万有引力的推导(最终)
万有引力定律推导过程详解
万有引力定律推导过程详解哇，今天咱们来聊聊万有引力定律，这个话题可真是引人入胜，真像是一场宇宙的探险。
想象一下，你在天空下仰望星星，心里想着，哎呀，这些星星和我们有什么关系呢？它们之间有着千丝万缕的联系，就像一场无形的舞会，每颗星星都在按照某种规律在舞动。
这其中，万有引力就是那位默默无闻却不可或缺的指挥家。
万有引力定律，听起来挺高大上的，但其实说白了，就是告诉我们，任何两个物体之间都有一种吸引力。
这种吸引力和它们的质量成正比，和它们之间的距离成反比。
简单说，就是越重的物体，越能吸引别人，而距离越远，吸引力就越弱。
就像你在球场上看见大个子队员，他能轻松吸引众人的注意，而小个子队员在远处看起来就没那么显眼了。
是不是很形象？再说说牛顿，哦，那个伟大的科学家，他可是把这个定律给总结出来的。
听说他还是在一个苹果树下得到灵感的。
嘿，你想象一下，他正悠闲地坐在树下，突然一个苹果从树上掉下来，砸到了他头上。
他心里肯定在想：“这苹果干嘛掉下来啊，难道是要告诉我点啥？”然后，他就灵光一现，联想到地球是怎么把物体吸引下来的。
真是天降灵感，哈哈。
万有引力是怎么工作的呢？来，咱们简单聊聊。
这种力其实是个“无形的绳子”，把物体紧紧地绑在一起。
比如地球吸引着你，不然你就飞起来了。
想想，如果没有引力，你的手机是不是会在空中飘着？那可真是头疼，接个电话都得飞来飞去。
太麻烦了。
然后，咱们还得提提万有引力的公式，别害怕，这个公式一点都不复杂。
它就是F=G(m1*m2)/r²。
这里的F就是引力，G是一个常数，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
听上去有点晦涩，但其实就是在说，质量越大，引力越强；距离越近，引力越大。
就像你跟朋友在一起时，越近越聊得来，离得远了就只能发个微信了。
而万有引力可不止在地球上起作用，宇宙中的星星、行星、甚至是银河系，都在用这种力量相互作用。
就像一场大联欢，大家都在“拉手”跳舞，越重的“舞者”越吸引其他“舞者”过来。
万有引力公式推导完整过程
万有引力公式推导完整过程万有引力公式是由牛顿在17世纪提出的，用来描述物体之间的引力作用。
公式的完整推导过程如下：首先，我们考虑两个物体之间的引力作用。
假设两个物体的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r。
根据牛顿的第二定律，物体受到的引力可以表示为F=ma，其中F是引力，m 是物体的质量，a是加速度。
根据牛顿的万有引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们的距离的平方成反比。
即：F∝m1m2/r^2为了确定比例常数，我们需要引入一个新的物理量G，称为万有引力常数。
因此，将上式改写为：F=G(m1m2/r^2)现在我们来推导G的表达式。
考虑地球上的一个质点，质量为m，距离地球中心的高度为h。
假设地球质量为M，半径为R。
质点在地表上受到的引力可以表示为：F=G(Mm/R^2)另一方面，质点在高度h处受到的引力可以表示为：F'=G(Mm/(R+h)^2)根据引力是一个保守力的性质，我们可以将F'和F的差值表示为：F'F=G(Mm/(R+h)^2)G(Mm/R^2)=GmM(1/(R+h)^21/R^2)将等式两边分别乘以(R+h)^2，得到：(R+h)^2(F'F)=GmM(1((R+h)^2/R^2))=GmM(1(1+(2h/R)+(h^2/R^2)))将等式两边进行展开和化简，我们可以得到：(R+h)^2(F'F)=GmM(2h/Rh^2/R^2)在上式中，我们可以忽略h^2/R^2这一项，因为在地球表面上，h相对于R来说非常小，所以h^2/R^2的值非常小可以近似为0。
因此，我们得到：(R+h)^2(F'F)=GmM(2h/R)进一步化简，有：(F'F)=GmM(2h/R)/(R+h)^2现在我们可以将F和F'的表达式代入上述等式中，得到：G(Mm/R^2)=GmM(2h/R)/(R+h)^2化简上式，得到：R^2=(R+h)^2R^4+2R^3h+R^2h^2=R^42R^3h+R^2h^2=0h(2R^3+Rh)=0根据上述运算，我们可以得到h=0或者R=2h。
万有引力公式证明等式
万有引力公式证明等式【原创实用版】目录1.牛顿与万有引力定律2.万有引力公式的推导过程3.等式的证明4.总结正文1.牛顿与万有引力定律万有引力定律是物理学中的一个基本原理，它描述了两个物体之间的引力作用。
这个定律最早是由英国科学家艾萨克·牛顿在 17 世纪提出的。
牛顿通过观察苹果从树上掉落的现象，触发了他对引力的思考。
经过大量的实验和研究，牛顿终于提出了万有引力定律。
2.万有引力公式的推导过程万有引力定律可以用一个简洁的公式来表示，即 F = G * (m1 * m2) / r^2。
其中，F 代表两个物体之间的引力大小，m1 和 m2 分别代表两个物体的质量，r 代表两个物体之间的距离，G 代表万有引力常数。
这个公式的推导过程相对复杂，涉及到微积分的知识。
简单来说，牛顿首先假设两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
然后，通过引入微积分的概念，牛顿将这个假设转化为了一个公式。
3.等式的证明虽然牛顿提出了万有引力公式，但他并没有立即证明这个公式的正确性。
后来的科学家们通过实验和观测，不断地验证和修正这个公式，最终证明了它的正确性。
其中，一个重要的实验是著名的“月球回归实验”。
这个实验是由英国科学家卡文迪许进行的，他通过观测月球绕地球的运动，发现月球的运动轨迹与万有引力公式预测的轨迹非常吻合，从而证明了万有引力公式的正确性。
4.总结万有引力公式是描述物体之间引力作用的基本公式，它揭示了物体之间的引力大小与它们的质量和距离的关系。
虽然这个公式最初是由牛顿提出的，但它的正确性经过了后来科学家们的验证和修正。
万有引力的公式推导
万有引力的公式推导嘿，咱今天来聊聊万有引力的公式推导。
话说我之前在课堂上给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛，满脸写着疑惑和好奇，那模样别提多可爱了。
咱先从开普勒定律说起哈。
开普勒发现行星绕太阳运动的轨道不是正圆，而是椭圆。
但是呢，为了方便咱们推导，咱先假设是个圆周运动。
想象一下，一个行星绕着太阳转，就像一个小朋友在操场上快乐地跑圈圈。
根据开普勒的第二定律，也就是行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
这意味着行星运动的角速度不是恒定的，但线速度是变化的。
咱们设行星的质量是 m ，它绕太阳运动的线速度是 v ，运动的半径是 r 。
那行星运动一周的时间 T ，就等于周长2πr 除以线速度 v 。
然后呢，根据向心力的公式 F = mv²/r 。
又因为v = 2πr/T ，把 v 代进去，就得到F = 4π²mr/T² 。
这时候再看开普勒第三定律，它说所有行星绕太阳运动的周期的平方和它们各自与太阳的平均距离的立方成正比。
也就是T²/r³= 常数k 。
把 T² = kr³代入上面的向心力公式，就得到F = 4π²mk/r² 。
这时候神奇的事情来了，太阳对行星有引力，那根据牛顿第三定律，行星对太阳也有引力，而且这两个引力大小相等、方向相反。
这引力跟啥有关呢？太阳和行星的质量呗！如果把太阳的质量记为 M ，那这个引力的大小就应该和两者的质量都有关系，所以最终就得到了万有引力的公式 F = GMm/r²，其中 G就是万有引力常量。
回到一开始说的那个可爱的小同学，当时他听完我的讲解，眉头渐渐舒展开，脸上露出了那种恍然大悟的笑容，我心里别提多有成就感了。
万有引力的公式推导，就像是一场有趣的科学探险。
从行星的运动轨迹，到各种公式的运用和变换，每一步都充满了智慧和惊喜。
它让我们更加了解这个宇宙中物体之间相互吸引的奥秘。
万有引力定律公式详细推导过程
万有引力定律公式详细推导过程
有很多的同学是非常想知道，万有引力定律公式详细推导过程是什幺，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 万有引力定律推导公式是什幺根据开普勒的三定律以及牛顿第三定律得出.
具体如下;F 引= F 向=mw2r＝mv2/r 再由线速度与周期的关系得到
F 引=m(2πr/T)2/r=4π2mr/T2
F 引=4π2mr/T2=4π2(r3/T2)m/r2
F 引=4π2km/r2
所以可以得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳的距离的二次方成反比.
即：F∝m/r2
牛顿根据牛顿第三定律大胆的猜想：既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比,也应该与太阳的质量成正比.
F 引∝Mm/r2
写成等式：F 引= GMm/r2
1 万有引力定律的定义任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687 年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
万有引力定律的发现是近代经典物理学发展的必然结果。
科学史上普遍认。
万有引力定律的推导
万有引力定律的推导万有引力定律是由英国科学家牛顿在17世纪提出的重要物理定律。
该定律描述了物体之间存在的引力，并被广泛应用于天体力学、航天工程等领域。
本文将对万有引力定律进行推导，并探讨其重要性和应用。
1. 引力的概念和力的定律在推导万有引力定律之前，我们首先要了解引力的概念和牛顿力学的基本定律。
引力是两个物体之间相互作用的力，它的大小与物体质量有关，与物体之间的距离成反比。
根据牛顿第二定律，力的大小等于物体质量乘以加速度。
根据这些概念和定律，我们可以推导出万有引力定律。
2. 万有引力定律的推导我们考虑两个质量分别为m1和m2的物体，它们之间的距离为r。
根据引力的概念，我们可以得到物体1受到的引力F1和物体2受到的引力F2分别为：F1 = G * (m1 * m2) / r^2F2 = G * (m1 * m2) / r^2其中，G为引力常数。
根据牛顿第三定律，两个物体受到的引力大小相等，方向相反。
因此，我们可以将上述两个方程相等，并解得引力常数G：G = (F * r^2) / (m1 * m2)3. 万有引力定律的表达式根据上述推导，我们可以得到万有引力定律的表达式：F =G * (m1 * m2) / r^2这个表达式描述了两个物体之间的引力大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律适用于任何两个物体之间的引力作用。
4. 重要性和应用万有引力定律是牛顿力学的基础之一，它对于天体力学、航天工程等领域具有重要意义。
在天体力学中，万有引力定律用于研究行星、卫星、恒星等天体之间的相互作用。
例如，根据万有引力定律，我们可以计算出地球对月球的引力，从而解释月球围绕地球运动的规律。
在航天工程中，万有引力定律用于计算宇宙飞船与其他天体之间的引力作用。
通过准确地计算和预测引力，航天工程师可以规划宇宙飞船的航行轨迹，确保航天任务的成功。
此外，万有引力定律还在地球上的日常生活中有许多应用。
万有引力证明 数学知识
万有引力证明数学知识
万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。
它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。
具体来说，万有引力公式为F=GmM/r^2，其中G代表引力常量，其值约为×10的负11次方单位N·m2 /kg2。
为了证明这个公式，需要用到一些数学知识，包括三角函数、微积分和牛顿第三定律等。
如果将行星的轨道近似的看成圆形，根据开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即ω=2π/T（周期）。
再根据牛顿第三定律，可以推导出万有引力的大小和行星的质量成正比，和行星到太阳的距离的二次方成反比。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅关于万有引力的数学证明的相关文献。
万有引力定律
万有引力定律万有引力定律是物理学中的基本定律之一，由英国科学家牛顿于17世纪提出。
它描述了物体之间的引力相互作用规律，广泛应用于天文学、力学等领域。
本文将详细介绍万有引力定律的原理、公式推导、应用以及其对人类认知宇宙的影响等相关内容。
一、定律原理万有引力定律是一项描述质点间引力相互作用的物理定律。
其原理表明，两个物体之间的引力大小与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。
如果用F表示两物体之间的引力大小，m1和m2分别表示两物体的质量，r表示它们之间的距离，万有引力定律可表示为以下公式：F =G * ((m1 * m2) / r^2)其中，G为万有引力常数，其值为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
二、公式推导万有引力定律的公式由牛顿通过数学推导得出。
他首先研究了地球上物体下落的规律，提出了物体之间存在相互吸引的力。
然后，他通过实验观测行星运动轨迹的特点，得出了引力与距离平方成反比关系的结论。
牛顿使用了开普勒的行星运动定律作为基础，结合他的力学定律和数学知识，推导出了万有引力定律的公式。
根据公式推导的过程可以证明，这一定律可以适用于任何两个物体之间的引力相互作用。
三、应用万有引力定律的应用非常广泛。
首先，它可以解释天体运动规律，例如行星绕太阳的轨迹、卫星绕地球的运动等。
通过应用万有引力定律，科学家们可以准确预测和描述天体的运动。
其次，万有引力定律还用于研究地球上物体的运动和平衡。
例如，通过该定律可以解释地球上物体下落的原因，以及建筑物和桥梁的结构稳定性等。
此外，万有引力定律也被应用于航天探测和导航系统。
在航天器的轨道规划和导航定位中，必须考虑各个天体之间的引力相互作用，以保证航天器的安全和准确到位。
四、对人类认知宇宙的影响万有引力定律的发现和应用对人类认知宇宙产生了巨大影响。
它揭示了天体之间的引力相互作用规律，帮助我们更好地理解宇宙中的物体运动和相互关系。
万有引力公式推导完整过程
万有引力公式推导完整过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：万有引力公式是由牛顿提出的一个重要的物理定律，它描述了两个物体之间的引力之间的关系。
按照牛顿的万有引力定律，两个质量分别为m1和m2的物体之间的引力的大小与它们之间的距离的平方成反比，与它们质量的乘积成正比。
这个公式被称为万有引力公式，即F=G(m1*m2)/r^2，其中F代表引力的大小，G为引力常量，m1和m2为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
万有引力公式的推导是基于牛顿的引力定律和运动定律。
在牛顿的引力定律中，他认为两个物体之间的引力是与它们质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
在运动定律中，牛顿也提出了物体受到的引力会改变它们的加速度，即F=ma。
F=G(m1*m2)/r^2接下来，我们考虑物体受到引力的作用后会产生的加速度。
根据牛顿的运动定律，加速度与物体受到的引力成正比，即F=ma。
将引力的表达式代入运动定律的表达式中，我们可以得到：根据运动定律，加速度a可以表示为两个物体之间的距离r和它们之间的引力的关系，即a=GM/r^2。
将这个式子代入前面的表达式中，我们可以得到：整理后得到：万有引力公式的推导是物理学中的一个重要课题，它揭示了引力和运动之间的密切联系。
通过对引力和运动的分析，我们可以建立出牛顿的万有引力定律，描述了引力的大小与物体之间的距离和质量的关系。
这个公式不仅对于物理学的发展有着重要的意义，也为我们认识宇宙的运行规律提供了重要的理论基础。
第二篇示例：万有引力定律是牛顿在1687年提出的，是描述两个质点之间的引力作用的数学表达式。
这个定律也被称为“万有引力定律”，是物理学中最重要的定律之一。
万有引力定律的公式是：F =G * m1 * m2 / r^2F是两个质点之间的引力，m1和m2分别是两个质点的质量，r 是两个质点之间的距离，G是一个常数，称为引力常数。
万有引力公式的推导过程并不复杂，下面我们将详细介绍。
万有引力定律推导(高中)
r 设半径为 r，则 T
推导过程：
太阳与行星间的引力
3 2
k
设向心力 F，行星质量 m，太阳质量 M，行星到太阳的
1
樵墨 证明笔记
距离 （轨道半径） 是 r， 公转同期为 T， 行星速度 v （线速度） . 由向心力公式：
mv 2 2r F 且v r r T
Hale Waihona Puke 4 2 mr F T2Mm F 2 r
写成等式，即
F G m m R
1 2
2
至此，此式只适用于太阳与行星之间 万有引力 最终是由月地检验等最终向一切物体推广的
F G m m R
1证明笔记
万有引力定律推导（高中）
mm F G 牛顿万有引力定律： R
1 2
2
前提：
开普勒第一定律： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的 二次方的比值都相等. 即
a T
圆轨道模型
3 2
k (k为常数)
a 为轨道半长轴，T 为公轴周期.
为了简化问题（高中） ，将行星绕太阳运动的轨道看作 圆轨道，即行星绕太阳做匀速圆周运动.
由开普勒第三定律
r T
3 2
k T
2
r
3
k
将其代入式，得
4 2 mr m 2 F 4 k· 2 3 r r k
由于 4、π、k 都是常量
m F 2 r
由此可知，太阳与行星之间的引力与行星的质量成正 比，而在产生引力时，太阳与行星的地位 是相同的 由此得
2
樵墨 证明笔记
牛顿的万有引力定律公式 推导过程是什么
牛顿的万有引力定律公式推导过程是什么
有很多的同学是非常想知道，牛顿的万有引力定律公式有哪些，推导过
程有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 万有引力表达公式是什幺F: 两个物体之间的引力
G:万有引力常量
m1: 物体1 的质量
m2: 物体2 的质量
r: 两个物体之间的距离(大小)(r 表示径向矢量)
依照国际单位制，F 的单位为牛顿(N)，m1 和m2 的单位为千克(kg)，r 的单位为米(m)，常数G 近似地等于G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²（牛顿平方米每二次方千克）。
万有引力公式：F=G*(Mm)/(R 方)
1 万有引力定律推导公式是什幺根据开普勒的三定律以及牛顿第三定律得出.
具体如下;F 引= F 向=mw2r＝mv2/r 再由线速度与周期的关系得到
F 引=m(2πr/T)2/r=4π2mr/T2
F 引=4π2mr/T2=4π2(r3/T2)m/r2
F 引=4π2km/r2
所以可以得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳的距离的二次方成反比.
即：F∝m/r2
牛顿根据牛顿第三定律大胆的猜想：既然太阳对行星的引力与行星的质量。
万有引力定律的原理与推导过程
万有引力定律的原理与推导过程在自然界中，万有引力定律是一个非常重要的物理定律，它描述了物体之间相互引力的作用。
该定律由英国物理学家牛顿在17世纪提出，并且成为经典力学的基石之一。
本文将探讨万有引力定律的原理和推导过程。
首先，我们来讨论万有引力定律的原理。
牛顿的万有引力定律表明，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们的距离的平方成反比。
这意味着质量越大的物体之间的引力越大，距离越近的物体之间的引力也越大。
这个定律的基本原理是所有物体都具有质量，质量之间的相互作用会导致它们之间的引力。
接下来，我们来推导万有引力定律的过程。
假设有两个质量分别为m1和m2的物体，它们之间的距离为r。
根据牛顿的第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
因此，物体1受到的引力F1与物体2的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
我们可以用以下公式表示：F1 = G * (m1 * m2) / r^2其中，G是一个常量，称为万有引力常数。
牛顿通过实验测量得到了该常数的数值为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
同样地，物体2受到的引力F2与物体1的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
我们可以用以下公式表示：F2 = G * (m1 * m2) / r^2根据牛顿的第三定律，作用力与反作用力大小相等，方向相反。
因此，物体1对物体2的引力与物体2对物体1的引力大小相等，方向相反。
现在，我们来考虑一个更复杂的情况，即有多个物体之间的相互引力作用。
假设有n个物体，它们的质量分别为m1、m2、m3...mn，它们与物体1之间的距离分别为r1、r2、r3...rn。
根据牛顿的第二定律，物体1受到的总引力F总等于每个物体对物体1的引力的矢量和。
我们可以用以下公式表示：F总 = F1 + F2 + F3 + ... + Fn将每个物体对物体1的引力代入上式，并整理后可得：F总 = G * m1 * (m2 / r1^2 + m3 / r2^2 + ... + mn / rn^2)这个公式描述了多个物体对物体1的引力作用。
万有引力的推导
万有引力公式的推导牛顿提出两个物体之间存在互相吸引的力，这个力与这两个物体质量的乘积成正比，和距离的平方成反比。
2R GMmF =下面我们利用牛顿第二定律和开普勒第三定律来推导万有引力公式。
采用分离参数法。
我们首先简化天体运动是圆周运动，根据圆周运动的基本公式：R Tm F 224π=向向心力一定有施力物体，这两个物体彼此并没有接触，而向心力指向太阳，因此这两个星体之间有相互吸引的力，就像磁铁。
因为是相互作用力，太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力，根据牛顿第二定律，一个物体以产生加速度的方式来对一个力做出反应，相同的力产生的加速度和质量成反比，由此必然有：kMmF =其中k 是比例系数。
带入到圆周运动方程：R TkM 224π=根据开普勒第三定律半长轴的三次方和周期的平方是一个比例系数，只和中心天体质量有关，因此我们将k 进一步分离参数：21R G k =这样我们就凑出来两边都和中心天体质量有关的常数。
constGM 24π=进一步我们从数学角度来说明为什么引力和质量的乘积成正比，行星和太阳之间的作用属于作用力和反作用力，又因为：maF =所以F 是M 和m 的函数：),(m M F F =进一步我们需要确定这个抽象函数的具体形式，加速度是通过运动来定义的，从运动定义的物理量和研究对象的质量无关，因此：)(),(M g m m M F a m ==)(),(m f M m M F a M ==对于二元函数F(M,m)我们可以用多项式来逼近：⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++=Mm C m C M C m C M C C m M F 52423210),(上式由零次项，一次项，二次项到高次项构成。
上式除以M 必须是m 的函数，除以m 必须是M 的函数，因此只有系数：.....,0215===≠C C C 令：kC =5我们有：kMmF =回到前面的论证过程分离参数就可以得到万有引力公式。
万有引力速度公式推导
万有引力速度公式推导万有引力速度公式的推导可是一个相当有趣的话题！咱们先来聊聊万有引力这回事儿。
想象一下，你在操场上扔一个球，球会按照一定的轨迹飞出去然后落地。
但如果把这个球换成地球，把你扔球的力换成天体之间的引力，那情况可就复杂多啦。
万有引力定律告诉我们，两个物体之间的引力大小与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
用公式表示就是 F = G * (m1 *m2) / r²，其中 F 是引力，G 是引力常量，m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r 是它们之间的距离。
那万有引力速度公式又是咋来的呢？咱们来一步步推导。
假设一个质量为 m 的物体在一个质量为 M 的天体的引力作用下做圆周运动。
这个物体受到的向心力就是万有引力，所以有 F = m * v² / r ，这里的 v 就是咱们要找的速度。
因为引力 F = G * (m * M) / r²，所以可以得到 m * v² / r = G * (m * M) / r²。
经过一番整理，就可以得出v = √(G * M / r) 。
这就是万有引力速度公式啦！我想起之前给学生们讲这个公式推导的时候，有个小同学特别较真儿。
他一直问我：“老师，那要是这个天体不是圆的咋办？”我就跟他说：“同学呀，咱们先从简单的情况入手，等你把这个弄明白了，再去考虑更复杂的情况。
”这孩子还真就不依不饶，下了课还拉着我讨论。
后来我发现，他虽然有点钻牛角尖，但这种打破砂锅问到底的精神还真不错。
回到这个公式，咱们来看看它的应用。
比如说，人造卫星绕地球运行的速度，就可以用这个公式来计算。
知道了地球的质量和卫星到地球的距离，就能算出卫星要保持圆周运动所需要的速度。
再比如，太阳系中行星绕太阳的速度也能通过这个公式来估算。
不同的行星距离太阳的距离不同，速度也就不一样。
总之，万有引力速度公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们理解了它的推导过程和应用，就能更好地理解天体之间的运动规律啦。
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万有引力的推导
作者:老司机
摘要
很多中学生以为已知开普勒三大定律就能推导出牛顿万有引力定律,其实并不是如此.仅仅依靠开普勒三定律是没有办法推导出牛顿万有引力
方程的.为了解开这个误区,今天就让我们一起来探索牛顿万有引力方
程是如何推导出来的吧.233
关键词:万有引力定律,比耐公式,开普勒定律,理论力学,物理拔高,毁梗用的
1基本物理概念
首先我们要引入角动量L与力矩M这个概念.
定义角动量的表达式:
L=r×p
定义力矩的表达式:
M=r×F
力矩和角动量之间有如下关系:
L=dM dt
证明:我们已知牛顿第二定律F=ma=m dv
dt
,两边同时对牛顿第二定律叉
乘r.得：
r×F=mr×dv dt
我们知道乘积求导有这样的一个关系:
(ab) =a b+ab ,d(ab)
dt
=
da
dt
b+a
db
dt 1
把这个关系带入之前的式子:
r×F=mr×dv
dt
=m
d(r×v)
dt
−mv×
dr
dt
我们知道v=dr
dt ,所以上式最后一项是mv×dr
dt
=mv×v=0
这样我们就得到了关系式L=r×F=d(r×mv)
dt =dM
dt
角动量定理:
L=dM dt
我们现在知道了角动量和力矩的概念后我们就可以开始去探索如何推导出牛顿万有引力方程了.
2比耐公式
首先我们先看看在一般的中心力场中的规律.
所谓中心力场,就是满足F=F(r) r
r
这样的力场,比如万有引力只与距离r有关,我们把这种只与距离有关而与其他无关(比如角度θ,φ)的力场叫做中心力场.中心力场中运动的物体一定是在一个平面内的轨迹.
图1:中心力场(力心在o点处)
根据牛顿第二定律：
F(r) r
r
=ma=m
d2 r
dt2
写成x,y分量形式.
m d2x
dt2
=F(r)
x
r
m d2y
dt2
=F(r)
y
r
2
把直角坐标和极坐标互化公式x=rcosθ,y=rsinθ带进去.得:
m(d2r
dt2
−r(
dθ
dt
)2)=F(r)(1)
m(r d2θ
dt2
+2
dr
dt
dθ
dt
)=0(2)
把(2)式凑全微分,得m1
r d
t
(r2dθ
dt
)=0,所以:
r2
dθ
dt
=Constant(3) mr2
dθ
dt
=Constant(4)
这样我们得到了中心力场的基本方程组
m(d2r
dt2
−r(
dθ
dt
)2)=F(r)(5) r2
dθ
dt
=C(6)
现在我们知道了在中心力场中的运动规律满足上面两个式子,那么我们对上面两个式子消去时间变量t就得到任意中心力场F(r)下的运动轨迹方程r= r(θ)(这是个极坐标方程).
我们已知r2dθ
dt =C,做变量代换,以u=1
r
代换.得
dθ
dt
=Cu2
dr dt =
dr
dθ
dθ
dt
=
d
dθ
(
1
u
)
dθ
dt
=−
1
u2
du
dθ
dθ
dt
=−C
du
dθ
d2r dt2=
d
dt
dr
dt
=
d
dr
(−C
du
dθ
)=
d
dθ
(−C
du
dθ
)
dθ
dt
=−C2u2
d2u
dθ2
把以上三式带入(5)式,得:
C2u2(d2u
dθ2
+u)=−
F
m
这就是所要求的轨道微分方程,通常叫做比耐公式,引力时,F为负号,斥力时F为正号.由这个方程可知,若我们已知中心力场具体轨道形式,便可以求出该中心力场的力的形式.
3
3
万有引力定律
好了,咱们回到推导万有引力定律来.1609年,开普勒发表了他的三大定
律.
开普勒第一定律,行星绕太阳做椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上.开普勒第二定律,行星和太阳之间的连线,在相等时间内扫过的面积相等.开普勒第三定律,行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.首先看开普勒第二定律.
图2:开普勒第二定律
设A 是矢径扫过的面积,由开普勒第二定律,知道单位面积内,矢径所扫过的面积相等,即
dA
dt
=constant 现在来求dA dt 的表达式,P 1,P 2分别是行星沿着它轨道运动时的两个相邻位置,对太阳张开的角度为dθ,从P 1到P 2的时间是∆t ,在这一段时间内扫过的面
积∆A 为OP 1P 2.当∆t →0的时候,P 2→P 1,∆A 就近似的等于∆OP 1P 2的面积,即1
2
r (r ∆θ),所以.dA dt =lim ∆t →0∆A ∆t =lim ∆t →012r 2∆θ∆t =12r 2dθ
dt
或
2
dA dt =r 2dθ
dt
4
这个就是开普勒第二定律的数学表达式.现在我们考虑开普勒第一定律,我们已知行星轨道是椭圆轨道.椭圆的极坐标方程为:
r=
p
1+ecosθ
令u=1
r
u=1
p
+
e
p
cosθ
把这个式子带入比耐公式
F=−mC2u2(d2u
dθ2
+u)=−
mC2u2
p
=−
C2
p
m
r2
由于每个行星的C,p是不同的,所以我们还需要利用开普勒第三定律来确定C,p
两边对2dA
dt =r2dθ
dt
积分.积分范围是全周期.
2A=CT=2πab
T=
2πab
C
带入开普勒第三定律
T2 a3=
4π2b2
C2a
而
b2 a =
1
a
(a2−c2)=a(1−
c2
a2
)=a(1−e2)=p
即可以得到
C2 p =
4π2a3
T2
=k
由开普勒第三定律知k是一个常数.与行星位置、质量无关
F=−mk2 r2
令k2=GM
F(r)=−GMm r2
牛顿万有引力公式得到证明.
5。