固体物理答案 第4章

4．1根据k a

π

=±

状态简并微扰结果。求出与E +，E -对应的本征态波函数ψ+，ψ-，说

明它们都代表驻波，并比较两个电子云的分布（即2

ψ），说明能隙的来源。假设*

n n V V =。

解：

简并微扰态：a

a

a b ππψψ

ψ-

=+ （1）

代入运动方程有：0*10

1()0

()0

a

a E E a V

b V a E E b ππ-⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩

（2） *11V V =，且00

a

a

E E ππ-=。

方程（2）有条件为：

0*

10

10a

a

E E V V E ππ

-

-=

2

201_0a E E V π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故1a

E E V π±=±。 利用归一化条件：2

2

1a b +=， 将E +代入（2）式得：a b =-=

； 将E -代入（2）式得：a b ==； 所以

00

00

)

)

a a

a a

ππ

ππ

ψψψ

ψψψ

+

-

-

-

=-

=+

又因为：

i x

a

a

i x

a

a

π

π

π

π

ψ

ψ

-

-

=

=

所以

sin()

cos()

x

a

x

a

π

ψ

π

ψ

+

-

=

=

即,

ψψ

+-

均表示驻波

2222

2,sin

x x

co

a a

ππ

ψψ

-+

⎛⎫⎛⎫

∝∝

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

电子云分布皆成周期性变化，二者差

2

π

位。相E

a

π

±零的能量相等，由于周期势场的微扰，触及间的排斥作用，能级分裂，在不同的触带之间发现带隙。

4．2 写出一维近自由电子近似，第几个能带()

1,2,3

n=简约波数

2

k

a

π

=的0级波出数。补：一维迈自由电子近似的零级波出数可写为：

(

)2

i mx

ikx ikx a

k

x e

π

ψ

⎡⎤

==⎥

⎦

k为简约波矢，n为能带1

m n

=-

2

k k m

a

π

=+已知

,0,1,2,

2

k m

a

π

==

第一能带，(

)

02

0,,

2

i x

a

x

m k k

a

π

π

ψ

====

第二能带(

)

3

02

23

1,,

22

i x

a

x

m k

a a a

π

πππ

ψ-

==-=-=

第三能带(

)

5

2

25

1,,

22

i x

a

x

m k

a a a

π

πππ

ψ-

==+==

4．3电子周期场的势能函数为

222

1[()],

()20(1)m b x na na b x na b V x n a b x na b ω⎧---≤≤+⎪=⎨⎪-+≤≤-⎩

其中4a b =，ω为常数。

（1） 试画出势能曲线，并求其平均值。

（2） 用近自由电子近似模型求出晶体的第一及第二带隙宽度。 解：（1）势能曲线如图：

22

35222

3411()0[()]426b b b b a b T

m b V x dx m b x na dx b ωω==⎡⎤∴=+--=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

（2）()V x 是以4b 为周期的周期函数，可定义()V x 在[2,2]b b -上，即取0n =。

222021

()()202b x b V x m b x b x b b x b ω≤<⎧

⎪∴=--≤<⎨⎪-≤<-⎩

()n iK x n n

V x V e =∑， 22n n K n a b

ππ

=

=

， 0

1()n a iK x

n V e V x dx a -∴=

⎰ 2222

22

0202222213022222222

01211()()4426214()4221()422b b b x

i b b

x

i b b

V V V x dx m b x dx m b b b m b V e m b x dx b m b V e m b x dx b ππωωωωπ

ωωπ---⋅===-==-==-=⎰⎰⎰⎰ 第一禁带宽度22

13

82m b V ωπ=

，第二禁带宽度22

22

2m b V ωπ=

。

22222233

22(cos sin )816n m a n b m a n b V n a n a

ωπωπππ=-+。

4．4用金束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带()s E k 函数。