代数式的恒等变换
代数式恒等变形法则归纳
代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。
在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。
代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。
在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。
一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。
代数式与恒等变形
第5讲 爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解 方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故 左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+ .13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ ……)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+=读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读 一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解 令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc -由①+②+③，得)2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且xz z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设 式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx解 由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值， 题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解 由已知，得.,22z a y a x a a y -=-= 两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-=即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2 ,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。
2代数式的恒等变形 讲义
有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a例4 已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd例5 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.证明：1111=+++++c c b b a a例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x 证明：0222=+++++y x z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)例7 已知a+b+c=a 2+b 2+c 2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2例8设c b a c b a ++=++1111，证明(1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零；(2) 对任何奇数n ，有n n n n n n c b a c b a++=++1111例9 已知ad-bc=1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ≠1例10证明：1132113211211+-=++++++++++n n n。
代数式的恒等变形
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1 、 已知ab=1，求221111ba +++的值 [解] 把ab=1代入，得221111b a +++ =22b ab aba ab ab +++ =b a a b a b +++=1例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理练习：1111,1=++++++++=c ca cb bc b a ab a abc 证明：若二、配方法例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b aa b +之值。
[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a当a=1，b=1时，b aa b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b aa b +=1+1=2 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例 2 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ． 所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0 当a=-1，b=-1时，a+b=-2[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。
代数式的恒等证明
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求221111ba+++的值例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：练习：1111,1=++++++++=c ca c b bc b a ab a abc 证明：若二、配方法——构造完全平方式和的形式。
例1、 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求ba a b+之值。
例2 、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，写出其其形式。
例3、 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例1 已知a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ．例2 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值练习：证：))(()()()()(22333c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++四.换元法例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.练习：求证：22)1(1)2(2--+=-+-+-+ab b a ab b a ab b a ）（）（五．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例1 求证：全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．六、分析法与综合法练习：222222222111,0,0cb a ba c ac b abc c b a -++-++-+≠=++求且已知七、设参法 例1 若求x+y+z 的值.练习：1、 已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．2、求证：8a+9b+5c=0．3、 已知a+b+c=0，求证：2(a 4+b 4+c 4)＝(a 2+b 2+c 2)2．作业：)11()11()11(,01ba c a cbc b a c b a +++++=++求、已知的值。
200道代数式的恒等变形练习题
.
59.已知实数 x1 、x2 、…、x2002 满足 x 1 1 x 2 1 x 2002 1 = 1 (x1+x2+…+x2002)则，x1+2x2+…+2002x2002 的 值为= 60.已知整数 a、b、c 满足不等式 a +b +c +42≤ab+9b+8c，则 a、b、c 分别等于 61. 已知实数 a, b, c 满足 a 2b 2, 且 ab 3 c 2 1 0 ，则 bc 的值为
4 ，则 x+y= 3
．
a1 a 2 a 3 a 4 k 且 a1+a2+a3+a4+a5≠0．则 k 的值为 a5
2 2
．
2 2
52.已知实数 a、b、x、y 满足 a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a +b )xy+ab(x +y )= 53.已知 x
。
2 6 1, y 2 ,那么 z 3 y z x
2 2
1 1 1 xy 2 z yz 2 x zx 2 y
2 2 2 2
19.已知 x、y 为正整数，且满足 2x +3y =4x y +1．则 x +y = 20.已知
yzx zx y x yz 3 2 =p．则 p +p +p= x yz yzx zx y
。
x2 y2 z2 x y z 34.已知实数 x，y,z 满足 1 ，则 yz zx x y yz zx x y
35.若实数 a 满足 a3 a2 3a 2
2代数式恒等变形
代数式的恒等变形代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。
下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．一．设参数法如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y za b b c c a==---，求x+y+z 的值。
例2．已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．例4．求证：()()()()()()222222a b c b c a c a b abc a b c ab bc ca a b c ++++++++=++++例5．已知222201*********x y z ==，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111=++zy x。
第11讲 代数式恒等变形
11 代数式的恒等变形模块一 基本代数式变形 知识导航若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+-()()224x y x y xy -=+-()24422222x y x y x y +=+-||x y -=()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦若已知x ²－5x +1=0，可得x ＋1x=5，由此可以求出一些典型代数式的值： x ²＋21x =212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭22114x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24242112x =x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭1x x -=刻意练习1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值．2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x+的值．（2016—2017六中八上月考）若0＜x ＜1，13x =x +，则221x =x-________．练习（2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b aa b +++的值为（ ） A ．2B ．83C ．4D ．349例2（1）已知13x x+=，求242________1x x x =++（2）已知2410a a ++=，且4232133a ma a ma a++++＝5，求m ．练习已知2421x x x ++＝14，则4225155_________3x x x -+=．已知2310a a-+=，求361aa+的值．例3（1）已知．1x＋1y＝2，求2322x xy yx xy y-+++（2）已知．232325x xy yx xy y+-=--，求11x y-练习已知()222224114,x y x yx y x y xy+++=+求．已知2222224360236,27057x y z x y z x y z x y z --=⎧++⎨+-=++⎩求． 练习已知222230,(0)2340a b c ab bc acabc a b c a b c ++=⎧++≠⎨++=++⎩求．（1）a c a c a bk a b c+++===，求k 的值．（2）若0xyz ≠，且满足,y z x x z y x y zx y z+-+-+-==则()()()y z x x z y x y z xyz +-+-+-的值为多少？ 练习a b c b c c a a b ==+++，则22__________3a b ca b c++=+-．（1）已知111311,,a b c a b b c c a ++=+++++则________.a b cb c c a a b++=+++（2）已知x y z +＋yx z+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝_________．练习已知2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，则x y z +＋y x z+＋z x y +＝_________．模块三 恒等变形的应用例7（2016—2017二中八上月考）某种产品的原料提价，因而厂家对产品进行提价，现有三种方案： （1）第一次提价p ％，第二次提价q ％； （2）第一次提价 q ％，第二次提价p ％ ；（3）第一次和第二次提价均为2p q+％，其中p ，q 是不相等的正数，三种方案中哪种提价最多？ （提示：因为p ≠q ，则（p -q ）2=p 2-2pq +q 2>0，所以p 2+q 2>2pq ）（1）（2016—2017青山区八上期末）已知p =717m -1，Q =m 2-1017m （m 为任意实数），则P ，Q 的大小关系为（ ） A .P >Q B .P =Q C .P <Q D .不能确定 （2）（2016—2017汉阳区八上期末） 计算323220162201620142015220152017-⨯-+⨯-= .例8（学而思2017元旦综测第22题）已知Rt △ABC ，∠C =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I ，IE ⊥AB 于E ，IE =r ，（a ，b ，c ，r 都是常数） （1）请你写出△AIB 的面积 ，并证明；（ab =r （a +b +c ）； （2）求证：r =2a b c+-； （3）记△ABC 的面积为S ，求证：（12r c +）2≥2S .I rcbaE CBA挑战压轴题（2013—2014武昌区八上期末第24题） 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，且满足：()13a a a k c b b c-+==-+ （1）求证：k =232a c+；（2）求证：c >b ；（3）当k =2时，证明：AB 是的△ABC 最大边.第11讲 代数式恒等变形A 基础巩固1.已知a 2-a =7，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ） A .3 B .72C .4D .52.（2016—2017硚口区八上期末）已知：x ≠3，ab =（x -3）0，a +b =3ab ，则a -b 的值为（ ）A B . C D .3.已知：114a b-=，则2227a ab ba b ab ---+的值为（ ） A .4 B .5 C .6 D .74.已知)11a b a b +=≠，则()()a b b a b a a b ---的值为 . 5.已知113m n -=，则333m mn nm mn n+---的值为 . 6.若y 0且满足123x y-=，则代数式918918x y x y +---的值为 .7.（2016—2017江汉区八上期末）已知多项式2x 2+3xy -2y 2-x +8y -6可以分解为（x +2y +m ）（2x -y +n ）的形式，那么3211m n +-的值是 .B 综合训练8.已知111109a b b c c a ++=+++，7c b a a b c a b c ++=+++，则a +b +c = . 9.已知a 2+2a -15=0，求22141.2213a a a a a a --++-++的值.10.实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，a 2+b 2+c 2=4，求222222222a b b c c a c a b+++++---的值.11.已知a ，b ，c ，d 满足a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.12.（2016-2017江汉区八上期末）计算32322016220162014201620162017-⨯-+-.。
代数式的恒等变换
代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1：在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2：如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设p 为实常数，x =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
代数式的恒等变形
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1 、 已知ab=1,求221111ba +++的值 解 把ab=1代入,得221111b a+++ =22b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b +++=1例2 、已知xyzt=1,求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理练习：1111,1=++++++++=c ca cb bc b a ab a abc 证明：若二、配方法例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0,求b a a b +之值; 解 ∵a2b2+a2+b2-4ab+1=a2b2-2ab+1a2-2ab+b2 =ab-12+a-b2则有ab-12+a-b2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a⎩⎨⎧-=-=.1,1b a当a=1,b=1时,b a a b +=1+1=2 当a=-1,b=-1时,b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数,且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和,其形式是______.解mn=a2+b2c2+d2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =ac+bd2+ad-bc2=ac-bd2+ad+bc2,所以,mn 的形式为ac+bd2+ad-bc2或ac-bd2+ad+bc2.例2 设x 、y 、z 为实数,且y-z2+x-y2+z-x2=y+z-2x2+z+x-2y2+x+y-2z2.求的值. 解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ x-y2+x-z2+y-z2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d 都是正数,求证：a=b=c=d ． 证 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,a2-b22+c2-d22+2a2b2+2c2d2-4abcd=0, 所以a2-b22+c2-d22+2ab-cd2=0．因为a2-b22≥0,c2-d22≥0,ab -cd2≥0,所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0, 所以 a+ba-b=c+dc-d ＝0．又因为a,b,c,d 都为,所以a+b≠0,c+d≠0,所以 a ＝b,c=d ． 所以ab-cd=a2-c2=a+ca-c=0,所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例4 已知|a|+|b|=|ab|+1, 求a+b 之值 解 ∵|a|+|b|=|ab|+1∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 |a|-1|b|-1=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1,b=1时,a+b=2 当a=1,b=-1时,a+b=0 当a=-1,b=1时,a+b=0当a=-1,b=-1时,a+b=-2评注 运用该法一般有两种途径求值,一是将已知条件变形为一边为0,另一边能分解成几个因式的积的形式,运用“若A ·B=0,则A=0或B=0”的思想来解决问题;另一种途径是对待求的代数式进行因式分解,分解成含有已知条件的代数式,然后再将已知条件代入求值;练习：证：))(()()()()(22333c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++四.换元例4 设a+b+c=3m,求证:m-a3+m-b3+m-c3-3m-am-bm-c=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=p+q+rp2+q2+r2-pq-qr-rp=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0即m-a3+m-b3+m-c3-3m-am-bm-c=0练习：求证：22)1(1)2(2--+=-+-+-+abbaabbaabba）（）（2．比较法a=b比商法．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中,这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项,把其中的字母轮换,即以b代a,c 代b,a代c,则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换,则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换,可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性,可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式,是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：1+p1+q1+r=1-p1-q1-r．同理所以所以1+p1+q1+r=1-p1-q1-r．3．分析法与综合法证要证a2+b2+c2=a+b-c2,只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc, 只要证ab=ac+bc,只要证ca+b=ab,只要证练习：222222222111,0,0cbabacacbabccba-++-++-+≠=++求且已知4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若求x+y+z的值.解令则有x=ka-b, y=b-ck z=c-ak,∴x+y+z=a-bk+b-ck+c-ak=0.。
第一讲：代数式与恒等变形
第1章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
代数式与恒等变形
第5讲 爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解 方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故 左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手 1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+.13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程） 分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ …… )]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n 在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+= 读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α 本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读 一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解 令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+ 则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc - 由①+②+③，得 )2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x 题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且x z z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设 式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx 解 由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值， 题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证： 由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解 由已知，得.,22z a y a x a a y -=-=两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-= 即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。
学会恒等变换与逆变换
学会恒等变换与逆变换恒等变换和逆变换是数学中常见的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍恒等变换和逆变换的概念、性质以及具体的应用案例，帮助读者更好地理解和掌握这两个重要的数学操作。
一、恒等变换恒等变换是指一个变换将任意数值映射为其本身，即输入和输出值完全相同。
在代数领域，恒等变换可以表示为f(x) = x，其中f为恒等变换函数。
恒等变换有一些重要的性质：1. 恒等变换对任意数值都成立，即对于任意x，有f(x) = x。
2. 恒等变换满足结合律和交换律。
对于任意x、y，有f(f(x)) = f(x)和f(x + y) = f(x) + f(y)。
3. 恒等变换是可逆的，即存在逆变换与之对应。
逆变换的作用是将原始数值再次映射回其本身。
4. 恒等变换保持运算的性质不变，即对于任意运算符号，有f(a opb) = f(a) op f(b)，其中op表示任意运算。
恒等变换的应用非常广泛。
在代数中，恒等变换可以用于求解方程、化简表达式和证明等。
在几何中，恒等变换可以用于证明图形的对称性和相似性。
在物理中，恒等变换可以用于描述物体的运动和变形过程。
二、逆变换逆变换是指一个变换将数值从一种状态映射回其原始状态。
在数学中，逆变换可以表示为f(g(x)) = x，其中f为逆变换函数，g为原始变换函数。
逆变换的性质如下：1. 逆变换与原始变换相互对应。
对于任意x，有f(g(x)) = x和g(f(x)) = x。
2. 逆变换满足结合律和交换律。
对于任意x、y，有f(f(x)) = f(x)和g(g(x)) = g(x)。
3. 逆变换自身也是可逆的，即存在逆变换的逆变换与之对应。
4. 逆变换可以将原始数值还原为其本身，不会引入任何误差。
5. 逆变换可以用于求解方程、还原数据和恢复原始状态等。
逆变换在数学和工程等领域有着广泛的应用。
在代数中，逆变换可以用于解决方程组、求逆矩阵和求导数的反运算等。
在信号处理中，逆变换可以用于还原信号、恢复图像和解码数据等。
代数恒等变形
代数恒等变形代数恒等变形是数学中重要的一部分，一般来讲，代数恒等变形是将一个复杂的代数式子转化为较为简单或者更容易计算的形式的过程。
在初中、高中甚至大学的数学学习中，我们都会学习到代数恒等变形的相关知识。
在这篇文章中，我将详细介绍代数恒等变形的相关知识，包括代数恒等的定义、代数恒等变形的基本原则、代数恒等变形的应用等。
一、代数恒等的定义代数恒等是指在代数式中，等号两边始终相等的情况，常写作A=B。
这里的A和B可以是任意的含有变量的代数式。
代数恒等一般采用已知的代数恒等或者基本公式变化来推导到简便的等式。
代数恒等在代数运算中起到重要的作用，因为它们为计算提供了便利，可以用更简单的表达形式来表示原来复杂的运算过程。
例如，三角形的勾股定理可以写成a^{2}=b^{2}+c^{2}，这就是代数恒等的一种形式。
在证明这个恒等时，我们可以使用代数运算规律和几何定理，从而将勾股定理转化为更加简单的代数式。
二、代数恒等变形的基本原则在代数恒等变形中，我们需要遵守一些基本原则，这些原则是代数恒等变形的基础。
下面是代数恒等变形的三条基本原则：1.等式两边加上相同的数或者代数式，等式仍然成立。
2.等式两边同时减去相同的数或者代数式，等式仍然成立。
3.等式两边同时乘以相同的数或者代数式，等式仍然成立。
除了这三条基本原则之外，还有一些其他的原则也需要遵守。
比如，等式两边同时开n次方时，需要保证等式两边都是非负数，等式两边同时取对数时，需要保证等式两边都是正数。
这些原则在代数恒等变形中非常重要，需要我们加以注意。
三、代数恒等变形的应用代数恒等变形在数学中有着广泛的应用，下面列举了一些常见的代数恒等变形应用：1.利用代数恒等变形来简化复杂的代数式，从而达到便于计算的目的。
2.在解经典问题时，通过使用已知的代数恒等或者基本公式，将问题转换为容易求解的一个或者多个代数式。
3.在证明定理和公式时，通过使用代数恒等变形来推导出想要的证明结果。
代数式恒等变形与乘法公式
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
1
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第七讲：代数式的恒等变形与求值
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4.共轭根式法法 1 例10 : 设 的整数部分是 a, 小数部分是b，试求 3 7
a 2 (1 7 )ab的值。
5.平方法
例12 : 计算 52 5 1 5 2 3 2 2
6.比例法
1 1 1 例13 :已知2 x 3 y 4 z , 且 1, x y z
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3.配方法
例7 : 分解因式a5n a n 1
例8 : 若x, y, z是实数, 有( y z ) ( z x) ( x y )
2 2 2
( y z 2 x) 2 ( z x 2 y ) 2 ( x y 2 z ) 2 , 求 （yz 1)(zx 1)(xy 1) 的值。 2 2 2 ( x 1)( y 1)(z 1)
3 3 3
求 2 x 2 3 y 2 4 z 2的值。
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7.拆项和添项法
例14 : 当n为自然数时，二次函数 y x 2 (2n 1) x n 2 的图像与x轴交于两点（ n ,0)和( n ,0)，求下列式子的值 1 1 1 ( 3 1)( 3 1) ( 4 1)( 4 1) ( 20 1)( 20 1)
2
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1990
a
2000
1 0
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2.因式分解法
例5 : 若a b c 0, 则 1 1 1 1 1 1 a ( ) b( ) c ( ) 3 b c c a a b
例6 : 试证：对任何整数 x和y, x 5 3 x 4 y 5 x 3 y 2 15 x 2 y 3 4 xy 4 12 y 5不等于 33
第一讲：代数式与恒等变形
第 1 章代数式与恒等变形四个公式知识连接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们拥有近似实数的属性，能够进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式( a b)(a b) a2b2；完整平方公式(a b)2 a 22ab b2，而且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着宽泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会碰到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1多项式的平方公式：(a b c)2 a 2b2c22ab2bc 2ac2立方和公式： ( a b)(a 2ab b2 )a3b33立方差公式： ( a b)(a2ab b2 )a3b34完整立方公式： (a b)3a33a2b3ab2b3注意：（ 1）公式中的字母能够是数，也能够是单项式或多项式；（2）要充足认识公式自己的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提升运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应该从发现，总结出公式的思想过程中学习探究，归纳，抽象的科学方法；（4）因为公式的范围在不停扩大，本章及初中所学的只是是此中最基本，最常用的几个公式。
一计算和化简例 1 计算：(a b) 2 ( a b)(a 2ab b2 )变式训练：化简( x y)( x y)( x2y2xy)( x2y2xy) y6二利用乘法公式求值；例 2 已知x23x 10 ，求x31的值。
x3变式训练：已知 a b c 3 且 ab bc ac 2 ，求 a2b2 c 2的值。
三利用乘法公式证明例 3 已知a b c 0, a3b3c30 求证：a2009b2009c20090变式训练：已知14(a2b2c2 ) (a 2b 3c)2，求证： a : b : c1: 2 : 3习题精练1 化简：(a b)(a2ab b2 ) (a b)32 化简( a 1)( a2 a 1)(a 1)( a2 a 1)(a61)( a12 1)3 已知x y 10 且 x3y3100 ，求代数式x2y2的值；4 已知a1x 20,b1x 19,c1x 21 ，求代数式 a2b2c2ab bc ac 的202020值；5 已知( x y z)23(x2y2z2 ) ，求证： x y z6 已知a4b4c4 d 44abcd 且 a, b, c, d 均为正数，求证：以 a, b, c, d 为边的四边形为菱形。
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代数式的恒等变换方法与技巧
例：设p
x =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：
原方程等价于222(0,0
x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩
2
22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩
222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件
24(4)44048(2)33
p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
这时，原方程有惟一实根x =。
一、分类变换
当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。
分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立：
（a
=；
（b
1=；
（c
2=。
解：
(0)m m =≥ 记方程左边为f(x)，
则()f x =
1
|1|1|1
1
2
x
x
≥
==
≤≤
由此可知，
当m=时，原方程的解集为
1
[,1]
2
；
当m∈时，解集为∅；
当)
m∈+∞
m
=，解得2
1
(2)
4
x m
=+。
即当)
m∈+∞时，原方程的解集为2
1
{(2)}
4
m+。
例2：在复数范围内解方程组222
555
3,
3,
3.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解：考虑数列*
,
n n n
n
a x y z n
=++∈N。
不难证明此数列满足递推式321
()()
n n n n
a x y z a xy yz zx a xyza
+++
=++-+++，其中
125
3,3
a a a
===。
利用基本恒等式，得2
12
1
()3
2
xy yz zx a a
++=-=，
3123
11
[()]
33
xyz a a a xy yz zx a
=--++=，
∴{}
n
a的递推式化为*
3213
1
33,
3
n n n n
a a a a a n
+++
=-+⋅∈N
由此得
432313543323
11
3349,331027
33
a a a a a a a a a a a a
=-+⋅=---+⋅=-
由
5
3
a=，得
3
10273
a-=，∴
3
3
a=。
∴
3
1
1
3
xyz a
==。
综上所述知，原方程组等价于
3,
3,
1.
x y z
xy yz zx
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33
3310
t t t
-+-=的三根，
此三次方程即3
123
(1)0,1
t t t t
-=∴===，
这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。
注：此题还可以利用三次单位根
1
2
ω=-+的性质来解。
二、利用对称性
对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，x2y+y2z+z2x是轮换
式，但不是对称式。
由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x
1最大（或最小）。
例3：设x ，y ，z>0，求证
(x+y+z)5-(x 5+y 5+z 5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)
等号成立当且仅当x=y=z 。
证：令5555(,,)()()f x y z x y z x y z =++-++。
易知(,,f x y z ）是对称式。
∵当x+y=0时，f(x ，y ，z)=0，∴()|(,,)x y f x y z +。
从而()|,()|y z f z x f ++，
∴()()()|x y y z z x f +++。
注意到f 是关于x ，y ，z 的五次齐次式，故可设
222(,,)()()()[()]()f x y z x y y z z x A x y z B xy yz zx =++++++++, 令：0,1,1x y z ===，
得：2A+B=15。
令1x y z ===，得A+B=10。
因此，A=B=5。
∴222(,,)5()()()()f x y z x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++ 注意到,,0x y z >，且222x y z xy yz zx ++≥++，
得(,,)10()()()()f x y z x y y z z x xy yz zx ≥+++++
等号成立的条件为x y z ==。
例4：设a ，b ，c 是三角形的边长，
证明222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
并说明等号何时成立。
证明：令欲证不等左边为(,,)f a b c ，则易证(,,)f a b c 为轮换式（非对称）。
故可设,a b c ≥。
注意到0b c a +->，则可先考虑将f 中分离出一个含b+c-a 的非负式子。
事实上222()()[()]()f a b a b b c b c c b b a c a =-+-+-+-
2222()()()()(2)()()c b a b c a ab b c ab c a c b a b a b b c b c =-+---+--+-+- 再令222*()()(2)()()f ab b c ab c a c b a b a b b c b c =--+--+-+- 令a c =，有222*()()()0f bc b c c b c b b c b c =--+-+-=
令a b =，有2222*()()(2)()0f b b c b c b c b b c b c =--+--+-=。