第4章：连续体的振动

u(l , t ) (l )q(t ) 0
i 1

(0) 0
(l ) 0
STDU
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将 (0) 0 (l ) 0 代入
可得 因为
C2 0 C1 0
( x ) C1 sin
C1 sin
x
a
和
l
a
本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及 梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律， 然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质 量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章 材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同 性的，且在弹性范围内服从胡克定律
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f ( x, t ) m( x, t )
密度为
弹性模量为 E
截面二次矩 I ( x )
单位长度梁上的横向外力 单位长度梁上的外力矩
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取一微段,其受力图如右图 利用达朗伯原理列出微元体沿 y 方向的动力学平衡方程
FS 2 y Sdx 2 FS ( FS dx ) f ( x, t )dx t x FS 2 y f ( x, t ) S 2 即 x t
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考虑微段的平衡
F Sdxu ( F dx ) F x u F ES ES 而 x
将上式代入动力平衡方程整理得
u a u 一维波动方程
2
a E/
波速
2.弦的横向振动
讨论两端固定，以张力F 拉紧的细弦的横向振动
u( x, t ) aii ( x )sin(i t i )
其中积分常数 a i 和 i (i 1, 2, ) 由系统的初始条件确定 以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 1.两端固定 因 q(t ) 0 边界条件为
u(0, t ) (0)q(t ) 0
q(t ) a sin( t ) x x ( x ) C1 sin C 2 cos
a
a

a
振动形态(模态)
由杆的边界条件确定
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连 续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对 比值，模态函数内可以包含一个任意常数
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C1 0 C2 0
( x ) C1 sin
C 2 sin
x
a
和
l
a
C 2 cos
x
a
0 sin
故须有 i a 无穷多个固有频率 i l i x 模态函数 i ( x ) C i cos l 亦可令这个常数为1,有 i x i ( x ) cos l 3.一端固定另一端自由 因 边界条件为
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设弦单位长度的质量为 l p( x , t ) 单位长度弦上横向 的干扰力 以变形前弦的方向为 x 轴 设横向挠度 y( x , t ) l ydx 振动过程中弦的张力不变 2 y 对图示微元体，列出 l dx t 2 F x dx pdx
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由材料力学知
M ( x, t ) EI ( x ) y( x, t )
代入 M m f ( x, t ) Sy
整理得 动力学方程
EIy Sy
f ( x , t ) m
若为等截面梁,则可化为 EIy Sy f ( x, t ) m
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例:
设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量 m0
如图所示,试求杆纵向振 动的固有频率和模态 解: 边界条件写作 u(0, t ) 0
O
ES l
(0) 0 ES (l ) m0 2 (l )
x
m0
x
ESu xl m0u xl
2 y a y p / l 将 y / x 代入整理得
自由振动时 p 0
上式化为
y a 2 y
a F / l
一维波动方程
波速
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3.轴的扭转振动 设截面的二次极矩为 I P 材料的密度为 剪切模量 G 建立图示的坐标系 ( x , t ) 扭转角 该截面处的扭矩为 T GI P ( / x) 对右图示的微元体，列出
§ 4.1 一维波动方程
基本假设: 1.所有连续体均为线性弹性体 2.材料均匀连续且各向同性 3.体系的振动变形都是微小变形 一.动力学方程 1.杆的纵向振动
考虑图示均质直杆 设 弹性模量为 E 横截面积为 S 材料密度为 杆件长度为 l 假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振 动引起的横向变形
u(0, t ) (0)q(t ) 0
ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
l
a
0 频率方程
( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2,
ESq(t ) 0
) ) )
(0) 0
( l ) 0
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等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数
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q(t ) 2 ( x ) a 2 思考:为什么这个常数为非正数? 记 q( t ) ( x)
上式可化为如下两个常微分方程 q(t ) 2q(t ) 0 2 ( x ) ( x ) 0 通解: 常数 C1 C2
2 2 I P dx 2 GI P 2 dx pdx t x 2 2 自由振动时 I P dx t 2 GI P x 2 dx
化为一维波动方程
a 2
a G/
一维波动方程 波速
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FS 4.杆的剪切振动 FS dx x 当杆的长度接近截面尺寸时，杆的 FS 横向振动主要引起剪切变形 x 假设振动过程中杆的横截面始终保 x dx 持平行，称作杆的剪切振动 建立图示的坐标系FS (GS / )(y / x) 杆的剪切振动 对右图示的微元体，列出 剪切模量 G
y
2 y GS 2 y Sdx 2 dx 2 t x
整理得
截面形状系数 材料的密度为
y a 2 y
一维波动方程
a G /( ) 波速
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二.固有频率和模态函数
以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型， 即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学 模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。
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将 (0) 0 ( l ) 0 代入 可得
C2 0
( x ) C1 sin
C1 cos
x
a
l
a
和
l
a
C 2 cos
x
a
0 cos 0 频率方程
故须有 2i 1 a 无穷多个固有频率 i 2 2l
i x
( i 1, 2, )
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§ 4.2 Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动 一.动力学方程
考虑细直梁的弯曲振动
忽略梁的剪切变形和 截面绕中性轴转动对 弯曲的影响 Euler-Bernoulli梁 设梁的长度为 l 截面积为 S ( x )
因为
பைடு நூலகம்
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
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由频率方程确定的固有频率有无穷多个 i (i 1, 2, ) 一一对应
i
i ( x )
第i阶主振动 u ( x, t ) aii ( x)sin(i t i ) (i 1, 2, ) 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加
(i )
若梁上无分布力矩,则化为
EIy Sy f ( x , t )
此方程含有对坐标的四阶导数和对时间的二阶导数, 故求解时必须考虑四个边界条件和两个初始条件
二.固有频率和模态函数
考虑梁的自由振动,此时梁上无荷载,动力学方程为
EIy Sy 0
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l
ESu(0, t ) ES (0)q(t ) 0 ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
(0) 0 ( l ) 0
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将 (0) 0 ( l ) 0 代入
可得 因为
2 u a u 现来求解一维波动方程 利用分离变量法，令 u( x , t ) ( x ) q( t )
这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动
( x ) 杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅
q(t ) 各截面振动随时间的变化规律 q(t ) 2 ( x ) a 代入波动方程得 q( t ) ( x)
再列出微元体力矩方向的平衡方程
M dx 2 y dx (M dx ) M FS dx f ( x , t )dx Sdx 2 m( x , t )dx 0 x 2 t 2 M 略去高阶微量得到 FS x m( x , t )
将该式代入前面的式子得到 M m f ( x, t ) Sy
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a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
a

1
利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率 i

m0 / m 其中 m Sl
ES l l cos m0 sin a a a
梁的总质量
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Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
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第四章 连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布 质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学 方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确 解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简 化为离散系统求解。
C 2 cos
x
a
0 sin
0 频率方程 故须有 a i a ( i 0,1, 2, ) 无穷多个固有频率 i l i x ( i 0,1, 2, ) 模态函数 i ( x ) C i sin l 由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于1 i x i ( x ) sin ( i 0,1, 2, ) l 2.两端自由 因 ESq(t ) 0 边界条件为