高中数学四大数学思想

高中数学四大思想方法

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合;二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学内容,可用文字和符号来记录与描述,那么数学思想方法则是数学意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.这些在一轮复习中都有所涉及,建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习,这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”,既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果,而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用,也因时间紧造成学而不透、学而不深,在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分.

思想1 函数与方程思想

函数的思想,就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.

方程的思想,就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想.

(1)设函数f（x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f（x）>f′(x)成立,则（)

Ａ．3ｆ(ｌn ２）<2f(ｌn 3)

B．３f（ln 2)＝2ｆ(ｌn ３）

C.3f（ln 2)>２ｆ(ｌｎ3）

Ｄ．3ｆ(ln 2)与2f(ln ３）的大小不确定

（2)（名师押题)直线ｙ=kｘ＋２和椭圆错误!＋错误!＝1在y轴左侧部分交于A，Ｂ两点,直线ｌ过点P(0，-2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a 的取值范围为____＿_＿＿.

（1)C (2）错误!［(1)令Ｆ(x）＝错误!,则F′(x)=错误!.

因为对∀x∈Ｒ都有ｆ(x)＞f′(ｘ)，所以F′(x)<０,

即F(ｘ)在R上单调递减．又ln 2F（lｎ3), 即错误!＞错误!，所以错误!＞错误!,即3f(ln 2)＞2f(lｎ３),故选C.

(2)设A（x1,y1）,B(x2，y2),M(x０,y0),直线l与x轴的交点为N(a,0). 由错误!得(３+4k2)x2+１6ｋx＋４＝0.

因为直线y＝ｋx＋2和椭圆x2

4+错误!＝1在y轴左侧部分交于

Ａ,B两点,所以

错误!解得k＞错误!.

又M为线段AB的中点，所以

错误!由P(0,－２)，M(x0,y0)，N(a,０)三点共线, 所以错误!=错误!，所以－错误!=2ｋ＋错误!.

又因为k>1

2,所以2k＋错误!≥2错误!,当且仅当k=错误!时等号成立,所以－

＼f(4，a)≥26,则-错误!≤ａ≤0.]

函数与方程思想在解题中的应用

１．函数与不等式的相互转化,对函数y＝f(x),当y>０时,就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

2.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.

3．解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数有关理论.

4.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

[变式训练1] 将函数y＝sｉn错误!的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称，则ｍ的最小值为__＿__＿_＿.

错误![把y=sｉｎ错误!的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y=sin错误!=sｉｎ错误!的图象，

而此图象关于y轴对称，则4m－π

3=kπ＋错误!（k∈Ｚ),

解得m=错误!kπ＋错误!(k∈Z).又m>０，所以m的最小值为错误!.］

思想2数形结合思想

数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面:

(１）“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.

(2)“以数定形”,把直观图形数量化，使形更加精确,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

(2０16·山东高考)已知函数f(ｘ)＝错误!其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_＿_＿____．(3，＋∞）[作出ｆ(x）的图象如图所示．当x＞ｍ时，ｘ２－2ｍx+４m=（x－m)2+4ｍ－m2，∴要使方程f(x）＝b有三个不同的根,则4m－m2<ｍ，即ｍ２－3ｍ＞0.又m>0,解得m>3.]

数形结合思想在解题中的应用

1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．

２．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围.

3．构建解析几何模型求最值或范围.

4.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.

［变式训练2] （1)若方程x２+(１＋a)x＋1+a+b＝０的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则＼ｆ(b，ａ)的取值范围是( )

A．(－２,-１)

B．(－∞，－2）∪(－1，＋∞)

C.错误!

D.错误!∪错误!

(2）(2０１5·吉林模拟)若不等式4x２-lｏgａx<0对任意x∈错误!恒成立，则实数ａ的取值范围为( )

A.错误!Ｂ.错误!

C.错误!ﻩ

D.错误!

(1)C(２)Ｂ[(1)由题意可知,方程的一个根位于(0,1）之间，另一根大于1.

设ｆ（x)＝ｘ２＋(1+a)x＋1＋a+b,则

错误!

即错误!

作出可行域如图阴影部分所示．

b

ｂ)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知k OA＝-错误!, a可以看作可行域内的点(a，

∴-２＜错误!<-错误!.

(2)由已知４x2

ｇa x的图象恒在函数y＝４x2图象的上方,显然当ａ＞１时，不成立,当a<１时，

如图,只需lｏgａ错误!≥４×错误!2⇒ａ错误!≥错误!⇒a≥错误!，

又a<1,故ａ∈错误!.故选Ｂ.]

思想3分类讨论思想

分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按

某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论，最终综合各类结

果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为