小学奥数专题28 不规则图形面积计算
【奥赛】小学数学竞赛：不规则图形的面积.学生版解题技巧 培优 易错 难
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．10104GF ED CB AGH F ED CB A41010【巩固】求图中五边形的面积．例题精讲4-2-6.不规则图形的面积6453【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【例 4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？BA 1米1米【例 7】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米8厘米4厘米【例 8】 右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．AB CDE F【巩固】如图所示，4CA AB ==厘米，ABE △比CDE △的面积小2平方厘米，求CD 的长为多少厘米？ABE C D【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．G FEDCBA【例 9】 如图，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．O B C D GFE A【例 10】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？680平方米2720平方米60【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？2【例 11】 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？【例 12】 一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少231cm．求原长方形纸片的面积．52【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？66【例 13】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米．原正方形的边长是多少分米？85【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？5【巩固】如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．11【例 14】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大34平方厘米，求阴影部分的面积．10cm【例 15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的27；再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的________(答案用分数表示)．甲乙【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍．已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【例 16】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例 17】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？44 4【例 18】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．第6题【巩固】图中有6个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成．已知最大的正方形的边长为16厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？【例 19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面26cm，最小的正方形的边长为多少厘米？积为2【例 20】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【例 21】如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题【例 22】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【巩固】如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【例 23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？108 6丙乙甲【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张)．地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？【例 24】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的19．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？左图右图【例 25】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路．求草坪的面积是多少平方米？【例 26】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．水池【例 27】用四个相同的长方形拼成一个面积为2100cm的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？【巩固】如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是36平方分米，求一个小长方形的面积及周长．【例 28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？16【巩固】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题【例 29】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？1米【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？5【巩固】有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是216cm，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．BA【例 30】已知大正方形比小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米．问大、小正方形面积各是多少？【巩固】两个正方形的面积相差29cm，边长相差1cm．求两个正方形的面积和．C BA【巩固】有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？【例 31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1)(2)【例 32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？【例 33】 计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？(2)(1)【巩固】有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？AAB C C A BA【例 34】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加30米(如图虚线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？3030【例 35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？50.5【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为26m，问锯下的长方形木条面积是多少？【巩固】从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米？【例 36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求乙正方形的面积．【例 37】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？图a图b【例 38】 如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDEF 488【例 39】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【例 40】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？A B C D IH G FEAB C D【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１ 图2【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？24【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【例 44】 如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．A614DCB【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？ABA BCDE FGH【巩固】如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？第2题【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图．1518141094781【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．51215A 51215【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？302448【巩固】如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为 ．164221CB DA【例 49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．绿黄红绿黄红【例 50】 如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ．DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例 51】 如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和B 是两个正方形的重叠部分，C 、D 、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A ：B ：C ：D ：E =1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．【例 52】 如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2MD =厘米、3QC =厘米、5CP =厘米、6BN =厘米，那么请你求出四边形MNPQ 的面积是多少厘米？33C P D M2356532MD BPC N【巩固】长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A ，B ，C ，D 分别在四条边上，并且C 比A 低5米，D 在B 的左边2米，四边形ABCD 的面积是 平方米．DCBADCBA【例 53】 直角三角形PQR 的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？95QED P R FCBAN MH G A B CFR P DEQ 59【例 54】 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？F E HGDCB A 丙乙丁甲ABC DG H E F hgfe d cba图1 图2 图3【例 55】 如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DAH 2H 1HADBCEF【例 56】 右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?【例 57】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积．图a中中中大图b【例 58】 如图，长方形的面积是小于100的数．它的内部有三个边长是整数的正方形．正方形②的边长是长方形长的512，正方形①的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是。
五年级奥数专题：不规则图形面积计算
不规则图形面积计算
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘
米和12厘米.求阴影部分的面积。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
B
C
二、巩固训练
1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三
角形DEC 的面积的4
5
，求正方形ABCD的面积。
2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED，BD=2
3
BC.求阴影部分的面积。
3. 如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5
厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
D。
(小学奥数)不规则图形的面积
本講主要通過求一些不規則圖形的面積，體會一種轉化思想，重點在於把不規則圖形轉化為規則圖形的方法，包括平移、旋轉、割補、差不變原理，通過這些方法的學習，讓學生體會求面積的技巧，提高學生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力．【例 1】你有什麼好的方法計算所給圖形的面積呢？(單位：釐米)3994399439943994圖 1 圖 2 圖3【考點】不規則圖形的面積 【難度】1星 【題型】解答【解析】 (方法一)採用分割法，可給原圖分成兩個長方形，(圖1或圖2)兩個長方形的總面積就是所求的面積．圖1的面積是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方釐米)．圖2的面積是：(94)39475+⨯+⨯=(平方釐米)．(方法二)採用補圖法，如果補上一個邊長是9釐米的正方形(圖3)，就成了一個面積是：(49)(93)156+⨯+=(平方釐米)的大長方形．因此用這個長方形的面積減去所補正方形的面積，就是要求的圖形面積(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方釐米)．【答案】75平方釐米【鞏固】如圖是學校操場一角，請計算它的面積(單位：米)例題精講4-2-6.不規則圖形的面積30203040【考點】不規則圖形的面積 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 這是一個不規則圖形，怎樣使它能轉化為我們熟悉的基本圖形呢？可以在圖中添上一條輔助線，把多邊形切割成上下兩個長方形或左右兩個長方形；也可以把多邊形補充完整，成為一個長方形；302030403020304030203040圖一 圖二 圖三方法一：如圖一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如圖二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米)方法三：如圖三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)【答案】2600平方米【鞏固】如右圖所示，圖中的ABEFGD 是由一個長方形ABCD 及一個正方形CEFG 拼成的，線段的長度如圖所示(單位：釐米)，求ABEFGD 的周長和麵積．F【考點】不規則圖形的面積 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 方法一：如果求出長方形的寬及正方形的邊長，則圖形ABEFGD 的周長和麵積可以求出．而正方形的邊長1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(釐米)， 長方形的寬1064BE CE =-=-=(釐米)，所求圖形的周長102624440=⨯+⨯++=(釐米)面積1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方釐米)方法二：可以將線段GF 、DG 向外平移，得一個新的圖形ABEH ，因為DG HF =，GF DH =，所以圖形ABEH 的周長就是圖形ABEFGD 的周長．而10AB BE ==(釐米)，所以圖形ABEH 是邊長為10釐米的正方形． 所求圖形的周長=正方形ABEH 的周長10440=⨯=(釐米)面積10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方釐米)【總結】方法一是利用基本圖形的周長及面積公式求解，因此首先要知道長方形的長、寬及正方形的邊長．方法二是利用轉化的思想方法，將較複雜圖形轉化為基本圖形，圖形轉化前後的周長不變，面積增加了，在計算時應減去增加的面積． 【答案】76【鞏固】求圖中五邊形的面積．6453【考點】不規則圖形的面積 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由圖可見五邊形為矩形切去一角得來，把切去的角補出來，它的一條直角邊長633-=，斜邊等於5，所以另一直角邊為4，所以矩形的長為448+=，五邊形面積16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例 2】這是一個樓梯的截面圖，高280釐米，每級臺階的寬和高都是20 釐米．問，此樓梯截面的面積是多少？【考點】不規則圖形的面積 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵字】華杯賽、口試【解析】 如果把樓梯截面補成右圖所示的長方形，那麼此長方形高280釐米．寬300釐米，它的面積恰好是所求截面的2倍．所以樓梯截面面積為280300242000⨯÷=（）(平方釐米)．【答案】42000【鞏固】如圖是一個樓梯的截面圖，每級臺階的寬和高都是20釐米．這樓梯的截面積是多少平方釐米？【考點】不規則圖形的面積【難度】2星【題型】解答【解析】先求出大三角形的兩條直角邊都是208160⨯=(釐米)，因此大三角形的面積為⨯÷⨯=(平方釐⨯÷=(平方釐米)；8個小三角形的面積為2020281600 160160212800米)；因此這樓梯的截面積為12800160014400+=(平方釐米)．【答案】14400【例 3】有一塊菜地長16米，寬8米，菜地中間留了寬2米的路，把菜地平均分成四塊，每一塊地的面積是多少？【考點】不規則圖形的面積【難度】2星【題型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小塊菜地的長和寬，從而求出每小塊菜地的面積；每一塊地的面積是：[1622][822]7321（）（）(平方米)-÷⨯-÷=⨯=方法二：也可以求出這塊地的總面積，再減去道路的面積，然後把剩餘的面積四等分求出每小塊菜地的面積；每一塊地的面積是：⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)[1682168222]412844421方法三：還可以運用平移的方法，將道路移到菜地的邊沿，先求出四個小長方形組成的長方形面積，再求出其中每一小塊菜地的面積．如圖所示：（）（）(平方米)[16282]484421-⨯-÷=÷=【答案】21【例 4】有10張長3釐米，寬2釐米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上，那麼這10張紙片所蓋住的桌面的面積是多少平方釐米？【考點】不規則圖形的面積 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 通過操作，一張一張的添加，可以發現每多蓋一張，遮住的面積增加21⨯平方釐米，所以這10張紙片蓋住的面積是：3221924⨯+⨯⨯=(平方釐米)． 【答案】24【例 5】下圖(單位：釐米)是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積.【考點】不規則圖形的面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 所求面積等於圖中陰影部分的面積，為2052082140-+⨯÷=()(平方釐米)．【答案】140【鞏固】兩個相同的直角三角形如下圖所示(單位：釐米)重疊在一起，求陰影部分的面積.FBA【考點】不規則圖形的面積 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 陰影部分是一個高為3釐米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積.因為三角形ABC 與三角形DEF 完全相同，都減去三角形DOC 後，根據差不變性質，差應相等，即陰影部分與直角梯形OEFC 面積相等，所以求陰影部分的面積就轉化為求直角梯形OEFC 的面積.直角梯形OEFC 的上底為1037-=(釐米)，面積為7102217+⨯÷=()(釐米2).所以，陰影部分的面積是17平方釐米。
小学奥数：不规则图形的面积.专项练习及答案解析
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3 【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方厘米)．图2的面积是：(94)39475+⨯+⨯=(平方厘米)．(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156+⨯+=(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方厘米)． 【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040例题精讲4-2-6.不规则图形的面积【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；302030403020304030203040图一 图二 图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．F【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD 的周长和面积可以求出．而正方形的边长1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(厘米)，长方形的宽1064BE CE =-=-=(厘米)，所求图形的周长102624440=⨯+⨯++=(厘米) 面积1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方厘米)方法二：可以将线段GF 、DG 向外平移，得一个新的图形ABEH ，因为DG HF =，GF DH =，所以图形ABEH 的周长就是图形ABEFGD 的周长．而10AB BE ==(厘米)，所以图形ABEH 是边长为10厘米的正方形． 所求图形的周长=正方形ABEH 的周长10440=⨯=(厘米) 面积10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积． 【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．6453【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633-=，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448+=，五边形面积16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为280300242000⨯÷=（）(平方厘米)．【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160⨯=(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800⨯÷=(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600⨯÷⨯=(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400+=(平方厘米)．【答案】14400【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1622][822]7321-÷⨯-÷=⨯=（）（）(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1682168222]412844421⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：[16282]484421-⨯-÷=÷=（）（）(平方米) 【答案】21【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21⨯平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】24【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)． 【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面积为7102217+⨯÷=()(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
小学六年级奥数专题训练：不规则图形的面积求法
一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积. 九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
不规则图形面积的计算ppt课件
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“割”、“补”的方法是我们今后计算复 杂图形时常用的方法，方法越简单越好。
❖ 在进行图形计算割补时，要注意以下几点：
(1)要根据原来图形的特点进行思考。
(2)要便于利用已知条件计算简单图形的面积。
(3)可以用不同的方法进行割补。
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练一练：
1、校园里有一个花圃（如图），你能算出 它的面积是多少平方米？
方法三：分割法 4m
10m
15m
❖ 草坪的面积=梯形面积+三角形面积 ❖ 梯形的面积：（4+10）×12÷2=84㎡ ❖ 三角形的面积：10－4=6m,15×6÷2=45㎡ ❖ 草坪的面积：84+45=129㎡ ❖ 答：这块草坪的面积是129㎡
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方法四：补的方法
12m
4m
10m
15m
❖ 草坪的面积=长方形的面积－梯形的面积 ❖ 长方形的面积：15×10=150㎡ ❖ 梯形的面积：15－12=3m,(4+10) ×3÷2=21㎡ ❖ 草坪的面积：150－21=129㎡ ❖ 答：这块草坪的面积是129㎡.
5m
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2m 2m
6m
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小挑战：你能求出下面图形的面积吗？
8 43 36 2
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中队旗面积 = 梯形面积队旗面积 = 长方形面积 + 三角形面积 × 2
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中队旗面积 = 梯形面积 + 三角形面积
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中队旗面积 = 长方形面积 — 三角形面积
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小结
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45cm 60cm
30cm
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1、草坪的面积有多少平方米？
不规则图形的面积计算
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怎么计算组合图形的面积？
1、分图形：用分割法或添补法把不规 则图形分成我们会计算的简单图形。 2、找条件：分别计算简单图形的面积。 3、算面积：最后求和或差。
精选课件
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利用新知识解决生活中的问题
新丰小学有一块菜地，形状如下图，这块菜 地的面积是多少平方米？
33m
50m
精选课件
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小结
方法：一.分图形、二.找条件、三.算面积
3m
精选课件
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方法二：
把组合图形添补成一个长方形减去一个梯形
2m 3m
3m
3m
3m 3m
精选课件
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方法三：
把组合图形分解成一个三角形加一个长方形
2m
3m
3m
3m
3m
3m
（方法三）
精选课件
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方法四：
把组合图形分解成一个三角形加一个梯形
2m
3m
3m
精选课件
3m
3m
3m
（方法四）
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一块长方形草坪，中间有一条小路， 求草坪的面积。
关键：学会运用“分割”与“添补”的方法 计算不规则图形的面积。
精选课件
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2、某工厂有一种用铁皮剪成的零件。 请计算做一个这样的零件要用多少铁皮?
先仔细观察图形，然后用你熟悉的方法去完成这道题。
2m 3m
3m
3m
3m
3m
精选课件
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方法一：
把组合图形分割成一个长方形加一个梯形
2m 3m
3m
3m
3m
图一
图二
精选课件
图三
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不规则图形面积怎样计算？
不规则图形面积的计算
你还记得吗？
长 方 形 的 面 积 = 长 ×宽 正 方 形 的 面 积 = 边长×边长
S=ab
S=a×a S=ah S=ah÷2
平行四边形的面积= 底×高
三 角 形 的 面 积 = 底×高÷2
梯 形 的 面 积 = (上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2
生活中有许多不规则的图形
草坪
喷泉 小 湖
假山 游乐场
例如：华丰校园里有一块草坪（如图） 它的面积是多少平方米？
12m
4m
10m
方法一：分割法
15m
草坪的面积=长方形的面积+梯形的面积
长方形的面积：12×4=48㎡ 梯形的面积：10－4=6m (12+15) ×6=81㎡ 草坪的面积：48+81=129㎡ 答：这块草坪的面积是129㎡
正方形面积=边长×边长用字母表示为 2 S=a×a=
a
下面是某自然保护区一个湖泊的平面图 （每个小方格表示1公顷）。你能估计这 个湖泊的面积大约是多少公顷吗？
你准备怎样估计？
先数整格，再数不满整格， 不满整格作半格计算。
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
不规则图形面积的求法
不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。
一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ， 由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O CD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。
连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O M D S S 43601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。
例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴CDB 11S CD BD 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。
解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，AB AE =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ＝ 1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ CD ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。
小学奥数专题目28不规则图形面积计算
合用标准文案不规则图形面积计算（1）我们从前学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形. 我们的面积及周长都有相应的公式直接计算. 以下表：实责问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、凑合成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算 . 一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形经过推行割补、剪拼等方法将它们转变为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米 . 求阴影部分的面积。
思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ ABG、△ BDE、△ EFG）的面积之和。
例 2 如右图，正方形 ABCD的边长为 6 厘米，△ ABE、△ ADF 与四边形 AECF的面积相互相等，求三角形 AEF的面积 .思路导航：∵△ ABE、△ ADF与四边形 AECF的面积相互相等，∴四边形 AECF的面积与△ ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的1。
3在△ ABE中，由于 AB=6.因此 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2，∴△ ECF的面积为 2×2÷2=2。
因此 S△AEF=S四边形 AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例 3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米C 和 6 厘米。
如右图那样重合. 求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：在等腰直角三角形ABC中∵A B=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，B ∴阴影部分面积 =S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例 4如右图，A为△ CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ ABC （阴影部分）面积为 5 平方厘米 .求△ ABD及△ ACE的面积 .思路导航：取 BD中点 F，连结 AF.由于△ ADF、△ ABF和△ ABC等底、等高，因此它们的面积相等，都等于 5 平方厘米 .∴△ ACD的面积等于 15 平方厘米，△ABD的面积等于 10 平方厘米。
不规则图形面积的求法ppt课件
• 综合算式：21×9+19×9
•
=189+171
•
=360（平方米）
• 答：这块菜地的面积有360 m2
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•二、拼接法
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• （1）21+19=40（米） • （2）40×9=360（平方米）
综合算式：（21+19）×9 =40×9 =360（平方米）
答：这块菜地的面积有360 m2。
不规则图形面积的求法
一、分割法 二、拼接法 三、填补法
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8. 李大爷家有一块菜地（如右图） Nhomakorabea 这块菜地的面积有多少平方米？
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一、分割法
• （1）21×9=189（平方米） • （2）19×9=171（平方米） • （3）189+171=360（平方米） • 答：这块菜地的面积有360 m2。
活选用最合适的方法来解决问 题。
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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• 答：这块菜地的面积有360 m2。精品ppt
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•三、填补法
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19m
（1）21×（9+19） =21×28 =588（平方米）
（2）19×（21-9） =19×12 =228（平方米
）
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（3）588-228=360（平方米） 答：这块菜地的面积有360 m2
不规则面积计算公式
不规则面积计算公式摘要：1.引言2.不规则面积计算的基本原理3.不同形状的不规则面积计算公式4.应用实例5.结论正文：【引言】计算不规则面积是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛，例如建筑、工程、地理、物理等领域。
由于不规则形状的复杂性，计算其面积需要用到一些特殊的公式和方法。
本文将为大家介绍不规则面积计算的基本原理以及不同形状的不规则面积计算公式。
【不规则面积计算的基本原理】不规则面积计算的基本原理是将不规则形状分解成若干个简单的几何形状，然后分别计算这些几何形状的面积，最后将这些面积相加得到总面积。
这个过程需要运用到数学中的分割、平移、旋转等技巧。
【不同形状的不规则面积计算公式】1.梯形：梯形的面积计算公式为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。
2.矩形：矩形的面积计算公式为：长× 宽。
3.圆形：圆形的面积计算公式为：π × 半径。
4.梯形和圆形的组合：可以先将梯形和圆形分别计算面积，然后按照一定的比例进行缩放，最后将两个面积相加得到总面积。
5.其他不规则形状：对于其他复杂的不规则形状，可以通过将其分割成简单的几何形状，然后分别计算面积，最后相加得到总面积。
【应用实例】假设有一个不规则的房间，其形状为梯形，上底长为4 米，下底长为6 米，高为3 米。
此外，房间内部还有一个半径为1 米的圆形区域。
我们可以使用上述公式计算出房间的总面积：(4 + 6) × 3 ÷ 2 + π × 1 = 21 + 3.14 ≈ 24.14 平方米。
【结论】不规则面积计算是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛。
通过将不规则形状分解成简单的几何形状，并运用相应的面积计算公式，可以方便地计算出不规则形状的面积。
五年级奥数竞赛试题-不规则图形面积的计算
五年级奥数竞赛试题第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A∪B＝S A＋S B-S A∩B）合并使用才能解决。
例1 如图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。
例4 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.解：BC的长=[3.14×（20/2）2÷2-7] ×2÷20＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。
不规则图形面积的计算ppt课件
45cm 60cm
30cm
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1、草坪的面积有多少平方米？
最新课件
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2、现在要给小路铺上地砖，如果9块
地砖正好铺1m2，那么至少需要多少
块地砖？
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复习旧知:
❖ 平行四边形的面积=底×高
❖ 用字母表示为S=a×h
❖ 三角形面积=底×高÷2
❖ 用字母表示为S=a×h÷2
ห้องสมุดไป่ตู้
❖ 梯形面积=（上底+下底）×高÷2
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3
小 喷泉 湖
草坪
假山
游乐场
最新课件
4
例如：华丰校园里有一块草坪（如图） 它的面积是多少平方米？
12m
4m 10m
❖ 方法一：分割法
15m
❖ 草坪的面积=长方形的面积+梯形的面积
❖ 长方形的面积：12×4=48㎡
❖ 梯形的面积：10－4=6m (12+15) ×6=81㎡
❖ 草坪的面积：48+81=129㎡
❖ 草坪的面积=长方形的面积－梯形的面积 ❖ 长方形的面积：15×10=150㎡ ❖ 梯形的面积：15－12=3m,(4+10) ×3÷2=21㎡ ❖ 草坪的面积：150－21=129㎡ ❖ 答：这块草坪的面积是129㎡.
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“割”、“补”的方法是我们今后计算复 杂图形时常用的方法，方法越简单越好。
❖ 用字母表示为S=(a+b)h÷2
❖ 长方形面积=长×宽用字母表示为S=a×b
❖ 正方形面积=边长×边长用字母表示为
❖S=a×a= a 2
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下面是某自然保护区一个湖泊的平面图 （每个小方格表示1公顷）。你能估计这 个湖泊的面积大约是多少公顷吗？
不规则图形面积的计算(方法总结及详解)
不规则图形计算的方法总结总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
不规则图形面积的计算
作业
课本23页练习四1到4题
学校开运动会要制作一 些锦旗，式样如右图。 一面锦旗需要多少平方 厘米面料？
(60＋45) ×(30÷2) ÷2×2 =105×15÷2×2 =1575(㎝²)
答：一面锦旗需要1575平方厘 米面料。
45cm 60cm
30cm
1、草坪的面积有多少平方米？
“割”、“补”的方法是我们今后计算复 杂图形时常用的方法，方法越简单越好。
在进行图形计算割补时，要注意以下几点：
(1)要根据原来图形的特点进行思考。
(2)要便于利用已知条件计算简单图形的面积。
(3)可以用不同的方法进行割补。
练一练：
1、校园里有一个花圃（如图），你能算出 它的面积是多少平方米？
2、现在要给小路铺上地砖，如果9块 地砖正好铺1m2，那么至少需要多少 块地砖？
复习旧知:
平行四边形的面积=底×高 用字母表示为S=a×h 三角形面积=底×高÷2 用字母表示为S=a×h÷2 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 用字母表示为S=(a+b)h÷2 长方形面积=长×宽用字母表示为S=a×b 正方形面积=边长×边长用字母表示为
小 喷泉 湖
草坪
假山
游乐场
例如：华丰校园里有一块草坪（如图） 它的面积是多少平方米？
12m
4m 10m
方法一：分割法
15m
草坪的面积=长方形的面积+梯形的面积
长方形的面积：12×4=48㎡
梯形的面积：10－4=6m (12+15) ×6=81㎡
草坪的面积：48+81=129㎡
答：这块草坪的面积是129㎡
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不规则图形面积计算（1）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：1 / 14实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些.拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算基本图形组合、不规则图形。
一般我们称这样的图形为不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这那么，差关转化为基本图形的和、些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们，问题就能解决了。
系一、例题与方法指导如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分1 例厘米.求阴影部分的面积。
别是10厘米和12思路导航：“空白”乙两个正方形面积之和减去三个阴影部分的面积等于甲、EFG）的面积之和。
ABG三角形（△、△BDE、△ADF、△厘米，ABCD的边长为6△ABE正方形例2 如右图， . 的面积的面积彼此相等，求三角形与四边形AECFAEF思路导航：2 / 14的面积彼此相等，∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积都等于正方形ADF∴四边形AECF的面积与△ABE、△1的。
ABCD3因此CE=CF=2，所以BE=4，同理DF=4，在△ABEAB=6.中，因为2=2。
2ECF的面积为2×÷∴△ECF=12-2=10（平方厘米）。
△AEF=S四边形AECF-S△所以S厘米10例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是C和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：在等腰直角三角形ABC中 BAB=10∵，∵EF=BF=AB-AF=10-6=4 BEF=25-8=17（平方厘米）。
△∴阴影部分面积=S△ABG-SABC，若△边上中点，为△ACDE的DEBC=CD如右图，4 例（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.3 / 14思路导航：等底、等高，和△ABC中点F，连结AF.因为△ADF、△取BDABF.5平方厘米所以它们的面积相等，都等于平的面积等于10 ∴△ACD 的面积等于15平方厘米，△ABD 方厘米。
15的面积是又由于△ACE 与△ACD等底、等高，所以△ACE平方厘米。
二、巩固训练的面积1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE4求正方，DEC的面积的平方厘米，是8它是三角形5的面积。
形ABCD的垂线交E作BCAD于F。
解：过AEF=8. △△是对角线，所以SABE=S 中在矩形ABEFAE 。
△是对角线，所以在矩形CDFE中DES△ECD=SEDF2求阴影部分的，AE=ED,BD=BC.ABC=1S. 2如右图，已知：△3面积。
AE=EDDF解：连结。
∵，D4 / 14∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED厘米，矩形CG=34厘米，3. 如右图，正方形ABCD的边长是等于多少厘米？厘米，求它的宽DEDEFG的长DG为5中，在△ADGH垂直于DG于，解：连结AG，自A作AH.AD上的高）AD=4，DC=4（DG=5，÷2=8，又△∴SAGD=4×4 ，DG÷2×∴S△AGD=AH （厘米），2÷5=3.2 ∴AH=8×（厘米）。
∴DE=3.2的AED6米，△如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高4.. BC=10米，求阴影部分面积5面积是平方米，2 +下底）×高÷解：∵梯形面积=（上底，6÷245= 即（AD+BC）×2，÷45=（AD+10）×6米。
2÷6-10=5×∴AD=45 2米。
∴△ADE的高是6-2=4ADEEBC△的高等于梯形的高减去△的高，即米，5 / 14都是平行四边形，证明它们DEFG5. 如右图，四边形ABCD和.的面积相等，证明：连结CE 面积的2倍，ABCD的面积等于△CDEDEFG的面积也是△CDE面积2倍。
ABCD的面积与∴DEFG的面积相等。
不规则图形面积计算（2）（一）由圆、扇形、弓形与三角形、不规则图形的另外一种情况，就是这是一类更为复杂的不规则正方形、长方形等规则图形组合而成的，变动图形的位置或对图形进行适当为了计算它的面积，常常要图形，，同时手段使之转化为规则图形的和、差关系的分割、拼补、旋转等＋＝B之间有：SS与集合还常要和“容斥原理”（即：集合A ABA∪S-S）合并使用才能解决。
BA∩b一、例题与方法指导以正方形的三条边为直径向如右图，在一个正方形内，. 例1内作三个半圆.求阴影部分的面积。
6 / 14解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
圆心以S-S＋＝解：由容斥原理SS ABCD扇形ACD阴影ACB扇形正方形7 / 14例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，＝6厘米，扇形ABE半径AE的半扇形厘CBFCB=4求阴影部分的面积。
米，＝AB中，AB是圆的直径，且例4. 如右图，直角三角形ABC平方厘米，720厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大长。
求BC平方厘米，就已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7分析又知半圆直径平方厘米；ABC是半圆面积比三角形面积大7平方厘米，半圆面积减去7厘米，可以求出圆面积AB＝20..的长进而求出三角形的底ABC就可求出三角形的面积，BC8 / 14二、巩固训练厘米，求阴影部厘米和6101. 如右图，两个正方形边长分别是分的面积。
的直角三角形面积与图高为6 阴影部分的面积，等于底为16、分析的正方形的面积减6I中（）的面积之差。
而（I）的面积等于边长为1 6去为半径的圆的面积。
以4°，此时60A如右图，将直径AB为3的半圆绕逆时针旋转2.=3AC的位置，求阴影部分的面积（取π）. AB到达为直CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB解：整个阴影部分被线段右侧的部分面积设其中弦AD分成两部分，AD 径的半圆被弓形后，由于弓形S为，AD去掉是两个半圆的公共部分，AD9 / 14 两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.是半D如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，4.，求是半圆的直径，且圆周上的中点，BCAB=BC=10 3.14阴影部分面积（π取）。
10 / 14解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等为正方形（利用对称性质）。
，则ABCEACE的等腰直角三角形对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则总结：.问题便得到解决差关系，图形的组合，分析整体与部分的和、有：常用的基本方法相加法：一、分别这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，右图中，要例如，计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.再求出下面正方形求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，的面积，然后把它们相加就可以了.11 / 14二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相12 / 14减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，13 / 14可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.14 / 14。