最优控制

J =
能观,
1 1 x ( t f ) T C T Q 0 Cx ( t f ) + 2 2
tf
[ x T C T Q 1 Cx + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x = Ax + Bu y = Cx
tf
J =
1 T x (t f )Q 0 x (t f ) + 2
性能泛函最优值
1 2
B T P Q1
J min
1 T = x (t 0 ) P (t0 ) x (t0 ) 2
6.4 线性二次型最优控制问题
得到: 得到
x = A (t ) x + b (t )u , y = C ( t ) x ,.. x ( t 0 ) = x 0
u * ( t ) = K ( t ) x ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t )
1 二次型性能泛函
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
半正定
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
半正定
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, qij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
有等式约束条件的极值问题. 拉格朗日乘子法
J ( x, u ),...2 x u = 0 H = J + λ (2 x u )
6.3 最优控制求解
t
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J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫
t0
L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
u(t)随 u(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
277
q2 减 小
x(t)随 x(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
当终端时间不同时的P(t) 当终端时间不同时的P(t)
q0=1 tt=1,3,5,9 q0=0
6.4 线性二次型最优控制问题
无限时间状态调节问题 能控 Q1半正定, Q2正定 存在唯一最优控制
x = Ax + Bu , x ( 0 ) = x 0
1 J = 2
∞
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
u * ( t ) = Q 2 1 BPx ( t )
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 矩阵代数方程 黎卡提
PA A T P + PBQ 21 B T P Q1 = 0
u * (t )
x * (t )
最优控制 最优轨线 最优性能指标
J
*
6.3 最优控制求解
y=f(x)的函数极值: y=f(x1,x2)
df d2 f d2 f = 0, 2 > 0, 2 < 0 dx dx dx
2 f x1x2 矩阵正定,极小值 2 f 2 x2
2 f f f 2 f x12 = 0, = 0,.... 2 = 2 x1 x2 x f x x 2 1
0 x = 1
1 x a + 2
1
y=x1
1 w( s ) = C ( sI A) B = 2 s + s a + 2 +1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
∫
t0
1 T { x ( t ) Q 1 x ( t ) + u T ( t ) Ru ( t )} dt 2
有限时间状态调节器 最优控制存在的条件及结论: 最优控制存在的条件及结论
Q0 , Q1 , R ?
u * (t ) = R 1 B T P (t ) x (t ) = K (t ) x (t )
正则方程
控制方程
边界条件
6.3 最优控制求解 最小值原理及其应用 线性二次型(LQ)最优控制 最优控制 线性二次型
t
u ≤k
J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫ L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
t0
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
t
J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫ L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
t0
6.2 最优控制问题的描述：
4) 一个容许的控制集合
u(t ) ∈ ∈ R
m
最优控制问题, 就是从可供选择的容许控制集合U中,寻找 一个控制u(t), 使受控系统在[t0,tf]内,从初始状态x(t0), 转移到终端状态x(tf)或目标集时,性能指标J取最小(大)值.
第六章 最优控制
1 最优控制概述 2 最优控制问题 3 最优控制求解 LQ问题及求解 4 LQ问题及求解
6.1 最优控制概念
快速升降问题
有一物体作垂直升降运动。假定在 内装有一 有一物体作垂直升降运动。假定在M内装有一 个控制器， 个控制器，它可以产生一个作用力 u(t)，可 ， 控制物体M的上下运动 的上下运动; 控制物体 的上下运动
性能指标J 性能指标 求极值
tf
J = ∫ L( x, u )dt = t f t0 ,..L( x, u ) = 1
t0
J min = t f t 0
6.2 最优控制问题的描述
1) 受控动态系统的数学描述 状态方程: 状态方程
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
6.4 线性二次型最优控制问题
2 有限时间状态调节问题
调节问题和跟踪问题
状态调节和 输出调节 输出跟踪
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
任务: P273
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
求泛函的极值问题: 求泛函的极值问题 变分法
x(t f ) ∈ S
多元泛函取极值的必要条件是J的一次变分等于零.
δJ = 0
引入哈密顿函数
H = J + λ ( f x)
6.3 最优控制求解
H = λ x H = x λ H = 0 u
x(t0 ) = x0, x(t f ) = xtf φ φ ,..H (t f ) + = 0, λ (t f ) = x(t f ) t f
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 矩阵代数方程 黎卡提
PA A T P + PBQ 21 B T P Q1 = 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6 22续 例题6-22续
p11 = p12 = 1 p 22 =
a+2 b a+2
a + 2 x 2 (t )
最优控制 闭环系统
u * ( t ) = x1 ( t )
二次型指标最优控制问题
二次型性能指标
t
f
J =
t
f
∫
t0
1 { x T ( t ) Qx ( t ) + u T ( t ) Ru ( t )} dt 2
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6 例题6-22 0 x = 0
J = 1 2
∞
1 0 x + 1 u , 0
2 [ x 12 + 2 bx 1 x 2 + ax 2 + u 2 ]dt ∫
求时J最小的u(t) 解: 能控性
t0
1 Q1 = b
b , Q2 = 1 a
a b2 > 0
H = 0 → Q 2u + B T λ = 0 u u * ( t ) = Q 2 1 B T λ
正则方程
= H = Q x AT λ λ 1 x x = Ax + Bu = Ax BQ 2 1 B T λ
6.4 线性二次型最优控制问题
λ (t ) = P (t ) x (t )
得到: 得到
假设u不受限制 寻求最优控制 取极值. 假设 不受限制,寻求最优控制 使J取极值 不受限制 寻求最优控制,使 取极值
6.4 线性二次型最优控制问题
根据极小值原理 1 H [ x , u , t ] = [ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] + λ T [ Ax + Bu ] 2
最优控制应使H取极值, H ,
2) 动态系统的初始状态和终端状态，也就是状态方程的边界条件：目标集 动态系统的初始状态和终端状态，也就是状态方程的边界条件：
x(t0 ) ∈ 0
x(t f ) ∈ S
3)一个衡量“控制作用”效果的性能指标：性能指标, 性能泛函 价值函 一个衡量“控制作用”效果的性能指标：性能指标 性能泛函, 一个衡量 目标函数，效益函数。 数，目标函数，效益函数。
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20 续 p (t ) = q 2
β + α + (β α )
q 0 / q1 α β 2 β ( t t f ) e q 0 / q1 α + β q 0 / q1 α β 2 β ( t t f ) 1 e q 0 / q1 α + β
6.4 线性二次型最优控制问题
LQ问题 问题: 问题 线性系统,性能指标为状态和控制量的二次型函数的 线性系统 性能指标为状态和控制量的二次型函数的 最优控制问题. 最优控制问题 为什么要讨论LQ? 为什么要讨论 一般问题是什么? 一般问题是什么 本课程主要讨论终端时间为无穷时的状态调节问题.
6.4 线性二次型最优控制问题
q1 , q 2 > 0 , q 0 ≥ 0
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = q 2 1 p ( t ) x ( t )
1 2
P = PA A T P + PBQ
0
B
T
P Q1
p = 2 ap + p 2 q 2 1 q 1 ,.. p ( t f ) = q 0
u M g
u (t ) ≤ u 0
x (t 0 ) = h
x (t 0 ) = v 0
u (t ) → x (t f ) = 0, x (t f ) = 0
最小. 使tf最小
6.1 最优控制概念
u与x的关系 状态方程 与 的关系 的关系:状态方程
M ( t ) = u ( t ) g , x 1 = x ( t ), x 2 ( t ) = x ( t ) x x1 ( t ) = x 2 ( t ) x 2 ( t ) = u ( t ) g , x 1 ( 0 ) = x 10 , x 2 ( 0 ) = x 20
β=
状态解
q1 + a2 q2
1 x = ax p (t ) x , x (0 ) = x 0 q2
6.4 线性二次型最优控制问题
276
a = 1, q 0 = 0 , q 1 = 1, x 0 = 1, t f = 1
6.4 线性二次型最优控制问题
q2 P(t)随 P(t)随q2变化 q2 减 小 减 小
系统的结构图
6.4 线性二次型最优控制问题
274
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20
J =
x = ax + u , x ( 0 ) = x 0
tf
1 1 q 0 x 2 (t f ) + 2 2
[ q 1 x 2 + q 2 u 2 ] dt ∫
t0
求u*(t) 解:
P (t f ) = Q
tf
1 1 T J = y (t f ) Q 0 y (t f ) + 2 2
Q0,Q1半正定,Q2正定,
[ y T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
假设u不受限制 寻求最优控制 取极值. 假设 不受限制,寻求最优控制 使J取极值 不受限制 寻求最优控制,使 取极值 任务: P282
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = K ( t ) x ( t ) K ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t )
黎卡提(Riccati)矩阵微分方程
P = PA A T P + PBQ P (t f ) = Q 0