《微积分一》边际分析与弹性分析
高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。
3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。
5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。
7、极限的四则运算法则。
8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。
9、两个重要极限及其变形10、等价无穷小量替换定理11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。
13、连续函数的四则运算14、反函数、复合函数、初等函数的连续性15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。
16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。
21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、22、微分形式的不变性23、微分近似公式:24、导数在经济问题中的应用(应用题):（1）边际(变化率,即导数)与边际分析:总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限(89页)27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别,最大利润、最小平均成本、最大收益问题,经济批量问题。
《高等数学B-微积分一》本科教学大纲
《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。
本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。
思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。
在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。
三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。
平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。
关于经济分析中弹性分析的几点说明
摘要：弹性，是经济学中的一个重要概念。
它在经济活动分析中起着极其重要的作用。
本文先从弹性的概念入手，以经营管理活动中的需求对价格的弹性为主要研究对象，来讨论利用弹性去定量地分析经济问题时，需要注意的问题，并给出三点说明。
关键词：导数；弹性分析；需求弹性；供给弹性弹性是就两个经济变量而言的，是研究两个变量之间相互联系和相互影响的，它是一个与被衡量对象计量单位无关的数，即是一个无量纲的数。
正因为如此，弹性可以单独作为一种定量分析法而存在。
弹性分析是相关分析与动态分析相结合的一种统计方法，在相互联系中分析其间变动的规律性。
在经济管理中，弹性分析对于我们认识和掌握微观调控机制，达到最佳效益目标进行最优决策能发挥重大作用。
所以为了能够在经济分析中进行正确的弹性分析，对弹性的相关概念和内容做以下三点 说明。
一、弹性概念的正确理解弹性，意指反应。
函数的弹性，是指自变量变动时，函数(因变量)变动的反应性。
即弹性指的是因变量的变化率与自变量的变化率的比值：E ===∆→∆→lim lim x x 00∆∆xyyx ∆∆y x xy x y y'，也叫做y 对x 的弹性系数(或叫弹性)。
所以，弹性系数指当变量之间存在依存关系(即相对关系)时，一变量对另一变量变动的反应程度。
它是一个相对数，衡量某变量相对 变动所引起的另一相关变量的相对变动，其大小是两个变量变动相对数(增减率)之比的相对量，习惯上称之为弹性 系数。
综上所述，对于弹性我们还可以通俗地理解一下，如果自变量增加1%，导致因变量增加3%，那么弹性即为3；如果自变量增加1%，因变量减少2%，那么弹性即为-2。
二、弹性分析有如下几种考察情况(一)需求的价格弹性E p =−dQ P dP Q，其Q =Q (p )为需求函数。
需求的价格弹性是指一种商品的需求量变动对于该商品价格变动的反应程度。
也就是说价格和需求量的变动，是反向变动的关系。
分子分母反向变动，整个公式其实是一个负值。
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
浅析微积分在经济学中的应用
浅析微积分在经济学中的应用黄尹艺（四川大学锦城学院，会计2班，130410236）［摘 要］经济学中的很多经济现象、经济理论都能够用数学知识去解释。
本文本着“数学为体，经济为用”的原则，对于微积分在经济学领域中的连续复利、边际分析、弹性分析、最优化问题作一些初步分析。
［关键词］ 微积分；导数；极限；边际分析；弹性分析随着数学理论的不断完善和经济的飞速发展，数学与经济学的联系越来越紧密。
数学是经济学理论研究的理想工具，借助数学模型研究经济学，具有清晰、深入、严密三大优势。
微积分学作为数学的一个基础分支学科，在经济学中有着极为广泛的应用。
经济量化分析已成为经济学研究的主要手段。
现主要从微积分与经济的相关联系出发，简要讨论微积分在经济学中的应用及其存在的经济学意义。
一、 微积分的基本思想微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数和几何。
内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用。
微积分有两个基本想法：其一是微分学，包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数,速度,加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学，包括积分的运算，为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法，引入诸如体积的相关概念。
微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中。
二、 微分在经济学中的应用在经济学领域中，微积分被运用十分基础和广泛，是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。
1、 极限在经济学中的应用极限概念是微积分中最基本的概念，在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。
比如利用极限解决连续复利问题。
例 设银行存款现值P 和将来值B ，年利率为r ，则t 年后的本利和即将来值为t r)(1B +=若一年分n 次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 n nr P B )1(+= 而t 年后的本利和即将来值为 tn nrp B )1(+= 当∞→n 时，则t 年后的本利和即将来值为 t tn n pe nr p B =+=∞→)1(lim 从而现值p 和将来值B 之间的关系为t pe =B或者 t Be p -=现值P 为1，利息r 为100%，1t =，则得 e B =例子中的极限应用体现了在经济学中当一个数值含有极限的意义即趋向无穷大或0时，利用微积分中的极限的思想去解题可以步骤简化，思路清晰的解决很多经济学的这些问题。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
１５
三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
【财务管理】经济应用数学经济应用数学微积分
经济应用数学——微积分部分习题解答（参考）习题一（P37）1．设函数求：f(0)，f(-1)，f()，f(a+1)解：分析：即求当x为0，-1，，（a+1）时的函数值。
f(0)==-1;f(-1)==f()=;f(a+1)=3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？（1）y=lg与y=2lgx(2)y=1与y=sinx+cosx(3)y=与y=x+1(4)y=-x与y=-x解：分析：相同函数的条件是D与f相同。
（定义域与对应规则）（1）不同，D不同（2）相同定义域与对应法则相同（3）不同，D不同（4）不同对应法则不同（当x=-1，对应y不同）4．求下列函数的定义域：（1）y=(2)y=(3)y=lg(4)y=lglg(x+1)(5)y=arcsin(6)y=tan(2x+1)(2x+1)解：求定义域应记住：①分母≠0②a≥0③x﹥0④三角函数的限制。
(1)y=解D:x≠0[或(-)（2）y=(4)lglg(x+1)解:D:-1≤x﹤1解:D:(0,+∞)(3)y=lg(5)y=arcsin解:D:[-2,1解:D:[-1,3](6)y=tan(2x+1)解:2x+1D:x5．判断下列函数的奇偶性。
（1）f(x)=(3)f(x)=lg(x+解:f(-x)==f(x)解:f(-x)=lg(-x+f(x)是偶函数。
=lg=lg=lg(x+=-lg(x+)=-f(x)f(x)是奇函数。
(4)f(x)=xe解:f(-x)=-xe≠f(x)[也≠-f(x)]f(x)是非奇非偶函数。
(5)f(x)=log解:f(-x)=log分析：判断奇偶函数=log（（1）f(-x)=f(x),f(x)是偶函数=-log(2)f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。
f(x)是奇函数。
（6）设f(x)=求f(0)，f(-1)，f(1)，f(-2)，f(2)，并作出函数图像。
解：分析：求分段函数的函数值D先确定x0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，②作图需分段作图。
【知识】微积分知识点概要
【关键字】知识微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数logax （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x→a的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在x→a的过程中极限存在。
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
高数(一)微积分公式(重要)
R(P)的导数
4.4 曲线的凹凸性和拐点 定理 1 如果 f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内 （1）f＇＇(x)＞0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （2）f＇＇(x)＜0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的。 曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。 2．拐点的求法 拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。 设函数 f(x)在 x0 的邻域内二阶可导且 f＇＇(x0)=0 或者二阶不可导： （1）x0 两侧 f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点； （2）x0 两侧 f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。 4 3 例 2、求曲线 y=3x -4x +1 的拐点及凹凸的区间。 解：
特殊角的三角函数值
例 1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。 （1）已知 tanx=3 求其他的三角函数值 斜边^2=a^2+b^2
Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx ①倒数关系：
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 1、0.∞型
。
步骤：
，或
。
3、
型
步骤： 一、单调性的判别法
用导数取得极限值后代入原极限对数 E
定理 设函数 y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， （1）如果在（a,b）内 f＇(x)＞0，那么函数 y=f(x),在[a,b]上单调增加； （2）如果在（a,b）内 f＇(x)＜0，那么函数 y=f(x)在[a,b]上单调减少。 例 1、讨论函数 解： 的单调性。
边际分析
边际分析1:边际分析边际分析即边际分析法，是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点。
如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到。
边际分析法是经济学的基本研究方法之一,不仅在理论上,而且在实际工作中也起着相当大的作用，是打开经济决策王国的钥匙。
可以认为边际分析法与管理决策优化密切相关。
边际分析法(marginal analysis)的数学原理很简单。
对于离散(discrete)情形，边际值(marginal value)为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续(continuous)情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值。
所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量。
在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等。
2边际分析应用(1)无约束条件下最优投入量（业务量）的确定利润最大化是企业决策考虑的根本目标。
由微积分基本原理知道：利润最大化的点在边际利润等于０的点获得。
利润（或称净收益）为收入与成本之差，边际利润亦即边际收入与边际成本之差，即：MB=MR-MC。
由此可以获得结论：只要边际收入大于边际成本，这种经济活动就是可取的；在无约束条件下，边际利润值为0(即：边际收入=边际成本)时，资源的投入量最优(利润最大)。
(2)有约束条件下最优业务量分配的确定对于有约束情形可以获得如下最优化法则：在有约束条件下，各方向上每增加单位资源所带来的边际效益都相等，且同时满足约束条件，资源分配的总效益最优。
这一法则也称为等边际法则。
当所考虑的资源是资金时，有约束的最优化法则即为：在满足约束条件的同时，各方向上每增加一元钱所带来的边际效益都相等；如果资金是用来购买资源，而各方向的资源价格分别都是常数，有约束的最优化法则即为：在满足约束条件的同时，各方向上的边际效益与价格的比值都等于一个常数。
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
微积分(第五版)教案8
《微积分》教案
编号：
（或∆
x>
式又可写成
《微积分》教案
编号：
《微积分》教案
编号：
0()U x 内的任0(,U x δ
《微积分》教案
编号：
《微积分》教案
编号：
微积分教案
编号：
,()tan tan tan ,tan tan ().m m m f x Ey Ey x Ex Ex y f x A Ey A AB OA Ex ααααθθθθθθθ==-==又平均函数为因而,若考虑弹性的绝对值，则如果我们知道了一条函数所示的曲线，则在曲线上任一点处对应的弹性，通过
作曲线的切线和线段，就可得夹角和，进而就可得
四、经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性
1)需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为0d lim .d P p Q P Q P E P Q P Q
∆→∆=⨯=⨯∆ 注：因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。
另外，在实际应用中，也常用符号 η 表示。
需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系
当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；此时，需求变动的幅度大与价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；
当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；
当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，总收益不变．
2. 供给弹性。
高等数学C类(微积分)上考试大纲
《微积分(上)》考试大纲(C 类)一、考试的基本要求要求考生较系统地掌握《微积分》中函数、极限、连续、一元函数微分学、不定积分的基本概念和基本理论；掌握上述各部分的基本方法。
应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
二、试卷满分及考试时间试卷满分为100分，考试时间为120分钟。
三、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
四、试卷题型结构及比例单项选择题 5小题，每小题3分，共15分填空题 5小题，每小题3分，共15分解答题 7小题，每小题8分，共56分证明题 2小题，共14分五、考试内容及要求一、函数、极限和连续考试内容函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；经济学中几个常见的函数；函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小量与无穷大量的概念极其关系；无穷小的性质及无穷小量的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim 。
函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单实际问题的函数关系式。
2．理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，熟练掌握复合函数的复合过程。
4．了解反函数的概念，了解函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍.ppt
所以 Q 20 时，平均成本最小。
12/24/2019 4:49 PM
第四章 中值定理与导数的应用
（三）收益 收益是生产者出售一定量产品时所得到的 全部收入。 平均收益是生产者出售一定量的产品，平 均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品 的售价。 边际收益是总收益的变化率。 总收益、平均收益、边际收益均为产量的 函数。
y0 x0
lim y x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当
x0
为定值时，Ey
Ex
为定值。
x x0
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第四章 中值定理与导数的应用
对一般的 x ，若 f ( x) 可导，则
Ey lim y y lim y x y x
12/24/2019 4:49 PM
第四章 中值定理与导数的应用
10%，而商品乙只涨了0.1%。因此我们有必要 研究函数的相对改变量和变化率。
例如，y x2 , 当 x 由10改变到12时，y 由
100改变到144，此时自变量与因变量的绝对改 变量分别为 x 2 ,y 44 , 而
例7 某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 是年产量 Q 的函数
R
R(Q)
400Q
Q2 2
80000
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总
利润是多少？
12/24/2019 4:49 PM
当 Q 10 时，总成本 C(10) 125 平均成本 C(10) 12.5 边际成本 C(10) 5
边际函数与弹性函数及其商业应用
边际函数与弹性函数及其商业应用边际函数与弹性函数及其商业应用文/何国柱王刚在经济活动中,常常遇到边际分析和弹性分析问题.边际分析与弹性分析是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法,这种方法广泛应用于经济分析与经济管理当中.通过对经济问题的边际情况的认识和研究,便可寻求对经济活动的科学指导.一.边际成本边际收入与利润决策在经济学中通常定义边际值为经济函数Y=f(x)中的因变量Y随着某一变量增加或减少一个单位而获得的改变量.即=f(xo+1)一,),或Ay=f(X.一1)一f(Xo),由于==厂()不妨我们取Ax=l,于是得厂(=厂即,),在经济学中我们称f(xdjY=f(x)的边际函数,记为.例如,总成本c=C(q)对产量q的变化率称为边际成本,记为MC,~OMC=(q);同样我们称总收入R是销量g的变化率为边际收入,记为MR,即=(q).设销售价为q,则月(q)=qP,于是有下述结论:(1)如果销售价格与销售量无关,即q是常数,则MR==P,即边际收入等于价格.(2)一般售价P是q的单调减函数,则P(q)<0,而MR=[qP(q)】=P(q)+qP(q),从而有MR—p)=qP(g)<0,即边际收入MR总小于价格P(q).设总收入为R=qP,总成本为C=Cl+q,则总利润L=R-C=qP一(+q),设L(qo)=0,解得qo=(1)赢(1'为盈利的起点,当q<qo时亏损(图1),称为盈利临界点或损益分歧点.盈亏临界点也可用销量收入表示, 用P乘(1)式两边得p吼:—lLl一Lp即销售额要达到一之时才不致亏本.若要达到预定的计划利润任务fn,则产(销)量的目标可由下式确定:lo=R()一c)=p一(+吼)得q=专_二,用P乘上式得互,即销售额要达到上面p之时,才能达到预定的计划利润.下面我们讨论产(销)量q为多少时所获利润达到最大值.因总利润函数z=z(=(g)一c(g所以z=(q)一(q)=一由极值存在的必要条件知,欲使总利润最大,必须使边际收入等于边际成本,这是经济学中关于厂商行为的一个重要命题,根据极值存在的第二充分条件,还要求q=qo时二阶导数L(qo)=R吼)一C(吼)<0集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)这就是说,在获得最大利润的产(销)量处,必须要求边际收入等于边际成本,但此时若又有(%)<(吼),则在吼处一定能获得最大利润,由极值存在的第一充分条件, 这又相当于有IMR=MC,q=q0{MR>MC,q<q0IMR<MC,q>q0上面的关系式说明:当q=qo时利润取得最大值,此时边际收入等于边际成本;当q<q.时,边际收入大于边际成本,此时增加产(销)量可以增加利润;当q>qo时,边际收入小于边际成本,此时增加产(销)量就会减少利润.在上述讨论中,我们是假定先由厂商规定产(销)量,再根据需求关系决定价格,但在某些市场条件下,也可由厂商先定价格,然后由需求关系去决定生产量,此时可将产量q看作是价格P的函数,q(p1则在价格为P时的总利润为L=R—C=P'(p)一Cl(p)l为使利润最大,须满足:1)～,即妒(p)+p(p)一(p):02).,即2(p)+p(p)一d2Cr,.)].一矿(p).扫一"'"f满足上述两个条件的价格就能使总利润达到最大值,此时的最优产量由q=~O(po)确定.由1)容易得到:,而dR=[p妒(p)],=妒(p)+(pa嘶plplp所以dCdRdR(p)由(p)(p)由这说明,能使总利润达到最大值的价格也必能使边际收入等于边际成本,由此可见,无论是以q还是以P作为自变量,上述两种分析得到的是同样的最优产(销)量和最优价格.二弹性1.函数的弹性设经济函数为y=,(),=称为函数=,()在X处的弹性,的表达式又可改写为:五:堕里墼平均函数'即弹性又可理解为边际函数与平均函数之比.在经济学中弹性表示某种变量对另一变量变化的相对反应程度(灵敏度).例如,需求函数对价格的弹性表示商品的需求量对价格变化的相对反应程度,即价格为P时, 价格每变动1%时需求量变化的百分数.2.不变弹性曲线经济学中一种特殊情形是,不论某种商品的价格如何变化,其总收入总保持不变,即R=C(常数),而R=Pq,故需求函数q=兰,该函数图形为等轴双曲线,此时需求弹性为:=,=,[一c),c,1它的经济意义是,当价格十1%时,需求量匕升1%,从而总收^保持不变,因此称需求曲线g=为不变弹f生曲线.3.需求价格弹性和总收入函数的关系由于需求函数—般为价格的递减函数,它的边际值小于零,因此它对价格的『生为负值.经济学中常规定需求firMS 性为一?P,这实际上是我们前面定义的『生的绝对值为制定决策,通常将需求弹性分为三类:(1)当1时,称该商品的需求量对价格富有弹性,即价格变化将引起需求量较大变化,此时若采取提价措施的话,因需求下降的百分比大于价格增长的百分比,结果将使总收入降低;反之,若降低价格将会使总收入增加. (2)当=1时,称该商品具有单位弹性,此时不论价格上升或下降,总收入都保持不变,这就是前面讨论过的不变曲线问题.(3)当<1时,称该商品的需求量对价格缺乏弹性,即价格变化只引起需求量的微小变化,此时提价会使总收入增加,降价使总收入减少.下面我们换一个角度,从总收入对价格的变化率来对上述问题进行分析.给出总收^.函数R(P)=qP,设当P=Po时,取得塌-大值,即有fR(,))0,PPo,{R)=o,p=p}R(,)0P>Po又因为p)==g+dq=g(1+p1=g(11),故有f(P)0,~lr/I<1时,.'爿,【)<0,当>1时a这说明,当c耐,提高价格即使销量有所减少,但总收入对价格的变化率R(p)仍为正,从而总收入仍将增加,即需求对价格缺乏弹性;当l叩l>1时,(P)为负,提价将会使总收入减少,因为需求量将会大大减少,此时需求对价格富有弹性;当lr/l=1时,价格与需求达到平衡,此时总收入取得最大值(图2).…一OP.图2三.在商业中的应用1.以旧换新的最优时间.拥有汽车者经常面临的问题是:什么时候是更换新汽车的最优时间?它与两个较重要的因素有关:一是估计维持旧汽车的修理成本,二是汽车的更换成本,我们希望把这些成本表示为时间t的函数,然后决定t的值使总成本最小.设汽车在七月后被更换,每次修理的平均成本是500元,修理次数k满:7Ztj,若更换成本是28000元,则每月的更换成本是00元每月修理成本是500.生元,因此总成本(不计本金)为:c1:5ook_+—280—00:50r÷+—280—00c1:一50一T28000令c(f)=0,得t=107.85).因C'(107.85)<0,故t=10785月时每月修理和更换的总成本为最小,总成本的鼋渔为.oo)=元.此模型中所得之tg1]为最优更换时间.2.利润关于时间的最大化在某些具有特别性质的商业开发中,如钻探石油,开采矿物和其它有耗竭的开发中,收入率尺,ff)作为时间的函数是一个递减函数是因为有消耗发生),而成本率C,(f)是一个递增函数(由于通货膨胀和其它原因),这两个数学模型由通常经济学中单位成本乘单位数和单位价格乘单位数的定义诱导出来,管理部门面临的问题是要确定开发中止的最优时间t,使利润L(r)最大.由第一部分的讨论易知开发中止的最优时间t应满足c,(r'):(r)而Lr(f)=R(f)一C,(f),所以最大利润为:￡(r')=『[R,(f)一c(r)几何匕最啊闰(r)是从f:0到t:t围在曲线c(f铂Rr(f)之间的面积咽.图中的收^率勉唰炙^)函数服在构造模型时所做的『匿殴,它是递减的,目.在开始时非常高;同时成本率G际威函数是递增的,且下凹表示成本率最终于平稳3.消费善睬余图3为P=D(q),鼋为市量,通常它导—减函数;P=S(q)为生产者愿匐潞,q为厂家对该商氏嬗,通常邑—增函数,对囱孺习之曲线垃曲线|腋E稍抨衡,坐标为,P),其中P为谚市场廊;愿付价格,生产者愿售的价沩q需求水平.生产眷,总收^是qp几何匕为图4中自勺j柳面槐在市场经济中,有时—些顾客愿意对商品付出比他们实际所付的市场价格P更高的价格,顾客由此得到的好处称为消费者剩余(cs),它由公式.CS=lD(q一p*q表示,其中j.0艉由—些出更§,它减去Pq就姥『馀CS,几何E为图5中阴影部分的面积.图4图5图6有时也会苻愿意幽物利的市『}各p低的价,生此E畦瞌沩生产宅除(),它由公式PS=P''一fs(g表示,其中』S(q)dq表示生产者感忖—鼬勺价恪而产生的收入,它被p'q'减去兢得生产者剩余,如图6中阴影玢韵面积《f乍者单窿=四JII农业大鹗集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)。
导数在经济学科中的应用
导数在经济学科中的应用霍奴梅【摘要】介绍了导数的定义及其在经济学科的应用价值.对导数在经济学科中的边际分析和弹性分析方面的广泛应用进行了实例分析.【期刊名称】《石家庄职业技术学院学报》【年(卷),期】2019(031)004【总页数】4页(P17-20)【关键词】导数;经济学科;边际分析;弹性分析【作者】霍奴梅【作者单位】吕梁学院汾阳师范分校数学系,山西汾阳 032200【正文语种】中文【中图分类】F0;O172数学作为自然科学中的一门重要学科，在各学科中一直处于较高的地位，历来受到科学研究人员的推崇，很多自然科学的规律都是通过数学的推导与计算而得出的，因而数学也在社会各个行业中有着十分广泛的应用.在经济学的有关理论中，以数学微积分中导数理论的应用最为广泛.导数作为微积分学科中的重要数学概念之一，从18世纪中叶被创造至今，其理论系统的日臻完善带来的是对更多科学概念的优化阐释.导数作为描述自变量与因变量变化规律的一个概念，可以应用于很多学科中：如将其应用于物理学中，可以描述物体时间与位移的变化率，即速度；将其应用于几何学中，则可以很好地解释斜率这一概念.而利用导数解释一些更为抽象的概念也成了近年来导数理论发展的方向之一.将导数应用于经济学中，可以很好地解释很多边际经济学的概念.本文即讨论导数在经济学中的应用问题.1 导数的定义及其在经济学中的主要应用在高等数学的微积分学科中，对于导数采用如下定义：若函数f(x)在x0的邻近区域内有定义，设x在x0处产生的微小增量Δx对应的函数增量为Δy，且存在，则将这一极限的值称为f(x)在x0处的导函数，即为f′(x0).这一数学定义表示的是f(x)在x0处的变化率[1].导数作为微积分学科中的重要内容之一，其在经济学及企业经营活动中的应用主要体现在对企业经营活动资金的有效管理上.企业经营人员利用导数可以找到企业受益于产品的最优化处理方式，既可避免因商品价格过高造成的产品滞销现象，又可避免因商品价格过低而产生的商品经营效益不佳问题，从而保证企业经营活动长期处于高受益与良性发展的状态中.2 导数在边际分析中的应用2.1 在边际成本方面的应用若某产品的生产过程总成本函数为C=C(x)，这里的x是该产品单位时间段内的产品量，而C则是x根据某种函数关系映射而得到的函数，其代表的是可变成本与固定成本的加和.当产量增加Δx，即产量由x变为x+Δx时，C的变化量即为ΔC，这时可以求得成本总量的平均增长率为：对这一公式的两边分别求极限，若等式仍然成立，即则把这一极限式称作产量为x情况下的边际成本，而C′(x)则被称作边际成本函数[2].由上述式子及极限的性质可以求出这里的x为Δx→0时的一个无限趋近于0的量，所以通常情况下认为，但在实际经济活动中，产量x变化的最小量仅可能为1，所以有C(x+1)-C(x)≈C′(x).这个公式就是经济学意义上的边界成本定义的数学化表达，其文字表达是，在产品产量为x的情况下，增加1个单位的产量所需增加的成本总量.这也可以理解为总成本与产量的变化率.通过上述公式及定义，再结合导数的基本概念，可以得出两条结论：(1)边际成本的变化仅取决于可变成本的变化，固定成本的变化不会对其产生影响.(2)当某一产品的边际成本小于其单品售价时，仍可以对这一产品进行增产处理；而当该产品的边际成本大于其售价时，则不宜采用增产的处理方式，而应选取其他的产量调控方式，如提高产品的质量，降低生产成本等[3].例1 若某一产品在产量为x的情况下，总成本C(x)与产量x的函数关系为C(x)=x3-6x2+20x，求这一产品在x情况下的最小边际成本.解根据边际成本函数的定义可得，C′(x)=3x2-12x+20，若想求其最小值，只需求这一函数的导数零点即可，即C″(x)=6x-12=0，则求得该函数的唯一零点为x=2，所以其边际成本的最小值为C′(2)=3×4-12×2+20=8.2.2 在边际收入方面的应用若某产品的销售过程总收入函数为R=R(x)，这里的x是该产品单位时间段内的产品销售量，而R则是x根据某种函数关系映射而得到的函数.当销售量增加Δx，即销售量由x变为x+Δx时，R的变化量即为ΔR，这时就可以求得总收入的平均增长率为：对这个公式的两边分别求极限，若等式依然成立，即则把这一极限式称为销量x情况下的边际收入，而R′(x)则被称作边际收入函数.2.3 在边际利润方面的应用若L(x)表示的是在产量/销量为x的情况下的利润与x的关系，则根据经济学常识，有L(x)=R(x)-C(x)，对其两边求导得，L′(x)=R′(x)-C′(x)，L′(x)即为边际利润函数. 通常在经济学问题中，对边际利润函数的讨论主要以利用这一函数求得产品的最大利润为主.当产品处于最大利润状态时，有L′(x)=0，但它仅是利润函数取得最大值的条件之一.这是因为在函数的极值有关知识中，当某一函数的一阶导数有零点时，仅可说明函数在这一点时有极值，而无法确定其为极大值还是极小值，因此，若使利润函数在这一点上为最大值，则需L″(x)<0，此时利润函数即为最大值.当然，若某一函数在定义域内仅存在唯一零点，一般也可将其直接判定为最大值取值点.例2 某食品厂生产一种食品的总成本函数与收入函数分别为C(x)=0.02x2+2x+100和R(x)=0.01x2+7x，(1)求出边际利润函数及这一函数在产量为200 kg，250 kg，300 kg时的值，并解释其中的经济学意义.(2)求出这一食品单日获得最大利润适宜生产的产量及最大利润值.解 (1)因L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+5x-100，则边际利润函数L′(x)=-0.02x+5，再将x=200,x=250及x=300分别代入，求得L′(200)=1,L′(250)=0,L′(300)=-1.这三个数值的经济学含义为：当每日产量为200 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将增加1元；当每日产量为250 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将不会变化；当每日产量为300 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量反而会减少1元.(2)若求该食品的最大利润值，则应令L′(x)=-0.02x+5=0，求得x=250.又因L″(x)=-0.02<0，则可判定x=250时，L(x)取得最大值，最大值为L(250)=-0.01×2502+5×250-100=525，即该食品单日最大利润为525元.3 导数在弹性分析中的应用3.1 经济学中弹性的含义若函数f(x)在x0的邻近区域内有定义，且f(x0)≠0，若极限存在，则将该极限的值记为函数f(x)在x0处的弹性，通常记作则可求出若上述函数在(a,b)区间内可导且不存在零点，则将称作函数f(x)在区间(a,b)内的弹性函数[5].3.2 需求弹性的含义若用Q表示某一商品在销售市场的需求量，p表示商品的价格，且二者构成的需求函数存在导函数，则将称作该商品的需求弹性，记作εp[6].根据经济学原理，商品价格上涨一定幅度时，其市场需求量将会有所下跌，需求函数通常呈现随价格增大而减小的趋势，因此εp的值通常为负值.所以在经济学研究中通常采用的是其绝对值|εp|，即一个商品的需求弹性较大时，表明其绝对值较大. 需求弹性对商品需求量与商品价格变动关系的经济学表达如下：(1)若εp=-1时，商品需求量的变化情况与商品价格的变化情况相等，称为单位弹性.(2)若εp<-1时，商品需求量的变化情况比商品价格的变化情况更加明显，称为高弹性.(3)若εp>-1时，商品需求量的变化情况不如商品价格的变化情况明显，称为低弹性.3.3 在商品需求弹性与总收益关系中的应用在商品的销售过程中，企业最为关注的是价格变化会给收益带来的影响.设商品销售总收益为R，则有R=Qp.若此时对价格进行Δp的改变，则有因此，当产品处于高弹性状态时，总收益的增加可以通过价格降低来实现，此时较少的利润将会带来较高的销量，从而使企业获得更高的利润.当产品处于低弹性状态时，总收益的增加可以通过提高价格来实现，此时，就不应该选择产品低价路线，否则会适得其反，使总收益值降低.当产品处于单位弹性状态时，价格的变动对于商品总收益的影响几乎为0，此时，提高价格或降低价格均不是提高总收益的理想方式，企业应选择其他方式来提高总收益[8].例3 若某商品的需求函数为试求：(1)该产品的需求弹性函数.(2)求当p=3，p=4，p=5时的需求弹性值，并阐述其经济学含义.解(2)当p=3时，εp=-0.75>-1，此时商品处于低弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量下跌0.75%，说明此时提高价格将会增加商品的总收益. 当p=4时，εp=-1，此时商品处于单位弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量会下跌1%，说明此时提高价格与否将不会对商品总收益产生明显的影响.当p=5时，εp=-1.25<-1，此时商品处于高弹性状态，即商品的价格每上涨1%时，商品的市场需求量将会下跌1.25%，说明此时提高价格将会降低商品的总收益.4 结语人类社会发展至今，商品的大量流通成为社会发展的重要动力之一，而由这些商品交换构成的经济活动也逐渐由一种人类活动发展为理论学科.利用导数对这些经济活动进行研究，不仅有利于经济活动参与者获得更高的经济收益，同时还能为其长期良性地处于经济活动范围内提供保障.在很多经济学理论中，都需要利用数学工具进行大量的推导，以表明其研究结论的真实、可信，这就对经济学科的相关人员提出了新的要求，即要在掌握经济理论知识的同时，夯实数学基础，使数学成为进行经济分析的得力工具.参考文献：【相关文献】[1] 徐志霞,刘青,张彩霞.导数在经济分析中的应用[J].商业研究,2000(10):52-53.[2] 晋盛武,陈建东,糜仲春，等.基于产量理性推测导数的差异产品企业研发决策[J].运筹与管理,2006(2):128-132.[3] 邹蕾,高学东.基于导数序列的时间序列同构关系发现[J].计算机应用,2016,36(9):2472-2474.[4] 丁春梅.关于Bernstein型多项式导数的特征[J].数学杂志， 2003，23(3):328-332.[5] 丁春梅.Bernstein-Durrmeyer算子导数的等价刻划[J].甘肃工业大学学报,2002(1):110-113.[6] 徐永利,胡锡健.基于协整分析和局部多项式回归的兵团经济增长实证分析[J].数理统计与管理,2010,29(4):586-595.[7] 林子飞,徐伟,韩群.基于分数阶导数的经济波动模型的稳定性研究[J].动力学与控制学报,2017,15(3):242-249.[8] 王岩,冯敬海,冯恩民.Lévy过程驱动金融市场中最优资产组合复制策略[J].大连理工大学学报,2011,51(6):927-932.。
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例 3 已知某商品的成本函数为C C(Q)100 Q2 4
求 当Q10时的总成本及平均成本
解 由C 100 Q2 有 4
C
100 Q
Q 4
C Q 2
当Q10时
总成本为 C(10)125
平均成本为C(10)125
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绝对改变量
1% 0.1%
相对改变量
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定义 (绝对改变量与相对改变量)
变量 t从初值t0 变到终值 t1 ，则称
Δt = t1- t0为变量 t 在 t0处的绝对改变量；
t t0
称为t在t0处的相对改变量.
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例1 （1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数．当 价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月 售出600件. 试求需求函数 ； （2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性 函数．当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元 时，每月多提供100件，试求供给函数.
解
Ey Ex
y
x y
2 x 32x
2x 32x
Ey Ex
|x3
23 3 23
2 3
例190. 求函数 y100e3x 的弹性函数EEyx 及EEyx |x2
解
Ey Ex
y
x y
300
e3x100xe3x
33xx
Ey Ex
|x2
326
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定义46(需求弹性)
2. 成本函数、收益函数、利润函数 (1) 成本函数 总成本
总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额
总成本C(Q)由固定成本C0和可变成本C1(Q)两部分组成： C(Q) C0 C1(Q).
平均成本 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本
Q 个单位产品时的平均成本为： C C(Q) Q
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
设某商品的需求函数Q
f
( p)在p
p0处可导，则称
Q p
/ /
Q0 p0
为该商品在p p0与p p0 p两点间的需求弹性(弧弹性)，
R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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（1）边际需求 Q( p)
表示价格改变一个单位，需求量改变Q( p)个单位.
（2）边际供给 Q( p)
表示价格改变一个单位，供给量改变Q( p)个单位.
（3）边际成本 C(q)
表示生产第(q +1)个产品的成本.
（4）边际收益 R(q)
表示销售第(q +1)个产品的收入.
（5）边际利润 L(q)
表示销售第(q +1)个产品所增加的利润.
解得 c 220,b 1. 故供给函数为 Q 220 p.
《微积分》(第三版) 教学课件需求函数为QbaP(a、b0) 供给函数为 QcPd(c、d0) 求均衡价格P0
解 令baP0cP0d
得
P0
bd ac
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(弧弹性)
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定义45(函数的弹性)
设函数yf(x)在点x0处可导 函数的相对改变量与自变量
的相对改变量之比y/ y0 x/ x0
称为函数 f(x)从 xx0 到 xx0x 两点
间的平均相对变化率(弧弹性)
若极限
lim
x0
y x
/ /
y0 x0
存在，则称该极限为f
§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用
一、常用经济函数 二、函数变化率——边际 三、函数的相对变化率——弹性
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一、常用经济函数
1.需求函数与供给函数 (1) 需求函数 含义：消费者对某种商品的需求量. 需求量主要受到商品价格的影响，可视为价格的函数. 设价格为p, 则需求函数记为Q f ( p). 通常降低商品的价格会使需求量增加，提高价格会 使需求量减少．因此需求函数是单调递减函数.
q
q
边际成本函数为C(q) 0.003q2 0.6q 40；
__
（2）当q=50时， C(50) 47.5，C(50) 17.5.
边际成本的经济意义：第51个产品的成本为17.5元.
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则： 取得最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
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(2) 供给函数
含义：生产商向市场提供的商品的数量. 供给量也主要受到商品价格的影响，亦可视为价格
的函数.记为Q ( p).
通常降低商品的价格会使供给量增加，提高价格会 使供给量减少．因此供给函数是单调递增函数.
(3) 均衡价格 市场上需求量与供给量相等时的价格 此时的需求量与供给量称为均衡商品量 一般来说 市场上的商品价格 是围绕均衡价格摆动的
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 f(x)近
似地改变
E Ex
f
(x0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
似” 二字
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x
x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
引例 已知yx2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为:
x2 y44 相对改变量分别为:
x 20% y 44%
x
y
此时，
y x
/ /
y x
44% 20%
2.2
这表示在(10 12)内 从x10开始 x改变1%时 y平均改变22% 我们称它为从x10到x12 函数yx2的平均相对变化率
L(Q)取得最大值的充分条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
《微积分》(第三版) 教学课件
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例8 已知某产品的需求函数为P1002Q 成本函数为 C502Q 求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最 大利润原则
解 已知P(Q)1002Q C(Q)502Q 则有
R(Q)1002Q2
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生产了50个产品后 应该继续生产吗？
例7. 已知总成本函数为C(q) 0.001q3 0.3q2 40q 100（0 元）， 求：（1）平均成本函数和边际成本函数；
（2）求生产50个产品时的平均成本和边际成本， 并解释后者的经济意义.
解：（1）平均成本函数为C__ C(q) 0.001q2 0.3q 40 1000 ,
解：(1)设需求量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q a bp.
800 600
a a
580b 680b
,
解得 a 1960,b 2. 故需求函数为 Q 1960 2 p.
(2)设供给量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q c dp.
800 c 580d 900 c 680d ,
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(2) 收益函数
总收益函数是指生产者出售商品所得到的全部收入, 一般用R表示. 设销售量为q, 商品价格为p，则
R pq.
例4. 某商品的市场需求规律为q p 6，求销售100个商品 时的总收入.
解 总收益函数为： R(q) pq (q 6)q q2 6q
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x
x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
ff
((xxx))
f