待定系数法的应用
待定系数法在高中数学中的应用
待定系数法在高中数学中的应用
待定系数法是一种常见的解方程组方法，在高中数学中经常会用到。
待定系数法的基本思想是，假设方程组中未知量的系数为某个常数，然后通过代入等式的方式求解出该常数，从而得到未知量的解。
具体应用方面，待定系数法可用于解决各种类型的方程组问题，包括线性方程组、二次方程组、三次方程组等等。
同时，待定系数法还可用于求解各种函数的特殊形式，如分式函数、三角函数等。
在高中数学中，待定系数法通常是在学习解二次方程组的时候进行介绍和应用。
例如，对于一个二次方程组：
ax + by = m
cx + dy = n
可以假设其中某个系数为1，另一个系数为0，然后通过代入等式的方式求解出未知量的解。
若假设a=1,b=0，则有：
x = m
cx + dy = n
代入第二个等式中，可得：
c(m) + dy = n
解出y，即可得到未知量的解。
同理，若假设b=1,a=0，则可以通过同样的方法求解出x的值。
总之，待定系数法是高中数学中一个重要的解方程组方法，掌握其基本思想和应用技巧，可以有效提高解题能力和应试水平。
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初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常考的一种解题方法，它的思想是通过设定合适的未知数来构建方程，然后解方程求解问题。
待定系数法的应用广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。
下面我将详细介绍待定系数法在初中数学中的常见应用。
一、代数问题1.求一元一次方程的解待定系数法可以用来解决一元一次方程的解的问题。
例如，求方程7x-21=10的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为7a-21=10。
然后解方程，得到a=5、所以方程的解是x=52.求一元二次方程的解待定系数法可以用来求解一元二次方程的解。
例如，求方程x^2+5x+6=0的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为a^2+5a+6=0。
然后解方程，得到a=-3或a=-2、所以方程的解是x=-3或x=-23.求一元二次方程的系数待定系数法还可以用来求解一元二次方程的系数。
例如，已知方程的根为2和3，且方程的首项系数为1，我们要求方程的系数。
设方程为ax^2+bx+c=0，代入已知根得到两个方程：a(2)^2+b(2)+c=0和a(3)^2+b(3)+c=0。
解这两个方程，得到a=1，b=-5，c=6、所以方程为x^2-5x+6=0。
二、几何问题待定系数法可以用来解决几何问题的角度问题、边长问题等等。
例如：1.角度问题已知一条边和一个角的大小，求另一条边的长度。
设另一条边的长度为x，那么根据三角函数的定义，可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
2.边长问题已知两条边和一个角的大小，求第三条边的长度。
设第三条边的长度为x，根据三角不等式可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
三、概率问题待定系数法可以用来解决概率问题中的计数问题、排列问题等。
例如：1.计数问题已知有n个人，其中有m个男生和n-m个女生。
从中选出x个人，其中至少有y个男生，求选人的方法数。
设选出的x个人中有y个男生的方法数为C，那么根据组合的性质可以得到一个方程。
待定系数法的应用
数学知识点总结——待定系数法的运用待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法，它的重要性不仅体现在某一类型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏”，让原本复杂繁琐的难题巧妙进行巧妙地简化。
理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。
下面我们就一起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
1. 设K 法六年级：设K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一个和K 有关的式子表示出来。
变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用，以一替多。
那什么时候该用设K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去用设k 法的——条件含比例条件有连等式第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：例1： 自然数A B 、满足111182A B -=，且:7:13A B =，求A B +分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设k ，即能把两个未知数都用一个关于k 的式子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所谓的利用设K 法“降维”。
解： 设7,13A k B k == 则有11111713182A B k k -=-=，进行通分 13761919191182k k k -== 求得12k =，故20240A B k +==如果说比例式用设k 法还算比较明显的话，那么连等式的技巧就没那么容易想到。
而越难想到的点就越能成为杀手锏：K ⎫⎬⎭设法例2： 已知,247x y z ==求： （1）::x y z（2）求x y x z ++的值 （3）若2358x y z ++=，求,,x y z 的值分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设k 法快速求解。
解： 令247x y z k ===，则有2,4,7x k y k z k === （1）::2:4:7x y z k k k =即::2:4:7x y z =（2）24622793x y k k k x z k k k ++===++ （3）2344212958x y z k k k k ++=++==即2k =因而4,8,14x y z ===有没有发现设k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数板块，也会出现类似的“难题”！七年级：例3： 设333200620072008,a b c ==且0abc >= 求111a b c++分析：该题乍看之下并没有什么思路，而一旦陷入繁琐的计算，那么心情也会跟着一同浮躁。
待定系数法在化学计算中的应用
待定系数法在化学计算中的应用待定系数法是一种在化学计算中常用的方法，用于平衡化学反应方程式。
它的使用方法是通过试探法和代数运算来确定化学反应方程中未知系数的值，使得反应方程能够满足质量守恒和电荷守恒的原则。
待定系数法在化学计算中的应用非常广泛，涉及到物质的量的转化、物质的质量变化以及化学反应的特性等方面。
1.平衡化学反应方程式：化学反应方程式描述了化学反应的过程，通过平衡反应方程式可以确定各个物质的物质量变化和物质的量转化。
待定系数法可以帮助我们找到适当的系数，使得反应方程式左右两边的元素质量数相等，满足质量守恒定律。
例如，对于反应方程式：H2+O2->H2O我们可以设定未知系数x和y，即：xH2+yO2->H2O然后利用氢和氧的个数相等和氢元素和氧元素的质量守恒两个条件，列方程解方程求解出x和y的值。
2.计算反应物和生成物的摩尔比：通过待定系数法可以计算反应物与生成物之间的摩尔比。
在反应方程式中，各个物质的系数表示了它们之间的摩尔比关系。
待定系数法可以帮助我们确定各个物质的系数，从而计算出它们之间的摩尔比。
3.计算反应物和生成物的质量变化：待定系数法可以通过计算反应物和生成物的质量变化来研究化学反应的特性。
通过待定系数法可以计算出各个物质的摩尔量变化，再通过摩尔质量可以将摩尔量转化为质量变化。
4.确定反应物和生成物的量比：待定系数法也可以通过计算反应物和生成物的量比来研究化学反应的特性。
量比表示了反应物和生成物之间的摩尔比关系。
通过待定系数法可以确定各个物质的系数，从而计算出它们之间的量比。
总之，待定系数法是一种在化学计算中常用的方法，可以帮助我们平衡化学反应方程、计算物质的量的转化、物质的质量变化以及化学反应的特性等。
它的应用涉及到化学反应方程的平衡计算、摩尔比计算和量比计算等方面，对于研究和理解化学反应过程非常有帮助。
化学待定系数法解方程
化学待定系数法解方程待定系数法是解方程的一种方法，主要用于解决一元一次方程和一元二次方程的问题。
通过待定系数法，我们可以将方程转化为显式方程，进而求解方程中的未知数。
一、待定系数法的概念和用途待定系数法是指在解方程时，先假设方程中的未知数具有某种形式，然后通过方程的性质和条件来确定这些系数的值。
待定系数法主要用于解决以下两种类型的方程：1.一元一次方程：形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
2.一元二次方程：形式为ax + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x 为未知数。
二、解一元一次方程的步骤1.假设未知数x的解为k，即x = k。
2.将x = k代入原方程，得到关于k的方程。
3.解关于k的方程，得到k的值。
4.将k的值代入x = k，得到原方程的解。
三、解一元二次方程的步骤1.假设未知数x的解为k，即x = k。
2.将x = k代入原方程，得到关于k的一元二次方程。
3.使用求根公式或配方法求解关于k的方程，得到k的值。
4.将k的值代入x = k，得到原方程的解。
四、待定系数法在实际问题中的应用待定系数法在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理、化学、数学等领域的方程求解。
以下是一个实际问题中的应用的例子：例子：解方程3x - 2 = 7假设x = 3k + 1，将x = 3k + 1代入方程，得到3(3k + 1) - 2 = 7。
解得k = 1，将k = 1代入x = 3k + 1，得到x = 4。
所以方程的解为x = 4。
五、练习题及解答1.解方程5x - 3 = 11假设x = 2k + 1，代入方程得5(2k + 1) - 3 = 11。
解得k = 1，代入x = 2k + 1得x = 3。
所以方程的解为x = 3。
2.解方程x - 3x + 2 = 0假设x = 1 + k，代入方程得(1 + k) - 3(1 + k) + 2 = 0。
解得k = 0或k = 1。
待定系数法应用探讨
待定系数法应用探讨待定系数法是一种求解含参函数形式的方法，它的基本思想是假设未知系数的一般形式，通过代数计算，比较系数的名义得出未知系数的值。
待定系数法在微积分、线性代数、物理等学科领域中得到广泛应用。
本文将从数学实例的角度出发，介绍待定系数法在各个领域中具体的应用方法和实际意义。
一、在微积分领域中的应用待定系数法是求解常系数非齐次线性微分方程的有效方法，可以通过这种方法将微分方程转化为代数方程组，从而求解出未知常数。
常见的常系数非齐次线性微分方程形式为：$y''+ay'+by=f(x)$其中 $a$、$b$ 为常数，$f(x)$ 为已知函数。
假设 $y$ 的一般形式为$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y_p(x)$，其中 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 为齐次方程的两个解，$y_p(x)$ 为非齐次方程的一个特解。
代入原微分方程中，比较系数，解得未知常数$C_1$、$C_2$ 和 $y_p(x)$ 的解析式，从而得到原微分方程的完整解析式，这样就实现了微分方程的求解。
例如，对于非齐次线性微分方程 $y''-3y'+2y=e^{2x}$，解齐次方程得到 $y_c = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$，假设非齐次方程的一个特解为 $y_p = Ae^{2x}$。
将这些函数代入原微分方程，比较系数得：$A = \frac{1}{2}$代入特解中可得：因此，原微分方程的完整解析式为：$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x}$待定系数法也是求解线性方程组的一种有效方法，可以通过这种方法求出未知系数的值。
对于一个 $n$ 元方程组：$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\\qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$通过假设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的一般形式$x_1=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_my_m(x)$，其中$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_m(x)$ 是$a_{11}y_1(x)+a_{12}y_2(x)+\cdots+a_{1n}y_m(x)=0$ 的 $m$ 个线性无关解，从而得到 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的解析式，进而得到方程组的解析式。
待定系数法在解题中的应用
待定系数法是一种应用广泛的数学解题方法，它可以帮助我们解决复杂的方程组和不
确定的数学问题。
待定系数法的基本思想是，用未知系数代替已知系数，将复杂的方程组
化为一元一次方程，从而解决问题。
待定系数法在解题中的应用十分广泛，它可以用来解决许多复杂的方程组，例如线性
方程组，椭圆方程，二次方程，立方方程等等。
因此，待定系数法是解决复杂数学问题的
有效工具。
例如，在利用待定系数法解决一元一次方程组时，首先将一元一次方程组中的未知系
数用x、y、z等符号代替，然后根据方程组的结构，将其写成一元一次方程的形式，最后
再求解一元一次方程，从而求出答案。
此外，待定系数法在解决某些问题时也可以发挥重要作用，例如当我们需要求解一个
复杂的多项式方程时，可以先将此方程分解为多个一元一次方程，然后再利用待定系数法
求解。
总而言之，待定系数法是一种有效的解题方法，它可以用来解决各类复杂的数学问题，对于复杂的方程组和多项式方程的求解都有很大的帮助。
谈谈待定系数法的应用
知识导航待定系数法是一种求未知数的常用方法，在解答高中数学问题中应用广泛.在解题时，通过引入两个或者多个待定系数，建立方程或者方程组，求出待定的系数，便可快速求得问题的答案.下面，我们主要探讨一下如何运用待定系数法求函数的解析式、数列的通项公式、曲线的方程.一、运用待定系数法求函数的解析式待定系数法是求函数解析式的常用方法.在运用待定系数法求函数的解析式时，首先要明确问题中所求函数的类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，然后引入待定系数，设出函数的解析式，将函数解析式代入题设中进行求解，建立方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出系数，进而得到函数的解析式.例1.已知f(x)是二次函数，满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.求f(x)的解析式.分析：由题意可知该函数为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c，然后根据已知条件建立关于a、b、c的方程组，通过解方程组得到a、b、c的值，进而求出f(x)的解析式.解:设f(x)=ax2+bx+c，由f(x+1)-f(x)=2x可得a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2+bx+c=2x，化简得2ax+a+b=2x，而f(0)=1，则c=1，则2a=2ax，a+b=0，解得a=1，b=-1，所以f(x)=x2-x+1.二、运用待定系数求数列的通项公式有些非常规数列的递推式较为复杂，我们需用待定系数法，巧妙地将非常规的数列转化为等差数列或等比数列，从而快速求出数列的通项公式.在解题时，需根据已知递推式的特点引入待定系数，如将an+1=ka n+b（k,b为常数，且k、b≠0）型递推式设为an+1+A=k(a n+A)的形式，将a n+2=ka n+1+ba n（k,b为常数，且k,b≠0）型递推式设为a n+2+Aa n+1=B(a n+1+Aan)的形式等，再根据两个多项式的同类项系数相等的原理求出待定系数，从而构造出等差、等比数列，最后运用等差、等比数列的通项公式便可求得原数列的通项公式.例2.若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=3a n+2×2n，求数列{a n}的通项公式.分析：我们可引入待定系数λ，将递推公式转化为an+1+λc n+1=k(a n+λc n)的形式，即设a n+1+λ2n+1=3(a n+λ2n)，求出λ值，即可构造出等比数列{}an+λ2n，便能求得原数列的通项公式.解：设a n+1+λ2n+1=3()an+λ2n，即an+1=3a n+3λ2n-λ2n+1=3a n+λ2n，则λ=2，所以{}an+2n+1是首项为a1+22=5，公比为3的等比数列.则an+2n+1=5×3n-1，即a n=5×3n-1-2n+1，当n=1时,a1=5×30-22=1，满足上述通项公式，所以an=5×3n-1-2n+1.三、运用待定系数法求曲线的方程求曲线的方程主要是指求圆、直线、抛物线、椭圆、双曲线的方程.在求曲线的方程时，可以灵活运用待定系数法来求解.首先根据曲线的类型设出相应曲线的方程，然后根据题意列出关系式，求出待定系数，便可求得曲线的方程.例3.已知经过p(-2，1)点的圆与直线x-y=1相切，并且圆心在直线y=-2x上，求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由圆经过p(-2，1)点可得（-2-a）2+（1-b）2=r2，①而直线x-y=1与圆相切，所以r=，②由圆心在直线y=-2x上可得b=-2a，③由①②③可得a=9，b=-18，r=142或a=1，b=-2，c=22.故圆的方程为(x-9)2+(y+18)2=392或(x-1)2+(y+2)2=8.总之，待定系数法是一种重要的解题方法.运用待定系数法解题的思路是构建模型——设出系数——建立方程或者关系式——求出系数.同学们在解题的过程中只要明确所求目标和已知条件之间的联系，适当地引入待定系数，建立方程或者关系式，便能使问题顺利获解.（作者单位：南京师范大学附属扬子中学）37。
如何运用待定系数法解题
解题宝典待定系数法是解答数学问题的一种重要方法.待定系数法是指设出某一代数式的系数，通过比较对应项的系数，建立含有待定系数的方程或方程组，以解答问题的方法.待定系数法在解数学题中应用广泛，尤其是在求数列的通项公式、求代数式的取值范围、求圆锥曲线的方程时，灵活运用待定系数法，能使问题快速获解.一、求数列的通项公式对于常规的等差、等比数列问题，我们一般用等差、等比数列的通项公式即可解出.当遇到一些非常规的等差、等比数列问题时，我们一般需根据数列的递推式设出数列的通项公式，然后运用待定系数法求出对应的系数，以便构造出等差、等比数列，根据等差、等比数列的通项公式来解答.例1.已知数列{}a n 的各项都为正数，并且a 1=1,a 2=8,a 1=1,a 2=8,a n a n +1+a n a n +1=4a n a n +1+a2n +1+3a n a n +1，求{}a n 的通项公式.解：在a n a n +1+a n an +1a n a n +1+a 2n +1a n a n +1两边同时除以a n a n +13,令b n =那么b n +1=4b n +3.设b n +1n λ)，将其与上式进行比较可得λ=1，所以{}b n +1是首项为4，公比为q =4的等比数列.则b n +1=4∙4n -1=4n ,即a n +1a n=42n -2∙4n .因此，当n >1,a n =a 1∙a 2a 1∙a 3a 2∙…∙a n a n -1=∏k =1n -1(42k -2∙4k)，故a n =ìíîïï∏k =1n -1(42k-2∙4k )，n ≥2,1,n =1.对于形如a n +1=na n +t ,(n ≠1,t ≠0)的递推数列，我们通常采用待定系数法来解题，通过引入待定系数构造出一个等比数列，然后根据等比数列的通项公式求出数列的通项公式.二、求代数式的取值范围求代数式的取值范围问题比较常见.在解题时，我们需建立目标式与已知关系式之间的联系，引入待定的系数，将已知关系式作为一个整体，用已知关系式和待定系数表示出目标式，再根据已知关系式的取值范围来求得目标式的取值范围.例2.已知-1<x +y <4,2<x -y <3,求2x -3y 的取值范围.解：设2x -3y =λ(x +y )+μ(x -y )=(λ+μ)x +(λ-μ)y ,则ìíîλ+μ=2,λ-μ=-3,解得λ=-12，μ=52，因此2x -3y =-12(x +y )+52(x -y )，所以3<2x -3y <8.解答本题不仅运用了待定系数法，还运用了整体思想.在求得待定的系数后，需将x +y 和x -y 当作一个整体进行求解.三、求圆锥曲线的方程求圆锥曲线的方程问题，一般要求根据已知点的坐标或关系式求曲线的方程.我们可以直接利用待定系数设出曲线的方程，然后将已知点的坐标代入方程中，或根据已知的关系式建立关于待定系数的方程或者方程组，求出待定系数便可解题.例3.已知函数f (x )=x 2+2x +b 的图象与坐标轴有3个交点，求经过这3点的圆的方程.解：设圆A 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.令y =0,那么x 2+Dx +F =0和x 2+2x +b =0的解相同，∴D =2,F =b .∵圆A 经过f (x )=x 2+2x +b 和y 轴的交点为(0,b )，∴b 2+Eb +b =0,b ≠0,E =-b -1,∴圆A 的方程为x 2+y 2+2x -(b +1)y +b =0.待定系数法是求圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程的重要方法.我们只需明确曲线的类型，设出待定的系数，根据题意求得待定系数的值，便可求得曲线的方程.可见，待定系数法使用起来较为简单.只要引入系数，根据代数式的类型设出代数式，将该代数式代入题设中建立关于系数的方程或者方程组，通过解方程或方程组便可解答.（作者单位：江苏省扬中市第二高级中学）郭炜43。
浅谈待定系数法法在初中数学教学中的应用
浅谈待定系数法法在初中数学教学中的应用一、待定系数法对于所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.二、待定系数法解题的一般步骤是：第一步 根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；第二步 利用恒等式对应项系数相等的性质。
列出含有待定系数的方程组；第三步 解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解决.三、待定系数法的应用（一）利用待定系数法因式分解例1 k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是22++y x ？分析： 因222y xy x -+=()y x 2+()y x -，故原多项式必为（22++y x ）（n y x +-）的形式. 解：设k y x y xy x +++-+108222=（22++y x ）（n y x +-）=()()n y n x n y xy x 2222222+-+++-+， 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=+n k n n 2,102282 解得12=k . 所以k =12时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是22++y x . （二）利用待定系数法确定函数解析式已知一条抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（1，3），求这条抛物线的解析式.分析：根据题意，可设()22-=x a y ，再由已知条件确定出a 值即可. 解：设()22-=x a y ，因为抛物线经过点（1，3），所以3=()221-a ，所以3=a ， 所以这条抛物线的解析式为()223-=x y =121232+-x x .(三）利用待定系数法解决分式的拆分问题例3 把2432--+x x x 化为部分分式和的形式.分析：先把原分式分母分解因式，据此确定部分分式分母.因为分母()()1222+-=--x x x x ，故可设 2432--+x x x =2-x A +1+x B ，通过计算，比较分子，建立A 、B 的等式. 解：设2432--+x x x =2-x A +1+x B ，则2432--+x x x =()()2212---++x x x B x A =()222---++x x B A x B A ,得⎩⎨⎧=-=+423B A B A ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31310B A .所以2432--+x x x =()2310-x －()131+x .。
待定系数法在高等代数中的应用
待定系数法在高等代数中的应用
待定系数法是高等代数中常用的求解多项式函数系数的方法。
具
体而言，它可以用来求解形如$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$的多项式函数中的系数$a_n, a_{n-1},\cdots, a_0$，其中$n$为正整数。
该方法的基本思路是，通过构造“等式”，并根据各项系数之间
的关系，列出若干个方程式，进而解出未知数的值。
具体而言，我们
可以假设$f(x)$可以表示为$n+1$个一次多项式的和，即$f(x) = b_n
x + b_{n-1} + \cdots + b_1 x^n + b_0 x^n$，其中$b_n, b_{n-
1},\cdots, b_0$为待定系数。
然后，通过分别求出$f(x)$在$n+1$个
不同的$x$值处的函数值，构造出$n+1$个关于$b_n, b_{n-1},\cdots, b_0$的方程式，解出所有未知数的值即可。
待定系数法在高等代数中具有广泛的应用，尤其是在求解微积分
中的特殊函数值、证明等式、化简分式等问题中，都可以使用此方法
求解。
同时，待定系数法也是求解差分方程、常微分方程等问题中常
用的一种方法。
在应用过程中，需要根据具体问题的性质和要求，选
择合适的待定系数形式，并且要注意细节，避免出现错误或者漏解的
情况。
待定系数法在中学数学中的应用
待定系数法在中学数学中的应用
待定系数法是数学中重要的方法，它是指为了求解多项式方程，先把一部分系数置为暂时
不知道的数，称为“待定系数”，然后对多项式方程及待定系数进行处理，从而获得比较容
易求解的替代方程。
求解它，需要使用中学数学里的方法，如组合、排列、因数分解以及
代数式的转换常见的解题方法。
待定系数法可用于中学生的学习，帮助他们更好地理解多项式方程等。
例如，求解一元二
次方程2*x^2+2a*x+a=0，可以先将a作为一个未知数，把它看作是待定系数，假设a=b，则此方程可简写为2*x^2 + 2b*x + b = 0，此方程的根可以用列式法解出：x=（-2b +/-
√ (4b^2-4 * 2 * b))/4，即x=（ -b ± √(b^2-4b)）/2。
可以令未知数b=1，然后用排列组合知识算出x=1和x=−3，最后把解析式中的1带入a，即解为：x=1和x=−3。
此外，待定系数法还可以应用到分析几何中，求不确定三角形的边长或角度等。
举例说明，已知AB=3，AC=4，∠ABC=x，可以将角x作为一个未知数，将相应的边长代入
AB²+AC²-2AC*AB*cosx，得AB²+AC²-2*3*4*cosx=0，令cosx=y，得AB²+AC²-24y=0，再
求解y的值，从而得出相应的x值。
总之，待定系数法为数学领域带来了更便捷的解题思路，它也可以应用于中学数学课程帮
助学生完成练习，培养学生动手能力和学习多项式方程的能力，从而提高学生的学习效率
与水平。
待定系数法的应用
≠
－3=－2k+b， 3=k+b.
≠
k=2， b=1.
Hale Waihona Puke 所以所求 的 一 次 函 数 解 析 式 为
y=2x+1.
点评 本例告知一次函数的图 象经过已知两点 ， 实 际 上 是 告 诉 了 我们这个一次函数的两组对应值， 可由此建立二元一次方程组 ，求出字 母系数.
方程组） 并解出待定字母系数的值的
方法. 除了我们所熟悉的求解函数解 析式的应用外 ，待定系数法还可运用 在整式整除 、因式分解等知识中.
2+0 =1. 而青蛙吃到虫子时的横坐标 2
为 0.8， 不是 1， 故青蛙吃到虫子时 ， 不 是它这次跳跃的最高点. （2）因为青蛙是用最大力气跳跃 的 ， 根 据 （1） 的 结 论 知 青 蛙 最 高 只 能
x －x+2 = x（x－3）（x+2）
两个变量的位置 ，代数式的值不变. 五 、整式除法 试题 6荩 试确定 a 和 b， 使 x4+ax2-
解得 b=5， 所 以 （x +y）5 ＝x5 +5x4y +10x3y2 +
荩 荩 荩 荩 荩 荩 荩 荩 荩 荩 荩
10x2y3+5xy4+y5.
点评 齐次对称式是指在含有 多个变量的代数式中 ，如果任意交换
2
b 于x=- 对称 ， 而函数经过 （0，0）和 2a
（2，0） 两 点 ， 所 以 根 据 抛 物 线 的 轴 对 称性知该抛物线最高点的 横 坐 标 为
2）， 而要使 x4+ax2-bx+2 能被 x2+3x+2 整
除 ， 则x+1和x+2都应该是x4+ax2-bx+2 的因式. 解答 由 于 x2 +3x +2 =（x +1） （x +
待定系数法在解决函数问题中的应用
待定系数法在解决函数问题中的应用待定系数法是初中数学解题中的一种重要方法，也是解决数学函数问题常用的数学方法之一.它是利用已知条件来确定某一个数学表达式中待定参数的值或确定一个解析式，从而解答问题的一种方法。
待定系数法的实质是将确定类型的数学问题，通过设定所需待定系数，转化为方程或方程组问题来解决。
待定系数法在初中函数中的应用，主要用途体现在求函数的解析式上。
这类问题，必须知道函数的一般形式，才能解答。
初中阶段主要有正比例函数，一次函数，反比例函数，二次函数这几种类型的函数。
前三种，分别可以设为y=kx,y=kx+b，(其中k,b为待定系数，k≠0)，而二次函数则根据所给条件不同，可以设为一般式 (其中a,b,c为待定系数，a≠0) 顶点式(其中a,h,k为待定系数，a≠0) ,交点式 (其中a为待定系数，a≠0)三种形式。
可根据题目所给条件，根据点在函数图像上，则点的坐标满足函数关系式，将已知点的坐标代入，转化为方程或者方程组，从而求出待定的系数或常数。
待定系数法是求函数的解析式的一种重要方法之一，解题时要弄清函数类型，熟悉基本函数的关系式，才能正确设立待定系数.二次函数综合了初中所有函数知识，同时结合一元二次方程和几何图形的相关知识和应用，是初中所有数学知识的汇总。
二次函数为是初中非常重要的一种数学模型，在解决相关的数学问题和实际问题中发挥着重要作用，而所有二次函数的应用必须建立在表达式已知的基础上，下面以二次函数为例具体谈谈待定系数法的作用:1.利用“一般式”求二次函数的表达式已知抛物线上的三个点坐标，采用一般式例1：已知抛物线经过A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点求这条抛物线的表达式分析：已知抛物线上三个已知点，可以设为一般式，将A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点坐标代入即可求解2.利用“顶点式”求二次函数的表达式已知抛物线的顶点坐标或者对称轴最值，采用顶点式例2：已知二次函数的图像经过（1,10），顶点坐标为（-1，-2），求此二次函数的表达式分析：已知顶点坐标为（-1，-2），可设为，将（-1，-2）代入即可求解3.利用“交点式”求二次函数的表达式已知抛物线与x轴的两个交点，采用交点式例3：已知二次函数的图像如图所示，求这个函数的表达式分析：思路：观察图像可知，抛物线与x轴交点坐标为（-1,0），（3,0）可设解析式为，将（0，-3）代入即可求解4.其它形式⑴顶点在原点若抛物线的顶点在原点，可以设为例4：若抛物线的顶点在原点，且过（-2,2），求抛物线表达式分析：因为抛物线的顶点在原点，可以设为，将（-2,2）代入即可求解⑵顶点在坐标轴1.顶点在x轴，若抛物线的顶点在x 轴，可以设为例5：已知抛物线顶点在x轴上，当x=2时，有最大值，图像过（1，-3），求二次函数的表达式分析：抛物线顶点在x轴上且当x=2时，有最大值，可知顶点横坐标为2，可设为，将（1，-3）代入即可求解1.顶点在y 轴若抛物线的顶点在y轴，可以设为例6：如图，若抛物线过点（-2,4），和y轴交点为（0，-3）求抛物线表达式分析：观察图像可知抛物线的顶点在y轴，可以设为，将（-2,4）代入求解即可总之，应用待定系数法求二次函数表达式时，各种方法之间是互相联系的，不是孤立的教条的。
第十二课时待定系数法的应用
当B点的坐标为 (0,4)时， 用坐标表示线段 0 3k 4 4 长度时应用绝对 k 3 值符号。 4 此时一次函数的析式为 y x 4. 3 同理 ， 当B点的坐标为 (0,4)时， 4 一次函数的解析式为 y x 4. 3 符合条件的一次函数的 解析式为 4 4 y x 4或y x 4. 3 3
400时得
1 10
x + 900 =400
∴ x = 5000
答:当一客户购买400kg,单价是5000元.
3、判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在 同一条直线上． [分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过 这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中， 若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线 上． 解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b． 由题意可知， 1 3k b, k 1, ∴
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b
∵当x=1000时 y = 800;
∴
当x=2000时 y = 700
｛
1000k + b = 800 2000k + b = 700
解这个方程组得:
{ b =900
1 10
k=
1 10
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =
x + 0
当y=
2 0 b,
b 2.
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2． ∵当x=4时，y=4-2=2． ∴点C（4，2）在直线y=x-2上． ∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
4. 小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储
待定系数法的应用
待定系数法的应用待定系数法是一种常见的解决多项式方程或常微分方程初值问题的方法。
其应用范围较广，常见的应用场景包括：1. 求解多项式方程中的参数。
待定系数法可以用来求解含有参数的多项式方程，通过设定一组合适的参数值，使得方程成立，从而确定参数的值。
例如，在二次函数 y=ax^2+bx+c 中，若给定三个点的坐标 (x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)，则可以列出方程组：\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\ ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\ax_3^2+bx_3+c=y_3 \end{cases}通过待定系数法，可以解出 a、b、c 的值。
类似地，待定系数法也可以用来求解其他类型的多项式方程中的参数。
2. 求解常微分方程的初值问题。
常微分方程是表达物理模型中的变量随时间变化的关系的数学工具。
在一些实际问题中，需要根据问题给定的初始条件求解常微分方程的解。
待定系数法可以用来求解常微分方程初值问题，例如对于一阶线性常微分方程 y'+ay=b，根据初值条件 y(0)=y_0，可以列出方程：y'+ay=by(0)=y_0设 y=e^{mt}，则得到特解 y_p = \dfrac{b}{a}，从而得到通解：y = y_h + y_p = Ce^{-at} + \dfrac{b}{a}代入初值条件 y(0)=y_0，得到 C=y_0-\dfrac{b}{a}，从而得到特解：y = y_h + y_p = (y_0-\dfrac{b}{a})e^{-at} + \dfrac{b}{a}3. 求解一些复杂表达式的值。
在一些数学问题中，需要求解一些复杂的表达式的值，这时可以使用待定系数法。
例如，对于 f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}，可以将其表示为 f(x) = x+1+\dfrac{1}{x-1}，从而推导出通项公式：f(x) = \sum_{i=1}^n (x+1) \cdot (x-1)^{n-i} +\dfrac{1}{(x-1)^n}代入特定值 x=2，即可得到 f(2) 的值。
待定系数法在高中数学中的应用
待定系数法在高中数学中的应用
待定系数法是一种常见的解方程的方法，常用于高中数学中的多项式方程和分式方程的解法中。
该方法通过假设方程中某些未知数的取值，从而将方程中的常数、系数等表示成待定系数的形式，然后通过比较系数的方法解出未知数的值，从而得到方程的解。
在高中数学中，待定系数法常用于解决以下类型的问题：
1. 多项式方程的解法。
待定系数法可以用于解决一些特殊结构的多项式方程，如齐次线性方程、齐次二次方程等。
2. 分式方程的解法。
待定系数法可以用于解决一些特殊结构的分式方程，如有理函数分式方程、分式方程组等。
3. 几何问题的解法。
待定系数法可以用于解决一些几何问题，如平面几何的相似性问题、空间几何的三视图问题等。
总之，待定系数法是一种常用的数学解法，它可以帮助我们更好地理解数学问题，并解决一些特殊结构的方程和问题。
- 1 -。
待定系数法的应用
待定系数法的应用长清中学：马永全要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
其应用比较广泛。
然而，同学们比较熟悉的仅是待定系数法在配方、有理式恒等变形、求曲线方程等方面的应用。
本文给出待定系数法在其他方面的应用。
一、 在导数中应用例1. 求52)3(++x x 展开式中含x 项的系数。
解：设0199101052)3(a x a x a x a x x +++=++ （1a 等是待定的系数）。
对式子两边求导数得：189910910)3)(12(5a x a x a x x x +++=+++令40535,041=⨯==a x二、 在向量中应用例2. 如下图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，K 、M 是线段DE的三等分点，BK 、BM 与AC 分别交于T 、P ，证明3AC TP ≤。
证明：设a c a c 2211,,,,,λλλλ======，这里c 、a 是确定的向量，21,λλ是确定的实数。
a c BE BD BE DB BD BD DK BD BK 2131323132)(313λλ+=+=++=+=+= 设x =，得)3132(21a c x λλ+= 又设AC y AT =，得)(c a y AT -=由BT AB AT +=得)3132()(21a c x c c a y λλ++-=- c x a x yc ya )132(3112-+=-λλ 由平面向量基本定理得：。
待定系数法在数学问题中的应用
通 条件 间 的 关 系 ， 整 体转化 ， 简化 运 算过 程 ， 避 免 错 解． 二、 在 数 列 中 的应 用
例 ２ 已知 正项数 列 ｛ ｎ ） 满 足
研 究 一 些 尚 待 确 定 的 系数 转 化 命 题 结 构 ， 经过变形与 比较 ， 建
叫待定系数法． 待 定 系数 法 是 数 学 中 的 基 本 方 法 之 一 ． 它 渗 透 于 高 中数 学 教 材 的 各 个 部 分 ， 在 全 国 各 地 高 考 中 有 着 广 泛
应用．
号 ， 所 以 一 ｎ 十 号 ．
ｃ ∈ （ 告 ， ） ．
点评 ： 从 以上 求 解过 程 可 以 看 出 ， 利 用待 定 系数 法 可 以 沟
点评 ： 根 据平面向量基本定理 ， 任 一 向 量 均 可 用 一 组 基 底
表示， 于是 待 定 系数 法 成 为 解 决 此 类 问题 的一 把 利 器．
相 交 于点 Ｍ ， 设Ｏ Ａ 一口 ， Ｏ Ｂ一 ． 试 用 口和 ｂ表 示 向量Ｏ Ｍ．
、
在 函 数 中 的 应 用
例 １ 已知实数 口 ＞６ ＞ｆ ， ａ＋ｂ ＋ｆ 一１ ， ａ 。 ＋ｂ ＋Ｃ 一１ ， 求 ａ ＋ｂ与 口 ＋ｂ 。的范 围．
分析 ： 先利 用平 面向量基 本定 理 ， 设０ Ｍ —ｍａ ＋ｎ ｂ ， 再 利
掌 （ ｍ 一 ÷ ） ｎ ＋ ｂ ， Ｃ 一 Ｂ ＝ 一 Ｏ Ｂ 一 ｏ 一 ｃ ＝ ｂ － Ｔ ｎ ，
研 版
又 Ｃ， Ｂ， Ｍ 三点共线 ， 所 以Ｃ Ｍ 与Ｃ Ｂ共线 ， 同理 可 得 ４ ｍ＋ ， ２ —
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设K 法 条件有连等式
第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：
例 1： 自然数 A、B 满足
1 1 1 ，且 A : B 7 :13 ，求 A B A B 182
分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设 k，即能把两个未知数都用一个关于 k 的式 子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所 谓的利用设 K 法“降维” 。 解： 设 A 7k , B 13k
k k k ，同理 2007b 2 ， 2008c 2 ， a b c k k k 且 2006 3 , 2007 3 , 2008 3 a b c
则 2006a 2
于是可将条件化简为： 3
k k k 3 k 3 k 3 k 3 3 3 ，共同约去 k 并化简得到 a b c a b c
2
故 f ( x) ax bx 1 ，将解析式代入 f ( x 1) f ( x) 2x 得：
2
a( x 1)2 b( x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2 x
即： 2ax a b 2 x ，将系数对应得到
2a 2 a b 0
解得
a 1 b 1
所以有二次函数 f ( x) = x2 x 1
因此原式 4 x y 2 z 15m 14n 15
1 6 14 9 11 11
七年级： 2.2 因式分解的复杂高次形式 七年级开始最先遇到的一个难点就是因式分解的各种题型。 其中有一个万能解法， 就是 待定系数法， 它常常用于一些难以用标准方法如十字相乘法解出的、 没有特点因式分解难题。
m(2x 5 y 4z) n(7x y 3z) 15m 14n 整理得： (2m 7n) x (5m n) y (4m 3n) z 15m 14n
将系数与系数对应，即：
1 2m 7 n 4 m 11 5m n 1 解得方程组的解为： 4m 3n 2 n 6 11
1. 设 K 法
六年级： 设 K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一 个和 K 有关的式子表示出来。变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用， 以一替多。那什么时候该用设 K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去 用设 k 法的—— 条件含比例
3
1 1 1 1 1 1 a b c a b c
1 1 1 m ，则有 3 m m a b c
再令
即 m m3 （因为 abc 0 且为同号，只有 m 0 ） ∴ 即 （负根舍去） m2 1 ,m 1
1 1 1 1 a b c
此题已属于中高难度题，但核心思想依然是通过连等式进行未知数的“降维” ，有了好 的开始便是成功的一半，后续的解答也就能顺利进行了！
七年级： 例 3： 设 2006a 2007b 2008c , 且 abc 0
3 3 3
若 2006a 2007b 2008c 3 2006 3 2007 3 2008
3 2 2 2
求
1 1 1 a b c
分析： 该题乍看之下并没有什么思路， 而一旦陷入繁琐的计算， 那么心情也会跟着一同浮躁。 而若你谨记了两类典型条件，你便能发现有连等式，至少可以用设 k 法去尝试。 解：令 2006a3 2007b3 2008c3 k
（1） x : y : z 2k : 4k : 7k 即 x : y : z 2: 4: 7 （2）
x y 2k 4k 6k 2 x z 2k 7k 9k 3
（3） 2x y 3z 4k 4k 21k 29k 58 即k 2 因而 x 4, y 8, z 14 有没有发现设 k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数 板块，也会出现类似的“难题” ！
2. 方程、代数式、函数的系数确定
待定系数法其实起源于这类系数的求解上， 当你对大致的式子形式有个框架， 想得到每 一个精确系数的值，于是先假设一个参数，利用条件将参数解出即可。该类型也从六年级就 有，灵活地掌握和运用能够将复杂题型做极大的化简。 六年级： 2.1 多元方程的系数调整 例 4： 已知 2x 5 y 4z 15, 7 x y 3z 14 ，求 4x y 2z 的值。
例 5： 在整数范围内分解因式 x4 3x3 6x2 15x 5
分析：首先这是一个高次项代数式的因式分解，并且用常用的公因式、公式法或十字相乘都 不能有效解决，因而只能寻求分组分解法。而如果先对整个代数式进行分析，首先可以得到
几个特点：最高次 x 的系数为 1；常数项 5 只能拆分成 1 5 ；进一步利用余数定理分析当
2.4 函数的确定 八-九年级 例 7：已知一次函数图像经过点 (3,5), (4, 9) ，求一次函数解析式。
分析：标准的函数解析式的求解，其实就是在利用待定系数法，将系数假设为字母，通过
点的坐标将函数的字母系数求出。这也是整个初中阶段最为常见的待定系数法的运用。 解： 设一次函数的解析式为 y kx b ，因为函数图像经过点 (3,5), (4, 9) ， 代入解析式 得：
例 2： 已知
x y பைடு நூலகம் , 求： 2 4 7 （1） x : y : z x y （2）求 的值 xz
（3）若 2x y 3z 58 ，求 x, y, z 的值
分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设 k 法快速求解。
解： 令
x y z k ，则有 x 2k , y 4k , z 7k 2 4 7
2 2
将其展开得：
( x 2 ax 1)( x 2 bx 5) x 4 (a b) x3 (6 ab) x 2 (5a b) x 5
a b 3 a 3 与原代数式系数对应，有： 6 ab 6 ，解得 b 0 5a b 15
1 1 1 1 1 ，进行通分 A B 7k 13k 182 13 7 6 1 91k 91k 91k 182 求得 k 12 ，故 A B 20k 240
则有
如果说比例式用设 k 法还算比较明显的话， 那么连等式的技巧就没那么容易想到。 而越 难想到的点就越能成为杀手锏：
即说明已得到因式分解的各系数，即：
x 4 3x3 6 x 2 15x 5 ( x 2 3x 1)( x 2 5)
2.3 分式方程的分拆 例 6： 用待定系数法将
4x 6 化为分母分别为 x 与 x 2 且分子都是常数的两个分式的和。 x( x 2)
解：设
4
x 1 或 5 时都不能使代数式的值为 0，说明代数式没有一次项的因式（因式分解余数定
理详情可查看以前的总结《因式分解通关全攻略》 。根据以上分析，可以确定因式分解必定 会分解成诸如 ( x ax 1)( x bx 5) 的形式，从而利用待定系数法求解。
2 2
解：根据上述分析，不妨设原代数式可因式分解为 ( x ax 1)( x bx 5) 的形式
数学知识点总结 ——待定系数法的运用
待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法， 它的重要性不仅体现在某一类 型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏” ，让原本复杂繁琐的难题巧 妙进行巧妙地简化。理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。下面我们就一 起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
3k b 5 k 2 解得： 4 k b 9 b 1
所以该一次函数的解析式为： y 2x 1
例 8：已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) 1以及 f ( x 1) f ( x) 2x ，求 f ( x)
解：设二次函数解析式为 f ( x) ax bx c ，因为 f (0) 1，代入易得 c 1
4x 6 A B （A,B 为常数） ，再将右式通分得： x( x 2) x x 2 A B Ax 2 A Bx x x2 x( x 2)
可以得到
4x 6 ( A B) x 2 A ，将系数对应，有： x( x 2) x( x 2)
A B 4 A 3 4x 6 3 1 ，解得 ，所以 x( x 2) x x 2 2 A 6 B 1
分析：初看之下该题有些三元一次方程组的感觉。但显然两个方程无法将三个未知数解出， 而其实只要找出他们之间某一个对应关系即可。因而灵活地利用待定系数法便可绕过未知 数，直接求得题目需要的取值。
解：根据题意：
2 x 5 y 4 z 15 ① 7 x y 3z 14 ②
为了得到将 4x y 2z ，假设将①式×M，②×N 并相加，得到：