极坐标和参数方程

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问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么？与点的极坐标呢？
提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而 与点的极坐标不是一一对应关系，当规定ρ≥0,0≤θ<2π后点 的极坐标与平面内的点就一一对应了．
么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系
的变数t叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接
给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
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5．几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是
点P1、P2的距离？ 提示：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点
P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．
|P1P2|＝|t1－t2|
＝ t1＋t22－4t1t2.
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(2)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是
的互化为主要形式，考查直线与曲线位置关
系等，解析几何知识注重基本运算及方程的 应用，难度不大.
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(对应学生用书P234)
1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00 的作用下，点P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换．
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5．(2012年陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长 为________．
解析：将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别
为x＝12，(x－1)2＋y2＝1.
所求的弦长等于2
12－122＝ 3.
从近三年的高考试题来看，极坐标部分重点
考查极坐标与直角坐标的互化，尤其是涉及
直线与圆的极坐标方程问题，同时考查直线 与圆的位置关系．如2012年陕西卷15，湖南 卷10，辽宁卷3等．参数方程部分多考查直线 与圆的参数方程及应用．如2012年广东卷 14，属容易题． 单独考查参数方程和极坐标的题目，一般为 选择、填空题形式，分值4～5分．若综合考 查参数方程和极坐标的知识，则通常以解答 题形式出现，如2012年课标卷23，辽宁卷23 等，分值10分． 预测：2013年仍会以直线、圆的极坐标参数 方程为载体，以极坐标参数方程与普通方程
x＝acosφ y＝bsinφ
，其中φ
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问题探究3：对于椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角
吗？
提示：不是，如图，θ是离心角．
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(2)法一：由点斜式得直线的直角坐标方程为 y＝ 33(x－2)．由xy＝＝ρρcsionsθθ， 得ρ12cosθ－ 23sinθ＝1， 即ρ＝sinπ61－θ.
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；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴： ρcosθ＝a ；
③直线过点M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b .
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(2)圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r ； ②当圆心位于M(a,0)，半径为a： 2acosθ ； ③当圆心位于M(a，π2)，半径为a： ρ＝2asinθ .
x＝x0＋tcosα y＝y0＋tsinα (t为参数)．
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问题探究2：在直线的参数方程
x＝x0＋tcosα y＝y0＋tsinα
(t为参数)
中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两
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பைடு நூலகம்
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(2)直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且
在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一
点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2 ，tanθ＝xyx≠0
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设M是平面上任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的 极角 ，记为 θ .有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐 标，记作 M(ρ，θ) ．
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1．(2011年北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的
极坐标是
()
A.1，π2 C．(1,0)
B.1，－π2 D．(1，π)
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4．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0可得ρ＝1或θ＝π. ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，故选C. 答案：C
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4．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点 的
坐标x，y都是某个变数t的函数：
x＝ft y＝gt
，并且对于t的每一
个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上 ，那
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3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是 A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆 解析：ρcosθ＝4化为直角坐标方程为x＝4 答案：B
()
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3．简单曲线的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的 方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α) ．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π－θ0
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2．坐标系 (1)极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做 极点 ；自点O引一条射线Ox 叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个 极坐标系．
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(2)(2012年上海，改编)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)
的直线l与极轴的夹角α＝
π 6
.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的
形式，则f(θ)＝______.在直角坐标系下的方程为______．
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答案： 3
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6．若x2＋y2＝4，则x－y的取值范围是________． 解析：令x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x－y＝2cosθ－2sinθ＝ 2 2cos(θ＋φ)∈[－2 2，2 2]
答案：－2 2≤x－y≤2 2
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【解析】(1)∵xy＝＝ρρcsionsθθ. ∴x2＋y2＝ρ2. ∵ρ＝2sinθ＋4cosθ， ∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2＝2y＋4x. 即(x－2)2＋(y－1)2＝5. ∴x2＋y2－4x－2y＝0 即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
x＝a＋rcosα y＝b＋rsinα
，其中α是参数．
当圆心在(0,0)时，方程为xy＝ ＝rrcsionsαα.，
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(3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下 两种情况：
椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程是 是参数．
解析：ρ2＝－2ρsinθ ∴x2＋y2＝－2y 即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1) ∴圆心的极坐标为(1，－π2)． 答案：B
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2．(2011年安徽)在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cosθ的
圆心的距离为
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点 P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用 两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
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(1)(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋ 4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系， 则该曲线的直角坐标方程为________．
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考纲要求
考情分析
1.了解坐标系的作用．了解在平面直角 坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． 2．了解极坐标的基本概念．会在极坐 标系中用极坐标刻画点的位置，能进行 极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过 极点的直线、过极点或圆心在极点的 圆)表示的极坐标方程． 4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空 间中点的位置的方法，并与空间直角坐 标系中表示点的位置的方法相比较，了 解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义． 6．能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
()
A．2
B.
4＋π92
C.
1＋π92
D. 3
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解析：将点2，π3化为直角坐标为(1， 3)， ρ＝2cosθ化为直角坐标系下方程为：(x－1)2＋y2＝1，圆 心为(1,0)．∴两点间距离为 3.
答案：D
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高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的 问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决， 也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题 转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于 在一个熟悉的环境下解决问题．要重视把极坐标问题化为直 角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成， 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错 误．
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(对应学生用书P235)
极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极点与原点重合； ②极轴与x轴正方向重合； ③取相同的单位长度．
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