2021年重庆中考数学专用课后作业课件 第四章第四节 全等三角形
2021年中考数学复习讲义：第四章全等三角形模型（十二）——手拉手模型
第四章.全等三角形模型（十二）——手拉手模型【结论1】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则⑴△ABD ≌△ACE; ⑵BD和CE的夹角∠P=∠BAC=∠DAE.⑴⑵模型讲解口诀相同图形在一起要把边角边想起找全等三角形的方法：顶左左，顶右右【相同图形的左手拉左手，右手拉右手】【结论2】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90º，则⑴△ABD ≌△ACE; ⑵BD⊥CE（1）（2）【结论3】如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形⑴△BCD ≌△ACE; ⑵∠AOB=∠DOE=60º【结论4】如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形，当点B、C、E共线时典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，△ACB 和△DCE均为等边三角形，点 A，D，E在同一条直线上，连接 BE，则∠AEB的度数是（）A.30°B.45°C.60ºD.75°【答案】C【解析】∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，且△ACB与△DCE共点，形成了手拉手模型.根据模型结论可知：△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC.∵∠ADC+∠CDE=180°,∠CDE=60°,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC -∠CED=120°-60°=60°.故选 C.典例2 ☆☆☆☆☆如图，△ABC和△ADE 都是等腰直角三角形，CE与 BD 相交于点 M，则 BD 与 CE 的数量关系为（）A.2BD =CEB.3BD =2CEC.BD=CED.2BD=3CE【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且△ABC与△ADE 共点，∴形成了手拉手模型，根据模型结论可知△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接 BD，CE交于点F，则 BD与CE的数量关系为（ )A. 2BD=CEB.3BD=2CEC.BD=CED.2BD=3CE【答案】C【解析】∵△ABC绕点A 按逆时针方向旋转 100°得到△ADE，∴△ABC与△ADE 形成手拉手模型.根据模型结论可知，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE. 故选 C.小试牛刀1.（★☆☆☆☆）如图，△ABC 和△CDE均为等边三角形，点A， D，E在同一条直线上，连接 BE.若∠CAE=25°，则∠EBC 的度数是（ )A.35ºB. 30°C. 25°D. 20°2.（★★☆☆☆）如图所示，B，D，E在同一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=（）.A.60°B.55°C. 50°D. 无法计算第2题图第3题图3.（★★★☆☆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为 BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，连接 CF，则有下列结论∶①BF=AC;②∠FCD=45°;③若 BF=2EC，则△FDC的周长等于 AB 的长. 其中正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3 个直击中考1.如图，在△AOB和△COD中，OA= OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接 AC，BD交于点M，连接OM.有下列结论∶①∠AMB=36°;②AC= BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数为（ )A.4B.3C.2D.12OA<OM=ON），∠AOB=∠MON=90º3.已知△AOB 和△MON都是等腰直三角形（当2（1）如图 1，连接 AM，BN，求证∶△AOM≌△BON.（2）若将△MON 绕点 O 顺时针旋转.①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证∶ BN2＋AN2= 2ON2;②当点 A，M，N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.第四章.全等三角形模型（十二）——手拉手模型答案：小试牛刀1.答案 C解析：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且△ABC与△CDE共点，∴形成了手拉手模型，根据模型结论可知△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAE=∠EBC.∵∠CAE=25°,∴∠EBC=25º，故选 C.2.答案 B解析：∵AB=AC,AD=AE,等腰△ABC与等腰△DAE 共点，形成了手拉手模型，根据模型结论可知△BAD≌△CAE（SAS）.∵∠2=30°,∴∠ABD=∠2=30°，∵∠1=25°,∴∠3=∠ABD+∠1=55°.故选 B.3.答案 D解析：△ABD是等腰直角三角形，要证明△FDC是等腰直角三角形，只需要证明△BDF≌△ADC.∵△ABC中，AD，BE分别为 BC，AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD 的余角，而∠ADB= ∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，故①正确;易得FD=CD，∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确;根据①得 BF=AC，若 BF=2EC，则 AC= 2EC，即 E为 AC的中点，∴BE为线段 AC的垂直平分线，∴AF=CF，BA=BC，∴AB=BD+CD=AD＋CD=AF＋DF+ CD=CF＋DF＋CD，即△FDC的周长等于 AB 的长，故③正确. 故选 D.直击中考1. 答案 B解析：∵ OA=OB, OC=DO,∴△AOB与△COD为等腰三角形.由于△AOB与△COD 共点，故形成手拉手模型，根据模型结论可知△AOC≌△BOD(SAS), ∴AC=BD，故②正确.由三角形外角的性质及对顶角相等可得∠AMB+∠OBD=∠OAC＋∠AOB，又由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确.作 OG⊥AM于G，OH⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOC≌△BOD, ∴OG=OH,∴MO平分∠AMD，故④正确，假设 OM平分∠AOD，则∠DOM= ∠AOM.在△AMO与△DMO中，∠AOM=∠DOM,OM=OM,∠AMO=∠DMO, ∴△AMO≌△DMO(ASA),∴AO=OD. 又OC=OD，∴OA=OC，而 OA<OC，故③错误.因此，正确结论的个数为 3.故选 B.2.解析：（1）∵∠AOB=∠MON=90°，∠MON+∠AON=∠AOB+∠AON，即∠AOM=∠BON.∵AO=BO,OM=ON, ∴△AOM≌△BON(SAS). （2）①如图，连接 AM.同（1）证明方法可证△AOM ≌△BON(SAS),∴AM=BN，∠OAM=∠B=45°，∵∠OAB=∠B=45º，∴∠MAN=∠OAM+∠OAB=90°, ∴MN²=AN²＋AM²，∵△MON是等腰直角三角形， MN²=2ON²,∴BN2＋AN²=2ON².②情况一∶如图，设OA交BN于点J，过点O作OH⊥MN于H由已知可知形成手拉手模型，根据手拉手模型可得△AOM≌△BON，∴AM=BN，∵OM=ON=3，∠MON=90°，OH⊥MN，∴MN=32,MH=HN=OH=223∴AH= 22OHOA-=22223-4⎪⎪⎭⎫⎝⎛=246∴BN=AM=MH+AH=22 346+情况二∶如图，同情况一方法可得 AM=BN=22 3-46。
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
人教版中考数学专题课件：全等三角形
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全等三角形
1．证明线段相等或角相等，一般通过证明它们所在的 两个三角形全等来证明； 2．求三角形中的角度问题，一般运用三角形的内角和 定理来解决．
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全等三角形
变式题 [2012· 钦州] 如图 16－4，点 E、F 在 BC 上，BE ＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C. 求证：AB＝DC.
图 16－2
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全等三角形
由 BF＝CE，可得 BC＝EF.由 AC∥DF，可得 解 析 ∠ACB＝∠DFE.△ABC≌△DEF 已经具备的条件是 BC＝EF， ∠ACB＝∠DFE，一边与一角相等，可以添加∠A＝∠D，利用 AAS 证明；或 AC＝DF，用 SAS 证明；或 AB∥DE，用 ASA 证明全等．
图 16－1 A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
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全等三角形
由矩形 ABCD 可得∠ADO＝∠EDO＝90°， 解 析 又 AD＝ED， OD＝OD， 根据“SAS”可证得△AOD≌△EOD， 选项 C 正确；由 DE＝DA＝CB，∠BCO＝∠EDO＝90°， ∠BOC＝∠EOD，根据“AAS”可得△BOC≌△EOD，选项 B 正确；进而可证得△AOD≌△BOC，选项 D 正确．故选 A.
全等三角形
探究二 全等三角形开放性问题
命题角度： 1．三角形全等的条件开放性问题； 2．三角形全等的结论开放性问题．
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中考数学第四章 三角形 重难 微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
= ,
在△ACD和△AED中,ቐ ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ACD≌△AED,
∴∠AED=∠C=90°,CD=ED.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
又AC=BC,∴∠B=45°,∴∠EDB=∠B=45°,
∴DE=BE,∴CD=BE.
∴∠DBE=60°,
1
∴BD= BE,
2
∴TF=2BD,即BF-AB=2BD.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
突破点2 旋转
运用旋转的全等变换,可以把分散的条件集中到一个三角形中.
模型1
绕定点旋转60°,构造全等三角形
如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC内,将△ABP绕点A逆时针旋转
明剩下的线段等于另一条短线段.
补短法:延长短线段,使其延长部分等于另一条短线段,然后证明延长
后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然
后证明延长部分等于另一条短线段).
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
例1
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD平分∠BAC交BC于点D.
60°,得到△ACP',则△ABP≌△ACP',且△APP'为等边三角形.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
例2
如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,则线段
AD,CD和BD之间的数量关系为 AD2+CD2=BD2 .
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
∵BA=BT,∠ABT=60°,
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
中考研究：第4章《三角形》第4节《全等三角形》ppt课件
证明：如解图，连接AD， ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD, ∴∠BAD=∠CAD(SSS), ∴AD是∠EAF的平分线. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF.
2020/5/21
2020/Leabharlann /212. 寻求证明三角形全等中的等量关系： ①通过全等三角形的对应边寻求对应角，或由对 应角寻求对应边； ②由全等三角形角或边的大小寻找对应元素，最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应；最大 角与最大角对应，最小角与最小角对应；③通过 平移或旋转前后对应关系等寻找对应元素，平移 或旋转前后的图形是全等图形，故对应的角相等， 对应的边相等； ④特殊的对应角或对应边：对顶角对应相等，公 共边相等，平行线内错角相等，同位角相等.
第四章 三角形
第四节 全等三角形
2020/5/21
考点梳理
考点特训营
全等三角形
概念 全等三角形的性质 全等三角形的判定 判定两个三角形全等的思路
2020/5/21
重难点突破
添加条件判断三角形全等的方法： （1）已知两边相等，找夹角相等； （2）已知两边相等，找直角相等； （3）已知两边相等，找另一边相等； （4）已知一边和一角相等，边为角的对边，找任一角相 等； （5）已知一边和一角相等，边为角的邻边，找夹角的另 一边相等或找夹边的另一角相等，或找边的对角相等； （6）已知两角相等，找夹边相等或找其他任意一边相等.
2020/5/21
例2（2014黄冈）已知，如图所示，AB=AC， BD=CD,DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：DE=DF.
2020/5/21
【思路点拨】连接AD，证DE=DF,由于DE⊥AB， DF⊥AC,考虑要证AD是∠EAF的平分线，可转化 为证明△ABD≌△ACD，即可得证. 【自主解答】
中考数学复习 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件
)
(3)三个角对应相等的两个三角形全等; (
)
(4)面积相等,且有一边相等的两个三角形全等;
(5)两个等边三角形一定全等;
(
(6)两个等腰直角三角形一定全等. (
(
)
)
)
2021/12/8
第十四页，共二十八页。
(2)× (3)× (4)×
课堂考点探究
[方法模型] 全等三角形的基本模型
一、轴对称型
图 18-6
课堂考点探究
4.已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图 18-12 所示,AB=AC,
AD=AE,∠1=∠2.
= ,
证明:(1)在△ ABD 和△ ACE 中, ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(1) 求证:BD=CE;
(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
探究二
利用(lìyòng)全等三角形解决实际问题
例 2 课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图 18-13.
(1)求证:△ ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
图 18-13
解:(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠B=∠E.
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵BF=CE,∴BC=EF,
图 18-3
∴△ ABC≌△DEF,
∴AB=DE,AC=DF.
2021/12/8
第十页，共二十八页。
中考数学 三角形与全等三角形复习课件 新人教版
A．80°
C．100°
B．90°
D．110°
(3)(2010·广州)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5 ，则DE的长是( A．2.5 B ．5 ) C．10 D．15
(4)(2010·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这 个三角形是( )
A．直角三角形
C．钝角三角形
B．锐角三角形
D．等边三角形
(5) （2011·黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角 ∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝______.
【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质．
【解答】(1)B 由三角形三边关系可得11＜x＜15，∴满足条件的正 整数x为12,13,14，∴这样的三角形有3个．
(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)如果两个直角三角形的斜边及一条 直角边 分别对应相等，那么 这两个直角三角形全等．简记为HL. 3．证明三角形全等的思路
找夹角 (1)已知两边找直角 找另一边 (2)已知一边一角
边为角的对边时，找另一角 找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角 找边的对角
考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、 面积相等．
考点四
全等三角形的判定
1．一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么这两个三角形全等
个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节 三角形及其性质
面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶 点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解 决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性 质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
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1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°， 求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等 腰 三 角 形(如 图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD
4.顶角的⑩ 角平分线 重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高 线
图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的 高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°
垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角 形的垂心
返回
定义：连接三角形两边中点的线段
中 位
图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章 三角形
第2节 三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系
三角形的分类 三角形边角关系
中考数学 第四章 课时14 三角形及其全等(知识清单重难点讲解中考真题演练)
中考数学一轮复习·学与练第四章 三角形 课时14 三角形及其全等知 识 清 单考点一 三角形的概念及分类 1．三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的 图形叫做三角形． 2．三角形的分类(1)按边分一般三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形：三条边都相等(2)按角分90锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角为钝角三角形：有一个角为钝角考点二 三角形的边角关系1．边的关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边．判断三条边(a ，b ，c ，a ≤b ≤c )能否构成三角形，只需比较两条短边(a ，b )的和与第三边(c )的大小，若a ＋b >c ，则能构成三角形；反之不能构成三角形．2．角的关系(1)三角形内角和等于 ；(2)任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和； (3)任意一个外角 任何一个和它不相邻的内角．3．边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对 ，大边对 ． 4．三角形的稳定性三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．考点三 三角形中的重要线段 1．角平分线(1)概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)图形及性质：如图1，在△ABC 中，AD 为角平分线，则有∠1＝ ＝12∠BAC .(3)内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．图1 图22．中线(1)概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．(2)图形及性质：如图2，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则有BD ＝ ＝12BC .(3)重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍．3．高线(1)概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．(2)图形及性质：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，则有AD ⊥ ，即∠ADB ＝∠ADC ＝90°.(3)垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．图3 图4知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离 ．4．中位线(1)概念：连接三角形两边中点的 ．(2)图形及性质：如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE 为△ABC 中位线，DE ∥ 且DE ＝12BC .考点四全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角、对应边、周长、面积；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别．3．全等三角形的判定判定1：三边分别的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).判定2：两边和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).判定3：两角和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).判定4：两角和其中一个角的对边分别的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).判定5：斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).重难点讲解命题点1 利用三角形“三线”的性质解题三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．经典例题1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，由AD是BC边上的高可得∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可得∠BAD的度数，根据∠DAC＝∠BAC－∠BAD即可得解．【答案】B命题点2 全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.经典例题2 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：∠C ＝∠D .【解析】根据题意选择“边角边”(SAS)即可求证．【证明】 ∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE .在△ADF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ADF ≌△BCE . ∴∠C ＝∠D .命题点3 三角形的角度计算问题中的方程思想方程思想的本质是设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题目，利用所学定理、性质等寻找出等量关系．三角形有关角度的计算问题，可利用三角形内角和及外角性质构建方程，利用方程思想解决有关角度问题.经典例题3 在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【解析】因为∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，设∠A ＝5x °，∠B ＝6x °，∠C ＝7x °，根据三角形的内角和是180°，可得5x ＋6x ＋7x ＝180，解得x ＝10，所以∠B ＝6x °＝60°.【答案】 B中 考 真 题 演 练一、选择题1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ) A ．1 B ．2 C ．8 D ．113. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°第3题 第4题4. 如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG 5. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A ．14B ．10C ．3D ．26. 如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF .若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2 8. 在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11第9题 第10题10. 如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 11. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c第11题 第12题12. 如图，已知点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC C ．取AB 中点C ，连接PCD ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长线交AC于点E.若DF＝5，BC＝16，则线段EF的长为( )A．4 B．3 C．2 D．1第13题第14题14. 如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2. 其中正确的是( )A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二、填空题15. 三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 .16. 如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.第16题第17题17. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝.18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB＝.第18题第19题19. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是.20. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为.三、解答题21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22. 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若CF＝AD，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并说明理由．24. 如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.25. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上(AP＞BP)．作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ(如图1)．(1)求证：△ACQ≌△BCP；(2)延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2.①求证：CQ2＝QA·QR；②判断三条线段AH，HP，PB的长度满足的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(.21c.c)。
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件
C.AC=DB
D.AB=DC
图18-1
第七页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
2.用直尺和圆规(yuánguī)作一个角等于已知角,如图18-2,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是
( D)
A.SAS
B.AAS
C.ASA
高
频
考
向
探
究
图18-2
第八页，共四十三页。
D.SSS
基
础
知
识
巩
固
3.如图18-3,方格纸上有一个格点三角形和
高
频
考
向
探
究
折后,能与△A'B'C'重合,则称它们是轴对称型
全等三角形.图18-11是常见的轴对称型全
等三角形,其对称轴l是对称点所连线段的垂直
平分线.
图18-11
第三十一页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含(yǐn hán)条件,例如有些具有公共边(如
图①中的AC,图④中的AA'),有些具有公共角或对顶角(如图②中的∠BAC
∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.
第十八页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
例1[2019·苏州]如图18-8,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使
得(shǐ de)∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
第四单元(dānyuán) 三角形
中考数学复习讲义课件 第4单元 第17讲 全等三角形
6．(2018·衡阳)如图，线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE，BE＝CE. (2)当 AB＝5 时，求 CD 的长．
解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD． ∵AB＝5，∴CD＝5.
7．(2016·衡阳)如图，点 A，C，D，B 四点共线，且 AC＝BD，∠A＝∠B， ∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF. 证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD， 即 AD＝BC．
[分析] 过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E，根据 ASA 可 证明 △BEM≌△NAM，得出 BM＝NM；
证明：过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠NAB＝90°，∠BAD＝45°. ∴∠AEM＝90°－45°＝45°＝∠BAD． ∴EM＝AM，∠BEM＝135°. ∵∠NAB＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠NAD＝135°.∴∠BEM＝∠NAD．
12．(2021·柳州)如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地 上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B，连接 AC 并延 长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB，连接 DE， 那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题 的证明．
[解析] 根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断 △ABC≌△DEF. ∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC．∴BC＝EF. 又∠B＝∠E， ∴当添加条件 AB＝DE 时，△ABC≌△DEF(SAS)，故选项 A 不符合题意； 当添加条件∠A＝∠D 时，△ABC≌△DEF(AAS)，故选项 B 不符合题意； 当添加条件 AC＝DF 时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项 C 符合题意； 当添加条件 AC∥FD 时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF(ASA)，故选项 D 不符合题意． 故选 C．
2021年中考数学总复习第四章 三角形 微专题 八大常考全等模型
微专题 八大常考全等模型
模型应用
2. 如图，△CDF和△ABD均是等腰直角三角形，且F在AD边上，若BF是∠ABD的平
分线，则 CD 的值为( BD
C
)
A. 1
2
B. 2
2
C. 2 －1
D. 2 ＋1
第2题图
微专题 八大常考全等模型
3. 如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F，连接DE.若矩形ABCD的周长为18，则△EFC的周长为 ____9____．
例2 证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE， ∠BAC ∠DAE 在△ABC和△ADE中， AC AE,
∠C ∠E
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
例2题图
微专题 八大常考全等模型
模型分析
有公共边 模型 展示
有公共顶点
模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完 特点 全重合 解题 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相 思路 等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、 模型
CE.正方形ABFC中，AB＝AC，正方形ADGE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE 特点 ＝90°，连接BD、CE.
微专题 八大常考全等模型
解题 思路
结论
证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组 对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得 到两组对应边相等 △CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”证角相等)
重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第3节 全等三角形
(3)如图③，过点A作AP⊥BC，过点B作BD⊥AC，∠ADB的 平分线DE交AP于E，连接DP，若AD＝BD，求证：AE＝DP.
【思维教练】要证明AE＝ 2 DP，可连接BE，通过已知条件 能判定△ADE和△BDE全等，则AE＝BE，考虑等腰三角形 “三线合一”的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半 的性质，可证明△BPE是等腰直角三角形，即BE2＝ 2PB2，则AE2＝2PB2.
拉手模型
见 角平
模 分线
型 模型
三垂
线模 型
返回
重难点突破
与全等三角形有关的证明及计算
满 分 技法
找夹角 →SAS 已知两边对应相等 找直角→HL(或SAS)
找第三边→SSS
已知一边和一角对应相等
边为角的对边→找另一角→AAS
边为角 找夹角的另一边→SAS
的一边 找夹边的另一角→ASA
2
(2)如图②，AB＝BE, AE＝2AF, ∠CAB＝∠FAE, 若D是AE 中点，连接BD、DF，延长DF交BC于点P，求证：BP＝CP.
【思维教练】利用等腰三角形“三线合一”的性质，可证明 △ACF和△ABD全等，从而得到CF＝BD，∠AFC＝90°， 再利用平角和等腰三角形的性质，得到∠CFP＝∠PDB, 再 添加辅助线，构造PC、BD所在三角形全等， 并根据等量代换即可证明．
模型
图形示例
常 见 模 型
平行 模型
主要是利用平行线性质得到一组相等的角
平移 模型
未完继续
模型 平移
常 见 模 型
ห้องสมุดไป่ตู้
+旋 转模
型
对称 模型
图形示例
重庆市开县南雅初级中学八年级数学上册《全等三角形复习》课件 人教新课标版
C
E
例2 (2006湖北十堰):如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,增加 B
1 A
2
下列条件:①A①BA=BA=EA,②E
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
在ΔABC和ΔAED中
∠B=∠E,其中能使
AC=AD
ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个. A.4 B.3 C.2 D.1
∠BAC=∠EAD AB=AE ∴ΔABC≌ΔAED(SAS)
AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证) AC=DF (已知) ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)
A
E
BD
C
例4 (2007金华):如图,A,E,B,D在
同一直线上, 在ΔABC和ΔDEF中,
解:根据”全等三角 AB=DE,AC=DF,AC∥DF, (2)你还
形的对应边(角)相 等”可知:
①BC=EF,
C
例2(2006湖北十堰):如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,增加 下列条件:①AB=AE,② BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠∠BB=∠=∠EE,其, 中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个.
A.4 B.3 C.2 D.1
E 1 A 2
B
D
在ΔABC和ΔAED中 AC=AD
∠BAC=∠EAD
C
E
例2 (2006湖北十堰):如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,增加 B
1 A
2
下列条件:①AB=AE,②
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
∵∠1=∠2 (已知)
∴
∠B=∠E,其中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个. A.4 B.3 C.2 D.1
∠1+∠EAB = ∠2+ ∠EAB, 即∠BAC=∠EAD
2020重庆中考数学复习课件17第四章 第四节 全等三角形
知识点一 全等三角形的性质
全等三角形的_______相等，_______相等．全等三角形的对应线段(高、 中线、角平分线对)应、边周长、面积对分应别角对应_____．
相等
总结：(1)对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的 关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系． (2)全等三角形有传递性，若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则 △ABC≌△MNP.
(2)解：∵N是AB的中点，∴AN＝BN， ∵△ABE≌△BCN， ∴AE＝BN，∴AB＝2AE， ∴tan∠ABE＝
知识点二 全等三角形的判定
❶一般三角形全等的判定方法：____，____，____，____． ❷直角三角形全等的判定方法：除SS上S 述A四S种A判定SA方S法A外A，S还有___．
HLห้องสมุดไป่ตู้
总结：
证明三角形全等的一般思路
核心考点 全等三角形的判定及性质 [必考]
1．命题规律分析
2．命题研究专家点拨 (1)判定两个三角形全等，一定要找准对应边和对应角，掌握一般三角形 全等的四种方法，以及直角三角心全等特有的方法HL. (2)注意AAA和SSA不能判定两三角形全等，不可误用． (3)注意掌握证明两三角形全等的常见模型，具体如下表所示：
百变例题 (2016·重庆A卷)如图，点A，B，C，D在同一条直线上， CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.
【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE＝∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB， 得出对应边相等即可．
【自主解答】 证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，
在△ACE和△FDB中，
百变二：平移＋旋转模型 2．(2016·重庆B卷)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD. 求证：∠B＝∠E. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCE，
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∵CD 平分∠ACB， ∴DM＝DB，
CD＝CD， 在 Rt△CDM 和 Rt△CDB 中，DM＝DB， ∴Rt△CDM≌Rt△CDB(HL)， ∴CM＝CB， ∴BC＝12AC.
(2)证明：如图②，作 DK⊥AB 交 BF 的延长线于点 K， ∵BF⊥AC，∴∠AFK＝90°， ∴∠A＝∠K， 又∵∠BDK＝∠ABC＝90°，BC＝BD， ∴Rt△CAB≌Rt△BKD(AAS)， ∴BK＝AC，DK＝AB， ∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD， 即 AB＝DE，∴DK＝DE，
又∵DB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠CDB＝45°， ∴∠KDG＝∠EDG＝45°， 又∵DG＝DG，∴△DKG≌△DEG(SAS)， ∴KG＝EG， ∴AC＝BK＝KG＋BG＝EG＋BG.
在△AFG 和△CFD 中， AF＝CF
∠FAG＝∠FCD AG＝CD ∴△AFG≌△CFD(SAS)，
∴∠AFB＝∠CFD.
12．★(2020 春·沙坪坝区期末)如图，点 C 在线段 BD 上，AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D.∠ACE＝90°，且 AC＝5 cm，CE＝6 cm，点 P 以 2 cm/s 的速度沿 A →C→E 向终点 E 运动，同时点 Q 以 3 cm/s 的速度 从 E 开始，在线段 EC 上往返运动(即沿 E→C→E→C→…运动)，当点 P 到 达终点时，P，Q 同时停止运动．
∵∠ABG＋∠BAE＝90°，∠CAD＋∠BAE＝90°，∴∠ABG＝∠CAD. ∠ABG＝∠CAD
在△ABG 和△CAD 中，AB＝AC ∠BAG＝∠ACD
∴△ABG≌△CAD(ASA)，
∴AG＝CD.
(2)∵点 F 是边 AC 的中点，∴AF＝CF， 由(1)知 AG＝CD，∠FAG＝∠ACD＝45°，
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF.
AD＝AD， 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)． ∴AE＝AF，又 DE＝DF. ∴AD 垂直平分 EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分 线上)
10．(2020·台州)如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，BD 和 CE 相交于点 O. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)判断△BOC 的形状，并说明理由．
第四节 全等三角形
1． 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，AE∥FD，
AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列条件中
的
( D)
A．AB＝BC
B．EC＝BF
C．∠A＝∠D
D．AB＝CD
2．(2020 春·沙坪坝区校级月考)如图，AC 与 DB 交于点 O，下列条件不
能证明△ABC≌△DCB 的是
6．(2020·南通)如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF，若∠BAE ＝25°，则∠ACF＝______7_0______度．
7．★如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，BC＝4，D 为 AB 的中点，DC⊥ BC，则△ABC 的面积是____8___3______.
11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，F 是边 AC 的中点，AD⊥BF 于点 E，交 BC 于点 D，连接 DF，AG 平分∠BAC 交 BF 于点 G.求证： (1)AG＝CD； (2)∠AFB＝∠CFD.
1 证明：(1)∵AG 平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAG＝2∠BAC＝45°， ∴∠BAG＝∠ACD.
8．(2019·深圳)如图，四边形 ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角 且点 E，A，B 三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是______8_______.
9．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别垂直于 AB，AC，垂足为 E， F.求证：AD 垂直平分 EF.
4．(2020 春·万州区期末)如图，△ABC≌△DEC，A 和 D，B 和 E 是对应
点，B，C，D 在同一直线上，且 CE＝5，AC＝7，则 BD 的长为 ( A )
A．12
B．7
C．2
D．14
5．(2020·江西)如图，AC 平分∠DCB，CB＝CD，DA 的延长线交 BC 于点 E， 若∠EAC＝49°，则∠BAE 的度数为______8_2_°_____.
(D )
A．AB＝DC，AC＝DB
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
3．(2020·北京)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 上(不 与点 B，C 重合)．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD， 这个条件可以是______B_D_＝__C_D_______ (写出一个即可)．
则下列结论正确的是_____①__②__③__⑤______.(填序号) ①AD＝BE； ②BE＝7 cm； ③△CFG 为等边三角形； ④CM＝173 cm；⑤CM 平分期末)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 在 AB 边上，连接 CD.
(1)如图①，若 CD 是∠ACB 的平分线，且 AD＝CD，探究 BC 与 AC 的数量 关系，说明理由； (2)如图②，若 BC＝BD，BF⊥AC 于点 F，交 CD 于点 G，点 E 在 AB 的延 长线上且 AD＝BE.连接 GE，求证：BG＋EG＝AC.
(1)解：BC＝12AC. 理由如下： 如图①，过点 D 作 DM⊥AC 于点 M， ∵AD＝CD， ∴M 为 AC 的中点， ∴CM＝AM＝12AC，
过 P，Q 分别作 BD 的垂线，垂足为 M，N.设运动时间为 t s，当以 P，C， M 为顶点的三角形与△QCN 全等时，t 的值为______1__或__15_1_或__25_3_______.
13．★(2020·广元)如图所示，△ABC，△ECD 均为等边三角形，边长分 别为 5 cm，3 cm，B，C，D 三点在同一条直线上，
(1)证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：△BOC 是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO， ∴△BOC 是等腰三角形．