(完整版)可逆矩阵教案
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（完整版）可逆矩阵教案.doc§1.4可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。
★教学课时： 100 分钟 /2 课时。
★教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。
3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 21 0 1 0A ， B1，则 A 可逆；1 1 11 0 0（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；0 0 31 1 1 1 1 0（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。
0 0 1 0 0 14.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；（ 3）可逆矩阵A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、B 为方阵，则 ABEA 1B 。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：例 5例 61 1 A0 01 2 A24不可逆；不可逆；2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷；3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论a i1A s1a i 2As2La inAsnD,is(i 1,2,L , n) ，0,isa 1 jA 1ta 2 jA2tLa njAntD, j t( j 1,2,L , n) ；0, j t2）写成矩阵乘法的形式有：a11a12La1nA11A21L An1A 0 L 0 a21 a22La2 nA12 A22LAn20 A LM M O M M M O MA EM M O M aan 2LannA1nA2nLAnn0 0 LA3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则A 11 A 21 LA n1A *A 12A22L A n 2MM OMA1n2nLAnn称为 A 的转置伴随矩阵。
第三章 可逆矩阵(第一讲)
1 , 2
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于 是 X A CB
1 0 0
1
1
2 1 0
1 1 2 0 1 1
0 3 1 5 0
1 2
2 2 1
16 11 3
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§2 方阵可逆矩阵的充要条件与逆矩阵计算
2.1可逆矩阵的有关定理
定义2.1 设n阶方阵A=(aij)，元素aij在行列式| A|中的代 数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n),则矩阵
A1 1 A1 2 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 An n
1 0 0
0 1 0
0 2 1
1 0 0
2 1 0
1 1 0 0 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
A
1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
2.3 逆矩阵的应用
1
A.
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定理2.4 方阵A可逆的充分必要条件是A可以经过有限 次初等变换化为单位矩阵. 证明 必要性.设A为n阶可逆矩阵，由于|A| ≠0，所以 A必可经过有限次的初等变换化为标准形，其标准形的主 对角线上的元素有n个1，故这个标准形只能是单位矩阵E.
充分性.已知方阵A可以经过初等变换化为单位矩阵E， 设这些初等变换所对应的初等方阵分别为P1, P2,…, Ps, Q1, Q2,…, Qt,使得 P1 P2… Ps A Q1 Q2…, Qt=E,
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
可逆矩阵一PPT课件
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
逆矩阵说课教学设计
逆矩阵说课教学设计一、教学目标：1. 知识目标：了解逆矩阵的概念与性质，并能够运用逆矩阵求解线性方程组。
2. 能力目标：能够正确判断矩阵是否可逆，掌握逆矩阵的求解方法，并能够灵活运用逆矩阵解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对于矩阵运算的兴趣，增强学生的数学抽象思维能力和问题解决能力。
二、教学内容：逆矩阵：1. 逆矩阵的定义及性质；2. 如何判断一个矩阵是否可逆；3. 逆矩阵的求解方法。
三、教学重点：逆矩阵的定义及性质，以及矩阵可逆的判断。
四、教学难点：逆矩阵的求解方法，以及运用逆矩阵解决实际问题。
五、教学过程：步骤一：导入新知1. 引入：根据教材给出的案例，引导学生思考如何解决线性方程组问题。
2. 导入：通过实际生活中的问题，让学生感受到线性方程组的重要性，并引出逆矩阵的概念。
步骤二：理论讲解1. 定义与性质：介绍逆矩阵的定义，以及逆矩阵的运算性质，包括逆矩阵与原矩阵相乘等。
2. 如何判断一个矩阵是否可逆：通过教材中的练习题，演示如何判断一个矩阵是否可逆，引导学生掌握判断方法。
3. 逆矩阵的求解方法：详细介绍矩阵求逆的方法，包括伴随矩阵法、初等行变换法等。
步骤三：例题演练1. 解决实际问题：通过具体生活案例，引导学生运用逆矩阵解决实际问题。
2. 练习题讲解：选取一些典型的练习题，引导学生通过矩阵求逆解决问题，同时讲解解题过程。
步骤四：拓展延伸1. 数学扩展：通过介绍逆矩阵在其他数学领域中的应用，如线性变换、概率统计等，引发学生对逆矩阵的进一步思考和学习兴趣。
2. 实际应用：介绍逆矩阵在工程、经济学等领域的应用，让学生认识到逆矩阵的实际用途和重要性。
六、教学设计理念：本节课的教学设计以问题驱动的方式进行，通过引入实际生活案例，让学生认识到逆矩阵的实际应用场景，并从中引发学生的学习兴趣。
在理论讲解环节，采用简洁明了的语言，结合案例和练习题，让学生逐步掌握逆矩阵的定义、性质与求解方法。
在实际问题解决环节，通过具体问题的讨论与分析，引导学生运用逆矩阵解决实际问题，培养学生的问题解决能力。
第三章 可逆矩阵 (第二讲)
0 1 0 0 0 0
0 1 0
0 1 0 2 1 1
2 a 2
1 2 3
2 3 2
0 1 3
1 2 2
0 0 1
1 2 1
即 R(AB)≥R(A)+R(B)-n.
显然，在上式中当AB=O时，有公式 R(A)+R(B) n.
例4 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证 1）当R(A)=n时，R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1. 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0. 证明 1）当R(A)=n时,记A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1 ≠0,从而R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O.由
1 A 0 0 2 1 0 3 2 , 1
1 B 0 0
2 1 2
3 2 . 4
显然， A为满秩矩阵，而B则为降秩矩阵.
例1 求下列矩阵的秩．
1 A 2 4 2 3 7 3 5 . 1
解 在A中，容易看出：一个2阶子式
定理3.2 对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵B n ×m， 使AB=E. 证明 当m= n时，定理显然成立.所以只需考虑m< n 的情况.由R(A)=m，知A中存在m个列，由它们构成的m阶 子式| A1| ≠0. A经过适当的列的换法变换可使A1位于A的前 m列.即有n阶的可逆矩阵P，使 AP=(A1,A2) 其中A1为m阶的可逆矩阵.令
求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩.
解 对矩阵B施以初等行变换
1 2 B 2 3 2 4 4 6 2 8 2 0 1 0 3 6 1 2 3 4
《可逆矩阵一》
整理课件
28
数学与计算机科学学院高等代数课件
继续下去可进一步得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c 21 c 22 ... c 2 n ... ... ... ... ... ... ... ...
a1 1 a2 1
a1 2
b1 1 ...
a22 bn1
... ... ...
b1n ... bn n
整理课件
17
数学与计算机科学学院高等代数课件
一般地，利用数学归纳法可以证明： (1)引理1
a 11 ... a 1m 0 ... 0
... ... ... a m 1 ... a mm
... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
0 1 ... 0 b21
... ... ... ... ...
0 ... 0 b12 ... b1n b22 ... b2n ... ... ...
0 0 ... 1 bn1 bn2 ... bnn
整理课件
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数学与计算机科学学院高等代数课件
整理课件
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数学与计算机科学学院高等代数课件
若n阶矩阵A可逆，则存在n阶矩阵B使得AB=BA=I， 从而∣AB∣=∣I∣ ，即∣A∣∣B∣ =1，所以 ∣A∣≠0。 反之，若n阶矩阵A的行列式∣A∣≠0，A是否 一定可逆呢？ 回答是肯定的，为了证明这一点，需要引进一个 概念。
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数学与计算机科学学院高等代数课件
整理课件
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数学与计算机科学学院高等代数课件
可逆矩阵的教学设计
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１可逆矩阵的教学设计可逆矩阵的教学设计Һ周倩楠㊀卢㊀勇㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了可逆矩阵的教学设计．首先，从数的四种基本运算这一简单问题出发，引出可逆矩阵的定义；其次，给出可逆矩阵的相关性质；最后，运用依行依列展开定理给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法，并在课堂教学中融入思政教育，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ矩阵；逆矩阵；教学设计ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金青年基金（１１９０１２５３），江苏省高校自然科学基金面上项目（１９ＫＪＢ１１０００９）．一㊁引㊀言逆 在‘现代汉语词典（第７版）“中的解释为：向着相反的方向（跟 顺 相对）．在数学学科中，我们也经常遇到这个字．如高等数学中映射的逆映射㊁初等数学中一个命题的逆命题等．当然，我们也学过一些与逆有关的运算．在数的运算中，加法㊁减法㊁乘法和除法是四种基本运算，其中，数的减法可以看成加法的逆运算，数的除法可以看成乘法的逆运算．可以看出，逆运算使得数的运算更加完善，有助于我们更深入地研究数的相关性质．在我们学习数学知识的过程中，数的加法㊁减法㊁乘法和除法无处不在，每个研究方向都离不开数的四种运算．同样，对于其他理工学科来说，数的四种基本运算也是基本运算，起着不可或缺的作用．所以说，逆运算不仅在数学中占有重要地位，在其他学科中也具有广泛的应用．本次课程涉及的知识点主要来源于线性代数．线性代数是数学的一个重要分支，它的研究对象是向量和向量空间（或称线性空间）．线性代数作为高等教育，尤其是高等数学中的一门重要学科，是理工科包括部分文科学生需要学习的一门专业必修课．在线性代数这一学科中也有许多逆运算．矩阵作为线性代数中的重要知识点和常见的工具之一，其运算中是否存在相应的逆运算？这是一个值得我们思考的问题．本文主要是分析关于可逆矩阵知识点的教学设计．首先，通过简单问题的引入 数的四种基本运算，引出矩阵的逆矩阵问题．其次，通过与学生互动，不断引导学生思考，并给出可逆矩阵的相关性质，如唯一性等．最后，给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题，运用伴随矩阵法求解可逆矩阵的逆矩阵．本文结尾结合本节课知识点的特点融入课堂思政，结合目前在校大学生遇到的实际问题和困难传递正能量，引导学生不断努力拼搏，克服逆境和困难，真正做到教书育人，从而使得本次教学内容更加丰富，并具有启发性．二㊁教学过程（一）问题引入我们知道，关于数有加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，其中数的减法可以看成加法的逆运算．在数的乘法运算中，给定一个非零数ａ，存在唯一的非零数ｂ，使得ａｂ＝ｂａ＝１，我们称数ｂ为ａ的倒数，记为ａ－１．利用非零数的倒数，数的除法可以转化为乘法，如ａｂ＝ａｂ－１，其中ｂʂ０．因此，我们可以说，数的除法运算可以看成乘法运算的逆运算．矩阵作为学习线性代数课程的重要知识点和工具，贯串整个线性代数的学习．矩阵的运算也是我们首先需要考虑的问题．在前面，我们已经学习了矩阵的加法㊁减法及乘法等运算．其中，矩阵的减法是利用矩阵的加法和负矩阵定义的，因此，可以看成矩阵加法的逆运算．对于矩阵乘法，我们思考：是否可以像数的乘法那样定义它的逆运算（即除法运算）？这一问题值得我们研究，而这就是矩阵的逆矩阵问题．我们可以注意到，在矩阵乘法运算中，单位阵Ｅ所起的作用与数的乘法运算中的１相当．因此，类似数的倒数，我们提出问题：对于一个矩阵Ａ，是否存在矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？在不引起歧义的情况下，我们不具体给出单位阵的阶数．由矩阵乘法的定义我们知道，要想讨论这一问题，首先必须确保这一式子是有意义的．由ＡＢ有意义，我们可以得出Ａ的列数必须等于Ｂ的行数．同时由ＢＡ有意义，我们可以得出Ｂ的列数必须等于Ａ的行数．再由ＡＢ＝ＢＡ，我们可以得出Ａ与Ｂ必须是同阶方阵．因此，这类问题只能针对方阵来研究，这是我们研究可逆矩阵的前提和基础．（二）研究问题下面，我们具体给出可逆矩阵的概念．定义１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，则称矩阵Ａ是可逆矩阵，简称Ａ可逆（或非退化），而Ｂ就称为Ａ的一个逆矩阵，否则就称矩阵Ａ不可逆（或退化）．根据可逆矩阵的定义，我们知道，要想判断给定的ｎ阶方阵Ａ是否可逆，就要看是否存在一个ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，如果存在，则矩阵Ａ可逆；如果不存在，则矩阵Ａ不可逆．接下来我们思考：类似非零数的倒数，对一个可逆矩阵Ａ而言，它的逆矩阵Ｂ是否可以写成Ａ－１这一问题将在后㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１面的讨论中解决．首先，由可逆矩阵的定义我们知道：零矩阵一定是不可逆的．因为，对于任意零矩阵而言，它乘以任意与其同阶的方阵都为零矩阵，不为单位阵．同时，由逆矩阵的定义可以看出，单位矩阵的逆矩阵就是其本身．因为单位阵乘以其本身还是单位阵．下面，我们再看这样一个例子：设Ａ＝００１２æèçöø÷，对于任意一个二阶方阵Ｂ＝ａｂｃｄæèçöø÷，由Ａ的第一行元素全为０可知，ＡＢʂＥ，因此，矩阵Ａ一定不可逆．那么，我们就需要思考：什么样的方阵一定可逆？如果可逆，其逆矩阵是否唯一？我们该如何求出可逆矩阵的逆矩阵？下面我们将围绕这三个问题进行讨论，并分别给出回答．首先，我们看唯一性．性质１㊀设Ａ是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一．证明思路：假设矩阵Ａ可逆，且Ｂ，Ｃ是Ａ的任意两个逆矩阵，则有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ及ＡＣ＝ＣＡ＝Ｅ．为了与矩阵Ｃ相联系，我们可得Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）．注意到矩阵乘法满足结合律，所以Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ．因此，我们知道可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的．因为可逆矩阵的逆矩阵具有唯一性，为了方便起见，我们将可逆矩阵Ａ的逆矩阵用Ａ加上上标 －１ 表示，记作Ａ－１，读作Ａ逆（这一写法类似非零数的倒数）．由可逆矩阵的定义，我们还能得到如下一些性质．性质２㊀若方阵Ａ可逆，则Ａ－１可逆，且有（Ａ－１）－１＝Ａ．性质３㊀若方阵Ａ可逆，ａ是一个非零常数，则矩阵ａＡ可逆，且（ａＡ）－１＝１ａＡ－１．性质４㊀若方阵Ａ和Ｂ具有相同阶数且均可逆，则ＡＢ可逆，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．性质２，３和４可以由可逆矩阵的定义得出，其证明可作为课后作业留给学生．下面，我们将具体讨论如何求一个可逆矩阵的逆矩阵．我们做如下分析：设Ａ＝（ａｉｊ）ｎˑｎ是一个可逆矩阵，如何求出矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎˑｎ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？目前，我们只能从可逆矩阵的定义出发．由矩阵乘积的定义，我们知道，ＡＢ＝Ｅ可写成ａｉ１ｂ１ｊ＋ａｉ２ｂ２ｊ＋ ＋ａｉｎｂｎｊ＝１，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（１）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ．根据上式特点，要想通过这样一组式子求出矩阵Ｂ是有困难的，因为通过公式（１），我们还是求不出矩阵Ｂ的元素ｂｉｊ．但是，我们发现，公式（１）与我们之前学过的一个定理类似：依行展开定理．当我们结合依行展开定理ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ ＋ａｉｎＡｊｎ＝Ａ，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（２）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ，即把（１）式中的ｂｉｊ换成矩阵Ａ的元素ａｊｉ的代数余子式Ａｊｉ．通过观察公式（２），我们可以将等号左边看成两个矩阵乘积的（ｉ，ｊ）元，其中ａｉ１，ａｉ２， ，ａｉｎ就是矩阵Ａ的第ｉ行元素．而Ａｊ１，Ａｊ２， ，Ａｊｎ可以看成一个矩阵的第ｊ列元素．为了方便起见，我们将这个矩阵用Ａ加上上标 ∗ 来表示，记作Ａ∗，读作Ａ的伴随矩阵．具体写出来就是Ａ∗＝Ａ１１Ａ２１ Ａｎ１Ａ１２Ａ２２Ａｎ２︙︙ ︙Ａ１ｎＡ２ｎＡｎｎæèççççöø÷÷÷÷．这里需要注意的是，Ａｉｊ位于Ａ∗的第ｊ行第ｉ列．与之对应，等号右边可以看成以Ａ为主对角元的主对角阵．所以，公式（２）可以写成ＡＡ∗＝ＡＥ．利用依列展开定理，可得Ａ∗Ａ＝ＡＥ，结合起来就有ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝ＡＥ．当Ａʂ０时，该式两边同时乘以１Ａ，可得Ａ１ＡＡ∗()＝１ＡＡ∗()Ａ＝Ｅ．由可逆矩阵的定义，我们知道，矩阵Ａ可逆，并且其逆矩阵就是Ａ－１＝１ＡＡ∗．另外，当矩阵Ａ可逆时，有ＡＡ－１＝Ｅ，两边同时取行列式，可得ＡＡ－１＝１，所以Ａʂ０．结合上述分析就有下面的定理：定理１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，则Ａ可逆的充要条件是Ａʂ０，且此时Ａ－１＝１ＡＡ∗．定理１不仅给出了可逆矩阵的一个充要条件，同时给出了求可逆矩阵的逆矩阵的方法，我们将这一方法称为伴随矩阵法．伴随矩阵法是我们求一个可逆矩阵的逆矩阵的有效方法，它区别于逆矩阵的定义．当需要求可逆矩阵Ａ的逆矩阵时，不需要找到矩阵Ｂ，而通过矩阵Ａ自身即可，即求出矩阵Ａ的行列式及伴随矩阵．因此，对于伴随矩阵法，学生需要结合具体例题不断练习，从而真正掌握这一方法，进而计算可逆矩阵的逆矩阵．下面，我们结合一个例题具体应用伴随矩阵法．例１㊀判别矩阵Ａ是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵．其中Ａ＝１１０２１０１－１１æèççöø÷÷．分析㊀要想判别矩阵Ａ是否可逆，结合定理１，需要看其行列式是否不等于０．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１设Ａ＝１１０２１０１－１１，通过计算，可得Ａ＝－１ʂ０，所以Ａ可逆．接下来，我们运用伴随矩阵法求Ａ的逆矩阵．计算Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，得Ａ∗＝１－１０－２１０－３２－１æèççöø÷÷，因此Ａ－１＝１ＡＡ∗＝－１１０２－１０３－２１æèççöø÷÷．课后思考：结合例题及求逆矩阵的伴随矩阵法，我们容易看出，对于一个ｎ阶可逆矩阵Ａ，当ｎ比较小时，如例１中的矩阵Ａ，因为Ａ是３阶方阵，因此，计算其行列式从而判定其是否可逆的难度不大，同样，计算Ａ的伴随矩阵难度也不大，大多数学生都能计算出来．但是，我们在之前学习计算行列式时能够知道，对于一个给定的ｎ阶方阵，当ｎ比较大时，比如一个６阶方阵Ａ，用伴随矩阵法求逆矩阵是比较困难和复杂的．因为我们首先要计算这个６阶方阵的行列式，判定其是否为０，如果不为０，我们还需要计算一些５阶方阵的行列式，从而得到其对应的伴随矩阵，这一计算过程比较烦琐，且计算量较大，很多学生在计算过程中会出现错误．因此，我们发现，用伴随矩阵法计算一个可逆矩阵的逆矩阵要根据给定矩阵的阶数来看，如果阶数较小，可以考虑使用伴随矩阵法，如果阶数较大，那么就需要运用其他方法进行求解．是否还有其他求可逆矩阵的逆矩阵的方法呢？我们将在下节课与大家一起探讨和学习另一种计算可逆矩阵的逆矩阵的方法 初等变换法，建议做好相应的预习和复习工作．（三）内容小结本次课程主要讲解的知识点是可逆矩阵．首先，通过数的加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，以及倒数引入了主要问题 可逆矩阵．其次，我们给出了矩阵的逆矩阵的概念，并通过部分特殊矩阵分析了矩阵可逆的相关性质．再次，通过问题引入引导学生得到了可逆矩阵的几种性质．最后，结合可逆矩阵的定义及依行依列展开定理得到了伴随矩阵的概念以及求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题运用伴随矩阵法计算给定矩阵的逆矩阵．在本次课程的最后，我们还留下相关问题，就是当给定矩阵的阶数比较大时，运用伴随矩阵法是否还能求出其逆矩阵，计算量大不大，同时引出下次课程需要学习的内容 初等变换法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导，让学生思考一些常见的问题，并结合学生之前所学知识（数的加法㊁减法㊁乘法㊁除法㊁倒数问题，以及矩阵的加法㊁减法和乘法运算）一步步达到教学目的．本次课堂的内容由浅入深，主要目的是启发学生在学习过程中不断发现问题㊁思考问题，从而解决问题．希望通过本次课程的学习，学生能够掌握可逆矩阵的相关性质，以及求解可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法．三㊁课堂思政本次课程我们主要教学了可逆矩阵和可逆矩阵的逆矩阵的求法 伴随矩阵法．通过可逆矩阵，我们可以研究类似数的除法的问题．通过学习可逆矩阵，我们能够发现，逆运算能够使数学更加完美．学习数学知识能够锻炼我们的思维能力，培养我们发现问题㊁思考问题及解决问题的能力．同时，我们要学会总结学过的知识．在数学中有逆运算，我们在人生的道路上也会遇到种种逆境与不顺． 逆 字也经常出现在我们的生活中，对于很多人来说，人的一生不一定是一帆风顺的，生活往往会给我们出一些难题．比如，作为一名大学生，在大学学习和生活中，我们离开了父母，很多事都需要自己去面对，要学习如何和老师与同学相处，还要学习如何不断适应社会，从而走入社会．很多学生都经历了线上学习，而线上学习的效果在一定程度上不如线下学习，部分学生在学习过程中产生了抱怨㊁烦躁的心理．他们会担心知识点掌握不牢，不能跟老师和同学近距离讨论问题，等等，学习的效率和效果都达不到预期目标．这些在一定程度上对于学生来说就是逆境．再如，受疫情的影响，很多毕业生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的压力．但是，这些在逆境中成长的学生会更快适应身边不断变化的环境，更快地投入学习，能够通过回看授课视频重复学习，查漏补缺，更好地掌握知识点．当学生走向社会，可能会面临生活和工作中的其他问题，然而，这些困难和逆境往往能使他们的人生更加完美，因为他们在克服困难的过程中得到了知识，获得了成长．相信临近毕业的大学生在回首大学四年的学习生活时，每个人都会有不同的感悟，每个人都有不同的成长．我们也许该感谢这些困难和逆境，因为它磨炼了我们的意志，给予了我们更多的勇气去面对困难，挑战困难．所以，不管我们是在求学过程中还是在工作中，遇到困难和逆境都不要气馁，只要我们坚定信心，勇往直前，不断克服它们，就终将实现人生的理想和目标，真正成为一个对国家和社会有用的人．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１６．［２］同济大学数学系．工程数学线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］潘璐璐，徐根玖，张莹，等．函数在一点处的极限教学设计［Ｊ］．高等数学研究，２０２０（２）．。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
第三章 可逆矩阵
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.3 方阵A可逆 存在方阵B，使AB=E.
A-1=B.
证 ) 由定义知. ) AB =AB =E=1， A≠0， A可逆， 且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B. #
推论2.1 设A,B均为n阶方阵， 若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式。
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),
求 (E+B)-1.
解 由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A, 从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E
1 ( E A)( E B) E , 2 1 1 ( E B ) ( E A). 2
不用除法，解方程 2x=4
解
1 是2的 倒 数 2
1 1 1 2 x 4 , 得x 2. 注 意 到 2 1. 2 2 2
§1 可逆矩阵的定义及性质
定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称 A的逆。 注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论 及可逆性，方阵不一定可逆。 1 0 对任意B b11 b21 例 A , b 0 0 b22 12 b11 b21 1 0 b11 0 1 0 . BA 0 1 , A不 可 逆 b 0 0 b 12 0 12 b22
可逆矩阵教案
可逆矩阵教案第一篇：可逆矩阵教案§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。
★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
可逆矩阵的概念；可逆矩阵的判定；利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；可逆矩阵的性质。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。
3.可逆矩阵的例子：（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A=-1⎛10⎫⎛10⎫，B=⎪⎪，则A可逆；11-11⎝⎭⎝⎭⎛100⎫⎪（3）例3 对角矩阵A=020⎪可逆；003⎪⎝⎭⎛111⎫⎛1-10⎫⎪⎪（4）例4 A=011⎪，B=01-1⎪，则A可逆。
001⎪001⎪⎝⎭⎝⎭4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；-1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则AB=E⇒A=B。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：-1-1-1⎛11⎫例5 A=⎪不可逆；00⎝⎭例6 A=⎛12⎫⎪不可逆；⎝24⎭2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论ai1As1+ai2As2+⎧D,i=s(i=1,2,n,，)+ainAsn=⎨0,i≠s⎩⎧D,j=t(j=1,2,+anjAnt=⎨⎩0,j≠tA21A2 2A2nAn1⎫⎛A⎪An2⎪0=⎪⎪Ann⎭⎝00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有：⎛a11 a21 ⎝an1a12a22an2a1n⎫⎛A11⎪a2n⎪A12⎪⎪ann⎭⎝A1n 0⎫⎪0⎪=AE ⎪⎪A⎪⎭3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)n⨯n的行列式中aij的代数余子式，则⎛A11 A*A=12 ⎝A1n称为A的转置伴随矩阵。
【高等代数教案】可逆矩阵，方阵的逆矩阵（可编辑）
第一学期第十次课 0>.阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使，则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义定义设A是一个非空集合。
任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义设G是一个非空集合。
如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有；存在单位元素，对于任意，满足；对于任意，存在，使得。
关于群的性质，我们有如下命题：命题对于任意，同样有证明对于，存在，使得，，两端右乘，得到。
命题对于任意，同样有证明。
命题单位元素唯一证明假设存在，均是单位元素，则。
命题对于任意，存在唯一，使得，于是元素就称为的逆元素，记为。
证明设存在，满足条件，则。
易知，。
命题对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。
定义一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。
定义设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。
如果具有性质：（1）、L关于加法成为一个交换群；（2）、乘法满足结合律，即，有；（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有那么L就称为一个环。
命题数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；证明按定义逐项验证即可。
其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。
命题证明，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。
命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。
证明只需要证明即可。
事实上，，于是命题得证。
命题矩阵可逆当且仅当满秩；证明必要性若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有，于是；充分性若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。
可逆矩阵doc
2.4 可逆矩阵授课题目 2.4 可逆矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等变换求解矩阵方程教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程教学过程：一、可逆矩阵的定义及性质 1、可逆矩阵的定义解B A nn =X 时需要满足CA=-I 的C 的存在性问题。
定义1，对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B 使得 AB=BA=I则称A 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A 可逆称B 为A 的逆矩阵从下面几点加深理解：01要求A 是方阵，非方阵不加以讨论（广义逆）；02条件是两等式成立（双边乘A 等于单位阵）；o3能否用BA=I （单边）定义，04若A 可逆，A 的逆矩阵是否唯一？05条件“AB=BA=I ”中，A ，B 的相互性2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性证 事实上设12B B ，都是A 的逆矩阵，便有1112222B B I B AB A B IB B ====1（）=（B ） A 可逆，用1-A 表示A 的唯一的逆矩阵，1-A A=A 1-A =I3、可逆矩阵的性质 设A ，B 可逆1)1A -可逆且11)(--A =A ；证 由于111A A AA I,A A ---==知与互为逆矩阵，且11A A --=（）2)111)(---=A B AB （穿脱原理）证 因为A ，B 均可逆，知11A B --，存在，且有111111111111B A AB B A A B B IB B B IAB B A A BB A AIA AA I ------------========（）（）（）（）（）（）所以AB 可逆，且111)(---=A B AB推广1111112n n n 121A A )A A A A ------=（A3)T TA A )()(11--= 两运算可交换顺序证 因为A 可逆，有11A A AA I,--==两边取转置得1T 1T T T 1T (A A)(A )A A (A )I ---===所以T 11TA A --=T 可逆，且（A ）（） 4、可逆性的初步判定1）初等矩阵的可逆性初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。
第三章 可逆矩阵(第一讲)
1 0 0 2 1 0 3 2 2 X 5 1 1 1 0 3 1 0 1 , 0
求矩阵X .
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解 设
1 A 0 0 2 1 0 3 2 2 , B 5 1
对上式的两端取行列式，得 |P1 P2… Ps|| A|| Q1 Q2…, Qt|=1, 可见|A| ≠0，故A可逆.
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定理2.5 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有 限个初等矩阵的乘积. 证明 必要性.由定理2.4的证明中 P1 P2… Ps A Q1 Q2…, Qt=E, 可得 A = P1-1 P2-1… Ps-1 Q1-1 Q2-1…, Qt-1 , 即A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.
性质2 若A可逆，则 A 亦可逆，且
(A
1
1
)
1
A.
证明 由定义1.1，性质2显然成立. 性质3 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且
λA
1
1 λ
A .
1
证明 由AA-1 = A-1A = E,便有
( k A )( 1 k A )(
1
1 k
A )( k A ) E .
1 1 , C 0 3 1
0 1 , 0
则上式变成:
AXB = C
因 为 A 1 0, B 1 0 . 所 以 A , B 均 存 在 ， 且
1 1
A
1
1 0 0
2 1 0
1 3 1 2 ,B 5 1
1 0 0
0 1 0
0 2 1
可逆矩阵教案
§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。
★ 教学课时：100 分钟/2 课时。
★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2•定义1.4.1 （可逆矩阵）对于矩阵A ,如果存在矩阵B ,使得AB BA E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A 1。
3.可逆矩阵的例子：1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；2)例21A1110，则A可逆；11，B1003) 例3对角矩阵A020可逆；0031111104) 例4A011，B011 ，贝U A可逆。
001001 4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A 1和A是同阶方阵;（3）可逆矩阵 A 的逆A 1也是可逆矩阵，并且 A 和A 1互为逆矩阵;（4）若A 、B 为方阵，则AB E A 1可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1.方阵不可逆的例子：1不可逆;0 2 不可逆;42. 利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2 ）说明这种方法的缺陷；3. 转置伴随矩阵求逆 （1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论称为A 的转置伴随矩阵。
（2）转置伴随矩阵求逆：1) AA * AE ；2）定理1.4.1 A 可逆的充分必要条件是A 0 （或A 非奇异）a iA s1a i2A s2La inA snD,i 0,i (i 1,2,L ,n),a1 jAi ta 2jA 2t La njAi tD,j 0，jt t(j 1,2,L ,n)；2) 写成矩阵乘法的形式有：a 11厲2L Cn A 11A 21 L A n1 A 0 L 0 a 21a 22L a 2nAI2A 22 LA n20 |A L 0 MM OM M M OM M M O M a n1a n2La nnAnA 2nLA nn0 L A3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是A（a j ）n n 的行列式中子式，则AI1 A 21L Ai 1A12A 22LA n2r\M M OMA 1n A 2n LA nnAE，且3j 的代数余3)例7判断矩阵A4)例8可逆矩阵的性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7.(A B) 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
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§1.4 可逆矩阵
★教学内容：
1.可逆矩阵的概念；
2.可逆矩阵的判定；
3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；
4.可逆矩阵的性质。
★教学课时：100分钟/2课时。
★教学目的：
通过本节的学习，使学生
1. 理解可逆矩阵的概念；
2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；
3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：
本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★教学设计：
一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB BA E
==则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为1
A-。
3.可逆矩阵的例子：
（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；
（2）例2
10
11
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
10
11
B
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
，则A可逆；
（3）例3 对角矩阵
100
020
003
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
可逆；
（4）例4
111
011
001
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
110
011
001
B
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，则A可逆。
4.可逆矩阵的特点：
（1）可逆矩阵A都是方阵；
（2）可逆矩阵A的逆唯一，且1
A-和A是同阶方阵；
（3）可逆矩阵A 的逆1A -也是可逆矩阵，并且A 和1A -互为逆矩阵； （4）若A 、B 为方阵，则1
AB E A B -=⇒=。
二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆
1.方阵不可逆的例子：
例5 1100A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
不可逆；
例6 1224A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
不可逆； 2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆
（1）引入转置伴随矩阵
1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论
1122,0,i s i s in sn D i s
a A a A a A i s =⎧++
+=⎨≠⎩ (1,2,,)i n =，
1122,0,j t j t nj nt D j t
a A a A a A j t
=⎧++
+=⎨
≠⎩ (1,2,,)j n =；
2）写成矩阵乘法的形式有：
1112111
2112122212
22212120
00
00
n n n n n n nn n n
nn a a a A A A A a a a A A A A A E a a a A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设ij A 式是()ij n n A a ⨯=的行列式中ij a 的代数余
子式，则
11
21112
222*
12n n n
n
nn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
称为A 的转置伴随矩阵。
（2）转置伴随矩阵求逆： 1）*
AA A E =；
2）定理1.4.1 A 可逆的充分必要条件是0A ≠（或A 非奇异），且
1*
1A A A
-=
； 3）例7 判断矩阵1235A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
4）例8 设223110121A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
三 可逆矩阵的性质 1.性质1 11
()A A --=； 2.性质2 1
11()AB B A ---=； 3.性质3 1
1()()A A T --T =；
4.性质4 1
1
1()kA A k
--=
； 5.性质5 11A
A
-=
； 6.性质6 1
*
n A A -=；
7.1
11()
A B A B ---+≠+。
例9 设A ，B 均为三阶方阵，且12
A =，3
B =，求1
(2)B A T -。
四 可逆的应用——解矩阵方程
例10 设方程2
2A A E O --=，证明：2A E +可逆，并求其逆。