新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》教案_13
九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版
垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。
九年级数学下册 3_3 垂径定理教案 (新版)北师大版
*3.3 垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝ 3.∴OD＝23，∴AB＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB︵)，点O是这段弧的圆心，C 是AB︵上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】垂径定理的综合应用如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝12OB＝12OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE 的长，进而求出CD的长．(1)证明：连接AC ，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC ︵＝AD ︵，∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥A D ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的垂直平分线，∴AC ＝CD ，∴AC ＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝12OC ，∴OE ＝12OB ，∴点E 为OB 的中点；(2)解：在Rt △OCE 中，AB ＝8，∴OC ＝OB ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2，∴CE＝OC 2－OE 2＝16－4＝23，∴CD ＝2CE ＝4 3.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
北师大版九年级数学下册教案：3.3垂径定理
你想知道桥拱的半径是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！(板书课题：*3垂径定理)
处理方式：让学生倾听欢快的音乐，欣赏赵州桥优美的图片，惊叹古代人们设计桥梁的技术，感受古代人们的伟大智慧，思索“桥”中的数学问题．
这一环节主要是让学生在欣赏赵州桥图片的同时，惊叹古代人的智慧，引起好奇，激起学生探究桥拱半径的兴趣.
巩固训练(多媒体出示)
1．辨析：判断下列图形能否使用垂径定理．
图3－3－15
2.如图3－3－16，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是()
A.AE＝BE
B. ＝ 图3－3－16
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
处理方式：先让学生独立思考，然后找学生回答，师生共同纠错．注意：定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.
图3－3－22图3－3－23图3－3－24
3.一条排水管的截面如图3－3－24所示，已知排水管的半径OB＝10cm，水面宽AB＝16cm，则截面圆心O到水面的距离OC是________．
处理方式：学生在练习本上完成后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.
在题目的设计上，尽量地遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维．
在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化．教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法.
让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力．借此培养学生的合作意识.
北师版九年级数学下册教案：第3章 圆3 垂径定理
*3 垂径定理教学目标一、基本目标1．通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论． 2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 垂径定理及其推论． 【教学难点】运用垂径定理及其推论解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P74～P75的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD 经过圆心O 且与圆交于C 、D 两点；②AB ⊥CD 交CD 于点M ,则AM ＝BM ＝12AB ,AC ︵＝BC ︵ ,AD ︵ ＝BD ︵.2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧． 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵ ,点O 是CD ︵所在圆的圆心),其中CD ＝600 m,E 为CD ︵上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF ＝90 m,求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC 的长,结合已知条件,在Rt △OCF 中利用勾股定理即可求得OC 的长．【解答】连结OC .设弯路的半径为R m,则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ,∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)．在Rt △OCF 中,根据勾股定理, 得OC 2＝CF 2＋OF 2, 即R 2＝3002＋(R －90)2, 解得R ＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线：连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD ＝1,则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知,OA ＝OC ＝5, ∴OD ＝OC －CD ＝5－1＝4. ∵OC ⊥AB , ∴∠ODA ＝90°,∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 AD ＝OA 2－OD 2＝3. 又∵AB 为⊙O 的弦,∴由垂径定理,得AB ＝2AD ＝6, 即弦AB 的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm,水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵OC ⊥AB ,AB ＝16 cm,∴∠OCB ＝90°,BC ＝12AB ＝8 cm.又OB ＝10 cm,∴在Rt △OBC 中,由勾股定理,得 OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm.即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC ＝8 cm,DE ＝2 cm,求OD 的长．解：∵E 是AC ︵的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD ＝12AC ＝4 cm.∵OD ＝OE －DE ＝(OE －2)cm,OA ＝OE , ∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得OA 2＝OD 2＋AD 2, 即OA 2＝(OE －2)2＋42, 解得OE ＝5 cm. ∴OD ＝OE －DE ＝3 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13,弦AB ＝24,弦CD ＝10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线,构造直角三角形．【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC 、OA .由题意可知,OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ,OF ⊥CD , ∴OE ⊥AB .又∵AB ＝24,CD ＝10,∴由垂径定理,得AE ＝12AB ＝12,CF ＝12CD ＝5,∴由勾股定理,得EO ＝OA 2－AE 2＝5,OF ＝OC 2－CF 2＝12, ∴EF ＝OF －OE ＝7；当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC 、OA .同理可得,EO ＝5,OF ＝12, ∴EF ＝OF ＋OE ＝17.综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用,小心别漏解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应练习！。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。
这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。
但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。
四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。
2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。
3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。
2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。
然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。
同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理教案
课题垂径定理目标（三维目标）1．知识与技能（1）探索并理解垂径定理(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•理解定理的推导,掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重点难点1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教法讲授法演示法学法示范指导法启迪思维法教学过程：（详案）讨论修改一、复习引入（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为MAM=B求证：M.，，分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴，三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CD⊥AB （2），四、例题讲解1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．2.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB•与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM==15cm．同理可求ON==7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．练习1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案新版北师大版
九年级数学下册第 3 章圆 3.3 垂径定理教课设计新版北师大版《垂径定理》◆模式介绍“研究式教课”是指学生在学习观点和原理时，教师不过给他们一些案例和问题，让学生自己经过阅读、察看、实验、思虑、议论、听讲等门路去主动研究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教课方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地研究，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的因由和事物内部的联系，从中找出规律，形成观点，成立自己的认知模型和学习方法架构．研究式教课法能充足发挥了学生的主体作用．研究式教课往常包含以下五个教课环节：创建情境——启迪思虑——研究问题——形成结论——稳固提升◆设计说明第一经过问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题 2 经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步探究的欲念．问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．问题5和问题6研究并证了然垂径定理及其推论．最后经过例、习题的稳固，突出了垂径定理及其推论的应用．◆教材剖析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第3节《垂径定理》的教课内容，本节课是在学生学习了圆的有关观点和圆的对称性的基础长进行的，本节内容是依据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论．垂径定理及其推论反应了圆的重要性质，是证明线段或角相等以及垂直关系的重要依照，同时也为有关圆的一些计算和作图问题供给了方法和依照．关于垂径定理的学习，要帮助学生剖析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解．垂径定理有关推论的学习，能够按条件画出图形，让学生经过察看、思虑、亲身得出结论．◆教课目的【知识与能力目标】1、研究并证明垂径定理及其逆定理．2、能够运用垂径定理及其推论解决有关证明、计算及作图问题．【过程与方法】经历研究垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力．【感情态度与价值观】历研究垂径定理及其逆定理的过程，让学生领悟数学的谨慎性，并体验发现的乐趣．◆教课重难点【教课要点】垂径定理及其逆定理的证明．【教课难点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教课过程【创建情境】问题 1 请取出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试．追问 1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？追问 2：假如是一个残破的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题 2你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建筑的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度( 弧所对的弦长 ) 为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离) 为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精准到0.1 m）设计企图：问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题2经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步研究的欲念．【启迪思虑】问题 3经过前方的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？结论：⑴圆是轴对称图形；⑵经过圆心的每条直线（注：提示学生说不可以说直径）都是它的对称轴；⑶圆的对称轴有无数条．问题 4 如图，对折⊙O 使圆的两半部分重合获得一条折痕， 在 上取一点 ，过CDOCM点 M 再次对折⊙ O ，使 CM 与 MD 重合，新的折痕与⊙O 交于 A 、 B 两点．（ 1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（ 2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．设计企图：问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．【研究问题】问题 5 已知：如图，AB 是⊙ O 的一条弦， 是⊙ O 的一条直径，而且 ⊥ ，垂足CD CD ABM ．求证： AM=BM ， AC BC ， AD BD ．证明：连结 OA 、 OB ，则 OA =OB ．又∵ CD ⊥ AB ，∴直线 CD 是等腰△ AOB 的对称轴，又是⊙ O 的对称轴．所以沿着直径折叠时，双侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合， 和CDCDAMBM 重合， AD 、 AC 分别和 BD、BC重合．所以，AM=BM ，AC BC ，AD BD ．追问：你还有其余方法证明这个结论吗？说明：能够用全等三角形知识来证明．问题 6如图，AB是⊙ O的弦（不是直径），作一条均分AB的直径 CD，交 AB于点 M．（1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．（3）AB与CD的地点关系怎样？说一说你的原因．解：，，．原因以下：连结 OA、OB，则 OA=OB．又∵ AM=BM，∴△ AOM≌△ BOM，∴∠ AMO=∠ BMO=90°，∴CD AB ，∴直线 CD是等腰△ AOB的对称轴，而CD又是⊙ O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时， CD双侧的两个半圆重合， A 点和 B点重合，AD、AC 分别和 BD、BC重合．所以，CD AB，AC BC，AD BD．【形成结论】你能文字语言表达问题 5 和问题 6 中的结论吗？问题 5 的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径均分弦，而且均分弦所对的两条弧．问题 6 的结论（垂径定理的推论）：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．追问：假如弦AB是直径，以上结论还成立吗？近似还有以下结论：（1）均分弦所对的两条弧的直径，垂直均分弦；（2）弦的垂直均分线，必过圆心且均分弦所对的两条弧．【稳固提升】例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中 CD ，点O 是CD的圆心)，此中CD=600m，E 为CD上一点，且OE⊥ CD，垂足为 F， EF=90m．求这段弯路的半径．解：连结 OC．设弯路的半径为Rm，则 OF=（ R－90） m．∵OE⊥CD，∴CF 1 1300 （m）．CD 6002 2在 Rt△ OCF中，依据勾股定理，得OC2 CF 2 OF2，即 R222 ．R 90300解这个方程得R＝545．所以，这段弯道的半径是545m．追问：此刻能解决课前提出的赵州桥问题了吗？解：如图，由题意可知，AB=37m， CD=7.23 m，所以 AD=1AB＝18.5 m，2 OD OC CD R 7.23 ．在 Rt△ OAD中，由勾股定理，得AO 2 OD 2 AD 2，即 R2 18.522R 723 ，解得R 27.3（ m）．所以，赵州桥的主桥拱半径为27.3 ．m学生练习 1 课本 76 页随堂练习第 2 题．学生练习 2 如图，已知 AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．A B作法： (1) 连结AB；(2)作 AB的中垂线，交AB于点 C，点 C就是所求的点．讲堂小结：本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？1、本节课我们研究了圆的轴对称性；2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3、垂径定理和勾股定理相联合，结构直角三角形，可解决心算弦长、半径、弦心距等问题．部署作业：1、教科书习题 3.3 第 1 题、第 2 题．（必做题）2、教科书习题 3.3 第 3 题、第 4 题．（选做题）◆教课反省略．。
九年级数学下册 3.3 垂径定理课时教案 (新版)北师大版
3.3垂径定理一、教学目标1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.二、课时安排1课时三、教学重点运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.四、教学难点运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.五、教学过程（一）导入新课引导学生说出点与圆的位置关系：（二）讲授新课活动内容1：探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.３.经过圆心的弦叫做直径探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.小明发现图中有:理由：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,和重合和重合AC BC,AD BD.∴==AC BC,AD BD.活动2：探究归纳定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（三）重难点精讲例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.证明：连接OA ，∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形.在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：222AO OM AM =+，AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？解:作OG ⊥AB ， ∵AG=BG,CG=DG ， ∴AC=BD.例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ,点O 是CD 所在圆的圆心),其中CD=600m,E 是CD 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.解:连接OC.,(90).Rm OF R m =-设弯路的半径为则,OE CD ⊥11600300().22CF CD m ∴==⨯= 根据勾股定理得：222,OC CF OF =+即()22230090.R R =+-解这个方程得R=545∴这段弯路的半径为545米。
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。
这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。
教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。
2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。
问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。
3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。
5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。
6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。
七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。
通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。
第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
3.3垂径定理教学设计2023--2024学年北师大版九年级数学下册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
1. 本节课的主要教学内容为“垂径定理”。教学内容选自2023--2024学年北师大版九年级数学下册第3章第3节，主要包括垂径定理的定义、性质及其应用。
2. 教学内容与学生已有知识的联系：学生在八年级已经学习了圆的性质、圆的方程以及圆的切线，对圆的基本概念有了较为深入的理解。在此基础上，本节课将引导学生探索垂径定理，使学生进一步掌握圆的性质，并为后续学习圆的弦、弧等相关知识奠定基础。通过本节课的学习，学生将能更好地理解圆的相关性质，提高解决问题的能力。
3. 学生在学习垂径定理过程中可能遇到的困难和挑战有：理解并掌握垂径定理的证明过程，将定理应用于解决具体问题，特别是在涉及多步骤、综合性的几何问题时，可能会感到困惑。此外，对定理的灵活运用和拓展也可能会给学生带来挑战。
四、教学方法与手段
教学方法：
1. 讲授法：通过讲解垂径定理的定义、性质和证明过程，帮助学生建立清晰的知识体系。
2. 讨论法：组织学生分组讨论垂径定理的应用实例，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3. 实验法：引导学生通过画图、实际测量等实验方式，直观感受垂径定理的成立和运用。
教学手段：
1. 多媒体设备：运用PPT、动画等展示垂径定理的证明过程和应用实例，提高学生的学习兴趣。
2. 教学软件：利用几何画板等教学软件，让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。
3. 垂径定理的性质：
a. 圆的直径平分弦，并且垂直于弦。
b. 圆的直径平分弦所对的两条弧。
c. 圆的半径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学设计
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握垂径定理及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
2.难点：
（1）从具体实例中抽象出垂径定理，理解其几何本质。
（2）运用逻辑推理证明垂径定理，培养学生的逻辑思维和推理能力。
（3）将垂径定理应用于解决与圆相关的实际问题，提高学生的应用能力。
5.小组合作题：安排一道需要团队合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同解决问题。这样的题目有助于提高学生的沟通协作能力，同时也能让学生在合作中发现问题、解决问题。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励学生尝试不同的解题方法，注重解题过程的逻辑性和思维的创造性。
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课后练习题中与垂径定理相关的前三题，旨在帮高拓展题：选择两道具有一定难度的题目，要求学生在理解垂径定理的基础上，结合其他几何知识，如圆周角定理、相似三角形等，解决问题。这样的题目旨在培养学生的综合解题能力和逻辑思维。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同水平的学生，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达和倾听能力。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：首先，引导学生复习圆的基本概念，如半径、直径、弦、弧等。通过提问方式，让学生回顾这些概念的定义及性质，为新课的学习打下基础。
3.小组合作题需明确每个成员的责任，确保每个学生都能积极参与，共同完成任务。
3.3 垂径定理 教案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册
课题*3 垂径定理课时1课时上课时间45教学目标1.知识与技能(1)利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.(2)运用垂径定理及其逆定理解决问题.2.过程与方法经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3.情感、态度与价值观(1)培养学生类比分析,猜想探索的能力.(2)通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.教学重难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.教学活动设计二次设计课堂导入提出问题,引入新课:1.等腰三角形是轴对称图形吗?2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?探索新知合作探究自学指导如图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?(3)你能给出几何证明吗?(写出已知、求证并证明)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.合作探究1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.如图,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.(3)你能模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理吗?续表探索新知合作探究(4)你能正确表述逆定理的内容吗?(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立？点拨：条件:①CD是直径;②AM=BM.结论(等量关系):③CD⊥AB;④;⑤.垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.学以致用思考如下问题:(1)如何利用所学定理添加辅助线?(2)这样添加辅助线的目的是什么?(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题?(4)大家能合作完成求解过程吗?点拨(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦.(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺,否则错误.尝试应用：1. (毕节中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为( )A．5 B．10 C．8 D．61题 2题2. 如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝3，则弦CD的长为____________．3. 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．盘点提升1.学了本节课，你还有什么疑问？2.你的收获？知识：(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.(2)垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.方法规律:解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连接半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.当堂达标1. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．101题 2题 3题 4题2. 如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜54.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= cm．5.如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O 上，若⊙O的半径为5，AB=4，则AD边的长为．5题 6题6. 如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．7．如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点C在弦AB上，AC=AB，求OC的长．智者加速8. 如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．9．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？10．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．板书设计垂径定理1.垂径定理 3.例题2.垂径定理的逆定理。
初中数学(北师大版)九年级-3___垂径定理_教学设计_教案(课件免费下载)
教学准备1. 教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
2. 教学重点/难点教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
3. 教学用具课件4. 标签3 垂径定理教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD ⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．〔解答〕1．连接AB；2．作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点．三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．课堂小结学了这节课，你有什么收获？课后习题完成课后练习题。
北师大版九年级下册数学教案设计：3.3垂径定理
课题 3.3垂径定理课型新课课时第一课时教学方法小组合作,探索交流教材北师大版九年级数学下册第三章圆教学目标1知识技能目标：理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点1 垂径定理以及推论的证明，2 垂径定理的简单应用，教学难点垂径定理及其推论的正确区分及运用教学方法讨论法、探索法教学用具多媒体 , 投影仪教学过程教学环节教师活动学生活动教学意图（一）创设情境引入新知一、动脑想一想（出示幻灯片）1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？2我们学过图形中轴对称图形有哪些？它们各有几条对称轴呢？3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。
它有无数条对称轴，对称轴是-----？学生答案1：它的直径。
、学生答案2：经过圆心的直线由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，强化对称轴是一条直线的概念。
训练学生使用准确的数学语言描述问题。
（二）动手实践，合作探索二、动手折一折请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）结论 1圆是轴对称图形，2它有无数条对称轴，3 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
北师大版九年级数学下册3.3垂径定理教学设计
课题
3.3垂径定理
单元
三单元
学科
数学
年级九年级ຫໍສະໝຸດ 教材分析该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比圆的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理是解决几何计算中的重要工具，为证明线段相等和垂直的关系提供了一种新的方法.
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
先独立尝试完成，在进行同伴间的讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知
通过让学生经历解决问题、提炼概括，总结出垂径定理，再进一步证明定理和应用定理的过程，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.
重点
运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
难点
运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
先复习圆的轴对称性，引发学生思考：
1.圆是轴对称图形吗？
2.它的对称轴是什么?
3.你能找到多少条对称轴？
学生凭借已有的知识，思考并回答问题.
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基
通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识
通过问题， 引导学生拓展思维，发现新目标
课堂练习
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
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《垂径定理》教学设计
一、学生起点分析
学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
二、教学任务分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
过程与方法
经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
情感与态度
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节类比引入
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画
圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
活动目的：
通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．
第二环节猜想探索
活动内容：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD
⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
条件：①CD是直径；②CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④⌒AC=⌒
BC；⑤⌒
AD=
⌒
BD.
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
⌒AC和⌒
BC重合,
⌒
AD和
⌒
BD重合.
∴⌒
AC=⌒BC，⌒
AD=
⌒
BD.
O D B A C 2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：① CD 是直径；② AM =BM
结论（等量关系）：③CD ⊥AB ；
④⌒AC
=⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD . 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容 ——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
反例：
第三环节 知识应用
活动内容：
O C D B A O C D E O C D B
讲解例题及完成随堂练习．
1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD
,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD
上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．
解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ．
∵OE ⊥CD
3006002121=⨯==∴CD CF 根据勾股定理，得
OC ²=CF ² +OF ²
即 R ²=300²+(R -90)².
解这个方程，得R =545.
所以，这段弯路的半径为545m.
2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．
3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
有三种情况：（1）圆心在平行弦外；
（2）圆心在其中一条弦上；
（3）圆心在平行弦内．
1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
2、从方法上学习了什么？
（1）垂径定理和勾股定理结合。
（2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径。