理论力学第9章 刚体的平面运动

刚体平面运动实例
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刚体平面运动实例
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刚体平面运动实例
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刚体平面运动简化
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刚体平面运动简化实例
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§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
三、刚体平面运动的方程 为了确定平面图形的运动，取静系OXY ，在图形 S 上任 O M ，只要确定了 O M 取一点 O （称为基点），并取任一线段 的位置，S 的位置也就确定了
B A D O Ⅰ Ⅱ ωⅡ
vA
ωO
vA
C
vD v A vDA
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以 vD=0 ，因而有 v DA v A O r1 r2
vDA
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
v DA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA O ( r1 r2 ) （逆时针） DA r2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
ω vA vA vBA A vA vB B ⑵ 当 0 时， vA与vBA均垂 B
直OB，由速度合成矢量图可得
O
A
vB = 0
当 时， vA与vB彼此平行，方向一致， 90 ⑶
vA ω O
故有
vB v A r
从而可知杆AB处于瞬时平动状态。

vD
60
vD vDB vB 1.5 m s－1
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vB
vB
60
E
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
2. 求杆BD中点C的速度。 仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的 计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图 形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何 确定？ 二、速度瞬心 每一瞬时，任何平面图形内部或其扩大部分内总 存在一点其绝对速度为零，该点称为平面图形在该瞬 时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
此时杆AB 的角速度为零。A，B两点的速度
大小与方向都相同。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行
星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为 r2 。系杆 OA 角速 度ωO。试求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及上B，C两点的速度。
B A ωO O Ⅰ D Ⅱ ωⅡ C
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-1
解： y vB vA B ω O
得 基点法 规尺AB作平面运动 。以A点为基点，应用速度
vBA
合成定理，B点的速度可表示为
v B v A v BA
其中， vA的大小已知。由速度合成矢量图可
φ vA
vB v A cot
故规尺AB的角速度
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-5
图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度ω = 2 rad· s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面
滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一
水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。
D来自百度文库
E
30
60

A
vA
取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的 平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度 等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，AB 为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动 为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内任一点速度的基点法
E
30
B vB
vE 60
C
O
摇杆 CD绕C点作定轴转动 vB v CD 3vB 0.693 m s－1 A vA D CB 轮E沿水平面滚动，轮心E的速度
ω
水平，由速度投影定理，D，E 两 点的速度关系为
vE cos 30 vD
－1 求得 vE 0.8 m s
B ω A
60
C D
60
E
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
解： vDB B ω A
60
基点法
1. 求杆DE的角速度。
60

C
vB
vD
60
杆BD作平面运动， vB大小为
D
vB
60
vB l 1.5 m s－1
vCA
B
vC
v A O OA O ( r1 r2 )
C
vA
ωO O Ⅰ D
vA
A Ⅱ
以A为基点，C点的速度
vC v A vCA
vCA Ⅱ CA O r 1 r 2 vA
方向vA与一致，由此
ωⅡ
vC v A vCA 2O r 1 r 2
解：
vA ω

基点法
A vA vB B vBA ⑴
当
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
的速度为
vB = vA+ vBA
其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向，
vBA与AB垂直。
60 时， AB 3r
2 3 r 3
此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得
vB v A
cos 30
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
解： 基点法
1. 求轮Ⅱ的角速度ωⅡ 。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度 v A O OA O ( r1 r2 ) 以A为基点，则轮Ⅱ上与轮Ⅰ接触的点 D的速度可表示为
vBA Ⅱ BA O r1 r2 v A
方向与vA垂直，如图所示。 因此， vB 与 vA 的夹角为45o，指向如图， 大小为
ωⅡ
vB 2v A 2O r1 r2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
3. 求轮Ⅱ上C点的速度。 行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
对于平面图形来说，其速度瞬心总是存在且唯一的。
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
三、速度瞬心法 设某瞬时平面图形的速度瞬心为P，转动角速度为 则取瞬心P为基点，该瞬时平面图形上任意一点A的速度为
vA vP rPA rPA
在任一瞬时，平面图形上各点的 速度方向垂直于该点与该瞬时的 速度瞬心P的连线，其指向由 的转向决定，其大小与该点到速 度瞬心P的距离成正比，等于该 点到速度瞬心的距离与图形转动 的角速度的乘积。
刚体平面运动分解
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平面运动
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平面运动
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平面运动分解
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平面运动
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平面运动分解
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平面运动分解
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§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法（合成法）
已知：某瞬时平面运动平面图形S内 一点A的速度 vA ，图形角速度 求：图形上任一点B的速度 vB
y
S
O
M

o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t ) yo yo (t ) (t )
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。 四、刚体的平面运动分解为平动和转动 刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点 的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
第九章 刚体的平面运动
主要内容
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 §9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
§9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度
§9.5 运动学综合应用举例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距 离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。 二、刚体平面运动的简化 对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。
ve vA
vr vBA rAB

vB
vBA
A B
vB va ve vr vA vBA
vA
vA
定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬 时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度 的矢量和。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
二、速度投影定理
vBA 总是垂直于AB连线，即 vBA 在AB连线上的投影等于零。
2
2
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
曲柄连杆机构如图所 A 示，OA= r ，AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动，

ω
B
求当 速度。
， 90B的 和 60 0 时点
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-3
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
在任一瞬时，平面图形上各点的速度分布情况与该瞬时图形 以角速度 绕通过速度瞬心，且与平面图形垂直的轴转动 一样。这种情况称为瞬时转动。以速度瞬心为基点来求作平 面运动的刚体上各点的速度的方法称为速度瞬心法。 注意：速度瞬心的加速度不为于零。 四、确定速度瞬心位置的方法 1、已知图形上一点A的速度 vA 和图形角速度，则从 vA开始， 沿的方向转过90º，作直线PA ， /点 PA, vA PA v 使 则 AP 即为该瞬时的速度瞬心。
B C O
A
ω
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-5
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-5
解： 速度投影法
由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上 投影相等，即
vB cos 30 v A
vD v B
D
vA OA －1 0 . 231 m s cos 30 cos 30
方向与AB垂直。 以B点为基点，应用速度合成定理，D点的 速度可表示为
E
vD vB vDB
其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速度 vD与
DE 垂直。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
由速度合成矢量图可得
ωBD
B ω A
60
vDB
C D
60
B ω A
60
vCB vC C
vB vB
的速度可表示为
D
60
vC vB vCB
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD
E 杆垂直，大小为 l vCB BD 0.75 m s－1 2
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC
的方向恰好沿杆BD，大小为
vc vB vCB 1.3 m s－1
v BA
A
x
vA sin

v BA v vA BA （顺时针） AB l l sin
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-2
如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300 mm。在图示位置时， BD∥AE。杆AB的角速度为ω=5 rad· s－1。试求此瞬时杆DE的角速度 和杆BD中点C 的速度。

vA
P A
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
2、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚 动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。


A
vA
B
所以
vB
AB
vA
AB
速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-1
椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图 所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。 y
B ω O φ A x
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-1
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法 例 题 9-4
2. 求轮Ⅱ上B点的速度。
行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得
v A O OA O ( r1 r2 )
vA
vB vBA
ωO O Ⅰ B
以A为基点，B点的速度为
v B v A v BA
vA
A D Ⅱ
C
其中