高中数学四大数学思想

高中数学四大思想方法高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合;二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学内容,可用文字和符号来记录与描述,那么数学思想方法则是数学意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.这些在一轮复习中都有所涉及,建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习,这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”,既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果,而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用,也因时间紧造成学而不透、学而不深,在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分.思想1 函数与方程思想函数的思想,就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.方程的思想,就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想.(1)设函数f（x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f（x）>f′(x)成立,则（)Ａ．3ｆ(ｌn ２）<2f(ｌn 3)B．３f（ln 2)＝2ｆ(ｌn ３）C.3f（ln 2)>２ｆ(ｌｎ3）Ｄ．3ｆ(ln 2)与2f(ln ３）的大小不确定（2)（名师押题)直线ｙ=kｘ＋２和椭圆错误!＋错误!＝1在y轴左侧部分交于A，Ｂ两点,直线ｌ过点P(0，-2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a 的取值范围为____＿_＿＿.（1)C (2）错误!［(1)令Ｆ(x）＝错误!,则F′(x)=错误!.因为对∀x∈Ｒ都有ｆ(x)＞f′(ｘ)，所以F′(x)<０,即F(ｘ)在R上单调递减．又ln 2<ln 3,所以F(ln2)>F（lｎ3), 即错误!＞错误!，所以错误!＞错误!,即3f(ln 2)＞2f(lｎ３),故选C.(2)设A（x1,y1）,B(x2，y2),M(x０,y0),直线l与x轴的交点为N(a,0). 由错误!得(３+4k2)x2+１6ｋx＋４＝0.因为直线y＝ｋx＋2和椭圆x24+错误!＝1在y轴左侧部分交于Ａ,B两点,所以错误!解得k＞错误!.又M为线段AB的中点，所以错误!由P(0,－２)，M(x0,y0)，N(a,０)三点共线, 所以错误!=错误!，所以－错误!=2ｋ＋错误!.又因为k>12,所以2k＋错误!≥2错误!,当且仅当k=错误!时等号成立,所以－＼f(4，a)≥26,则-错误!≤ａ≤0.]函数与方程思想在解题中的应用１．函数与不等式的相互转化,对函数y＝f(x),当y>０时,就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.2.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.3．解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数有关理论.4.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.[变式训练1] 将函数y＝sｉn错误!的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称，则ｍ的最小值为__＿__＿_＿.错误![把y=sｉｎ错误!的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y=sin错误!=sｉｎ错误!的图象，而此图象关于y轴对称，则4m－π3=kπ＋错误!（k∈Ｚ),解得m=错误!kπ＋错误!(k∈Z).又m>０，所以m的最小值为错误!.］思想2数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面:(１）“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.(2)“以数定形”,把直观图形数量化，使形更加精确,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．(2０16·山东高考)已知函数f(ｘ)＝错误!其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_＿_＿____．(3，＋∞）[作出ｆ(x）的图象如图所示．当x＞ｍ时，ｘ２－2ｍx+４m=（x－m)2+4ｍ－m2，∴要使方程f(x）＝b有三个不同的根,则4m－m2<ｍ，即ｍ２－3ｍ＞0.又m>0,解得m>3.]数形结合思想在解题中的应用1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．２．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围.3．构建解析几何模型求最值或范围.4.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.［变式训练2] （1)若方程x２+(１＋a)x＋1+a+b＝０的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则＼ｆ(b，ａ)的取值范围是( )A．(－２,-１)B．(－∞，－2）∪(－1，＋∞)C.错误!D.错误!∪错误!(2）(2０１5·吉林模拟)若不等式4x２-lｏgａx<0对任意x∈错误!恒成立，则实数ａ的取值范围为( )A.错误!Ｂ.错误!C.错误!ﻩD.错误!(1)C(２)Ｂ[(1)由题意可知,方程的一个根位于(0,1）之间，另一根大于1.设ｆ（x)＝ｘ２＋(1+a)x＋1＋a+b,则错误!即错误!作出可行域如图阴影部分所示．bｂ)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知k OA＝-错误!, a可以看作可行域内的点(a，∴-２＜错误!<-错误!.(2)由已知４x2<loｇa x对任意x∈错误!恒成立，相当于在错误!上，函数y=loｇa x的图象恒在函数y＝４x2图象的上方,显然当ａ＞１时，不成立,当a<１时，如图,只需lｏgａ错误!≥４×错误!2⇒ａ错误!≥错误!⇒a≥错误!，又a<1,故ａ∈错误!.故选Ｂ.]思想3分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．(1）(2０15·山东高考)设函数f (ｘ）＝错误!则满足f (ｆ(a ))＝2f (a ）的ａ的取值范围是( ）Ａ.错误! ﻩB.[0,1］C.错误! Ｄ.[１，+∞)(２)设F 1，F 2为椭圆x 29＋错误!＝１的两个焦点,P 为椭圆上一点．已知P ,F 1，Ｆ2是一个直角三角形的三个顶点，且|ＰF 1｜>|PF 2|，则＼ｆ（|PF 1|,|PF 2｜）的值为___＿____．（1)C (２)２或错误! [(1）由ｆ(f （a )）=2f （a )得,f (a )≥1.当a <1时,有3a -1≥1,∴a ≥23,∴２3≤a <１.当a ≥１时,有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，ａ≥错误!，故选C.（2)若∠PF 2F 1＝90°，则|P Ｆ1|２＝｜P Ｆ2｜2＋|F １Ｆ2|２.∵｜PF 1|+|P Ｆ2｜＝6,|F 1Ｆ２|=25,解得|PF 1|＝＼f(1４,３),|PF 2|=＼f(４,3)，∴错误!=错误!.若∠F ２PF 1=90°，则|F １Ｆ2｜2=｜PF 1｜２+|ＰF ２|2=|PF 1|2+(６-|PF 1|)2,解得|PF 1|＝４,｜PF ２|＝2，∴｜PF 1||P Ｆ2｜＝2. 综上所述，错误!＝2或错误!.]分类讨论思想在解题中的应用1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3.由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.[变式训练３](１）已知二次函数f（ｘ)=ａx2+2ax＋１在区间[－3,2]上的最大值为４,则a等于( )A．－3 ﻩB.-＼f(3,8)C.3ﻩＤ.＼f(３，８)或－3（2）在等比数列{ａｎ｝中,已知a3＝错误!,Ｓ3＝错误!，则ａ1=_＿__＿＿__．(１)D(2)错误!或６[(1)当a＞0时，f(ｘ)在[-3，-１]上单调递减,在［-１,2]上单调递增，故当ｘ=2时,f(x)取得最大值，即８ａ+１＝４,解得a=38．当ａ＜０时，易知f(x)在x＝-1处取得最大,即－a＋1=4，∴a=-3.综上可知，a=错误!或-３.故选D．(2）当q＝1时，ａ1＝ａ２=a3＝错误!，S3=3a１＝错误!，显然成立;当q≠１时，由题意，得错误!所以错误!由①②,得＼f(１+q+q2,ｑ2）＝３，即2q2-ｑ-1＝0,所以ｑ=-错误!或q＝1(舍去)．当ｑ=－错误!时,a１＝错误!＝6.综上可知，a1=＼ｆ(３,2)或a1＝６.]思想４转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．（1)(20１6·洛阳模拟)抛物线y２=4x的焦点为F，点Ｐ(x,ｙ）为该抛物线上的动点,又点Ａ(-1,0),则|PF||P A｜的最小值是(）【导学号:】A.12B．错误!C.３2Ｄ.错误!(2)(名师押题)已知函数ｆ(x)＝３e|x|.若存在实数t∈[－1,+∞)，使得对任意的ｘ∈[1，m]，ｍ∈Z且m>１,都有f(ｘ+ｔ)≤3e x,则m的最大值为____＿_＿＿.[解题指导](1）利用抛物线的定义把＼ｆ（|PＦ|,|P A｜）的最值问题等价转化成直线ＰA的斜率问题.(2)ｆ(x+t)≤３eｘ错误!e x＋ｔ≤eｘ错误!ｔ≤1＋ln x-x错误!h(x)miｎ≥－１.(1)Ｂ（2）3 [（１)如图，作PH⊥l于H，由抛物线的定义可知,|PH｜=|PF|，从而错误!的最小值等价于错误!的最小值，等价于∠P AH最小，等价于∠P AF最大，即直线P A的斜率最大．此时直线P A与抛物线y2＝4x相切，由直线与抛物线的关系可知∠P AF＝４5°,所以错误!＝错误!＝sin ４5°=错误!.(2)因为当t∈［-1，＋∞)且x∈［1，ｍ]时,x+t≥0，所以ｆ(ｘ＋t）≤3eｘ⇔eｘ+t≤eｘ⇔t≤1＋lｎx－x．所以原命题等价转化为：存在实数t∈[-1,＋∞),使得不等式t≤1＋ｌn x－x 对任意x∈［1,m］恒成立．令ｈ（x)＝1+ｌｎx－x(x≥１).因为h′(x)＝错误!－1≤0,所以函数h（ｘ）在[１，+∞)上为减函数.又x∈[1,m],所以ｈ(x）ｍｉｎ=h（m)=1＋ｌn ｍ－m．所以要使得对x∈[1，m］，t值恒存在,只需1＋ln m-ｍ≥-1.因为h(3)=ln 3-2=ｌn错误!>ｌn错误!=－1,h（4)＝lｎ4-3=ln错误!＜ln错误!=－1，且函数h（x)在[1，+∞)上为减函数,所以满足条件的最大整数ｍ的值为3．]转化与化归思想在解题中的应用１．在三角函数中，涉及到三角式的变形,一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题,以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等.2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.4.在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.5．在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(ｘ)构成的方程.[变式训练４](1）(2016·杭州二模)在正方体ABＣＤ-A1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，E是AA1的中点，则异面直线ＢＥ与B1Ｄ1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B-EB1D1的体积为＿___＿__＿．(2）若对于任意t∈［1，2],函数g（ｘ）=x３+错误!x2－2x在区间（ｔ,3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿___＿＿__．（1)１0５＼f(1,6)（2)错误![(1)连接BD,DE，因为BＤ∥B1D1,所以∠EBD就是异面直线BＥ与B1D1所成的角，设A１A＝１,则ＤE=BE=错误!，BD＝错误!,ｃos∠EBＤ＝5４＋2－542×＼f(5,2)×＼r（2)=＼f(10,5)，由Ｖ三棱锥B-EB１D１=V三棱锥D1-ＢEＢ1得V三棱锥B-EB1D１＝13×1２×1=错误!.(2)g′(x)=3x2+(m＋４)x-2，若ｇ（x)在区间(ｔ,３)上总为单调函数,则①ｇ′(ｘ)≥０在(t,3)上恒成立，或②g′（x)≤0在(t,3）上恒成立．由①得3ｘ２＋（m＋4)ｘ-2≥0,即m+４≥２x-3x在x∈(t,3)上恒成立,所以m＋４≥2t－3ｔ恒成立,则ｍ＋４≥-1，即ｍ≥－5；由②得ｍ+4≤错误!-３x在x∈(ｔ,3)上恒成立，则m＋４≤错误!－9,即m≤－＼f(３7,3).所以若函数g(ｘ)在区间(t,3)上总不为单调函数,则m的取值范围为-＼f(37,3) <ｍ<-５.]。