高二数学必修五数列
高二数学必修5 第二章数列 ppt
观察这些例子，看它们有何共同特点？
共同点：
1、均是一列数 ； 2、有一定次序 .
定义
按一定次序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）， 第2项，······，第n项， ······。
根据数列的定义知数列是按一定顺序排列 的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但 次序不同，则不是同一数列。 如： 数列（4）4，5，6，7，8，9，10。改为
an 2n 1
（2） 22 1 , 32 1 , 42 1 , 52 1; 2345
解：此数列的前四项的分母都
是序号加1，分子都是分母的平方减 去1，所以通项公式是：
an
n
12 1
n 1
nn 2
n 1
（3）
1 , 1 , 1 , 1 . 12 23 34 45
解：此数列的前4项的绝对值都等
◆ 2 数列中的数可以重复出现而 数集中的数则不允许重复出现；
数列的一般形式可以写成：
a1, a2, a3,an ,,
其中an是数列的第n项，上面的数列又可简记为 an
如数列（1）
n 1，2，3，4，5，··· ···可简记为 n
如数列（2）
1,
1 2
,
1 3
,,
1 n
,
可简记为
1
n
与
n
如果数列 式就叫做这个数
列的通项公式。
如数列（1） 如数列（2）
an n
an
1 n
如数列（4） an n 3(n 7)
问题2：数列与函数的关系？
数列中的每一个数都对应着 一个序号，反过来，每个序号也都 对应着一个数。如数列（4） 项 4 5 6 7 8 9 10
高二数学必修5知识点总结
高二数学必修5知识点总结1. 数列的概念与性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。
数列的性质包括等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻数之间的差值相等，而等比数列是指数列中相邻数之间的比值相等。
2. 等差数列的项数、和与通项公式等差数列的项数可以通过项与首项和公差之间的关系计算得出。
等差数列的和可以通过求首项、末项和项数之和乘以项数除以2来计算。
等差数列的通项公式可以通过首项、公差和项数来计算。
3. 等比数列的项数、和与通项公式等比数列的项数可以通过项与首项和公比之间的关系计算得出。
等比数列的和可以通过求首项乘以公比的项数次方减去1，再除以公比减去1来计算。
等比数列的通项公式可以通过首项、公比和项数来计算。
4. 数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛。
例如，利用数列可以描述物理学中的运动问题，经济学中的增长问题以及计算机科学中的算法问题等等。
数列在求和、平均数、中位数等方面都有重要作用。
5. 平面向量的基本概念与性质平面向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有加法和数乘运算，满足交换律、结合律和分配律。
平面向量可以表示为有序数对或两点之间的差向量。
6. 平面向量的线性运算与应用平面向量的线性运算包括加法和数乘。
加法即两个向量相加，数乘即向量与实数的乘积。
平面向量的应用包括力的合成与分解、向量的投影、向量的模长等等。
7. 平面向量的数量积及其运算平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的夹角关系，并具有一个实数值。
平面向量的数量积可以通过两个向量的模长乘积与夹角的余弦值来计算。
数量积的运算包括交换律、结合律和分配律。
8. 平面向量的坐标表示方式平面向量的坐标表示方式是通过向量的终点在坐标系中的位置来表示，并且可以用有序数组表示。
平面向量的坐标表示方式可以简化向量的运算和表示，方便与其他数学概念和计算相结合。
9. 复数的基本概念与运算复数是由实部和虚部组成的数，可表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
高中数学必修5 第二章 数列 知识整理
第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。
其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。
注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。
如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。
②数列中的数是按一定次序排列的。
因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。
如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。
③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。
因此，同一个数在数列中可以重复出现。
如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。
④{}n a 与n a 是不同的概念。
{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。
⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。
（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。
项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。
②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
(人教版)高中数学必修5课件：第2章 数列2.1 第1课时
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数列及其有关概念
数列 按照一定_顺__序__排列着的一列数称为数列 项 数列中的_每__一__个__数___叫做这个数列的项 表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，
简记为_{_a_n_}_
数学 必修5
第二章 数 列
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(3)列表法 列表法就是列出表格来表示__序__号__与__项___的关系．例如： 数列1,1,2,3,5,8,13,21.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 项 1 1 2 3 5 8 13 21
数学 必修5原数列已化为
－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，
∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
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(4)将数列统一为32，55，170，197，…对于分子3,5,7,9，…， 是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分 母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…即数列{n2}，可得分母 的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为an＝ 2n＋1 n2＋1 .
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数列表示方法的深层次理解 (1)图象法：①数列是特殊的函数，因此，数列也可以根据 某通项公式画出其对应图象，这就是图象法．在画图时，为了 方便，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同． ②图象法的优点：直观明了，能直观形象地表示出随着序 号的变化，相应项变化的趋势．
人教版高二数学必修5课件第二章数列第二课时数列的性质和递推公式精选ppt课件
＝－1n＋1＋1
＝2－1n＝2n－n 1(n∈N*)．
[点评] (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清 楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答 这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式 整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末 项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形 式．
[点评] 由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求 通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变 化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以 利用首项或前几项是解题的关键．
变式训练3
设{an}是首项为1的正项数列，且
an＋1 an
＝
n＋n 1，求它的通项公式．
解：∵aan＋n 1＝n＋n 1， ∴当n≥2时， aa21＝12，aa23＝23，aa43＝34，…，aan－n 1＝n－n 1. ∴aa21·aa23·aa43…aan－n 1＝12×23×34×·…·×n－n 1＝1n.
问题 3：第 n 排座位数 an 与第 n＋1 排座位数 an＋1 能 用等式表示吗？
提示：能．an＋1＝an＋2.
反之若不知a1＝20，仅由数列{an}的关系式an+1＝an＋2(n≥2， n∈N*)你能否确定这个数列？
[导入新知]
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项)，且任一项 an
与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公
解 an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋1]1n2＋1， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
人教版高中数学必修五第二章数列课件PPT
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法
高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法以下是作者为大家整理的关于《高二数学必修五知识点：数列的概念与简单表示法》，供大家学习参考！1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以显现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个肯定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，明显数列与数集有本质的区分.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)依照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是肯定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式情势上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在情势上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能肯定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要根据数列的构成规律，多视察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的知道注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么顺次用1，2，3，…去替换公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判定某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，情势上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映照.因此，从映照、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大顺次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特别的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特别的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情形，但不精确.把数列与函数比较，数列是特别的函数，特别在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无穷个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用以下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
数学必修五数列知识点总结归纳
数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。
本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。
2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。
4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。
5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。
二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。
2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。
五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。
2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。
高二数学必修5数列知识点
高二数学必修5数列知识点
数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。
今天小编在这给大家整理了高二数学必修5数列，接下来随着小编一起来看看吧!
高二数学必修5数列
高二数学必修5的数列要怎么学
第一：掌握两个重要的数列：等差数列和和等比数列，重点掌握它们的性质、通项公式的求法以及n项和的求法(公式)。
这两个数列是常考的题型。
必须要熟练掌握!
第二：学会常见的数列通项公式an的求法(主要有：定义法、叠加法、曡乘法、构造数列法、猜想和数学归纳法)和n项和Sn的求法(公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等)，同时要多积累和总结这方面的题型。
第三：要想拿高分，还要积累一些常见的放缩公式，以便用于证明一些有关数列不等式
第一和第二是重点也是基础，一定要掌握!至于第三嘛，靠慢慢积累才行!注意的问题：再求an或sn时，注意可能要分类讨论，n=1,a1=s1 n>=2,an=sn-s(n-1)注意一下细节即可!。
(完整版)高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧(含答案)--强烈推荐,推荐文档
设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。
；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。
）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。
高二上册数学必修五知识点
高二上册数学必修五知识点一、数列与数列的表示方法数列是按照一定规律排列的一组数，表示为a₁，a₂，a₃，...1. 等差数列：数列中任意两个相邻的数之差都相等，表示为a₁，a₂，a₃，...，公差为d。
- 通项公式：an = a₁ + (n - 1)d- 求和公式：Sn = (n/2)(a₁ + an)2. 等比数列：数列中任意两个相邻的数之比都相等，表示为a₁，a₂，a₃，...，公比为q。
- 通项公式：an = a₁ * q^(n - 1)- 求和公式：Sn = a₁(1 - q^n) / (1 - q)二、三角函数与三角恒等变换三角函数是用来描述角度和边长之间关系的函数，包括正弦、余弦和正切等。
1. 正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边 / 邻边。
4. 三角恒等变换：包括倒角公式、和角公式、差角公式等，用于简化复杂的三角函数表达式。
三、平面几何与向量平面几何是研究平面图形的性质、关系和变化的数学学科。
1. 二维坐标系：用于表示平面上的点，通过横坐标和纵坐标的组合来确定一个点的位置。
2. 直线与线段：直线是由无限个点组成的，线段是直线上取出的两个端点之间的部分。
3. 圆与圆的方程：圆是由平面上到一个定点距离等于定长的点组成，表示为(x - a)² + (y - b)² = r²。
4. 向量的表示与运算：向量表示为有方向的线段，可以进行加法、减法、数量积和向量积等运算。
四、概率统计概率统计是研究随机事件发生规律和数据分析的数学分支。
1. 随机事件与样本空间：随机事件是对随机试验的结果的一种描述，样本空间是指所有可能结果的集合。
高中数学必修五数列知识点总结(经典总结)
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项公式：()11n a a n d =+-（2）等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ （3）前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+（4）性质：{}n a 是等差数列①任意两项间的关系式； a n ＝a m ＋(n －m )d （m 、n ∈N +） ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为dn 2；④若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，⑤若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=⑥{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.⑦项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.⑧项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有：)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质（1）定义：1n naq a +=（q 为常数，0q ≠），通项公式：11n n a a q -=.（2）等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =（3）前n 项和：()11(1)1(1)1nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） （4）性质：{}n a 是等比数列①任意两项间的关系：a m ＝a n . q m －n （m 、n ∈N +）. ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列，公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a 解 ：1n =时，112152a =⨯+，∴114a =①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+……②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n na na a n +==+，，求n a 解： 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n aa n=又13a =，∴3n a n =.（3）等差型递推公式 由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求na （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11da c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法 （1）公式法 （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭· ∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（3）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （4）分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
高中数学必修五数列知识点总结归纳
高中数学必修五数列知识点总结
归纳
一、数列的概念和简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
二、等差数列
1.理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
三、等比数列
1.理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
四．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
五．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.
1．辨明两个易误点
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．。
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第3讲 等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；若等比数列{a n}的第m项为a m，公比是q,则其第n项a n可以表示为a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝. 3．等比数列及前n项和的性质(1)若{a n}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k·a l＝a m·a n.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等比数列，公比为q m.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n.(4)若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}(λ≠0)，，{a}，{a n·b n}，仍是等比数列．考点一 等比数列的判定与证明【例1】(2015·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3.求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.规律方法证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】 (2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．考点二 等比数列基本量的求解【例2】(2013·湖北卷)已知等比数列{a n}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．规律方法等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】(1)已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．(2)设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.考点三 等比数列性质的应用【例3】(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )．A．7 B．5 C．－5 D．－7(2)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若＝，则公比q＝________.规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．【训练3】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．A．－3 B．±3C．－3 D．±3(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝( )．A．4 B．6 C．8 D．8－41．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)等比中项法：a＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，a n，S n五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度． 基础巩固题组一、选择题1．(2013·六安二模)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n－2，n∈N*，则 ( )．A．{a n}是递增的等比数列B．{a n}是递增数列，但不是等比数列C．{a n}是递减的等比数列D．{a n}不是等比数列，也不单调2．(2016·广州模拟)已知等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n.若S3＝，则S6等于 ( )．A. B. C．63 D.3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝ ( )．A. B．－ C. D．－4．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为 ( )．A．1 B．－ C．1或－ D．－1或5．(2014·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为 ( )．A. B. C．2 D．4二、填空题6．(2016·江西九校联考)实数项等比数列{a n}的前n项的和为S n，若＝，则公比q等于________．7．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________. 8．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．三、解答题9．在数列{a n}中，已知a1＝－1，且a n＋1＝2a n＋3n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n＋1－a n＋3}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n.10．(2013·济南期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，a3＋a4＝17.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n＋2，证明数列{b n}是等比数列并求其前n项和T n.第4讲 数列求和1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：S n＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：S n＝2．数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.3．常见的拆项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.辨析感悟数列求和的常用方法(1)当n≥2时，＝－.(×)(2)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5.(√)(4)(2014·南京调研改编)若S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防范 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a＝0，a ＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.考点一 分组转化法求和【例1】已知数列{a n}的通项公式是a n＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n项和S n.规律方法(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．【训练1】(2014·湖州质检)在等比数列{a n}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n＝(－1)n b n＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.考点二 裂项相消法求和【例2】(2013·江西卷)正项数列{a n}的前n项和S n满足：S－(n2＋n－1)S n －(n2＋n)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n ＜.规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【训练2】(2013·滨州一模)已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＋a n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log(1－S n＋1)(n∈N*)，令T n＝＋＋…＋，求T n.考点三 错位相减法求和【例3】(2013·山东卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n ＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，且T n＋＝λ(λ为常数)，令c n＝b2n，(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和R n.所规律方法 (1)一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．【训练3】 (2013·嘉兴二模)在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝3a n＋2.(1)记b n＝a n＋1，求证：数列{b n}为等比数列；(2)求数列{na n}的前n项和S n.数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 基础巩固题组一、选择题1．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，其前n项和为S n，则数列的前10项的和为 ( )．A．120 B．70 C．75 D．1002．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和为 ( )．A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－23．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝( )．A．9 B．8 C．17 D．164．(2014·西安质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2＝( )．012A．22 012－1 B．3·21 006－3 C．3·21 006－1 D．3·21 005－2 5．(2014·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为S n，则S2 014的值为 ( )．A. B. C. D.二、填空题6．在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝________.7．(2013·山西晋中名校联合测试)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)，记S n为{a n}的前n项和，则S2 013＝________. 8．(2014·武汉模拟)等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a＋a＋…＋a ＝____.三、解答题9．正项数列{a n}满足：a－(2n－1)a n－2n＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.。