx ,y=0的曲线如图所示,那么方程f 2－x ,y=0的曲线是4.06年高考全国II 函数fx ＝的最小值为A ．.171 C 若函数fx =34-x mx x ≠43在定义域内恒有ffx =x ,则m 等于 A B C DB.23C.－23D.－36.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅,(1)2f =,则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=. 7.已知函数fx 满足f log a x =)1(12x x a a --其中a >0,a ≠1,x >0,求fx 的表达式. 8.已知函数()f x 是函数21101x y =-+∈x R 的反函数,函数()g x 的图像与函数431x y x -=-的图像关于直线y ＝x －1成轴对称图形,记()F x ＝()f x +()g x .1求函数Fx 的解析式及定义域；2试问在函数Fx 的图像上是否存在两个不同的点A 、B,使直线AB 恰好与y 轴垂直若存在,求出A 、B 两点的坐标；若不存在,说明理由.§函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：1增函数：一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有fx 1<fx 2,那么就说fx 在这个区间上是增函数.2减函数：一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有fx 1＞fx 2,那么就说fx 在这个区间上是减函数.3单调性单调区间如y=fx 在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数fx 在这区间上具有单调性,这一区间叫做函数y=fx 的单调区间.2.函数的奇偶性：1奇函数：一般地,如果对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有f －x=－fx,那么函数fx 就叫做奇函数.2一般地,如果对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有f －x=fx,那么函数fx 就叫做偶函数.3如果函数fx 是奇函数或偶函数,那么就说fx 具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值x 0作为横坐标,相应的函数值fx 0作为纵坐标,就得到平面内的一个点x 0,fx 0,当自变量取遍函数定义域内的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点的集合点集组成的图形就是函数y=fx 的图像.二、疑难知识导析1.对函数单调性的理解,函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论,函数y=fx 在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f-x=fx 和f-x=-fx 这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f-x=fx,f-x=-fx 的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数fx 的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有fx+a=fa-x 成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求.3.用列表描点法总能作出函数的图像,但是不了解函数本身的特点,就无法了解函数图像的特点,如二次函数图像是抛物线,如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴,盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲例1判断函数1()3x y -=的单调性. 错解：1101,()33x y -<<∴=是减函数错因：概念不清,导致判断错误.这是一个复合函数,而复合函数的单调性或单调区间,仍是从基础函数的单调性或单调区间分析,但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为3x y =,从而可判断出其单调性. 正解：令t x =-,则该函数在R 上是减函数,又1101,()33t y <<∴=在R 上是减函数, ∴ 1()3x y -=是增函数例2判断函数()(1f x x =+的奇偶性.错解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===∴()(1f x x =+是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x,都有f-x=fx,f-x=-fx 的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数例3判断2()log (f x x =的奇偶性.错解：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉,或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f-x=-fxf-x=fx,也可改为研究f-x+fx=0,f-x-fx ＝0是否成立.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数例4函数y=245x x --的单调增区间是_________.错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-,图像是抛物线,开口向下,由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数,所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法,但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,从而忽视了函数的定义域,导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-,又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数,在区间[2,1]-是减函数,所以y=245x x --的增区间是[5,2]--例5已知奇函数fx 是定义在－3,3上的减函数,且满足不等式fx －3+fx 2－3<0,求x 的取值范围.错解：∵fx 是奇函数,∴fx －3<－fx 2－3= f 3－x 2,又fx 在－3,3上是减函数,∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0解得x >2或x <－3又fx 是定义在－3,3上的函数,所以2＜x ＜3错因：只考虑到奇函数与单调性,而没有正确理解函数的定义域.正解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵fx 是奇函数,∴fx －3<－fx 2－3=f 3－x 2,又fx 在－3,3上是减函数,∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 例6作出下列函数的图像1y=|x-2|x ＋1；2|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外,我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：1当x ≥2时,即x-2≥0时,当x ＜2时,即x-2＜0时,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y 这是分段函数,每段函数图像可根据二次函数图像作出见图2当x ≥1时,lgx ≥0,y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时,lgx ＜0,所以这是分段函数,每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.见图点评：作不熟悉的函数图像,可以变形成基本函数再作图,但要注意变形过程是否等价,要特别注意x,y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图像.例7若fx=21++x ax 在区间－2,＋∞上是增函数,求a 的取值范围解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 由fx =21++x ax 在区间－2,＋∞上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴->∴a ＞21 点评：有关于单调性的问题,当我们感觉陌生,不熟悉或走投无路时,回到单调性的定义上去,往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.例8已知函数fx 在－1,1上有定义,f 21=－1,当且仅当0<x <1时fx <0,且对任意x 、y ∈－1,1都有fx +fy =f xy y x ++1,试证明： 1fx 为奇函数；2fx 在－1,1上单调递减解：证明：1由fx +fy =f xy y x ++1,令x =y =0,得f 0=0,令y =－x ,得fx +f －x =f 21xx x --=f 0=0.∴fx =－f －x .∴fx 为奇函数.2先证fx 在0,1上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则fx 2－fx 1=fx 2＋f －x 1=f 21121x x x x -- ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0,∴21121x x x x -->0, 又x 2－x 1－1－x 2x 1=x 2－1x 1+1<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f 21121x x x x --<0,即fx 2<fx 1.∴fx 在0,1上为减函数,又fx 为奇函数且f 0=0.∴fx 在－1,1上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.对于1,获得f 0的值进而取x =－y 是解题关键；对于2,判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中y 轴表示离学校的距离,x 轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是2.05年高考重庆卷若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且(2)0f =,则使得x x f 的0)(<的取值范围是A.)2,(-∞B.),2(+∞C.),2()2,(+∞--∞D.－2,23.05年高考江西卷若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数,则a =.4.05年高考辽宁卷已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数,实数21x x ≠,,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ,若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-,则A.0<λB.0=λC.10<<λD.1≥λ.5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()f x ＝(1x +,求()f x .6.已知函数fx 的定义域为R,且对m 、n ∈R,恒有fm +n =fm +fn －1,且f －21=0, 当x >－21时,fx >0.1求证：fx 是单调递增函数；2试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.7.已知函数y =fx =cbx ax ++12a ,b ,c ∈R,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图像上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.§ 基本初等函数一、知识导学1. 二次函数的概念、图像和性质.1注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m n a =-+≠和二次函数的坐标式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠2解二次函数的问题如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等要充分利用好两种方法：配方、图像,很多二次函数都用数形结合的思想去解.①2()(0)f x ax bx c a =++≠,当240b ac ∆=->时图像与x 轴有两个交点.Mx 1,0Nx 2,0,|MN|=|x 1-x 2|=||a② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数x y a =(0,1)a a >≠和对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的概念和性质. 1有理指数幂的意义、幂的运算法则：①m n m n a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③()n n n ab a b =这时m,n 是有理数对数的概念及其运算性质、换底公式.1log log ;log log n a a a a M n M M n==； log log log c a c b b a =2指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.①指数函数图像永远在x 轴上方,当a ＞1时,图像越接近y 轴,底数a 越大；当0<a<1时,图像越接近y 轴,底数a 越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a 的讨论.③当a>1时,图像越接近x 轴,底数a 越大;当0<a<1时,图像越接近x 轴,底数a 越小. 3.幂函数y x α=的概念、图像和性质.结合函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=12,y x y x --==,y=12x 的图像,了解它们的变化情况. ①α＞0时,图像都过0,0、1,1点,在区间0,+∞上是增函数；注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.②α＜0时,图像都过1,1点,在区间0,+∞上是减函数；在第一象限内,图像向上无限接近y 轴,向右无限接近x 轴.③当x>1时,指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：1定义域区间在对称轴的右侧；2定义域区间在对称轴的左侧；3对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用,要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误： 1a ,2log ()log log ;log ()log log a a a a a a M N M N M N M N +=+⋅=⋅3.利用指数函数的性质解题,一定要注意底数的取值.4.函数()f x y a =的研究方法一般是先研究()f x 的性质,再由a 的情况讨论()f x y a =的性质.5.对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数x y a =(0,1)a a >≠互为反函数,会将指数式与对数式相互转化.6.幂函数y x α=的性质,要注意α的取值变化对函数性质的影响.1当奇奇=α时,幂函数是奇函数；2当奇偶=α时,幂函数是偶函数；3当偶奇=α时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲例1已知18log 9,185,b a ==求36log 45 错解：∵185,b =∴18log 5b = ∴1818183618181818log 45log 5log 9log 45log 36log 4log 9log 4b aa++===++错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 正解：∵185,b =∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++例2分析方程2()0f x ax bx c =++=0a >的两个根都大于1的充要条件. 错解：由于方程2()0f x ax bx c =++=0a >对应的二次函数为2()f x ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标都大于1即可.故需满足(1)012f b a >⎧⎪⎨->⎪⎩,所以充要条件是(1)012f b a>⎧⎪⎨->⎪⎩错因：上述解法中,只考虑到二次函数与x 轴交点坐标要大于1,却忽视了最基本的的前题条件,应让二次函数图像与x 轴有交点才行,即满足△≥0,故上述解法得到的不是充要条件,而是必要不充分条件.正解：充要条件是2(1)01240f bab ac >⎧⎪⎪->⎨⎪⎪∆=-≥⎩ 例3求函数361265x x y =-⋅-的单调区间. 错解：令6x t =,则361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅- ∴当t ≥6,即x ≥1时,y 为关于t 的增函数,当t ≤6,即x ≤1时,y 为关于t 的减函数∴函数361265x x y =-⋅-的单调递减区间是(,6]-∞,单调递增区间为[6,)+∞ 错因：本题为复合函数,该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6x t =,则6x t =为增函数,361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时,y 为关于t 的增函数, 当t ≤6,即x ≤1时,y 为关于t 的减函数∴函数361265x x y =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞,单调递增区间为[1,)+∞ 例4已知)2(log ax y a -=在0,1上是x 的减函数,则a 的取值范围是错解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =,ax u -=2复合而成,又a ＞0 ∴ax u -=2在0,1上是x 的减函数,由复合函数关系知u y a log =应为增函数,∴a ＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系,却忽视了数定义域的限制,单调区间应是定义域的某个子区间,即函数应在0,1上有意义. 正解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =,ax u -=2复合而成,又a ＞0 ∴ax u -=2在0,1上是x 的减函数,由复合函数关系知u y a log =应为增函数,∴a ＞1又由于x 在0,1上时)2(log ax y a -=有意义,ax u -=2又是减函数,∴x ＝1时,ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可, ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 例5已知函数()log (3)a f x ax =-.1当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义,求实数a 的取值范围.2是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间1,2上为减函数,并且最大值为1,如果存在,试求出a 的值；如果不存在,请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数,且含参数,要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路,是否存在性问题,分析时一般先假设存在后再证明. 解：1由假设,ax -3＞0,对一切[0,2]x ∈恒成立,0,1a a >≠ 显然,函数gx=ax -3在0,2上为减函数,从而g2＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是0,1∪1,322假设存在这样的实数a ,由题设知(1)1f =,即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =-当2x =时,()f x 没有意义,故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题,应用函数、方程、不等式之间的相互转化,存在性问题一般的处理方法是先假设存在,结合已知条件进行推理和等价转化,若推出矛盾,说明假设不成立.即不存在,反之没有矛盾,则问题解决.例6已知函数fx =1421lg 2+-⋅++a a ax x ,其中a 为常数,若当x ∈－∞,1时,fx 有意义,求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于a 的不等式组非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把a 分离出来,重新认识a 与其它变元x 的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”.解：14212+-⋅++a a a x x >0,且a 2－a +1=a －212+43>0, ∴1+2x +4x ·a >0,a >)2141(x x +-, 当x ∈－∞,1时,y =x 41与y =x 21都是减函数,∴y =)2141(x x +-在－∞,1上是增函数,)2141(x x +-max =－43,∴a >－43,故a 的取值范围是－43,+∞.点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主,主客换位,创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后,利用新建函数y =)2141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法.例7若1133(1)(32)a a --+<-,试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x -=有两个单调区间,∴根据1a +和32a -的正、负情况,有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32,②无解,③a ＜－1 ∴a 的取值范围是－∞,－1∪23,32点评：幂函数13y x-=有两个单调区间,在本题中相当重要,不少学生可能在解题中误认为132a a +>-,从而导致解题错误.例8已知a>0且a ≠1,flog a x=12-a a x －x 11求fx ；2判断fx 的奇偶性与单调性；3对于fx,当x ∈－1,1时,有f1－m+f1－m 2<0,求m 的集合M.分析：先用换元法求出fx 的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：1令t=log a xt ∈R,则 fx 在R 上都是增函数.点评：对含字母指数的单调性,要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入fx 的表达式可求出m 的取值范围,请同学们细心体会. 四、典型习题导练1.函数b x a x f -=)(的图像如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a05年高考福建试题2、已知2lgx －2y=lgx+lgy,则yx 的值为或4 或83、方程2)1(log 2=++x x a 0<a<1的解的个数为4、函数fx 与gx=21x的图像关于直线y=x 对称,则f4－x 2的单调递增区间是 A.[)+∞,0 B.(]0,∞- C.[)2,0 D.(]0,2- 5、图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像,已知n 可取±2,±12四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为 A.－2,－12,12,2B ．2,12,－12,－2C.－12,－2,2,12,12,－2,－126.求函数y=log 2x 2－5x+6的定义域、值域、单调区间.7.若x 满足03log 14)(log 24221≤+-x x ,求fx=2log 2log 22xx 最大值和最小值. 8.已知定义在R 上的函数()2,2x xaf x =+a 为常数 1如果()f x ＝()f x -,求a 的值；2当()f x 满足1时,用单调性定义讨论()f x 的单调性.§ 函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地,对于函数()y f x =x D ∈我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程fx =gx 的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地,函数()y f x =x D ∈的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程fx =gx 的根,就是求函数y ＝fx 与y =gx 的图像的交点或交点个数,或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间a,b 上图像是连续不断的曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间a,b 上至少有一个零点,即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数,可以借助()y f x =图像判断解的个数,或者把()f x 写成()()g x h x -,然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4.二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点,就是二次方程20ax bx c ++=的根,也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5.二分法：对于区间a,b 上的连续不断,且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点,就是方程()()f x g x =的实数根,也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标.要深刻理解,解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++,在闭区间m,n 上满足()()0f m f n ⋅<,那么方程20ax bx c ++=在区间m,n 上有唯一解,即存在唯一的1(,)x m n ∈,使1()0f x =,方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3.二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时,满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n af m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 1取一个区间,a b 使()()0f a f b ⋅< 2取区间的中点,02a bx +=3计算0()f x ,①若0()0f x =,则0x 就是()0f x =的解,计算终止；②若0()()0f a f x ⋅<,则解位于区间0,a x 中,令110,a a b x ==；若0()()0f x f b ⋅<则解位于区间0,x b 令101,a x b b == 4取区间是11,a b 的中点,1112a b x +=重服第二步、第三骤直到第n 步,方程的解总位于区间,n n a b 内5当,n n a b 精确到规定的精确度的近似值相等时,那么这个值就是所求的近似解. 三、经典例题导讲例1已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时,()f x ≥0恒成立,求a 的取值范围. 错解：一()0f x ≥恒成立,∴△＝24(3)a a --≤0恒成立解得a 的取值范围为62a -≤≤错解：二∵2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时,()f x ≥0恒成立∴(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩即22(2)2302230a a a a ⎧--+-≥⎪⎨++-≥⎪⎩解得a 的取值范围为773a -≤≤错因：对二次函数()f x ＝2ax bx c ++当x R ∈上()f x ≥0恒成立时,△≤0。

高一数学必修2第二章教案(完整版)

二、教学的重点与难点：
教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。
教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
三、教学过程设计：
（二）温故知新
直线与平面平行的定义是什么？
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行
.
这里所说的直线是向两方无限延伸的，平面是向四周无限延展的
3
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，的公共直线 .
符号表示为： P∈ α∩β=>α∩β =，L 且 P∈ L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据
那么它们有且只有一条过该点
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
二、教学重、难点：
1．重点 : （ 1）空间中两条直线的位置关系的判定；
点 B 在平面 α外，记作： B
想一想：点和平面的位置关系有几种 ?
4.平面的基本性质
思考：如果直线与平面有一个公共点
P，直线是否在平面内 ?如果直线与平面
有两个公共点呢 ? 要让学生充分发表自己的见解 .
观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边
缘就落在了桌面上 . 得出结论：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容，并加以解析）符号表示为
(2) 观察：如图 2.1.2-2,长方体 ABCD A1B1C1D1 中 ,
AA 1∥ BB1 , AA 1∥ DD1 ，那么 BB1 与 DD 1平行吗 ?
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
D1
符号表示为：设 a、 b、 c 是三条直线

新课标人教A版高中数学必修2教学案(完整版)

第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

高中数学必修2第二章导学案

第一课时平面学习目标1.利用生活中的实物对平面进行描述2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图3.掌握平面的基本性质及作用 3、掌握平面的基本性质及作用重点: 难点: 难点：平面的概念及表示；平面的基本性质平面基本性质的掌握与运用新知概览公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,且公理2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

l P l P P ∈=⋂⇒∈∈，且且βαβα,例题分析例1如图, 用符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系。

变式用符号表示下列语句（1）点A 在平面内, 点B 在平面外；（2）直线l 经过平面α外的一点M 。

例2已知直线和直线相交于点A 。

求证: 过直线和直线有且只有一个平面。

变式不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？例3正方体ABCD —A1B1C1D1中, 对角线A1C 与平面BDC1交于点O, AC.BD 交于点M, 求证: 点C1.O 、M 共线.变式 1 如图,空间四边形中, , 分别是和上的点, , 分别是和上的点, 且相交于点.求证: , , 三条直线相交于同一点.变式2 已知: a, b, c, d是不共点且两两相交的四条直线, 求证: a, b, c, d共面.课堂训练1.下面说法正确的是（）.①平面ABCD的面积为210cm；②100个平面重合比50个平面重合厚；③空间图形中虚线都是辅助线；④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④2.下列结论正确的是（）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面；②经过两条相交直线, 可以确定一个平面；③经过两条平行直线, 可以确定一个平面；④经过空间任意三点可以确定一个平面。