高二数学必修五数列

第3讲　等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；若等比数列{a n}的第m项为a m，公比是q,则其第n项a n可以表示为a n

＝a m q n－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝. 3．等比数列及前n项和的性质

(1)若{a n}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k·a l＝a m·a n.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等比数列，公比为q m.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n.

(4)若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}(λ≠0)，，{a}，

{a n·b n}，仍是等比数列．

考点一　等比数列的判定与证明

【例1】(2015·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3.

求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.

规律方法证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明

＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．

【训练1】 (2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．

(1)推导{a n}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．

考点二　等比数列基本量的求解

【例2】(2013·湖北卷)已知等比数列{a n}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

规律方法等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

【训练2】(1)已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．

(2)设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.

考点三　等比数列性质的应用

【例3】(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )．

A．7 B．5 C．－5 D．－7

(2)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若＝，则公比q＝

________.

规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的

性质，不要把两者的性质搞混．

【训练3】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．

A．－3 B．±3

C．－3 D．±3

(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝( )．

A．4 B．6 C．8 D．8－4

1．等比数列的判定方法有以下几种：

(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．

(2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．

(3)等比中项法：a＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．

2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，a n，S n五个量中，知三求二．

3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．

基础巩固题组

一、选择题

1．(2013·六安二模)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n－2，n∈N*，

则 ( )．

A．{a n}是递增的等比数列

B．{a n}是递增数列，但不是等比数列

C．{a n}是递减的等比数列

D．{a n}不是等比数列，也不单调

2．(2016·广州模拟)已知等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n.若S3＝，则S6等于 ( )．

A. B. C．63 D.

3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝ ( )．

A. B．－ C. D．－

4．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值

为 ( )．

A．1 B．－ C．1或－ D．－1或

5．(2014·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值

为 ( )．

A. B. C．2 D．4

二、填空题

6．(2016·江西九校联考)实数项等比数列{a n}的前n项的和为S n，若＝，则公比q等于________．

7．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________. 8．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．

三、解答题

9．在数列{a n}中，已知a1＝－1，且a n＋1＝2a n＋3n－4(n∈N*)．

(1)求证：数列{a n＋1－a n＋3}是等比数列；

(2)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n.

10．(2013·济南期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝

4，a3＋a4＝17.