高中数学：指数幂及运算

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幂函数与指数函数的运算

幂函数与指数函数的运算幂函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们具有各自的特点和运算规律。

本文将详细讨论幂函数与指数函数的运算，并给出相关例题和解答。

一、幂函数的定义及运算规律1. 幂函数的定义：幂函数是指函数y=x^a，其中a为常数，且a≠0。

在幂函数中，x称为底数，a称为指数。

2. 幂函数的运算规律：（1）相同底数幂相乘：若x不等于0时，x^a * x^b = x^(a+b)。

（2）相同底数幂相除：若x不等于0时，x^a / x^b = x^(a-b)。

（3）幂的幂：(x^a)^b = x^(a*b)。

（4）零幂：任何非零数的0次幂等于1，即x^0 = 1（x≠0）。

（5）负指数的幂：x^(-a) = 1 / x^a。

二、指数函数的定义及运算规律1. 指数函数的定义：指数函数是指函数y=a^x，其中a为常数，且a>0且a≠1。

在指数函数中，a称为底数，x称为指数。

2. 指数函数的运算规律：（1）指数相加：若a>0且a≠1，a^x * a^y = a^(x+y)。

（2）指数相减：若a>0且a≠1，a^x / a^y = a^(x-y)。

（3）指数的幂：(a^x)^y = a^(x*y)。

（4）指数函数的倒数：(1/a)^x = a^(-x)。

三、幂函数与指数函数的运算1. 幂函数与幂函数的运算：若x不等于0时，(x^a)^(x^b) = x^(a*b)。

2. 幂函数与指数函数的运算：（1）指数函数作为底数与幂函数的乘法：(a^x) * x^b = (a^x*b)。

（2）指数函数作为底数与幂函数的除法：(a^x) / x^b = (a^x/b)。

例题1：计算并化简下列表达式：2^3 * 2^(-2)。

解：根据幂函数的运算规律，2^3 * 2^(-2) = 2^(3-2) = 2^1 = 2。

例题2：计算并化简下列表达式：3^(2x) / 3^x。

解：根据指数函数的运算规律，3^(2x) / 3^x = 3^(2x-x) = 3^x。

高中数学指数运算与指数函数课件

(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2，即－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1。所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋－11·x，易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－－xx＋－11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)，所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1，所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a，所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根，函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.

高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式

高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。

在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。

本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。

1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。

例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。

例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。

（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。

例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。

（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。

例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。

1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。

例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。

例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。

2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。

例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。

（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。

高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时指数幂及其运算

＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系．分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围．由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.1指数与指数幂的运算1

典型例题
a, (当n为奇数)
n
an
| a |
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ;
2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
4. (a b)2 (a b).
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
a3 a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
方法总结
1.根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子． 2.在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的情势，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1
cc55
5
c 4
(c
0).
我们规定正数的正分数指数幂的意义是 :
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1).
正数的负分数指数幂的意义是 :
m
a n
1
m
a 0, m, n N*,且n 1
an
学习新知
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：
an bn
(b
0).
学习新知根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其
中n＞1，且n∈N*.
xn a
x n a ; (当n是奇数)

最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结

最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结高中数学中，幂指数、对数和三角函数都是重要的知识点。

在学习这些知识点时，需要掌握它们的定义、性质、运算规则以及一些常见的应用。

下面将对这些知识点进行详细总结。

一、幂指数知识点总结：1.幂指数的定义：对于任意实数a和正整数n，a的n次方等于连乘n个a，记作a^n。

2.幂指数的运算法则：-幂的乘法：a^m*a^n=a^(m+n)-幂的除法：a^m/a^n=a^(m-n)-幂的乘方：(a^m)^n=a^(m*n)-幂的零次：a^0=1(a≠0)-幂的负次：a^(-m)=1/a^m(a≠0)-乘方的开方：(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a>0,m,n为整数)3.指数函数的性质：-正数指数函数的图像在整个实数轴上严格递增，并且以y轴为渐近线；-负数指数函数的图像在整个实数轴上严格递减，并且以x轴为渐近线；-指数函数的反函数是对数函数。

二、对数知识点总结：1. 对数的定义：对于任意正实数a和正实数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作logₐb。

2.对数的运算法则：- 对数的乘法：logₐ(b * c) = logₐb + logₐc- 对数的除法：logₐ(b / c) = logₐb - logₐc- 对数的乘方：logₐ(b^m) = m * logₐb- 对数的换底公式：logₐb = logₐc / logₐb，其中a ≠ 13.对数函数的性质：-正底对数函数的图像在(0，+∞)上严格递增；-负底对数函数在(0，+∞)上严格递减；三、三角函数知识点总结：1. 基本三角函数：正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)。

2.三角函数与幅角的关系：-正弦函数：在单位圆上，对应幅角x的点的纵坐标；-余弦函数：在单位圆上，对应幅角x的点的横坐标；-正切函数：在单位圆上，对应幅角x的点的纵坐标除以横坐标。

3.三角函数的周期性：-正弦函数和余弦函数的周期都是2π；-正切函数的周期是π。

4.1.1实数指数幂及其运算课件——高中数学人教B版必修第二册

小学数学点知识归纳数轴的概念与表示数轴是小学数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和表示数值之间的相对位置关系。

本文将对数轴的概念进行简要归纳，并介绍常见的表示方法。

一、数轴的概念数轴是由一条直线和标注在上面的数值组成的。

它可以用来表示整数、小数、分数等各种数值，帮助我们更直观地理解它们之间的大小关系。

二、数轴的表示1. 整数数轴整数数轴是最简单的数轴表示方法。

它将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，用整数对应的点来表示。

例如，在一个整数数轴上，数值-3、-2、-1、0、1、2、3将依次对应不同的点。

2. 小数数轴小数数轴是用于表示小数的数轴。

它可以看作是整数数轴的扩展，将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，但除了整数点外，还需要将小数点后的数值对应到相应位置上。

例如，0.5、1.2、-0.8等小数点后的数值可以用小数数轴表示。

3. 分数数轴分数数轴是用于表示分数的数轴。

和小数数轴类似，它也是在整数数轴基础上进行扩展。

除了整数点和小数点后的数值外，还需要将分数对应到相应位置上。

例如，1/2、3/4等分数可以用分数数轴表示。

三、数轴上的运算1. 数轴上的加法与减法在数轴上进行加法与减法运算时，可以利用数轴上数值的相对位置关系进行计算。

例如，在整数数轴上，若要求-2+3的结果，可以从-2出发，向右移动3个单位，最终到达1。

同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行加法与减法运算。

2. 数轴上的乘法与除法在数轴上进行乘法与除法运算时，可以利用数值的倍数关系进行计算。

例如，在整数数轴上，若要求2×(-3)的结果，可以从2出发，向左移动3个单位，最终到达-6。

同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行乘法与除法运算。

四、应用举例1. 比较数值大小数轴可以帮助我们直观地比较数值的大小。

例如，要比较-2和3的大小，可以在整数数轴上找到对应的点，从而发现3较大。

同样，对于小数和分数，也可以利用数轴进行大小比较。

高中数学整数指数幂的运算法则

2.乘方法则二：(a^m)^n = a^(m * n)
这条法则表示，一个数的指数幂再次取指数幂，等于这个数的指数幂与指数的乘积。例如，(2^3)^4 = 2^(3 * 4) = 2^12。
3.乘方法则三：a^m * b^m = (a * b)^m
这条法则表示，两个不同的数的指数幂相乘，等于这两个数的乘积的指数幂。例如，2^3 * 3^3 = (2 * 3)^3 = 6^3。
总结
整数指数幂的运算法则是数学中的基本概念和重要工具。通过运用乘方法则和除方法则，我们可以简化整数指数幂的操作，并求解复杂的数学问题。掌握了这些法则，我们能够更加灵活地处理整数指数幂的运ห้องสมุดไป่ตู้，提高数学问题的解题效率。
以上是关于高中数学整数指数幂的运算法则的简要介绍。希望能对您的学习和理解有所帮助！
具体来说，当n为正整数时，a^n等于a乘以自身n次。当n为0时，任何非零数的0次方都等于1。当n为负整数时，a^n等于1除以a的绝对值乘以自身n次。
整数指数幂的运算法则
整数指数幂的运算法则包括乘方法则和除方法则。
乘方法则
1.乘方法则一：a^m * a^n = a^(m + n)
这条法则表示，两个相同的数的指数幂相乘，等于这个数的指数幂的和。例如，2^3 * 2^4 = 2^(3 + 4) = 2^7。
除方法则
1.除方法则一：a^m / a^n = a^(m - n)
这条法则表示，两个相同的数的指数幂相除，等于这个数的指数幂的差。例如，2^5 / 2^3 = 2^(5 - 3) = 2^2。
2.除方法则二：(a^m)^n = a^(m * n)
这条法则与乘方法则二相同，表示一个数的指数幂再次取指数幂，等于这个数的指数幂与指数的乘积。

最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结

最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结高中数学中的幂、指数、对数和三角函数是重要的数学概念和知识点。

这些知识点涉及到数学的基本运算、函数的性质和变化规律等内容。

下面是对这些知识点的详细总结：一、幂和指数1.幂函数：幂函数是以底数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为常数，x为实数。

幂函数的图像为指数增长或指数衰减的曲线。

2.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为底数，x为实数。

指数函数的图像为单调递增或单调递减的曲线。

3.指数运算法则：-a^m*a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m*n)-(a*b)^n=a^n*b^n-a^(-n)=1/a^n-a^0=1,其中a不等于0-a^1=a二、对数1. 对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，形如f(x)=loga(x)，其中a为底数，x为正实数。

对数函数的图像为单调递增的曲线。

2.对数运算法则：- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- loga(m^n) = n * loga(m)三、三角函数1.三角比：- 正弦函数 sin(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以圆的半径。

- 余弦函数 cos(x)：在单位圆上，纵坐标为x点对应的边长除以圆的半径。

- 正切函数 tan(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以纵坐标对应的边长。

2.三角函数的基本性质：-三角函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

- 三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tan(x + π) = tan(x)。

- 三角函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)。

- 三角函数的反函数：反正弦函数 arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数 arctan(x)。

专题31 高中数学指数幂及其运算(解析版)

专题31 指数幂及其运算1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn 个a 相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q) (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． (2)a －b ＝1ab (a >0，b 是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞[解析]由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞．故选：C.2)0m >的计算结果为（）A ．1B ．120m C ．512m D ．m[解析411453223656m m mm m+-⋅===.故选：D.3)20a >表示成分数指数幂，其结果是（）A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a[解析572226612213a aaa -+===⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知0m >）A ．54m B ．52m C ．m D ．1[解析]0m >m.故选：C ．5．将85-化成分数指数幂为（） A ．13x - B ．415x C ．415x -D ．25x [解析]8855--=⎝⎭⎝⎭885145615x x ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.6其中0a >，0b >)的结果是（） A ．23a b B ．23a b - C ．441681a b D ．441681a b -[解析]因0a >，0b >44343331333442221633381a a b b ab a b --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C7____________ [解析34a==8()0p a a >，则p =___________.[解析]0a >，则111542324p a aa +⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因此，524p =. 9______． [解析1152224y xy y x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ 10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中0a >）：（1=______；（2______． [解析]（1()1742a =17442a ；（2()19592a ==592a . 11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中0a >）：（1）2a（2）3a （3（4[解析]（1）115222222;a a a a a +=⋅== （2）221133323333a aa aaa ；（31131322224()()a a a a =⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂11222y xy x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=54y 解法二：从外向里化为分数指数幂.12)=11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y 12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ，b 均为正数）：(1)2a；(-． [解析] (1)1222a a a =⋅721322aa =⎛⎫ ⎪⎝⎭7234aa =114a =；1=；(117351236222a b a b b -=-⋅⋅⋅=-.题型二利用分数指数幂的运算性质化简求解1．化简111123224(0,0)a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（） A ．a B ．b C ．a bD ．b a[解析]根据实数指数幂的运算公式，可得：1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.2．计算：()12031820212-⎛⎫++= ⎪⎝⎭[解析]()12203331820212(2)12-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭2+22+1＝7．3．已知102m =，103n =，则32210m n -=（）A ．49 B ．89CD[解析]根据题意得，()()232323232322810=1010101010239m nm n m n m n -----⎛⎫=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，因为322100m n->，所以322103m n -==.故选：D. 4．计算：141681-⎛⎫ ⎪⎝⎭=____________.[解析]1141441622381332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5．计算14030.753364((2)16---⎡⎤-++⎣⎦=________________. [解析]由题得131644-==，43431[(2)]216--==，30.75434111616816--===，原式=11191416816-++=-.6．12133214(0.1)()a b ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅⋅，b>0)＝________.[解析]原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. 7．已知22m n a b ==，，则22m n += ______. [解析]222222+==m n m n a b . 8．化简[解析]1⎡===⎣⋅⎦⋅9．化简下列各式：(2)41332233814a a b a b ⎛-÷- ⎝+ [解析]()127122333a a a -⎛⎫=÷÷ ⎪⎝⎭272363a a a -=÷÷272363a a --=÷1223a -+=16a ==(2)41332233814a a b a b⎛-÷- ⎝+()11133322111113333381222a a b b a a a a b b ⎛⎫- ⎪=÷-⋅⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111333221111113333338222aa b aa a ba ab b -=⋅⋅⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11133333113382aa b a b ++-=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =．10．计算下列各式（式中字母均为正数）： (1)1313412x x x-；(2)253362a a a -；(3)61132x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)3262449s r t -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(5)21423333362x y x y --⎛⎫÷ ⎪⎝⎭； (6)()()22222x x x x ---+÷-；(7)()21123333x y x x y y ⎛⎫-÷++ ⎪⎝⎭；(8)1111222211112222a b a b a b a b -+-+-． [解析] (1)由指数幂的运算公式，可得11313133412412x x x x x +--==. (2)由指数幂的运算公式，可得25325433623632a a a a a -+-==. (3)由指数幂的运算公式，可得1111666332223()x y y x y x --⨯⨯-==.(4)由指数幂的运算公式，可得3332632639322223346694224488()927279s r s rs r s t t t r t ⨯-⨯--⨯===. (5)由指数幂的运算公式，可得21422412()213333333336()442x y x y x y x y -------÷==. (6)由指数幂的运算公式，可得()()121222221112()12()()1x x x x x x x x x x x x x x x x -----------+÷-===-+++. (7)由指数幂的运算公式，可得()1111211221121133333333333333332112211233333333()()()()()x y x y x x y y x y x x y y x y x x y yx x y y --++-÷++===-++++.(8)由指数幂的运算公式，可得11111111112222222222221111111122222222()()4()()a b a b a b a b a ba ba ba ba b a b -+--+--==-+-+-. 11．求下列各式的值：(1)112032170.027()(2)79----+-；(2)141030.7533270.064()[(2)]16|0.01|2-----+-++-；(3)11023241(2)3(2)0.00154---+⨯-；(4)[解析] (1)原式11223227125()(1)()()1100079---=--+-1054914533=-+-=-； (2)原式143364*********()1(2)2110001041681080---=-+-++=-+++=； (3)原式11321411()()991000=+⨯-2126312710270=+-=； (4)原式1112362332()(23)2=⨯⨯⨯⨯1111133632132()3232=⨯⨯⨯⨯⨯1111112633323+-++=⨯151********=⨯==12．计算：(1)023( 1.8)()2--+(2)1223321()40.1()a b ---⋅(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)023( 1.8)()2--+23232227=1()()10938+⋅-+22323=1()()10332+⋅-+ =111027+-+19=.(2)1223321()40.1()a b ---⋅331322223322240.1a b a b --⋅=⨯⨯128100=⨯⨯425=. 13．计算： (1)()()210.523402384150.008e +227925-⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-⨯-- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭(2)()162162021449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭(3)12332343420.027100.00160.20.2510⎡⎤⎛⎫+⨯+⨯⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (4)求值：()6010.251.520218-⨯+[解析](1)()2121332342249811239100025-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222710113433225π⎛⎫⎛⎫=+-⨯-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭169π=+(2)()1620162021449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭1226641437π-⎡⎤⎛⎫=⨯+-⨯+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦144271437π-⎛⎫=⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭10817π3=+-+-99π=+(3)原式1233234234342(0.3)10(0.2)0.2(0.5)10⨯⨯⨯⎡⎤⎛⎫=+⨯+⨯⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1333420.09100.20.20.510⎡⎤=+⨯+⨯⨯⎣⎦1342(0.090.16)0.510=+⨯⨯440.510625=⨯=.(4)()6010.251.520218-⨯+1313234428222223210811032733⎛⎫=+⨯+⨯-=++-= ⎪⎝⎭题型三指数幂运算中的条件求值1．若14x x +=，则2421x x x =++（）A ．10B ．15C ．115D ．116[解析]因为14x x +=，两边平方得22211216x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即22114x x+=，所以原式221111141151x x===+++，故选：C2．设a ，b为正实数，2b ，53292a a b +=，则()12a ab =（） A ．1B ．3C ．9D ．27[解析]因为5324926a a b a +=≤，所以296a a +≤，即()230a -≤，∴3a =，532532933+⨯==b ，∴()12a ab=9，故选：C ．3．设62m =，63n =，则222m n mn ++=（） A ．12 B ．1C ．2D ．3[解析]∵62m =，63n =，∴1m n +=，∴()22221m n mn m n ++=+=，故选：B 4．已知104m =，10n =34210m n -=______．[解析]因为104m=，10n=()()()332343222210428103310m m n n -====． 5．设132x =1x -=___________. [解析]5211122333()24x x x x x --=⋅====.6．已知1122x x --=，则221x x+的值为______.[解析]由1122x x --125x x -+=，即17x x +=，所以21()49x x +=，则22147x x+=.7．14x x -+=，则1122x x -+=_______．[解析]因为2111222426x x x x --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，且11220x x ->+，所以1122x x -+8．若1122,x x -为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，则3222-3=2x +x x +x -32--________．[解析]因为1122,x x -为方程x2－3x ＋a ＝0的两根，所以11223,x x -+=所以3322x x-+=()111221x x x x --⎛⎫+⋅+- ⎪⎝⎭2111122223x x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3×(32－3)＝18， x2＋x -2＝()212x x -+-22112222x x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝(32－2)2－2＝47，所以3222-3=2x +x x +x -32--18-31=47-23. 9．已知25xa=，则33x xxxa a a a ---=-___________. [解析]332222()(1)1311=51=55x x x x x x x x x x x xa a a a a a a a a a a a --------++==++++--. 10．已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+；(2)1122x x --；(3)3322x x -+．[解析] (1)因为112122()2325x x x x --+=++=+=，且1x >，所以1122x x -+= (2)因为1x >，所以11221,1x x -><，则11220x x ->-，因为112122()2321x x x x ---=+-=-=，所以11221(1x x --=-舍去）； (3)3322(x x -+=11122)(1)1)x x x x --+-+-= 11．已知1xy =，求22x xx xy y y y ---+的值．[解析]因为22x x y y --()()x x x xy y y y --=+-，故22x x x x y y y y ---+131122x xy y -⎫=-==-=+⎪⎭. 12．（1）已知11223x x-+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++；（2）设128x y +=，993y x -=，求x y +的值． [解析]（1）因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++．（2）因为128x y +=，所以()3122y x +=，即()31x y =+．又993y x -=，所以2933y x -=，即29y x =-，由3(1)29x y y x =+⎧⎨=-⎩，解得216x y =⎧⎨=⎩，故x y +的值为27． 13．求解下列问题：(1)已知12,9x y xy +==，且x y <，求11221122x y x y-+.(2)已知15a a -+=，求22a a -+和1122a a -+的值. [解析] (1)x y <，1122x y ∴-=1122x y +=11221122x y x y-∴+ (2)15a a -+=，2212()225223a a a a --∴+=+-=-=. 112122()2527a a a a --+=++=+=，11220a a-+>，1122a a-∴+=。

高中数学_指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算知识图谱指数与指数幂的运算知识精讲一．方根的定义及性质1.定义：如果存在实数x ，使得()*,1,n x a a R n n N =∈>∈，则把x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称为开方运算.2.性质（1）正数a 有两个偶次方根且互为相反数，记作0)n a a ±>；（2）负数没有偶次方根；（3n a n 为奇数，)a R ∈；（4）零的n 次方根都是0()*1,n n N >∈；（5）正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根()*1,n n N>∈.二．根式的定义及性质1.定义：n a n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.性质：（1）()n n a a =；（2）当n n n a a =；（3）当n (0)||(0)n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩三．分数指数幂1()p p a p Q a-=∈；m nmna a=(,m n N +∈、且m n 、互质）-1m n nma a =四．实数指数幂幂指数定义底数的取值范围正整数指数n n a a a a =⋅⋅⋅个()n N +∈a R ∈零指数01a =0a ≠且a R ∈负整数指数1n na a-=0a ≠且a R∈正分数指数m n mna a =(,m n N +∈、且m n 、互质）n 为奇数a R ∈n 为偶数0a ≥负分数指数-1m n nmaa =n 为奇数0a ≠且a R ∈n 为偶数a >无理数p a 是一个确定的实数（其中p 为无理数）a >五．实数指数幂的运算性质1.r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；2.rr s s a a a-=(0,0,,)a b r s R >>∈3.()r s r s a a ⋅=(0,,)a r s R >∈；4.() (0,0,)r r r a b a b a b r R ⋅=⋅>>∈；5.() (0,0,)rr r a a a b r R b b=>>∈.三点剖析一．方法点拨1.利用分数指数幂进行根式的运算步骤：（1）先把根式化成分数指数幂；（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．2.指数式的运算（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如1139x -=（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.例如：已知()130a a a -+=>，求22a a -+的值将13a a -+=两边平方得21229a a a a --++= ，即2229a a -++=，所以得到227a a -+=.根式与指数的计算与化简例题1、66(3)π-=____．例题2、设3a ＝2，3b ＝5，则3a ＋b ＝________．例题3、若12a <24(21)a -的结果是（）21a - B.21a -12a- D.12a--例题4、（Ⅰ）已知x+x -1=4，求x 2+x -2的值；（Ⅱ）计算331.5612随练1、若a =333-π（），b 442-π（），则a +b 的值为（）A.1B.5C.-1D.2π-5随练2、下列式子正确的是（）A.log 22=0B.lg10=1C.22×25=21032212-利用公式进行指数运算例题1、式子()13321--⎡⎤-⎣⎦=（）．例题2、已知0a >且0a ≠，且24x a =，327y a =，则x y a +的值为________．例题3、计算：1223256437392748-⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．随练1、求值220.53327492()()(0.008)8925---+⨯=________．带有附加条件的求值问题例题1、已知：a ＋a －1＝2则a 2＋a －2＝________．例题2、已知11223x x-+=，计算下列各式的值（1）x ＋x －1；（2）x 2＋x －2．例题3、已知函数732()2(,)32x x x xb f x ax a b R x -=++-∈+，若f （2017）＝2018，则f （－2017）的值为________．随练1、x 2-3x +1=0，则221x x +=_____.随练2、若1a >，0b >，且22b b a a -+=b b a a --的值为（）6B.2或2-C.2- D.2拓展1、a a a 的值为（）A.14a B.25aC.78aD.58a2、33(2)π-2(3)π-的值为（）A.5B.1- C.2π5- D.52π-3、已知11-225a a -=22_____a a -+=。

高中数学(人教B版)必修第二册：实数指数幂及其运算【精品课件】

解 (1)原式= − + − = 0.
(2)原式= ( − 1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
∴a,b,c均不为1.∴1<a≤b≤c.又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7
随堂小测
3
1.计算 (2 − π)3 + (3 − π)2 的值为(
A.5
B.-1
3
解析
B
D.5-2π
C.2π-5
)
(2 − π)3 + (3 − π)2 = 2 − π + π − 3 = −1.
2.下列各式正确的是( D )
∴原式=
−2 − 2, −3 < < 1,
−4,1 ≤ < 3.
反思感悟

(1)化简时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )时,关键是明确

是否有意义,只要有意义,则( ) = .

(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
÷

=
−
,

=

.

2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
即时巩固
下列运算中正确的是( D )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2

人教A版高中数学必修14.1.2无理数指数幂及其运算性质课件

1
又x>0，故 x3
1
x3
7.
1234
9 4.若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝__4__.
∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝11002yx＝94.
1234
课时对点练
基础巩固
1.已知集合A＝{0,1,2， 3 }，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B等于
A.{0,1,2}
由题意，得第 n 次操作后溶液的浓度为1－12n，令12n<110，验证可得 n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
反思感悟
指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
跟踪训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成 2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成__6_4_个.
3
所以 x 2
3
x2
2
5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a3x＋a－3x 10.已知 a2x＝3，求 ax＋a－x 的值.
原式＝ax＋a－xaax2＋x－aa－xxa－x＋a－2x＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋13＝73.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2
π2
= π
2
2 2 2 2
=
π
2 2
2 2
1
= π2
=
π.
反思感悟
关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)指数幂及其运算

D. 25
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等

(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
第三页，共二十一页。
2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
第五页，共二十一页。
1
3
2
3
【做一做 2-1】已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3

高中数学 3.1.1实数指数幂及其运算课件新人教A版必修1

xn a
那么x叫做a的n次方根,其中 n1,且 nN*.
求a的n次方根，叫做把a开n 次方，称作开方运算．
（ 1） 22 4,(2 )2 4, 4的平方根 ? 是
（2） 23 8，23 8， 8的立方根是 8的？立方根是？
总结
思考
正数的偶次方几 2 根个有？
它们之间互的关为系相是反什数么？
解:
83 2(23)3 2233 2224
1
1002
1
1
1
1
1002 (102)2
1 10
(1)3(22)32(2)(3)2664 4
(16 )4 3(2)4(4 3) (2)327
81 3
38
例 4 用分数指数幂的形式式(式中a>0):
表示下列各
1 .a 2 •
a1
a2•a2
21
5
a 2a2
正数的奇次方根几有 1个？负数的奇次方根几有1个？
3.根式的运算性质
(1)
n
(
a)na(n1,且 nN *)
n
(2) an
a 当n为奇数时 |a| 当n为偶数时.
１.正数的分Байду номын сангаас指数幂的意义
m
annam (a0,m ,n N *,且 n1)
２.规定
(１)
am n1m(a0,m ,nN*,且 n1) an
(２)０的正分数指数幂等于０.
(３)０的负分数指数幂无意义.
３.有理指数幂的运算性质
(１) a r•a s a r s(a 0 ,r,s Q ), (２) (ar)sar(sa0,r,s Q ),
(３) a r b a r b r ( a 0 ,b 0 ,r Q ).

指数幂及运算(高中数学)

C．25
D．27
31
32
C.
1
45
D.5 4
8
B [425＝5 42＝5 16，故选B.]
9
3．已知 a>0，则 a－23等于( )
A. a3
B. 1 3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
C.
1 a3
D．－3 a2
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
10
m2＋1 [(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]
3
自主预习探新知
4
1．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn＝_n__a_m_(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数指数幂
负分数指数幂规定：a－mn＝a1mn＝__n_1_a_m_ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0 的分数指数 0 的正分数指数幂等于_0_，
幂
0 的负分数指数幂_没__有_意义
4 3
16
利用分数指数幂的运算性质化简求解【例 2】化简求值：
17
18
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
得a2＋a－2的值
[解] (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
24
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值． [解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8 3，即a－a－1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值． [解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.

高中数学人教B版必修13. 实数指数幂及其运算精品课件

12
4 a12 4(a3)4 a3 a 4
10
5 a10 5(a2)5 a2 a 5 (a 0)
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算
偶次方根奇次方根
实 a0
数
n a
a a0 不存在
n a 0
n a 0
n a 根式 n 根指数 a 被开方数
正数 a的正次方a根的n次叫算做术方根
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
分数指数幂
2、练习填空: (1)25的平方根等于_______;(2) 16的四次方根等于_______ (3)-32的五次方根等于_____;(4) 27的立方根等于________
数学 1
3.1.1 实数指数幂及其运算
第一课时整数指数幂与分数指数幂
情境引入：整数指数幂
折纸问题：
将纸对折的过程中，对折一次，一张纸变成2层；经过两次对折，变成4层；依此类推，问经过6次对折、 8次对折、x次对折后共有多少层纸？
若每2秒钟折纸一次，x秒后共有多少层纸？、
学习目标
1.理解n次方根的概念及n次方根的性质，理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。 2.掌握根式、分数指数幂的运算，会进行有理数范围内的幂的运算。 3.培养学生利用概念、性质分析解决问题的能力。感受由特殊到一般的数学思想方法，培养对数学的热爱。
整数指数幂
整数指数幂:
运算法则: