平面图形面积计算公式
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
平面图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。
）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。
平面图形面积公式
平面图形面积公式
平面图形面积公式是指用于计算平面图形面积的一组具有特定形式的数学表达式。
其中，常见的平面图形面积公式可以分为两大类：几何形状的面积公式和曲线的面积公式。
几何形状的面积公式包括平行四边形、正方形、长方形、三角形、圆等几何形状的面积公式。
其中，平行四边形的面积公式为：S=ab/2；正方形的面积公式为：S=a^2；长方形的面积公式为：S=ab；三角形的面积公式为：
S=1/2*a*h；圆的面积公式为：S=πr^2。
曲线的面积公式包括椭圆的面积公式和抛物线的面积公式。
椭圆的面积公式为：S=πab；抛物线的面积公式为：S=1/2*a*h^2。
(完整版)面积和体积的公式大全
公式大全一、平面图形1、三角形面积：S＝ah/2(2).已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)](3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为rS=(a+b+c)r/2(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为RS=abc/4R(6).根据三角函数求面积：S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R为外切圆半径。
周长：l=a+b+c2、圆面积：S=π*R^2=π*D^2/4= l^2/4π(D：直径，l：周长)周长：l=2πR=πＤ3、扇形面积：S=nπ*R^2/360=aR^2 (n:为扇形的圆心角,a:扇形的圆心角弧度制)周长：l=nπR/180+2R=aR+2R4、椭圆面积：S=abπ5、正方形面积：S=a^2周长：l=4a6、长方形面积：S=ab周长：l=2(a+b)7、平行四边形面积：S=ah=absinx(a:为底，h:为高，b：是a的邻边，x:是a、b边的夹角) 周长：l=2(a+b)8、菱形适用于平行四边形的计算公式另还有：面积：S=ab (a、b为两对角线的长)周长：l=4x (x为边长)9、梯形面积：S=(a+b)h/2 (a,b 为上下底，h 为高)等腰梯形面积：S=csinA(a+b)/2 (c 为腰， A 是锐角底角)10、圆环面积：S=(R^2-r^2)π(R 外圆半径，r 内圆半径)11、弧与弓形弧长：l=nπR/180=aR(n:为弧所对的圆心角,a:弧度制)弓形面积：i，圆上割下的弓形（1）当弓形弧是劣弧时，S弓形＝S扇形－S三角形；（2）当弓形弧是优弧时，S弓形＝S扇形＋S三角形．ii，抛物弓形以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4二、立体图形1、球表面积：S=4*π*R^2体积：V=4πR^3/32、正方体表面积：S=6a^2体积：V=a^33、长方体表面积：S=2(ab+bc+ac)体积：V=abc4、棱柱体积：V=Sh (S：为底面积，h:高)6、圆柱表面积：S=2πRh+πR^2 (R：底面圆的半径，h:侧面高)体积：V=Sh (S：为底面积，h:高)=πR^2 h7、圆锥、棱锥圆锥的表面积：S=πRh+πR^2(R：底面圆的半径，h:侧面长)圆锥、棱锥的体积：V=Sh/3 (S：为底面积，h:高)8、棱台设棱台的上、下底面面积分别为S1、S2，高为h，体积：V=(1/3)[S1+√(S1S2)+S2] ×h(√表示平方根)9、圆台体积：V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2＋Rr＋r^2)/3（－上底半径R－下底半径h－高）。
面积的认识与计算
面积的认识与计算面积是在几何学中常见的一个概念，用来描述一个平面图形所占据的空间大小。
无论是学习数学还是进行日常生活中的测量，对面积的认识和计算都是必不可少的。
本文将介绍面积的概念、常见图形的面积计算方法以及一些实际应用。
一、面积的概念面积是一个二维概念，用于描述平面图形所包含的区域大小。
它通常以平方单位表示，如平方米、平方厘米等。
在数学中，面积常用符号“S”表示。
对于简单的几何形状，面积往往可以准确计算，而对于复杂的图形，可能需要采用近似计算的方法。
二、常见图形的面积计算方法1. 正方形和长方形的面积计算公式：正方形的面积计算公式为：S = a × a，其中“a”表示正方形的边长。
长方形的面积计算公式为：S = l × w，其中“l”表示长方形的长度，“w”表示长方形的宽度。
2. 三角形的面积计算公式：三角形的面积计算公式为：S = 0.5 × b × h，其中“b”表示三角形的底边长度，“h”表示三角形的高。
3. 圆的面积计算公式：圆的面积计算公式为：S = π × r^2，其中“r”表示圆的半径，“π”为一个常数，约等于3.14159。
4. 梯形的面积计算公式：梯形的面积计算公式为：S = 0.5 × (a + b) × h，其中“a”和“b”表示梯形的上底和下底的长度，“h”表示梯形的高。
5. 平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积计算公式为：S = b × h，其中“b”表示平行四边形的底边长度，“h”表示平行四边形的高。
三、面积计算的实际应用面积计算在日常生活和各个学科中都有重要应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 房地产测量：在房地产领域，面积计算用于测量房屋室内面积、地块面积等，是进行房产交易和评估的基础之一。
2. 农业规划：农民和农业规划者需要计算土地的面积，以确定农作物的种植面积和灌溉水的用量等。
平面图形的周长和面积计算公式及其变形
----平面图形的周长和面积计算公式及其变形长方形已知长和宽，求周长。
周长＝（长＋宽)×2 已知周长和长，求宽。
宽=周长÷2-长已知周长和宽，求长。
长＝周长÷2-宽。
已知长和宽，求面积。
面积=长×宽。
已知面积和长，求宽。
宽=面积÷长。
正方形已知边长，求周长。
周长=边长×4。
已知周长，求边长。
边长=周长÷4。
已知边长，求面积。
面积=边长×边长。
三角形已知三角形的底和这条底上高,求面积。
面积=底×高÷2。
已知三角形的面积和底，求高。
高＝面积×2÷底。
已知三角形的面积和高,求底。
底＝面积×2÷高。
特别地，在直角三角形中：直角三角形的面积=两条直角边的积÷２ (在直角三角形中,两条比较短的边就是直角边）平行四边形已知平行四边形的底和这条底上高,求面积。
面积=底×高。
已知平行四边形的面积和底，求这条边上的高。
高＝面积÷底。
已知平行四边形的面积和高，求这条边上的底。
底=面积÷高。
关于三角形和平行四边形的有关结论1、如果一个三角形和一个平形四边形等底等高，那么:三角形的面积等于平行四边形面积的一半;平行四边形的面积就等于三角形面积的2倍。
例如：一个三角形和平行四边形等底等高，如果三角形的面积是1０平方分米，则平行四边形的面积就是20平方分米。
2、如果一个三角形和一个平行四边形面积相等,高也相等，那么三角形的底就等于平行四边形底的2倍；平行四边形的底就等于这个三角形的底的一半。
3、如果一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等,那么三角形的高就是这个平行四边形高的2倍;平行四边形的高就是这个三角形的高的一半。
梯形的面积公式及其变形１、已知梯形的上底、下底和高,求面积。
梯形的面积=(上底+下底）×高÷2。
平面图形的周长、面积计算公式
平面图形的周长、面积的计算公式1、长方形（a长、b宽、c周长、s面积）ba二、正方形（s面积、a边长、c周长）1、正方形周长=边长X 4 C=4a2、边长=正方形周长 + 4 a=c +4a --------------------------------------------3、正方形的面积二边长＞边长2s=a X 或者s=a2三、平行四边形（a底、h高）1平行四边形的面积=底＞高S=ahh2、底二平行四边形的面积镐a=s咄3、高二平行四边形的面积詆h=s*a四、三角形（a底、h高、s面积）1、三角形的面积=底＞高吃S=ah 吃2、底=三角形的面积＞2 ^高a=s＞2 + h3、高=三角形的面积＞2 ■底五、梯形（a上底、b下底、h高、s面积）ahb1、梯形的面积=（上底+下底）＞高吃S=（a+b）Xi 吃2、高=梯形的面积*（上底+下底）＞2h=s*（a+b）＞23、（上底+下底）=梯形的面积^高＞2（a+b）=s^h ＞24、上底=梯形的面积^高＞2—下底a=s^h ＞2 —b六、圆（r半径、d直径、o圆心、s面积、c周长）21、圆的周长=直径＞圆周率c=d n2、圆的周长=半径＞2圆周率c=2n rS=n r2常见立体图形的表面积、体积计算公式1、长方体的表面积=（长X 宽+长X 高+宽X 高）X2S 表=(ab+ah+bh) X22、体积=长＞宽槁 V=abh】、正方体1、 长方体的表面积=棱长 ＞棱长X 3 S ^表 =a X a X6 2、 体积=棱长 ＞棱长 ＞棱长2S=n r360 n 360亠、长方体七、面积=圆周率X 半径的平V=a X a Xa 、圆柱体三、圆锥体a。
完整版)五年级奥数平面图形面积计算
完整版)五年级奥数平面图形面积计算五年级奥数第六讲——平面图形面积的计算一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式正方形：特征：四条边相等，四个角都是直角，有四条对称轴。
面积公式：S=边长的平方长方形：特征：对边相等，四个角都是直角，有二条对称轴。
面积公式：S=长×宽平行四边形：特征：两组对边平行且相等，对角相等，相邻的两个角之和为180°，容易变形。
面积公式：S=底边×高三角形：特征：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，三个角的内角和是180°，具有稳定性。
面积公式：S=底边×XXX÷2梯形：特征：只有一组对边平行，中位线等于上下底和的一半。
面积公式：S=(上底+下底)×高÷22.基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。
典型例题】例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。
例2】求图中阴影部分的面积。
例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。
例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？练与拓展】1.计算下面图形的面积。
2.下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。
3.正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求三角形DEF的面积和CF的长。
4.平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。
5.正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，请计算以下图形的面积。
1.在一块长80米、宽30米的长方形地上，修了宽为2米和3米的两条小路，求草地的面积。
小学一至六年级所有图形的计算公式
小学一至六年级所有图形的计算公式一、平面图形1、三角形面积：S＝ah/2（1）.已知三角形三边a,b,c,则海伦公式p=a+b+c/2S=√pp-ap-bp-c=1/4√a+b+ca+b-ca+c-bb+c-a2已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S＝1/2 absinC3设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为rS=a+b+cr/2（4）设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为RS=abc/4R（5）根据三角函数求面积：S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R为外切圆半径;周长：l=a+b+c2、圆面积：S=πR^2=πD^2/4 = l^2/4πD：直径,l：周长周长：l=2πR=πD 3、扇形面积：S=nπR^2/360 =aR^2 n:为扇形的圆心角,a:扇形的圆心角弧度制周长：l=nπR/180+2R=aR+2R4、椭圆面积：S=abπ5、正方形面积：S=a^2周长：l=4a6、长方形面积：S=ab周长：l=2a+b7、平行四边形面积：S=ah=absinx a:为底,h:为高,b：是a的邻边,x:是a、b边的夹角周长：l=2a+b8、菱形适用于平行四边形的计算公式另还有：面积：S=ab a、b为两对角线的长周长：l=4x x为边长9、梯形面积：S=a+bh/2 a,b 为上下底,h 为高等腰梯形面积：S=csinAa+b/2 c 为腰, A 是锐角底角10、圆环面积：S=R^2-r^2πR 外圆半径,r 内圆半径11、弧与弓形弧长：l=nπR/180=aR n:为弧所对的圆心角,a:弧度制弓形面积：i,圆上割下的弓形（1）当弓形弧是劣弧时,S弓形＝S扇形－S三角形；（2）当弓形弧是优弧时,S弓形＝S扇形＋S三角形．ii,抛物弓形以割线为底,以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4二、立体图形1、球表面积：S=4πR^2体积：V=4πR^3/32、正方体表面积：S=6a^2体积：V=a^33、长方体表面积：S=2ab+bc+ac体积：V=abc4、棱柱体积：V=Sh S：为底面积,h:高5、圆柱表面积：S=2πRh+πR^2 R：底面圆的半径,h:侧面高体积：V=Sh S：为底面积,h:高=πR^2 h6、圆锥、棱锥圆锥的表面积：S=πRh+πR^2 R：底面圆的半径,h:侧面长圆锥、棱锥的体积：V=Sh/3 S：为底面积,h:高7、棱台设棱台的上、下底面面积分别为S1、S2,高为h,体积：V=1/3S1+√S1S2+S2 ×h √表示平方根8、圆台体积：V=S+S′+√SS′h÷3=πhR^2＋Rr＋r^2/3r－上底半径R－下底半径h－高。
面积公式大全
面积公式大全
以下是一些常见的面积公式，其中涉及到圆的、长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算。
这些公式可以帮助你在计算几何图形面积时，更加便捷、高效地解决问题。
1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S代表面积，r代表半径。
2. 长方形的面积公式：S = l×w，其中S代表面积，l代表长，w代表宽。
3. 正方形的面积公式：S = a²，其中S代表面积，a代表边长。
4. 平行四边形的面积公式：S = a×h，其中S代表面积，a代表底边长度，h代表高。
5. 三角形的面积公式：S = 1/2×a×b，其中S代表面积，a代表底边长度，b代表高。
6. 梯形的面积公式：S = (上底+下底)×高÷2，其中S代表面积，a 和b分别代表上底和下底的长度，h代表高。
7. 圆环的面积公式：S = π×R² - π×r²，其中S代表面积，R和r分别代表大圆和小圆的半径。
8. 扇形的面积公式：S = 1/2×π×r²，其中S代表面积，r代表半径，θ代表弧度。
这些公式不仅仅适用于平面图形的面积计算，也同样适用于立体图形的体积计算，比如圆柱、长方体和正方体等的体积计算，只需将公式中的面积换成体积就可以了。
希望这些公式能帮助你在学习中更加轻松和自信！。
面积公式大全
面积公式大全在数学中，面积是指一个平面图形所覆盖的表面大小。
不同的图形有不同的计算面积的公式，下面将为大家介绍一些常见图形的面积公式。
1. 矩形的面积公式。
矩形是最简单的图形之一，其面积公式为，面积=长×宽。
其中，长和宽分别代表矩形的长和宽。
2. 正方形的面积公式。
正方形是一种特殊的矩形，其面积公式与矩形相同，也是面积=边长×边长。
正方形的特点是四条边长度相等。
3. 三角形的面积公式。
对于任意三角形，其面积公式为，面积=底边长度×高÷2。
其中，底边长度为三角形底边的长度，高为从顶点到底边的垂直距离。
4. 圆的面积公式。
圆的面积公式为，面积=π×半径的平方。
其中，π是一个数学常数，约为3.14159，半径为圆的半径长度。
5. 梯形的面积公式。
梯形是一种四边形，其面积公式为，面积=（上底+下底）×高÷2。
其中，上底和下底分别代表梯形的上底和下底的长度，高为梯形的高度。
6. 平行四边形的面积公式。
平行四边形的面积公式为，面积=底边长度×高。
其中，底边长度为平行四边形的底边长度，高为从底边到对边的垂直距离。
7. 椭圆的面积公式。
椭圆的面积公式为，面积=π×长轴长度×短轴长度。
其中，长轴和短轴分别代表椭圆的长轴和短轴的长度。
8. 正多边形的面积公式。
正多边形是指所有边和角均相等的多边形，其面积公式为，面积=（边长×边长）×边数÷（4×tan(π/边数)）。
其中，边长为正多边形的边长，边数为正多边形的边数，tan为正切函数。
以上就是一些常见图形的面积公式，希望对大家有所帮助。
在实际应用中，熟练掌握这些公式可以帮助我们更快、更准确地计算各种图形的面积。
如果你还有其他图形的面积公式想要了解，可以继续深入学习，探索更多数学的奥秘。
图形的周长、面积计算公式
S=6a2
V=a6
圆柱
侧面积=底面周长×高
圆柱体的表面积=2个底面积 + 侧面积
圆柱体的体积 = 底面积 × 高
S侧=πdh
S表=πdh+2πr
V=Sh=πr2h
圆锥
圆锥体的体积 = 底面积 × 高 ÷ 3
V=1/3 Sh
常见立体图形的表面积、体积计算公式
图形名称
图形
计算公式
用文字表示的公式
用字母表示的公式
长方形
周长=（长+宽）×2
面积=长×宽
C=2（a+b）
S=ab
正方形
周长=边长×4
面积=边长×边长
C=4a
积=底×高
C=（a+b）×2
S=ah
三角形
周长=三边之和
面积=（底×高）÷2
C=a+b+c
S=1/2ah
圆
周长=直径×π=半径×2×π
C=πd=2πr
S=πr2
常见平面图形的周长、面积计算公式
图形名称
图形
计算公式
用文字表示的公式
用字母表示的公式
长方体
长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2
长方体的体积 = 长 × 宽 × 高
S=2（ab+ah+bh）
V=abh
正方体
正方体的表面积 = 棱长×棱长× 6
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
平面图形和立体图形的计算公式
....----平面图形和立体图形的计算公式1、正方形（C：周长S ：面积a：边长）周长＝边长× 4 C=4a面积 =边长×边长 S=a ×a=a22、正方体（V: 体积 a:棱长）表面积 =棱长×棱长× 6S 表 =a×a×6体积 =棱长×棱长×棱长V=a × a× a=a33、长方形（ C：周长S ：面积a：边长）周长 =( 长 +宽 ) × 2C=2(a+b)面积 =长×宽S=ab4、长方体（V:体积s:面积a:长b:宽h:高）(1)表面积 ( 长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积 =长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a ：底h：高）面积 =底×高÷ 2s=ah÷2三角形高 =面积×2÷底三角形底 =面积× 2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底h ：高）面积 =底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a ：上底b：下底 h：高）面积 =( 上底 +下底 ) ×高÷ 2s=(a+b) × h ÷ 28、圆形（S：面积 C ：周长л d= 直径r= 半径）(1)周长 =直径×л=2×л×半径 C= лd=2л r(2)面积 =半径×半径×л =πr29、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长）(1)侧面积 =底面周长×高 =ch(2 лr 或лd) (2) 表面积 =侧面积 +底面积× 2 (3) 体积 =底面积×高（ 4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积 =底面积×高÷3。
小学常用平面图形公式
常用平面图形公式
2017、6、15制版2022、3、15编辑打印
C= πd ；d = C ÷π或C=2πr ；
r=c÷π÷2
S圆=πr²r²=S÷π
S圆=π（ ）²（r=c÷π÷2）
S圆=π（c÷π÷2）²
圆周长
的一半：
等于圆的周长÷2
计算方法：2πr ÷ 2
即C半周长=πr
环形
（外圆的面积减去内圆的面积）
S环= πR²－πｒ²
S环= π（R²－ｒ²）
半圆
C半圆=πr＋2r=（π＋2）r
计算公式：C半圆=5.14 r
r= C半圆÷5.14
S半圆= S圆÷2
S半圆=πr²÷2=π（ ）²÷2
=π（c÷π÷2）内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π（圆面积是正方形面积的78.5％）S圆内正方形=2 r²S圆外正方形=4 r²
S圆外正方形∶ S圆内正方形=2:1S圆外正方形∶ S圆=4∶π S圆内正方形∶ S圆=2∶π
图形
周长
面积
正方形
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a=a²
长方形
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
平行
四边形
四条边之和
面积=底×高 s=ah
梯形
四条边之和
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
三角形
三条边之和
面积=底×高÷2 s=ah÷2
圆形
圆与正方形、长方形周长与面积关系
当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
面积测量公式
面积测量公式
面积测量公式是指用特定的方法测量出一个平面图形所占的面
积的公式。
在不同的几何图形中，面积测量公式会有所不同。
对于矩形或正方形，其面积公式为：面积 = 长×宽。
对于三角形，其面积公式为：面积 = 底边长×高÷ 2。
对于梯形，其面积公式为：面积 = 上底长 + 下底长×高÷ 2。
对于圆形，其面积公式为：面积 = π×半径的平方。
除了以上常见的几何图形，还有许多其他的特殊几何图形，它们的面积公式也是各不相同的。
我们在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的面积测量公式，以准确地计算出所需的面积值。
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五年级上册
几种平面图形面积计算公式
1、学会用字母表示计算公式。
2、理解公式的意义，能用公式计算，并验算。
3、形成知识网络。
学习目标
认识三角形
三角形的定理：三条线段首尾相连组成的图形是三角形。
从三角形一个顶点向它的对边作垂线，那么这个顶点到对边的垂直线段叫做三角形的高。
三角形的特性：三角形具有稳定性。
三角形组成的基本条件：二边之和大于第三边。
三角形分类：（锐角，直角，钝角）三角形。
三个角都小于90度 有一个角是90度 有一个角大于90度
锐角三角形 钝角三角形 高
底
三角形的底和高
任何三角形都有三组底和高。
三角形的任何一条边都可以是底，由顶点到底的垂直线距离就是高。
三角形的类别
认识平行四边行
平行四边形的定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
从平行四
边形一条边上任意一点向对边（或对边所在的直线）引一条垂线，这点到
垂直之间的线段叫做平行四边形的高。
垂直所在的边叫做平行四边形的底。
平行四边形的特性：具有不稳定性，容易变形；两组对边分别相等；
两组对角分别相等。
h(高)
a
认识梯行
梯行的定理：只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底。
另外两边叫腰；两底之间的垂线段叫梯形的高。
梯行的特性：只有一组对边平行。
h
a
h
a
h
b
等腰梯形直角梯形普通梯形
图形面积公式
S=a х h÷2 S=ah÷2 面积(S)=底(a) х 高(h) ÷2
h
a
三角形的面积
长方形面积 S= a х b (长 х 宽 ) 平行四边形面积 S= a х h (底 х 高 )
底(a)
高长(a)
宽(b)
图形面积演变
S=ah
面积=底х高 图形面积公式演变
h
S=(a+b)h ÷2 面积=(上底+下底)х高÷2 a
h S=ah ÷2 面积=底х高÷2 h b 高(h)
长(a)
宽长方形面积 S=a х b (长 х 宽 )
平行四边形面积 S=a х h (底 х 高 ) 平行四边 三角形 梯行 长方行
平行四边行
你学会了么？不懂，请提问。