高中数学：指数幂及运算

1 2
－a
1 2
.
解：(1)法一：由a＋a－1＝5两边平方得：
a2＋2a·a－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.
法二：a2＋a－2＝a2＋2a·a－1＋a－2－2a·a－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
(2)∵(a
1 2
－a
1 2
)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a
1 2
－a
1 2
[活学活用] 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0)： (1)a3·3 a2； (2) a a；
解：(1)a3·3
a2＝a3·a
2 3
＝a
3
2 3
＝a
11 3
.
指数幂的运算 [例2] 计算下列各式：
[解]
(1)原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
解析：
3 a
a＝a
1
11
31
1
a 3 ＝(a·a 2 ) 3 ＝(a 2 ) 3 ＝a 2 .
1
答案：a 2
5．计算(或化简)下列各式：
(1)4
2＋1·23－2
2·64
2 3
；
解：(1)原式＝(22)
2＋1·23－2
2·(26)
2 3
＝22 2＋2·23－2 2·2－4
＝22 2＋2＋3－2 2－4
④
y2 x
x3 3 y
xy63(x>0，y>0)．
1
[解] (1)选C － x＝－x 2 (x>0)；
6
1
1
y2＝(y2) 6 ＝－y 3
(y<0)；
x
-
3 4
＝(x－3)
-
1 4
＝
4
1x3(x>0)；
x
-
1 3
＝1x
1 3
＝
3
1x(x≠0)．
(2)①a2·
a＝a2·a
1 2
＝a
2+
1 2
2＋12＝a
根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 ( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x>0)
6 B.
1
y2＝y 3
(y<0)
C．x
-
3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x
-
1 3
＝－3
x(x≠0)
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：
①a2· a(a>0)；
② a a(a>0)；
＝245a0b0＝245.
[类题通法] 利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数 的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的 形式表示．
a
-
m n
＝
1
m
an
＝
1 n am
(a>0，m，n∈N*，且
n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 ．
[化解疑难]
对分数指数幂的理解
(1)指数幂
a
m n
不可以理解为mn 个
a
相乘，它是根式的一种新
写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，
只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数
)＝
2 3
a
1 3
+
3-
2 3
·b
-
3 4
-2-(-
1 4
)
＝23a
8 3
b
-
2 5
，注意符号不能弄错．
答案：A
3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
解析：∵10x＝3， ∴102x＝9， ∴102x－y＝11002yx＝94. 答案：94
4．化简3 a a的结果是________．
[化解疑难] 有理数指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质 推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数 不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的 幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘 相加，除相减，幂相乘．
幂与根式可以相互转化；
(2)通常规定分数指数幂的底数 a>0，但要注意在像
＝
4 －a中的 a，则需要 a≤0.
有理数指数幂的运算性质 [导入新知]
有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
|＝
3.
∴a
1 2
－a
1 2
＝±
3.
[随堂即时演练]
1．化简3
－52
3 4
的结果为
A．5
B. 5Fra Baidu bibliotek
C．－ 5
D．－5
()
解析：3
－52
3 4
＝3
52
3 4
＝(5
2 3
)
3 4
＝5
1 2
＝
5.
答案：B
解析：原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a
1 3
b
-3 4
)·(a3·b－2)÷(a
2 3
b
-1 4
[活学活用] 计算下列各式(式中字母都是正数)：
4.含附加条件的幂的求值问题
1
1
[典例] (12 分)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求：(1)x 2 ＋y 2 ；
1
1
(2)x 2 －y 2 ；(3)x－y.
[解题流程]
[活学活用]
已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a
5 2
.
法二：从里向外化为分数指数幂．
[类题通法]
根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式
与分数指数幂的转化式子：a
m n
＝n
am和a
-m n
＝
1 amn
＝
n
1 am
，其中字
母a要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一
是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．
第二课时 指数幂及运算
[提出问题]
分数指数幂的意义
问题1：判断下列运算是否正确．
提示：正确．
问题2：能否把4 a3，3 b2，4 c5 写成下列形式： 提示：能．
[导入新知]
分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
mn an＝
am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
＝21＝2.
课时跟踪检测见课时达标检测(十三)