理论力学第9章 刚体的平面运动
理论力学-刚体的平面运动
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
刚体平面运动分解为平动和转动
对于平面图形 S 对静坐标系Oxy 做平面运动的一般情况，可在平面
图形上任选一点 A，并以 A点为原点作坐标系 Axy 。平面图形 S 运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与 S 上的 A 点重合，并且
坐标轴 Ax ，Ay 的方位不变。为明确起见，令 Ax 和 Ay 轴始终分别
与Ox 和 Oy 轴平行，如图7-6所示。因此，Axy 是一平动坐标系，A
点称为基点。这样，平面图形 S 的运动就可以分解成为：
（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基 点的平动； （2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称 为绕基点的转动。
图7-6
在平面图形上选 A点为基点，线段 AC 的转角为A ，如取另一 点 B 为基点，线段 BC的转角B ，如图7-7所示。这两个转角只
理论力学
刚体平面运动分解为平动和转动
从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形 S 的运动有两种特殊情况：
（1）若 常数，即平面图形在运动过程中，线段 B 的方位保持 不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的 运动与 A 点的运动相同，而 A 点的运动由运动方程式（7-1a）和式 （7-1b）二式给出。 （2）若 xA 和 yA同为常数，说明 A 点不动，平面图形将绕过 A 点且 垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c） 给出。
选 B点为基点，则 AB 先随 B 点平动到 A2B1 ，再绕 B1 点转动 到 A1B1 ，转角为1 ，显然有 A1B2 ∥ A2B1 ，从而 1 ，并且
转向相同。
图7-8
平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分 与基点选择无关。
理论力学
在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种 刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平 动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位 置Ⅰ 到位置Ⅱ 的平面运动可以看成是：① 轮子随轮心 O平动到 假想的中间位置Ⅰ；② 再由该中间位置绕 O轴转动到位置Ⅱ 。 当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个 连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。
理论力学第七版答案--第九章
9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装置在O 轴上，如图所示。
在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。
已知：r 1＝r 2＝0.33m ，O 1A ＝0.75m ，AB ＝1.5m ；又平衡杆的角速度ωO 1＝6rad/s 。
求当γ＝60°且β＝90°时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
题9－10图【知识要点】 Ⅰ、Ⅱ两轮运动相关性。
【解题分析】 本题已知平衡杆的角速度，利用两轮边缘切向线速度相等，找出ωAB ,ωOB 之间的关系，从而得到Ⅰ轮运动的相关参数。
【解答】 A 、B 、M 三点的速度分析如图所示，点C 为AB 杆的瞬心，故有 ABA O CA v A AB ⋅⋅==21ωω ωω⋅=⋅=A O CD v AB B 123所以 s rad r r v BOB /75.321=+=ωs rad r v CM v MAB M /6,1==⋅=I ωω 9-12 图示小型精压机的传动机构，OA ＝O 1B ＝r ＝0.1m ，EB ＝BD ＝AD ＝l ＝0.4m 。
在图示瞬时，OA ⊥AD ，O 1B ⊥ED ，O 1D 在水平位置，OD 和EF 在铅直位置。
已知曲柄OA 的转速n ＝120r/min ，求此时压头F 的速度。
题9－12图【知识要点】 速度投影定理。
【解题分析】 由速度投影定理找到A 、D 两点速度的关系。
再由D 、E 、F 三者关系，求F 速度。
【解答】 速度分析如图，杆ED 与AD 均为平面运动，点P 为杆ED 的速度瞬心，故 v F = v E = v D由速度投影定理，有A D v v =⋅θcos可得 s ll r n r v v A F /30.1602cos 22m =+⋅⋅==πθ 9-16 曲柄OA 以恒定的角速度ω＝2rad/s 绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。
理论力学_刚体的平面运动
①以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转1 角到A'B'
②以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转2 角到A'B'
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
lim
t0
1 t
lim
t0
2 t
,1 2
;
d1
dt
d2
dt
,1
2
10
所以，平面图形随基点平动与基点的选择有 关，而绕基点的转动与基点的选取无关．(即在
待求点 基点 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 将上式在AB上投影：
vB AB vA AB 或 vB cos vA cos
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等．这 就是 速度投影定理．利用这以定理求平面图形上点的速度的 方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间 的距离保持不变的特性。
aB
/
O2 B;
而 O AO Bl
1
2
1 2 ;1 2.
30
(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 AB 0, vA vB
O A O B l,
1
2
1 vA / O1A,
23
例3：图示机构，曲柄OA以ω0转动。设 OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直
线上，求此瞬时点B和C的速度。
解：（1）以OA为研究对象：
南航理论力学习题答案9(1)
第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。
① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。
① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。
正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。
① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。
则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。
① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。
① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。
若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。
① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。
第九章刚体的平面运动_理论力学
刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在 且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心， 或 称速度瞬心（简称瞬心） ，此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体 的角速度 绕 瞬 心 作 定 轴 转 动 时 的 速 度 分 布 一 样 。 如 图 9-11 （ b ） 所 示 。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。 已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动， ，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知 两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出， 在刚体运动过程中， 由此推出以下结论。
的运动 （见§7-1.2） 。
结。
刚体平面运动方程式 现在来描述平面图形 在空间的位置。 （1）在图形上作直线 （2）运动方程式 ，只需确定 的位置就可以确定 的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点 的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点 见图 9-9，则 (9-4) 2. 速 度 投 影 定 理 -- 速 度 分 析 的 第 二 种 方 法 （ 亦 称 " 基 点 法 的 推 论 " ） 相对于基点 的速度 （相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点 （1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。 （3）相对于动系转动的角速度 形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析 。由于是平动动系，所以 。称为图
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
《理论力学》课件 第九章
第九章刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动，它可以看作为平移与转动的合成，也可以看作为绕不断运动的轴的转动。
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。
注意与平移区别()Oϕ'--基点，转角，Oxy--定系用一个平面图形代表作平面运动的刚体；用平面内的任意线段的位置来确定平面图形的位置；用线段上任意点0′的坐标和一个夹角来确定该线段的位置。
平面图形的运动方程对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O′，称为基点。
在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy，平面的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。
平移坐标系-'''y x O平移-----牵连运动转动-----相对运动四、重要结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。
其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关.任何平面图形的运动可分解为两个运动(1)牵连运动，即随同基点O′的平移；(2)相对运动，即绕基点O′的转动。
平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。
注意：此处动点、动系、基点在同一个刚体上。
但属于刚体上的不同点。
点M 的牵连速度v v点M的相对速度v vω'M O v v v v 'ωv v AB v v ω结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
平面图形内任意两点A 和B 的速度确定基点A ，一般应使V A 为已知条件。
O’M 上速度分布图角速度与相对速度有关AABAABBAvlABvωϕ=v v v应使V B位于平行四边形的对角线上V BA=AB·ω，此处ω是尺AB的角速度3、角速度分析例9-2图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
刚体平面运动的概念和简化
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
1.2 刚体平面运动的简化
由刚体平面运动的定义，可将平面运动 进行简化。设平面Ⅰ为某一固定平面，作平 面Ⅱ与平面Ⅰ平行，平面Ⅱ与刚体相交成一 平面图形S，如图所示。当刚体作平面运动 时，平面图形S始终在平面Ⅱ内运动。若在 刚体内任取一条与平面图形S垂直的直线A1A2， 显然该直线作平移，因此直线上各点都具有 相同的运动，这样直线A1A2与平面图形S的交 点A的运动即可代表直线上各点的运动。由 于A1A2是任取的，所以刚体内所有点的运动 都可以由平面图形S上相应点的运动来代表。 于是，平面图形S的运动就可代表整个刚体 的运动，即刚体的平面力学
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
刚体平面运动的概念和简化
1.1 刚体平面运动的概念
刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动复杂的运动，在 工程实际中会经常遇到，例如车轮沿直线轨道的滚动，曲柄连杆机 构中连杆（蓝色杆）的运动。这些刚体的运动既不是平移也不是定 轴转动，但是这些刚体的运动有一个共同的特征，那就是当刚体运 动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变，即刚体 内的任一点都在平行于某一固定平面的平面内运动。刚体的这种运 动称为平面运动。
目录
理论力学
理论力学-刚体的平面运动
刚体的平面运动
解： 基点法
例 题 4
解法一、选A点为基点， A点的速度vA=u，则B点 B
vBA vB ωAB vA =u 的速度可表示为
vB v A vBA
式中vB 方向沿OB向下，vBA 方向垂直于杆AB，由
ψ
O A
速度合成矢量图可得
u
u vB , tan
所以
u vBA , sin
ω
O φ
A B
第9章 刚体的平面运动
参考答案
9-1, 9-2, 9-3.
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， 3r 。如 AB 曲柄OA以匀角速度ω转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
刚体的平面运动
作业 9-2
A
如图所示，半径为R的
D
vO B O
车轮，沿直线轨道作无滑动 的滚动，已知轮心O以匀速 vO前进。求轮缘上A，B，C 和D各点的速度。
C
刚体的平面运动
作业 9-3
曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长R，连杆AB长l。设曲柄以匀 角速度ω沿逆钟向绕定轴 O 转动。试求当曲柄转角为φ 时滑块B的速 度和连杆AB的角速度。
ω
O
所以
B
x
vB v A
vB vBA vA
y
π 2 π 2
sin( ) sin( ) R π cos sin( ) 2
其中
sin
R sin l
可求得连杆AB 的角速度
理论力学复习总结知识点
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上*点的力，可沿其作用线移至刚体任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上*点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，假设其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5钢化原理：变形体在*一力系作用下平衡，假设将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在*轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕*点或*轴转动的强弱程度的物理量。
〔Mo〔F〕=±Fh〕4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为〔F,F’〕。
理论力学第九章修改
vPA AP vA , 方向 PA, 恰与vA反向. 所以
vP 0
瞬心法的优点是将刚体的平面运动问题转化为刚体绕瞬心 的定轴转动问题。
３．几种确定速度瞬心位置的方法
①已知图形上一点的速度vA 和图形角速度，
可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP vA
,
AP vA且, Ｐ在vA
顺转向绕A点
aB cos 30 0 0 aBAn
aB aBA n / cos 30
20 3 2 /
3
3 2
40 2 131.5cm/s2 ()
3
研究轮B：P2为其速度瞬心
B vB / BP2 20 3 /15 7.25rad/s ( ）
B aB / BP2 131.5 /15 8.77rad/s2 ( ）
动系作平动。
取B为动点, 则B点的运动可视为
牵连运动为平动和相对运动为圆 周运动的合成。
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
平面图形内任意点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。
例9-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：B端的速度以及尺AB的角速度。
例9-9 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速
度ω1绕O1转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上 只滚不滑。设A和B是轮缘 Ⅰ上的两点，点A在O1O的延长线上， 而点B在垂直于O1O的半径上。
求：点A和B的加速度。
已知：O1O l, O1O 1, r1 r,纯滚动。求：aA, aB。 解: 1 轮Ⅰ作平面运动,瞬心为 C
arctan
r l
aB ao2 aBnO 2
理论力学第九章刚体的平面运动
v CA
v MA
C
vA
vA vA
v M = v A + v MA
v M = v A − ω ⋅ AM
v 当M在VA垂线上时： MA = ω ⋅ AM 垂线上时：
必可找到一点C： v C = 0 (v A = v CA ) v AC v A ⇒ AC = =
ω
ω
15
2、平面图形内各点的速度分布
小 A 大 ? ω ⋅O = ω r2 0 Ⅱ 方 ? 向 √ √
2 2 vB = vA +vBA
vB
vA
v CA v A
vC
v BA v A
= 2ω (r +r2 ) O 1
vB与 A夹 为 o， 向 图 v 角 45 指 如
4 vC =vA +vCA vC =vA +vCA = 2 O(r +r ) ω 1 2
向 方 √
√ √
8
ω DE
[例9-3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r,AB= 3 。如 3]曲柄连杆机构如图所示， 曲柄连杆机构如图所示 r 转动。 曲柄OA以匀角速度ω转动。 0o 90 点 的 度 求 当 =60o，， o时 B 速 。 ： ϕ
vA
vA
解：1 AB作平面 运动, 基点： 运动, 基点：A
6
2、例题分析
轴的负向运动， [例9-1] 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示， 如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。 。 的角速度。 解：1、AB作平面运动, 作平面运动, 作平面运动 基点: 基点: A
vB
v BA
2 vB = vA +vBA
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第9章习题解答
9－1在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ，AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ，轮沿水平面作纯滚动。
在图示瞬时，OA 杆的角速度为ω，求整个系统的动量。
ω125ml ，方向水平向左题9－1图 题9－2图9－2 如图所示，均质圆盘半径为R ，质量为m ，不计质量的细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩： （a ）圆盘固结于杆；（b ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-； （c ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω。
（a ）ω)l R (m L O 222+=；（b ）ω2ml L O =；（c ）ω)l R (m L O 22+= 9－3水平圆盘可绕铅直轴z 转动，如图所示，其对z 轴的转动惯量为z J 。
一质量为m 的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为0v ，圆的半径为r ，圆心到盘中心的距离为l 。
开始运动时，质点在位置0M ，圆盘角速度为零。
求圆盘角速度ω与角ϕ间的关系，轴承摩擦不计。
9－4如图所示，质量为m 的滑块A ，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。
杆AB 长度为l ，质量忽略不计，A 端与滑块A 铰接，B 端装有质量1m ，在铅直平面内可绕点A 旋转。
设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。
求滑块A 的运动微分方程。
t l m m m x m m kx ωωsin 2111+=++&&9－5质量为m，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。
设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。
9－6均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。
如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力。
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§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
2. 求轮Ⅱ上B点的速度。
行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
v A O OA O ( r1 r2 )
vA
vB vBA
ωO O Ⅰ B
以A为基点，B点的速度为
v B v A v BA
vA
A D Ⅱ
C
其中
B ω A
60
vCB vC C
vB vB
的速度可表示为
D
60
vC vB vCB
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD
E 杆垂直，大小为 l vCB BD 0.75 m s－1 2
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC
的方向恰好沿杆BD，大小为
vc vB vCB 1.3 m s－1
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
ω vA vA vBA A vA vB B ⑵ 当 0 时， vA与vBA均垂 B
直OB，由速度合成矢量图可得
O
A
vB = 0
当 时， vA与vB彼此平行，方向一致， 90 ⑶
vA ω O
故有
vB v A r
从而可知杆AB处于瞬时平动状态。
A
vA
取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的 平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度 等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，AB 为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动 为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内任一点速度的基点法
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-5
图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度ω = 2 rad· s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面
滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一
水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。
D
E
30
60
vD
60
vD vDB vB 1.5 m s－1
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vB
vB
60
E
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
2. 求杆BD中点C的速度。 仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点
2
2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
曲柄连杆机构如图所 A 示，OA= r ，AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动，
ω
B
求当 速度。
， 90B的 和 60 0 时点
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
y
S
O
M
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t ) yo yo (t ) (t )
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。 四、刚体的平面运动分解为平动和转动 刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点 的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
第九章 刚体的平面运动
主要内容
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 §9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
§9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度
§9.5 运动学综合应用举例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距 离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。 二、刚体平面运动的简化 对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。
ve vA
vr vBA rAB
vB
vBA
A B
vB va ve vr vA vBA
vA
vA
定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬 时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度 的矢量和。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
二、速度投影定理
vBA 总是垂直于AB连线，即 vBA 在AB连线上的投影等于零。
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的 计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图 形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何 确定？ 二、速度瞬心 每一瞬时，任何平面图形内部或其扩大部分内总 存在一点其绝对速度为零，该点称为平面图形在该瞬 时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动实例
动画
刚体平面运动简化
动画
刚体平面运动简化实例
动画
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
三、刚体平面运动的方程 为了确定平面图形的运动，取静系OXY ，在图形 S 上任 O M ，只要确定了 O M 取一点 O （称为基点），并取任一线段 的位置，S 的位置也就确定了
vBA Ⅱ BA O r1 r2 v A
方向与vA垂直，如图所示。 因此， vB 与 vA 的夹角为45o，指向如图， 大小为
ωⅡ
vB 2v A 2O r1 r2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
3. 求轮Ⅱ上C点的速度。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
B A D O Ⅰ Ⅱ ωⅡ
vA
ωO
vA
C
vD v A vDA
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以 vD=0 ，因而有 v DA v A O r1 r2
vDA
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
v DA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA O ( r1 r2 ) （逆时针） DA r2
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
在任一瞬时，平面图形上各点的速度分布情况与该瞬时图形 以角速度 绕通过速度瞬心，且与平面图形垂直的轴转动 一样。这种情况称为瞬时转动。以速度瞬心为基点来求作平 面运动的刚体上各点的速度的方法称为速度瞬心法。 注意：速度瞬心的加速度不为于零。 四、确定速度瞬心位置的方法 1、已知图形上一点A的速度 vA 和图形角速度，则从 vA开始， 沿的方向转过90º，作直线PA ， /点 PA, vA PA v 使 则 AP 即为该瞬时的速度瞬心。
此时杆AB 的角速度为零。A，B两点的速度
大小与方向都相同。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行
星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为 r2 。系杆 OA 角速 度ωO。试求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及上B，C两点的速度。
B A ωO O Ⅰ D Ⅱ ωⅡ C
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
解： 基点法
1. 求轮Ⅱ的角速度ωⅡ 。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度 v A O OA O ( r1 r2 ) 以A为基点，则轮Ⅱ上与轮Ⅰ接触的点 D的速度可表示为
B ω A
60
C D
60
E
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
解： vDB B ω A
60
基点法
1. 求杆DE的角速度。
60
C
vB
vD
60
杆BD作平面运动， vB大小为
D
vB
60
vB l 1.5 m s－1
解：
vA ω
基点法
A vA vB B vBA ⑴
当
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
的速度为
vB = vA+ vBA
其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向，
vBA与AB垂直。
60 时， AB 3r
2 3 r 3
此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得
vB v A
cos 30
vCA
B
vC
v A O OA O ( r1 r2 )
C
vA
ωO O Ⅰ D
vA
A Ⅱ
以A为基点，C点的速度
vC v A vCA
vCA Ⅱ CA O r 1 r 2 vA
方向vA与一致，由此
ωⅡ
vC v A vCA 2O r 1 r 2
vA
P A
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
2、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚 动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。
A
vA
B
E
30
B vB
vE 60
C
O
摇杆 CD绕C点作定轴转动 vB v CD 3vB 0.693 m s－1 A vA D CB 轮E沿水平面滚动，轮心E的速度