全微分方程的解法

m( x, y)P( x, y)dx m( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
微分方程.则称m ( x, y)为方程的积分因子.
例1 验证 x 是方程 (2 y 4x2 )dx xdy 0 的积分因子，并求方程的通解。
解： x(2 y 4x2 )dx x2dy 0 是全微分方程。
接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程 类型。为此，将一阶正规形微分方程 dy f ( x, y)改写成
dx f ( x, y)dx dy 0，或更一般地，P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 的形式。
由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在 于：既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看 成未知函数，y看成自变量。即变量x与变量y在方程中的地位 是对称的，因此也常称形式为P( x, y)dx Q( x, y)dy 0的方程 为对称形式的微分方程。
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为
,则有
所以 从而
即
(3) 凑微分法: 根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为： 练习：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 方程的通解为：
积分因子法
一、概念 二、积分因子的求法
一、定义: m( x, y) 0 连续可微函数，使方程
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 ，使得 所以 将以上二式分别对 求偏导数，得到
又因为 所以
偏导数连续， ，即
常见的全微分表达式
xdx ydy d( x2 y2 ) 2
xdy
x2
ydx
d
(
y x
)
xdy ydx d(ln y)
xy
x
ydx xdy d(xy)
xdy ydx
x
y2
d( ) y
xdy x2
ydx y2
d
(arctan
y x
)
xdx x2
ydy y2
d (ln
x2 y2)
一、概念 定义:若有全微分形式
则 通解则为
称为全微分方程。 （C为任意常数）。
例1：方程 xdx ydy 0是否为全微分方程？
解：令u(x, y) 1 (x2 y2 ),du(x, y) xdx ydy,
2
所以是全微分方程.
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d( xy) ydx xdy,所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C.
（2）证明充分性
设
，求一个二元函数
即 由第一个等式，应有 代入第二个等式，应有
使它满足 这里
因此 因此可以取 此时
这里由于
，则
，故曲线积分与路径无关。因此
二、全微分方程的解法 (1) 线积分法:
或 (2) 偏积分法
第一个等式对 积分
代入第二个等式求 (3)凑微分法
直接凑微分得 例2：验证方程
(3x3dx 2x2 ydy) ( ydx xdy) 0
ydx xdy 可选用的积分因子有
1 x2
,
1 y2
,
x2
1
y2
,
1 xy
3x3dx 2x2 ydy
可选用的积分因子有
1 x2
因此取积分因子为 1
x2
原方程的通解为 3 x2 y2 y C
2
x
练习 求微分方程
( y x2 )dx xdy 0
，即可得
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为
,则有
代入可得 因此 从而 即
(3) 凑微分法: 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为 方程的通解为：
例3：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
xdy ydx 可选用的积分因子有
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, x2 y2
一般可选用的积分因子有
1, x y
1 x2 ,
1 x2 y2 ,
1 x2 y2 ,
x y2 ,
y x2
等。
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2x2 y x)dy 0的通解.
方程通解为 x2 y x4 C
二、积分因子的求法
1.公式法:
(mP) (mQ) ,
y
x
m P P m m Q Q m
y y x x
Q
m
x
P
mຫໍສະໝຸດ Baidu
y
m
P y
Q x
Q 1 m P 1 m P Q m x m y y x
(两边同除 m,)
Q ln m P ln m P Q
x
y y x
求解不容易 特殊地:
a. 当 m 只与 x 有关时，my 0,
m dm ,
x dx
d ln m 1 (P Q) f ( x)
dx Q y x
b. 当 u 只与 y有关时， m 0,
x
d ln m 1 (Q P ) g( y)
dy P x y
m dm ,
y dy
2.观察法: 凭观察凑微分得到 m( x, y)
的通解。
解 1.公式法:
Q
1 (P Q y
Q ) x
2 , x
m ( x)
e
2 x
dx
1 x2
.
则原方程成为
(3x
y x2
)dx
(2 y
1 )dy x
0,
ydx xdy 3xdx 2ydy
x2
d(3 x2 y2 y)
2
x
原方程的通解为
3 x2 y2 y C
2
x
2.观察法: 分组求积分因子的思想。 将方程左端重新组合,有