专题28 统计(一)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解28---命题与证明(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题28 命题与证明【知识要点】命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的形式：“如果…那么…”。
（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。
定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。
一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。
【考查题型】考查题型一判断是否命题及命题真假典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．【详解】A. 2=，2，故A 错误；B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误；D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．变式1-2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-； （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1 【答案】C分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题， （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．变式1-4．（2021·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC ∠=︒C ．若120ABC ∠=︒．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．考查题型二写一个命题的逆命题典例2．（2021·广东广州市·九年级二模）下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；B. 两个角都是45，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立故选C．【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．变式2-1．（2021·莆田擢英中学九年级零模）下列命题中，逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．两直线平行，同位角相等D．互余的两个角都小于90°【答案】C【分析】先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．【详解】A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．变式2-2．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 考查题型三 用反证法证明命题典例3．（2021·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D '∠=∠以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，②依据理论依据1，可得//A B CD ''，③假设AOF EO D '∠≠∠，④AOF EO D '∴∠=∠．⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设AOF EO D '∠≠∠，如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，∴//A B CD ''，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴AOF EO D '∠=∠．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．变式3-1．（2021·浙江九年级其他模拟）能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2【答案】B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．变式3-2．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“ABC 中，若A B C ∠∠∠>>，则A 60∠>”，第一步应假设()A ．A 60∠=B ．A 60∠<C ．A 60∠≠D ．A 60∠≤【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A ＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【详解】解：∠A 与60°的大小关系有∠A ＞60°，∠A=60°，∠A ＜60°三种情况，因而∠A ＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选：D变式3-3．（2021·河北唐山市·中考模拟）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.变式3-4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）能说明命题“若一次函数经过第一、二象限，则k+b ＞0”是假命题的反例是（ ）A ．y 2x 3=+B ．y 2x 3=-C ．y 3x 2=--D ．y 3x 2=-+【答案】D【分析】利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、二象限，则k＞0，b＞0或k＜0，b＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的证明举例，训练了学生对举反例法的掌握情况．。
专题28有理数的混合运算专项训练(100题)(举一反三)(原卷版)
专题2.14 有理数的混合运算专项训练（100题）考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25道大题，每大题有4小题，共计100题，满分100分，限时60分钟，本卷试题针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握有理数运算的具体情况！1．（4分）（2021春•道里区期末）计算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15； （2）(−134)×(−112)÷(−214)；（3）76÷(16−13)×314÷35； （4）﹣12×（﹣5）÷[（﹣3）2+2×（﹣5）]．2．（4分）（2021春•杨浦区校级期中）计算：（1）（﹣413）﹣（﹣212）+（﹣923）+3.5； （2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣113）÷3×（﹣0.5）2；（3）（﹣3）2﹣（112）3×39−6÷23； （4）（12−3+56−712）×（﹣62）．3．（4分）（2020秋•卫辉市期末）计算：（1）|3﹣8|﹣|14|+（−34）； （2）（﹣1）2021+2×（−13）2÷16；（3）123×（0.5−23）÷119； （4）（﹣48）×[（−12）−58+712]．4．（4分）（2020秋•门头沟区期末）计算：（1）（+4）×（+3）÷（−32）； （2）（+10）﹣（+1）+（﹣2）﹣（﹣5）；（3）（﹣24）×（23−58+12）； （4）﹣12+（﹣6）×（−12）﹣8÷（﹣2）3．5．（4分）（2020秋•西城区期末）计算：（1）13+（﹣24）﹣25﹣（﹣20）； （2）25÷5×（−15）÷（−34）；（3）（−79+56−34）×（﹣36）； （4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×|1﹣（﹣5）2|．6．（4分）（2020秋•呼和浩特期末）计算、求解： （1）（﹣8）×（12−114+18）； （2）16×（﹣6）÷（−17）×7；（3）（﹣2）3÷45+113×|1﹣（﹣4）2|； （4）﹣12﹣（12−23）÷13×[﹣2+（﹣3）2]．7．（4分）（2020秋•金塔县期末）计算：（1）﹣28+（﹣13）﹣（﹣21）+13； （2）16÷（﹣2）3﹣4×（−18）；（3）(512+23−34)×(−12)； （4）2×（﹣3）2﹣33﹣6÷（﹣2）．8．（4分）（2020秋•二道区期末）计算：（1）（﹣15）﹣（﹣25）； （2）|﹣7.5|﹣|−12|；（3）（−34+712−58）×（﹣24）； （4）﹣991315×15．9．（4分）（2020秋•虎林市期末）计算：（1）（﹣8）+（+9）﹣（﹣5）+（﹣3）； （2）（23+49−56）×18；（3）（23−12）÷（−76）×145； （4）﹣42+（﹣20）÷（﹣5）﹣6×（﹣2）3．10．（4分）（2020秋•北碚区期末）计算下列各题（1）（﹣2）3﹣|2﹣5|﹣（﹣15）； （2）（−12+56−38+512）÷（−124）；（3）﹣32﹣[（112）3×（−29）﹣6÷|−23|]； （4）2×（﹣137）﹣234×13+（﹣137）×5+14×（﹣13）．11．（4分）（2020秋•南山区校级期中）计算题（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣12）； （2）（﹣18）×（12−19+16）；（3）16÷|﹣2|3﹣|﹣8|×（−14）； （4）﹣12﹣（﹣10）÷12×2+（﹣4）2．12．（4分）（2020秋•定陶区期中）计算：（1）23﹣6×（﹣3）+2×（﹣4）； （2）（﹣134）﹣（+613）﹣2.25+103；（3）214×（−67）÷（12−2）； （4）（﹣5）3×（−35）+32÷（﹣22）×（﹣114）．13．（4分）（2020秋•武昌区校级月考）计算：（1）(−813)+(+412)−123；（2）（﹣32）÷（﹣4）﹣（﹣25）×4；（3）(−214)÷412×(−118)÷(−98)；（4）[1124−(38+16−34)×24]÷(−5)．14．（4分）（2020秋•秀洲区月考）计算下列各题：（1）﹣3﹣（﹣9）+5；（2）|−110|×（﹣5）﹣|﹣312|；（3）(−12)×(−8)+(−6)÷(−13)；（4）（﹣5）×（﹣7）+（512+23−34）×（﹣12）．15．（4分）（2020秋•新都区校级月考）（1）（−52）÷（﹣15）×（−115）；（2）﹣745×（﹣856）﹣（﹣7.8）×（﹣434）−4912÷539；（3）（﹣2）3×（﹣1）4﹣|﹣12|÷[﹣（−12）2]；（4）（﹣24）×（18−13+14）+（﹣2）3．16．（4分）（2020秋•侯马市期中）计算：（1）﹣3.5÷78×（−34）；（2）﹣124849×7；（3）25×34−（﹣25）×12+25×（−14）；（4）﹣32﹣3×22﹣（﹣3×2）3．17．（4分）（2020秋•沈北新区期中）计算：（1）[115+（−56）﹣（−712）]×（﹣60）；（2）﹣22÷49×（−23）2；（3）﹣1﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣3）2]；（4）﹣32﹣（﹣2﹣5）2﹣|−14|×（﹣2）4．18．（4分）（2020秋•资中县期中）计算下列各题：（1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16）．（2）（﹣20）×（﹣1）9﹣0÷（﹣4）．（3）（﹣36）×（−49+56−712）． （4）﹣22﹣（﹣2）2﹣（﹣3）2×（−23）﹣42÷|﹣4|．19．（4分）（2020秋•广州期中）计算：（1）12﹣（﹣18）﹣21； （2）﹣81÷（﹣214）×49÷（﹣16）；（3）（﹣7.03）×40.16+（﹣0.16）×（﹣7.03）+7.03×（﹣60）；（4）（﹣2）3﹣2×（﹣3）+|2﹣5|﹣（﹣1）2020．20．（4分）（2020秋•孝义市期中）计算：（1）（﹣15）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）； （2）−12+23+56−34；（3）（−23）×58÷（﹣0.25）； （4）﹣12+3×（﹣2）2×（13−1）÷83．21．（4分）（2020秋•叶县期中）计算：（1）12+（﹣8）﹣（﹣7）﹣15； （2）（1+23−34）×（﹣12）；（3）|﹣5|÷（﹣127）×0.8×214； （4）﹣23÷（−12）2+9×（−13）3﹣（﹣1）2020．22．（4分）（2020秋•南岸区校级月考）计算：（1）9+（﹣8）+10﹣2+（﹣9）； （2）（−35）×|﹣312|÷45÷7；（3）﹣32÷214×（−23）2+4﹣22×（−13）； （4）991225×（﹣2）+（﹣991225）×（﹣27）．23．（4分）（2020秋•原阳县月考）计算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣20； （2）6.14+(−234)−(−5.86)−(+14)；（3）(−12)×(14−16−12)−|−5|； （4）(29−14+118)÷(−136)．24．（4分）（2020秋•临汾月考）计算：（1）﹣（﹣2.5）+（+2.2）﹣3.1+（﹣0.5）﹣（+1.1）； （2）﹣0.5﹣314+(−2.75)+712；（3）(−34−56+78)×(−24)； （4）(−8)×(−1137)+(−7)×(−1137)+(−15)×1137．25．（4分）（2020秋•立山区期中）计算题（1）﹣81÷（﹣214）×49÷（﹣16）； （2）（−124）÷（123−54+76）；（3）﹣32÷（﹣2）3×|﹣113|×6+（﹣2）4；（4）﹣（23）2×18﹣2×（−15）÷25+|﹣8|×0.52+179×（﹣112）2．。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题28：概率统计综合
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题28：概率统计综合一、选择题1.（2012江苏淮安3分）下列说法正确的是【】A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定。
B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生CD【答案】【考点】【分析】ABCD故选C。
2. （ABCD【答案】【考点】【分析】根据概率的意义，随机事件，调查方法的选择，概率公式对各选项作出判断：A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误；B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B选项的说法正确；C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C选项的说法正确；D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是16，所以D选项的说法正确。
故选A。
3. （2012湖北十堰3分）下列说法正确的是【】A．要了解全市居民对环境的保护意识，采用全面调查的方式B．若甲组数据的方差S2甲 =0.1，乙组数据的方差S2乙 =0.2，则甲组数据比乙组稳定C．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上D．若某彩票“中奖概率为1%”，则购买100张彩票就一定会中奖一次【答案】B。
【考点】调查方式的选择，方差的意义，随机事件，概率的意义。
【分析】根据调查方式的选择，方差的意义，随机事件，概率的意义进行逐一判断即可得到答案A、了解全市居民的环保意识，范围比较大，因此采用抽样调查的方法比较合适，本答案错误；B、甲组的方差小于乙组的方差，故甲组稳定正确；C、随机抛一枚硬币，落地后可能正面朝上也可能反面朝上，故本答案错误；D、买100张彩票不一定中奖一次，故本答案错误。
故选B。
4. （2012湖南岳阳3分）下列说法正确的是【】A．随机事件发生的可能性是50% B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定【答案】D。
高中数学基础知识专题讲义28 定义域(学生版)
考点28 定义域一．概念定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域 二．定义域的求法 （一）具体函数求定义域已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。
1. 分式：分母不为02. 根式：开偶次方根，被开方数大于等于03. 对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于14. 指数：指数的底数大于0且不等于15. 0:1,0x x x =≠ 6. 正切：()2x k k z ππ≠+∈7. 无以上情况定义域为R ，实际应用题实际考虑 （二）抽象函数求定义域未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号内同范围1.若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；2.若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域考向一 具体函数求定义域【例1】（1）（2021·浙江高三学业考试）函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞B ．(3,)-+∞知识理解考向分析C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞（2）（2021·全国高一课时练习）函数y =的定义域是（ ） A ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【举一反三】1．（2020·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数y =的定义域是（ ） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()()0,11,+∞2．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数()ln(3)f x x =++()f x 的定义域为（ ） A ．(3,)+∞B ．()3,3-C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞3．（2020·福建高三学业考试）函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]2,33,4D ．()(]1,33,6-考向二 抽象函数求定义域【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ） A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D ．（2）（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知函数()2y f x =+的定义域是[)2,5-，则函数()31y f x =-的定义域为（ ）A ．[)7,14-B ．(]7,14-C ．18,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．18,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）．（2021·四川资阳市）已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，则函数()()2g 13l x f x y -=-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．()0,1【举一反三】1．（2020·河南南阳市·高三期中）已知函数()f x 的定义域[]22-,，则函数()1f x -的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,22．（2020·甘谷县第四中学高三月考）已知函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ） A ．[0，52] B ．[-1，4] C ．[-5，5] D ．[-3，7]3．（2020·甘肃张掖市第二中学高三月考）已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y =的定义域为（ ）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭考向三 根据定义域求参数【例3】（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．02a <<B ．02a ≤≤C ．02a <≤D ．02a ≤<【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2- B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,2)-2．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．一、单选题1．（2021·广西）函数ln(3)()1x f x x -=-的定义域为（ ）A ．(,1)(1,3]-∞--B ．(,1)(1,3]-∞⋃C ．(,1)(1,3)-∞-⋃-D ．(,1)(1,3)-∞强化练习2．（2020·山西太原市·高三期中）函数()ln 1y x += ）A ．[)1,2-B ．()1,2-C ．(]1,2-D ．[]2,1-3．（2020·全国高三专题练习）x ∈[0，2π]，y ） A ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,22ππ⎛⎤⎥⎝⎦4．（2020·宁夏石嘴山市第一中学高三期中）函数()lg f x x =的定义域是（ ）A ．{}02x x <≤B ．{}01x x <≤C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <≤5．（2020·扬州大学附属中学高三月考）若集合{A x y ==∣，函数()ln 2y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,+∞6．（2020·太原市·山西大附中高三期中）函数()ln 1y x =++ ）A ．[)1,2-B ．1,2C ．1,2D ．[]1,2-7．（2020·陕西省黄陵县中学高三期中（理））函数()()2ln 2f x x x =+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()1,2C ．()0,2D ．[]1,28．（2020·安徽高三月考（文））已知函数2()log f x x =()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]9．（2020·新疆实验高三月考）已知函数()y f x =定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[1,4]-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[5,5]-10．（2020·南昌市第十九中学）已知函数()f x 的定义域为()3,3-，设()21f x -的定义域为M，N x y ⎧==⎨⎩，则M N ⋃=（ ） A ．[)7,5-B ．(]7,5-C ．()1,2-D ．(]1,5-11．（2020·河南南阳市·南阳中学高三月考（文））函数()f x =()32-f x 的定义城是（ ）A ．24,35⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．114,155⎡⎫⎪⎢⎭⎣C ．1113,1515⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11,15⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣12．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考）已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,4C ．[)0,1D ．[)(]0,11,413．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试（理））已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝2f x 的定义域为（ ）A ．[32，＋∞) B ．[32，2) C ．(32，＋∞)D ．[12，2)14．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]15．（2020·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝(21)ln(1)f x x --的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．(0，1) C ．[0，1)D ．(0，1]16．（2020·全国高三专题练习（理））函数()f x =f (2x -1)的定义域是（ ）A ．25[,)36B ．11[,)33-C ．12[,]33D ．2[,)3+∞二、填空题17．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高一期末）函数()f x 定义域为[1,8]，则函数2()3x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-的定义域为____________．18．（2021·贵溪市实验中学高三一模）函数12y x=-的定义域是________． 19．（2021·北京高三期末）函数()ln f x x =的定义域为__________.20．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()2f x f x =的定义域是__________.21．（2020·上海市进才中学高三期中）函数()f x =______. 22．（2020·河北高三月考）函数ln(sin )y x =+___________． 23．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高三开学考试）已知(1)f x +的定义域为[]0,2，则(2)1f x x -的定义域为___________24．（2020·合肥一六八中学高三月考（理））已知函数()f x 的定义域是1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()2xf 的定义域是_______．25．（2020·西藏山南二中高三月考）已知函数()f x 的定义域为()3,1-，则函数()21f x -的定义域为______． 26．（2020·全国高三专题练习）已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______.27．（2020·全国高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域为______________28．（2020·全国高三专题练习）若函数f(x)R ，则a 的取值范围为________．29．（2020·全国高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.30．（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________.31．（2020·全国高三专题练习）已知函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是__________.32．（2020·全国高三专题练习）已知函数2()lg1f x x ax 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．。
2022届高考数学一轮复习——微专题28-29函数的凹凸性、高斯函数
专题28 函数的凹凸性定义及拓展几何特征1 （形状特征）设函数 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 (),a b 上任意两点 12x x 、, 恒有:(1) ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭, 则称 f 为 (),a b 上的凸函数; 曲线任意两点 1A 与 2A 之间的部分位于弦 12A A 的下方(2) ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭, 则称 f 为 (),a b 上的凹函数。
曲线任意两点 1A 与 2A 之间的部分位于弦 12A A 的上方。
几何特征 2 （切线斜率特征）设 12A A 是函数 ()y f x = 曲线上两点, 函数曲线 1A 与 2A 之间任一点 A 处切线的斜率: 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率 ()y f x = 随 x 增大而增大;凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率 ()y f x = 随 x 增大而减小例 1、在 222,log ,,cos2x x y y y x y x ==== 这四个函数中，当 1201x x <<< 时,()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立的函数的个数是 ( ) .0A .1B .2C .3D解: 运用数形结合思想, 考察各函数的图象，注意到对 ()12,0,1x x ∀∈, 且 121o x x <<<, 当 ()f x总 满足 ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭时, 函数 ()f x 在区间 ()0,1 上是凹函数。
其图象是 “上凸”的, 因此 否定 22,,cos2x y y x y x ===, 故选 B . 例 2 、如果一个函数 ()f x 在其定义区间内对任x y 、 都满足 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭, 则称这个函数是下凸函数, 下列函数: (1) ()2x f x =; (2) ()3;f x x = (3) ()()2log 0f x x x =>; (4)(),0,2,0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩中是下凸函数的有（ ）. A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3) (4) D. (1)(4)【答案】D例 3、已知函数 ()f x x x a =-, 若对任意 [][]12122,3,2,3,x x x x ∈∈≠, 恒有 ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围为______.【解析】根据题意, ()f x x x a =- 在 []2,3 上为凹函数（图像上表现为在 []2,3 上的函数 图象在两区间端点连线的上方)，数形结合可得 3a ≥专题29 高斯函数的性质和拓展1、有关概念对于任意实数x ，[]x 为不超过x 的最大整数, []y x =称为取整函数或叫高斯函数，并将{}[]y x x x ==- 称为小数部分函数，表示x 的小数部分。
【提高卷】04《统计表和条形统计图(一)》四年级数学上册(解析)苏教版
苏教版数学四年级上册常规应用题分类专项真题汇编（提高）专题04 统计表和条形统计图（一）一、选择题1．（2020四上·射阳期末）在一次“献爱心”捐款活动中，四（1）班同学中最多捐款10元，最少捐款2元，全班同学平均捐款（）。
A．可能是2元B．可能是10元C．在2元和10元之间D．一定是6元【答案】C【完整解答】四（1）班同学中最多捐款10元，最少捐款2元，所以全班同学捐款的平均数在2元和10元之间。
故答案为：C。
【思路引导】平均数表示的是一组数据的平均水平，用这组数据中所有数据的和除以这组数据的个数可以求出这组数据的平均数。
、、，他们的平均身2．（2020四上·石家庄期末）四（1）班3名学生的身高分别是136cm140cm138cm高是（）。
A．140cm B．414cm C．138cm【答案】C【完整解答】解：（136+140+138）÷3=414÷3=138（厘米）故答案为：C。
【思路引导】三名同学的身高之和÷3=三名同学的平均身高。
3．（2020四上·建湖期末）仔细阅读下面的四句话，正确的说法一共有（）句。
①因为19÷2=9……1，根据商不变的规律，190÷20=9……1。
②从不同的方向观察同一个物体，看到的形状可能相同。
③四（5）班单元测试成绩平均分是93分，四（5）班王小丽的成绩不是低于93分，就是高于93分。
④把一个钝角分成两个角，一个是直角，另一个一定是锐角。
A．1 B．2 C．3【答案】B【完整解答】解：①因为19÷2=9……1，根据商不变的规律，190÷20=9……10。
原来是错误的；②从不同的方向观察同一个物体，看到的形状可能相同。
原来说法正确；③四（5）班单元测试成绩平均分是93分，四（5）班王小丽的成绩可能低于93分，可能高于93分，也可能等于93分。
原来说法错误；④把一个钝角分成两个角，一个是直角，另一个一定是锐角。
初中数学 数据的分析(共51题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题28数据的分析（共51题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·四川成都市·中考真题）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（）A．34B．35C．36D．40【答案】B【分析】根据中位数的意义求解即可．【详解】解：将数据30，40，34，36按照从小到大排列是：30，34，36，40，故这组数据的中位数是3436352+=，故选：B．【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出相应的中位数．2．（2021·浙江宁波市·中考真题）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差2S（单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9，∴从甲，丙，丁中选取，∴甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，∴S 2丁＜S 2甲＜S 2乙，∴发挥最稳定的运动员是丁，∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．故选：D．【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.3．（2021·山东泰安市·中考真题）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）A．7 h；7 h B．8 h；7.5 h C．7 h ；7.5 h D．8 h；8 h【答案】C【分析】根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果．【详解】由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h；把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h，故选：C．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本题的关键．4．（2021·四川南充市·中考真题）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（）A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是6【答案】D【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．【详解】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；B、∴6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；D、方差=17×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝47，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5．（2021·四川资阳市·中考真题）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【答案】D【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．故选：D．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）A．90，80B．16，85C．16，24.5D．90，85【答案】D【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【详解】解：90分的有16人，人数最多，故众数为90分；处于中间位置的数为第25、26两个数，为80和90，∴中位数为80902=85分．故选：D．【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．7．（2021·四川自贡市·中考真题）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，9【答案】C【分析】根据众数和中位数的意义与表格直接求解即可．【详解】解：这50名学生这一周在校的体育锻炼时间是8小时的人数最多，故众数为8；统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是8，9，故中位数是（8+9）÷2=8.5．故选：C．【点睛】本题考查了众数和中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．在代数式1a，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，xπ，42ba+是分式D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，42ba+是分式，故选项错误；D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2021·山东枣庄市·中考真题）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：则关于这组数据的结论正确的是（ ）A ．平均数是144B ．众数是141C ．中位数是144.5D ．方差是5.4【答案】B【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可． 【详解】 解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：14151442145114621435212x ，故A 选项错误； 众数是：141，故B 选项正确；中位数是：141144142.52，故C 选项错误； 方差是：222221141143514414321451431146143210S 4.4，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键．10．（2021·湖北十堰市·中考真题）某校男子足球队的年龄分布如下表则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A ．8，15B ．8，14C ．15，14D ．15，15【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15＋15）÷2＝15岁．故选：D．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．11．（2021·四川达州市·中考真题）以下命题是假命题的是（）A的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，1-，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据所学知识对命题进行判断，得出真假即可．【详解】解：A，命题为假命题，符合题意；B，有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意；C，一组数据：3，1-，1，1，2，4的中位数是121.52+=，命题为真命题，不符合题意；D，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是：要结合所学知识对选项逐一判断，需要对基本知识点掌握牢固． 12．（2021·湖南长沙市·中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．24，25B ．23，23C ．23，24D ．24，24 【答案】C【分析】根据众数和中位数的定义即可得．【详解】解：因为23出现的次数最多，所以这组数据的众数是23，将这组数据按从小到大进行排序为22,23,23,23,24,24,25,25,26，则这组数据的中位数是24，故选：C ．【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）A ．9.0，8.9B ．8.9，8.9C ．9.0，9.0D ．8.9，9.0 【答案】C【分析】 根据众数的概念和运用求平均数的公式12n x x x x n +++=即可得出答案．【详解】解：该班最后得分为（9.0+9.2+9.0+8.8+9.0）÷5＝9.0（分）．故最后平均得分为9.0分．在五个有效评分中，9.0出现的次数最多，因此众数为：9.0故选：C ．【点睛】考查了众数和均数的求法．本题所描述的计分方法，是经常用到的方法，是数学在现实生活中的一个应用，熟记平均数的公式是解决本题的关键．14．（2021·四川眉山市·中考真题）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．86，90D．90，94【答案】B【分析】先将该组数据按照从小到大排列，位于最中间的数和出现次数最多的数即分别为中位数和众数．【详解】解：将这组数据按照从小到大排列：80,86,90,90,94；位于最中间的数是90，所以中位数是90；这组数据中，90出现了两次，出现次数最多，因此，众数是90；故选：B．【点睛】本题考查了学生对中位数和众数的理解，解决本题的关键是牢记中位数和众数的概念，明白确定中位数之前要将该组数据按照从小到大或从大到小排列，若该组数据个数为奇数，则位于最中间的数即为中位数，若该组数据为偶数个，则位于最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数．15．（2021·湖南衡阳市·中考真题）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85【答案】C【分析】根据该组数据结合众数、中位数的定义和平均数、方差的计算公式，求出众数、中位数、平均数和方差即可选择．【详解】根据该组数据可知82出现了2次最多，故众数为82，选项A正确，不符合题意；根据中位数的定义可知该组数据的中位数为8385842+=，选项B正确，不符合题意；根据平均数的计算公式可求出858286828392856x +++++==，选项D 正确，不符合题意； 根据方差的计算公式可求出2222222(8585)(8285)(8685)(8285)(8385)(9285)126s -+-+-+-+-+-==，选项C 错误，符合题意．故选C ．【点睛】本题考查求众数、中位数、平均数和方差．掌握众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式是解答本题的关键．16．（2021·江苏苏州市·中考真题）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；则每个班级回收废纸的平均重量为（ ）A ．5kgB ．4.8kgC ．4.6kgD ．4.5kg 【答案】C【分析】根据平均数的定义求解即可．【详解】每个班级回收废纸的平均重量=4.5+4.4+5.1+3.3+5.7 4.65kg =． 故选：C ．【点睛】本题考查了平均数，理解平均数的定义是解题的关键．17．（2021·浙江台州市·中考真题）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g ）平均数和方差分别为x ，s 2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差x 1，21 s ，则下列结论一定成立的是（ ）A ． x x <1B ． x x >1C ．s 2＞21 sD ．s 221<s【答案】C【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案．【详解】解：∴顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，∴21s ＜s 2，x 和x 1的大小关系不明确，故选C【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）A ．中位数是33C ︒B ．众数是33C ︒C ．平均数是197C 7︒D ．4日至5日最高气温下降幅度较大【答案】A【分析】根据中位数，众数，平均数的概念及折线统计图所体现的信息分析求解．【详解】解：由题意可得，共7个数据，分别为26；30；33；33；23；27；25从小到大排列后为23；25；26；27；30；33；33位于中间位置的数据是27，∴中位数为27，故选项A符合题意；出现次数最多的数据是33，∴众数是33，故选项B不符合题意；平均数为（26+30+33+33+23+27+25）÷7=197C7，故选项C不符合题意；从统计图可看出4日气温为33∴，5日气温为23∴，∴4日至5日最高气温下降幅度较大，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查求一组数据的中位数，众数和平均数，准确识图，理解相关概念是解题关键．19．（2021·福建中考真题）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【分析】利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可【详解】根据题意,得:甲：90×60%+90×40%=90；乙：95×60%+90×40%=93；丙：90×60%+95×40%=92；丁：90×60%+85×40%=88；故选B【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．20．（2021·广西柳州市·中考真题）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为S如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（）及方差2A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】A【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定．【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分x都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的．故选A．【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．21．（2021·广西玉林市·中考真题）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（）A．6环B．7环C．8环D．9环【答案】B【分析】根据中位数的求法可得98822x ++=，然后求解即可． 【详解】 解：由题意得：甲乙两人的中位数都为第三次和第四次成绩的平均数， ∴98822x ++=， 解得：7x =；故选B ．【点睛】本题主要考查中位数及一元一次方程的应用，熟练掌握中位数的求法及一元一次方程的应用是解题的关键．22．（2021·四川广元市·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 【答案】B【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【详解】解：A 、原来数据的平均数是12234+++=2，添加数字3后平均数为122331155++++=，所以平均数发生了变化，故A 不符合题意；B 、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B 与要求相符；C 、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C 与要求不符；D 、原来数据的方差=222211[(12)(22)(22)(32)]42-+-+-+-=， 添加数字3后的方差=222221111111111114[(1)(2)(2)(3)+(3)]5555555-+-+-+--=，故方差发生了变化，故选项D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．23．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5【分析】将原数据排序，根据中位数意义即可求解．【详解】解：将原数据排序得3，4，4，5，6，∴这组数据的中位数是4．故选：C【点睛】本题考查了求一组数据的中位数，熟练掌握中位数的意义是解题关键，注意求中位数时注意先排序．24．（2021·山西中考真题）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点【答案】C【分析】根据中位数与众数定义即可求解．【详解】解：将下列数据从小到大排序为15，21，21，21，27，27，30，根据中位数定义，7个点数位于7+1=42位置上的点数是21点，∴这组数据的中位数是21点，根据众数的定义，这组数据中重复次数最多的点数是21 点，所以这组数据的众数是21点，故选择C．本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数定义是解题关键．25．（2021·湖北随州市·中考真题）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）A．测得的最高体温为37.1℃B．前3次测得的体温在下降C．这组数据的众数是36.8D．这组数据的中位数是36.6【答案】D【分析】根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．【详解】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1∴，A选项正确，不符合题意；B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查折线统计图、众数以及中位数的定义，正确读懂统计图，正确理解众数、中位数定义是解题关键，注意必须从大到小或者从小到大排列后再求中位数．26．（2021·山东菏泽市·中考真题）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：关于这组数据的结论不正确的是（ ）A ．中位数是10.5B ．平均数是10.3C ．众数是10D ．方差是0.81 【答案】A【分析】先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可．【详解】解：将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12；位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数是10，所以该组数据中位数是10，故A 选项不正确；该组数据平均数为：()11211131049210.310⨯+⨯+⨯+⨯=，故B 选项正确； 该组数据10出现次数最多，因此众数是10，故C 选项正确；该组数据方差为：()()()()222211210.331110.341010.32910.30.8110⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故D 选项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能力．二、填空题27．（2021·湖南株洲市·中考真题）中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为___________千克．【答案】2.5【分析】由销售额和销售单价可以求出每种中药的销售量，再根据平均数的求法，即可求解平均销售量．【详解】解：由题意得黄芪销售量：12080 1.5÷=（千克）；焦山楂的销售量：120602÷=（千克）；当归的销售量：360904÷=（千克）； 所以平均销售量为：1.5242.53++=（千克）． 故答案是：2.5．【点睛】本题考察平均数的定义，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握平均数的定义．平均数：用一组数据的综合除以数据个数得到的数．28．（2021·浙江杭州市·中考真题）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为______元/千克．【答案】24【分析】根据题意及加权平均数的求法可直接进行求解．【详解】解：由题意得：3022032423⨯+⨯=+（元/千克）； 故答案为24．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．29．（2021·山东临沂市·中考真题）某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是___．【答案】95.5【分析】利用加权平均数的定义计算即可．【详解】解：由题意可得：3852905951010032510⨯+⨯+⨯+⨯+++=95.5， 故答案为：95.5．【点睛】本题考查了加权平均数的求法，解题的关键是结合统计图，掌握运算法则．30．（2021·四川乐山市·中考真题）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？________（填“甲”或“乙”）【答案】甲【分析】先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可．【详解】解：x甲=（7+6+9+6+7）÷5=7（环），x=（5+9+6+7+8）÷5=7（环），乙2s=[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2，甲2s=[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2，乙∴1.2＜2，∴甲的成绩较为稳定，故答案为：甲．【点睛】本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数据的稳定性是解答的关键．A B C D E F六省60岁及以上人口31．（2021·浙江丽水市·中考真题）根据第七次全国人口普查，华东,,,,,占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是__________．【答案】18.75%【分析】由图，将六省60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有6个数，所以中位数等于中间两个数之和除以二．【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：16.0,16.9,18.7,18.8,20.9,21.8，由中位数的定义得：人口占比的中位数为18.718.818.752+=，故答案为：18.75%．【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类．当个数为奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以2．32．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是__________．【答案】5【分析】根据平均数的定义先算出a的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】解：∴这组数据的平均数为5，则456755a++++=，解得：a=3，。
2013年5月28百变随心的初中数学统计图表组卷 (1)[1]
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1．（2009•安徽）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1mi跳绳次数的平均值．2．某市2010年初中毕业生升学考试的体育成绩，由七年级至九年级学生体能与技能水平测试（包含《国家学生体质健康标准》测试）和中考体育考试成绩两部分进行综合评定，以满分50分计入中等学校招生考试总分．出台此项改革政策之前，为了了解该市九年级学生体育测试成绩情况，教育局进行了统计调查，从某学校随机抽取部分学生的体育成绩，统计整理后如图和表所示，其中扇形统计图中圆心角α为36°．（1）样本容量为_________，m=_________，中位数是_________．（2）已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数？3．某校为了了解学生的学习负担情况，调查了九年级学生每天课外作业所花时间的情况，从每班抽取5名学生作为样本，按A、B、C、D四个类别进行统计．并将统计结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题：（说明：A类：60分钟以下；B类：60分钟﹣74分钟；C类75分钟﹣89分钟；D类：90分钟﹣100分钟）（1）A类学生的人数为_________请补全条形统计图；（2）扇形统计图中C类学生的人数所占扇形圆心角的度数为_________，D类学生的人数占抽样总人数的百分比为_________；（3）若该校九年级共有学生500人，请你估计全年级中A类和B类的学生共有多少人．4．黄冈市政府提出“低碳黄冈，绿色未来”发展理念，某校为了了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则，称其为“非低碳族”．学校共有三个年级，各年级人数分别是七年级600人、八年级540人、九年级565人．经过统计，将全校的“低碳族”人数按年级绘制成如图两幅统计图：（1）根据图1、图2，计算八年级的“低碳族”人数；（2）并补全上面两个统计图；（3）小丽依据图1、图2提供的信息通过计算认为，与其它两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由．5．（2008•昆明）为了了解某区九年级女生的体能情况，在该区九年级随机抽取200名女生进行1分钟仰卧起坐测试，统计出每位女生1分钟仰卧起坐的次数（次数为整数），根据测试数据制成频）填出频率分布表中空缺的数据：①=_________，②=_________，③=_________；（2）在这个问题中，样本容量是_________，仰卧起坐出次数的众数落在第_________组；（3）若1分钟仰卧起坐的次数为40次以上（含40次）的为合格，该区共有2500名女生，请估计这个地区九年级女生仰卧起坐达到合格的约有多少人？6．某校研究性学习小组为了了解2011届九年级学生县质检的数学成绩，随机抽查了该年级部分同学的数学成绩，成绩分为A、B、C、D四个等级，把抽查数据绘制成如图所示不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）被抽查的同学共有多少人？（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校九年级共有学生400人，试估计数学成绩B级以上（含B级和A级）的同学比B级以下的同学多了多少人？7．某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括150分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？（3）如果该校九年级学生共有200名，那么估计该校九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过120分钟的学生约有多少人？8．为了了解本次考试九年级数学成绩情况，以九年级（1）班学生的成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将结果制成如下两幅统计图，请你根据图中所给信息完成下列各题：（1）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数．（2）求出D级学生的人数占全班人数的百分比．（3）若我校九年级共有1500人你估计一下，在这次考试中A级和B级共有多少人？9．某学校为了了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取100名学生进行测试，根据收集的数据绘制出如下不完整的统计图（图1，图2），请根据图中的信息，解答下列问题．（1）补全图1、图2；（2）若该学校九年级共有500名学生，根据统计结果估计九年级体育达标优秀的学生共有_________名．2013年5月百变随心的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．某校九年级学生共600人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1分钟的跳绳测试，并指定甲，乙，丙，丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）．乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%．丙：第①，②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是8．丁：第②，③，④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？∵=100组的频率分别为××2．（2009•安徽）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．3．某市2010年初中毕业生升学考试的体育成绩，由七年级至九年级学生体能与技能水平测试（包含《国家学生体质健康标准》测试）和中考体育考试成绩两部分进行综合评定，以满分50分计入中等学校招生考试总分．出台此项改革政策之前，为了了解该市九年级学生体育测试成绩情况，教育局进行了统计调查，从某学校随机抽取部分学生的体育成绩，统计整理后如图和表所示，其中扇形统计图中圆心角α为36°．（1）样本容量为50，m=10，中位数是28．（2）已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数？4．某校为了了解学生的学习负担情况，调查了九年级学生每天课外作业所花时间的情况，从每班抽取5名学生作为样本，按A、B、C、D四个类别进行统计．并将统计结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题：（说明：A类：60分钟以下；B类：60分钟﹣74分钟；C类75分钟﹣89分钟；D类：90分钟﹣100分钟）（1）A类学生的人数为13请补全条形统计图；（2）扇形统计图中C类学生的人数所占扇形圆心角的度数为72°，D类学生的人数占抽样总人数的百分比为4%；（3）若该校九年级共有学生500人，请你估计全年级中A类和B类的学生共有多少人．×类学生的人数占抽样总人数的百分比为5．黄冈市政府提出“低碳黄冈，绿色未来”发展理念，某校为了了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则，称其为“非低碳族”．学校共有三个年级，各年级人数分别是七年级600人、八年级540人、九年级565人．经过统计，将全校的“低碳族”人数按年级绘制成如图两幅统计图：（1）根据图1、图2，计算八年级的“低碳族”人数；（2）并补全上面两个统计图；（3）小丽依据图1、图2提供的信息通过计算认为，与其它两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由．×××6．（2008•昆明）为了了解某区九年级女生的体能情况，在该区九年级随机抽取200名女生进行1分钟仰卧起坐测试，统计出每位女生1分钟仰卧起坐的次数（次数为整数），根据测试数据制成频）填出频率分布表中空缺的数据：①=，②=，③=；（2）在这个问题中，样本容量是，仰卧起坐出次数的众数落在第组；（3）若1分钟仰卧起坐的次数为40次以上（含40次）的为合格，该区共有2500名女生，请估计这个地区九年级女生仰卧起坐达到合格的约有多少人？）先求合格率为：×）合格率为：7．某校研究性学习小组为了了解2011届九年级学生县质检的数学成绩，随机抽查了该年级部分同学的数学成绩，成绩分为A、B、C、D四个等级，把抽查数据绘制成如图所示不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）被抽查的同学共有多少人？（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校九年级共有学生400人，试估计数学成绩B级以上（含B级和A级）的同学比B级以下的同学多了多少人？8．某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括150分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？（3）如果该校九年级学生共有200名，那么估计该校九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过120分钟的学生约有多少人？求出即可．=0.4=40%9．为了了解本次考试九年级数学成绩情况，以九年级（1）班学生的成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将结果制成如下两幅统计图，请你根据图中所给信息完成下列各题：（1）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数．（2）求出D级学生的人数占全班人数的百分比．（3）若我校九年级共有1500人你估计一下，在这次考试中A级和B级共有多少人？10．（2006•湘潭）月群中学为了解2006届初中毕业学生体能素质情况，进行了抽样调查，下表是该校九年级（一）班在体能素质测试中的得分表．（分数以整分计，满分30分，18分以下为不合（1）估计这个班的学生体能素质成绩的中位数落在哪个分数段内；（2）根据表中相关统计量及相应数据，结合你所学的统计知识，合理制作一种统计图；（3）根据统计图，你还得到了什么信息？并结合你所在班的实际情况，谈谈自己的感想．（字数30个字以内）．11．某学校为了了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取100名学生进行测试，根据收集的数据绘制出如下不完整的统计图（图1，图2），请根据图中的信息，解答下列问题．（1）补全图1、图2；（2）若该学校九年级共有500名学生，根据统计结果估计九年级体育达标优秀的学生共有130名．，及格所占百分数为良好所占百分数为优秀所占百分数为优秀所占圆心角为×=130。
专题28 求一元一次不等式的整数解(解析版)
专题28 求一元一次不等式的整数解一、单选题1．不等式2x +1≥x ﹣1的自然数解有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，求出解集，确定出自然数解即可．【详解】解：去分母得：x +2≥2x ﹣2，移项合并得：﹣x ≥﹣4，解得：x ≤4，则不等式的自然数解为0，1，2，3，4共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的自然数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（ ）件． A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B【分析】设旗旗可以购买x 件商品，根据该商场的促销策略结合总价不超过290元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．【详解】解：设旗旗可以购买x 件商品，∵290＞250，∵旗旗购买的商品超过5件，依题意，得：50×0.8x≤290，解得：x≤714．又∵x 为整数，∵x 的最大值为7.故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的布列与求解，准确将生活问题转化数学不等式模型求解是解题的关键． 3．已知关于x 的一元一次方程2133axx +=+的解为正整数，则所有满足条件的整数a 有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】可将原方程化为x 关于a 的二元一次方程，然后根据x ＞0，且x 为整数来解出a 的值．【详解】 解：2133axx +=+，223ax ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，26623x a a ==--，而0x >， ∴606a >-，∴60a ->，6a ∴<， x 为正整数61,2,3,6a ∴-=5,4,3,0a ∴=或0或2．所以所有满足条件的整数a 有4个．故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键．4．已知关于x 的方程：24263a x x x --=-的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的值有（ ）种． A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先用含a 的式子表示出原方程的解，再根据解为非正整数，即可求得符合条件的所有整数a ．【详解】 解：24263a x x x --=- ()264212--=-x a x x264+212-=-x a x x ()24+8=-a x 284+=-x a ∵方程的解是非正整数， ∵2804+-≤a ∵2804+≥a ∵24+=1a 或2或4或8∵a=0或2或-2∵共3个故选：A【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及解不等式，根据方程的解为非正整数列出关于a 的不等式是解题的关键．5．不等式()31x -≤5x -的正整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．【详解】解：3（x -1）≤5-x3x -3≤5-x ，则4x≤8，解得：x≤2，故不等式3（x -1）≤5-x 的正整数解有：1，2共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．6．不等式2﹣3x≥2x ﹣8的非负整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：首先移项，合并同类项，然后系数化成1，即可求得不等式的解集，然后确定非负整数解即可．解：移项，得：﹣3x ﹣2x≥﹣8﹣2，合并同类项，得：﹣5x≥﹣10，则x≤2．故非负整数解是：0，1，2共有3个．故选C ．点评：本题考查了一元一次不等式的解法，理解解不等式的基本依据是不等式的基本性质是关键． 7．不等式()6154x x --≤的非负整数解的和是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其非负整数解，从而得出答案．【详解】解：()6154x x --≤去括号得6654x x -≤-，移项得6546x x -≤-+，合并同类项得2x ≤，∴不等式的非负整数解2,1,0∴不等式的非负整数解的和是2+1+0=3，故选D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．8．不等式3x <﹣4（x ﹣6）的正整数解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】解不等式，再根据不等式的解集求出整数解；【详解】解：3x ＜﹣4（x ﹣6），3x ＜﹣4x +24，7x ＜24，x ＜247； 故正整数解有3，2，1共3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，准确计算是解题的关键．9．不等式11-252x x ≤-的负整数解有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】先解不等式，根据不等式的解集确定符合条件的负整数．【详解】 解：11-252x x ≤-2410,x x ∴-≤-38,x ∴-≤8,3x ∴≥-∴ 满足条件的负整数有：2,1,--一共两个．故选B ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，及不等式的负整数解，掌握以上知识是解题的关键．10．不等式2x+5＞4x ﹣1的正整数解是（ ）A ．0、1、2B ．1、2C ．1、2、3D ．x ＜3【答案】B【解析】分析：移项合并后，将x 系数化为1求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可∵详解：不等式2x+5∵4x -1∵移项合并得：-2x∵-6∵解得：x∵3∵则不等式的正整数解为1∵2∵故选B∵点睛：此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．11．不等式4x+3≤15的正整数解有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，从而得出答案．【详解】解：∵4x+3≤15，∵4x≤15﹣3，∵4x≤12，∵x≤3，则不等式的正整数解有1、2、3这3个，故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．12．若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣6≤a ≤﹣4B ．﹣6＜a ≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣4【答案】B【分析】解不等式得x ≤﹣2a ，由于只有两个正整数解，即1∵2，故可判断﹣2a的取值范围，求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式2x +a ≤0，得：x ≤﹣2a，∵不等式只有两个正整数解，∵这两个正整数解为1、2，则2≤﹣2a＜3，解得﹣6＜a ≤﹣4，故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数解是解答本题的关键．13．不等式﹣x+3≥0的正整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．【详解】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∵不等式的正整数解是1，2，3，故选：C ．【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．如果不等式3x -m≤0的正整数解是1，2，3，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞9B ．m <12C ．912m ≤<D ．912m <≤ 【答案】C【分析】解不等式得出x≤3m ，由不等式的正整数解为1、2、3知3≤3m <4，解之可得答案． 【详解】解不等式3x−m≤0，得：x≤3m ， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∵3≤3m <4， 解得：9≤m ＜12，故选：C ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据正整数解的情况得出关于m 的不等式组是解题的关键． 15．下列说法中，错误的是( )A ．不等式x ＜2的正整数解只有一个B ．-2是不等式2x -1＜0的一个解C ．不等式-3x ＞9解集是x ＞3D ．不等式x ＜10的整数解有无数个【答案】C【分析】解不等式求得B ，C 选项不等式的解集，即可判定C 错误，又由不等式解的定义，判定B 正确，然后由不等式整数解的知识，即可判定A 与D 正确，则可求得答案．【详解】解：A 、不等式x ＜2的正整数解只有1，故A 正确；B 、2x -1＜0的解集为x ＜12，所以-2是不等式2x -1＜0的一个解，故B 正确； C 、不等式-3x ＞9的解集是x ＜-3，故C 错误；D 、不等式x ＜10的整数解有无数个，故D 正确．故选：C ．【点睛】此题考查了不等式的解的定义，不等式的解法以及不等式的整数解．此题比较简单，注意不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变．16．不等式5336x x -<+的最大整数解为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先移项、合并同类项后把x 的系数化为1得到x ＜4.5，然后找出此范围中的最大整数即可．【详解】∵5x−3<3x+6∵∵5x -3x<6+3∵∵2x<9∵∵x<4.5∵则该不等式的最大整数解为4，故选：C∵【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．17．不等式()2216x x ->+的最大整数解是（ ）A ．-1B ．-2C ．0D ．1 【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后得到最大整数解即可．【详解】解：∵()2216x x ->+，∵2416x x ->+，∵45x ->， ∵54x <-； ∵最大整数解是2x =-；故选：B ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法进行解题．18．关于x 的不等式2x －10＞－5的最小整数解为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 【答案】A【分析】先移项合并，再系数化为1得到不等式的解，再取最小整数解即可得到答案；【详解】解：2x －10＞－5移项得：2x ＞－5+10∵∵∵∵∵2x ＞5，系数化为1得：52x > ， 故最小的正数解为：3，故选：A ；【点睛】本题主要考查了不等式的解集，并在不等式的解集里取最小整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键；19．不等式x+2<6的非负整数解有（ ∵A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】C【解析】根据不等式的解法∵解不等式得x∵4，然后可得非负整数解有0∵1∵2∵3，共4个.故选C.二、填空题20．不等式352(1)x x -≤-的正整数解的和为__________．【答案】6【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案．【详解】解：352(1)x x --，3522x x ∴--，3x ∴， x 是正整数，1x ∴=，2，3，∴正整数解的和：1236++=，故答案为：6．【点睛】本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．21．不等式32x +<的最大整数解是__________．【答案】-2【分析】求出不等式的解集，找出解集中的最大整数即可．【详解】解：由不等式x+3＜2，解得：x ＜-1，则不等式的最大整数解为-2，故答案为：-2．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．不等式2552n n --＜的所有正整数解是______．【答案】1，2先解得不等式2n -5＜5-2n 的解集为n ＜2.5，则不等式2n -5＜5-2n 的正整数解为1，2．【详解】2552n n --＜移项、合并同类项得4n ＜10，系数化为1得n ＜2.5，所以不等式2n -5＜5-2n 的正整数解为1，2．【点睛】本题考查一元一次不等式和正整数，解题的关键是掌握解一元一次不等式和正整数的定义.23．不等式3x -7≥2的最小整数解是____________．【答案】3【分析】解不等式即可找到最小整数解．【详解】解不等式：372x -≥移项：32+7x ≥，整理得：39x ≥，解得：3x ≥所以不等式的最小整数解为3∵【点睛】本题属于基础题，熟练的掌握解不等式的方法步骤即可．24．不等式4（x ﹣2）＜3x ﹣5的正整数解是_____．【答案】1、2．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得．【详解】解：去括号，得：4x ﹣8＜3x ﹣5，移项，得：4x ﹣3x ＜8﹣5，合并同类项，得：x ＜3，则不等式的正整数解为1、2，故答案为：1、2．本题主要考查解一元一次不等式，熟悉相关解法是解题的关键．25．若关于x 的不等式x ﹣m ≤0的有三个正整数，则m 的取值范围是_____．【答案】34m ≤<【分析】首先解关于x 的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m 的不等式组求得m 的范围．【详解】解：解不等式x ﹣m ≤0得：x ≤m ，根据题意得：3≤m ＜4，故答案是：3≤m ＜4．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解不等式的方法．26．不等式2541x x +>-的最大非负整数解是____________．【答案】2【分析】根据不等式的性质求出x 的取值，故可求解．【详解】解2541x x +>-26x ->-x ＜3故最大非负整数解为2故答案为：2．【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．27．不等式4102x-->的正整数的解为__________．【答案】1【分析】按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再从中找出正整数的解即可解：∵410 2x-->，∵4-x-2>0，∵-x>2-4，∵-x>-2，∵x<2，∵不等式的正整数的解为：1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．28．不等式x+1＞3x﹣5的正整数解是_____．【答案】1、2【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：移项，得：x﹣3x＞﹣5﹣1，合并同类项，得：﹣2x＞﹣6，系数化为1，得：x＜3则不等式的正整数解为1、2，故答案为：1、2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键.29．不等式x+2＞12x的负整数解有_____个．【答案】3【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出非负整数，即可求解．【详解】解：x+2＞12 x，x ﹣12x ＞﹣2， 12x ＞﹣2 解得x ＞﹣4，故不等式x +2＞12x 的负整数解为-3∵-2∵-1共3个． 故答案为：3．【点睛】本题考查了求不等式的负整数解，正确解出不等式是解题关键．30．不等式()5231x x +>-的最小整数解是_________．【答案】2-【分析】根据一元一次不等式的性质计算，得到x 的取值范围；再根据整数的性质分析，即可得到答案．【详解】∵()5231x x +>-∵5233x x +>-∵25x >- ∵52x >- ∵()5231x x +>-的最小整数解是：2-故答案为：2-．【点睛】本题考查了一元一次不等式和整数的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解． 31．已知不等式6x +1＞5x ﹣2的最小整数解是方程2x ﹣kx ＝4﹣2k 的解，则k ＝_____．【答案】2【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x 的值，再把x 的值代入方程即可得到关于k 的方程，再解方程即可算出k 的值．【详解】解：6x +1＞5x ﹣2，解得：x ＞﹣3，∵x 是不等式5x ﹣2＜6x +1的最小整数解，∵x ＝﹣2，把x ＝﹣2代入方程2x ﹣kx ＝4﹣2k 中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k ＝4﹣2k，解得：k ＝2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x 的值．32．已知关于x 的不等式2x ﹣k ＞3x 只有两个正整数解，则k 的取值范围为_____．【答案】32k -≤<-【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．【详解】解：∵2x -k ＞3x ，∵2x -3x ＞k ，∵x ＜-k ，因为只有两个正整数解，由题意可知：2＜-k ≤3，∵-3≤k ＜-2，故答案为：-3≤k ＜-2．【点睛】本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．33．下列说法：∵已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x 的解为正整数，则a 的最小值为2；∵当2x =-时，多项式3224mx x nx +++的值等于18，那么当2x =时，该多项式的值等于6；∵10条直线两两相交最多能有45个交点；∵式子111392x x x 的最小值是4；∵关于x 的方程3202x k k 的所有解之和是-5；正确的有______________．（填序号）【答案】∵∵∵．【分析】∵首先根据方程解出10(142)9a x ，然后，根据x 为整数， a 为正整数，解出a 的最小值即可判断正误；∵当2x =-时，322418mx x nx +++=，可求出 82m n 的值，然后将2x =代入，即可求得结果即可判断正误；∵根据直线两两相交的交点个数，找出10条直线相交最多有的交点个数，然后判断正误即可；∵根据四种情况：当1x <时，当12x <≤时，当 23x <≤时，当3x <时分别讨论然后求解即可；∵根据绝对值的性质性质化简，然后求解判断即可．【详解】解：∵5814225x a x ， 解得，10(142)9a x ，x 为整数，a 为正整数，∴当2a =时，160x =．a ∴的最小值是2，故∵正确；∵当2x =-，322418mx x nx +++=，则826m n +=-，将86m n ，2x =代入，322418mx x nx +++=可得：32246mx x nx +++=，故∵正确；∵2条直线相交有1个交点；3条直线相交有123+=个交点；4条直线相交有1236++=个交点；5条直线相交有123410+++=个交点；6条直线相交有1234515++++=个交点；⋯n 条直线相交有11235(1)(1)2n n n ，∵10条直线相交有110101452个交点，故∵正确；∵当1x <时， 111392x x x 111932x x x9112x ，1x =时，原式有最小值9131122；当12x <≤时， 111392x x x 111932x x x592x ， 2x =时，原式有最小值59242；当23x <≤时， 111392x x x 111932x x x372x ，3x =时，原式有最小值357322； 当3x <时， 111392x x x 111392x x x 99511311222x ， 综上所述，111392x x x 的最小值是 52；故∵错误；∵∵方程3202x k k∵32x k∵32x k ， ∵32x k ， ∵32x k即有：1325x kk ， 1325x k k ， 1321x k k ， 1321x k k所有解之和为：()()()()551112k k k k --+-++--+-+=-，故∵错误；故答案是：∵∵∵．【点睛】本题主要考查的是解方程、代数式求值、两直线的交点、数轴、绝对值，不等式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．34．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x ＋2y≤8，它的正整数解有________个．【答案】12【分析】先把y 作为常数，解不等式得82x y ，根据x ，y 是正整数，得820y，求出y 的正整数值，再分情况进行讨论即可．【详解】解：28x y ， 82x y ， x ，y 是正整数， 820y ，解得04y <<，即y 只能取1，2，3，当1y =时，06x <，正整数解为：11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，61x y =⎧⎨=⎩， 当2y =时，04x ，正整数解为：12x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩，32x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，当3y =时，02x <，正整数解为：13x y =⎧⎨=⎩，23x y =⎧⎨=⎩；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y 的整数值是本题的关键．三、解答题35．先化简，再求值：221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x 为满足不等式11x ->的最小整数．【答案】1xx +，34【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后解不等式，求出x 的值，代入求值即可．【详解】 解：221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭=()()211111x x x x x +-÷-+-=()()2111x x x x x -⋅-+ =1xx +解不等式11x ->，得x ＞2∵x 为满足不等式11x ->的最小整数∵x=3当x=3时，原式=331+=34． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值和解不等式，掌握分式的各个运算法则是解题关键．36．在等式y kx b =+中，当1x =-时，2y =-；当2x =时，8y =-．（1）求k 、b 的值；（2）若关于x 的不等式532x m x ->-的最大整数解是k ，求m 的取值范围．【答案】（1）k=-2，b=-4；（2）6≤m ＜7【分析】（1）根据二元一次方程组的求解方法，求出k 、b 的值各是多少即可．（2）首先根据一元一次不等式的解法，可得x ＜5-m ，然后根据不等式532x m x ->-的最大整数解是k ，可得关于m 的不等式组，据此求出m 的取值范围即可．【详解】解：（1）根据题意可得： 228k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩， 解得：24k b =-⎧⎨=-⎩；（2）解不等式532x m x ->-，得：x ＜5-m ，∵该不等式的最大整数解是k ，即-2，∵-2＜5-m≤-1，∵6≤m ＜7．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的能力，并根据不等式组的整数解情况列出关于m 的不等式组．37．若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩①②的解满足2x y +<，求整数．．a 的最大值．．．．． 【答案】整数a 的最大值是3【分析】先由∵＋∵得44a x y ++=，再代入不等式中求a 的范围，从而可得答案． 【详解】解：∵＋∵得：444x y a +=+ 44a x y +∴+= 2x y +<424a +∴< 解得4a <∴整数a 的最大整数解是3．【点睛】本题考查的是二元一次方程组与不等式的综合，掌握利用整体思想解决问题是解题的关键．38．解不等式或不等式组：（1）解不等式314(5)x x -<--，并求出它的最大整数解．（2）解不等式组2(1)1123x x x x --≥⎧⎪+⎨<+⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）3x <，该不等式的最大整数解是2；（2）不等式组的解集是512x -<≤，数轴表示见解析 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法解不等式，然后求出它的最大整数解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集，最后将解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：（1）31420x x -<-+ 721x <3x <该不等式的最大整数解是2．（2）2(1)1 123x xxx--≥⎧⎪⎨+<+⎪⎩①②解不等式∵得：1x≤．解不等式∵得：52 x>-．所以，不等式组的解集是：51 2x-<≤．在数轴上表示不等式组的解集如下．【点睛】此题考查的是解一元一次不等式（组），掌握不等式的解法、公共解集的取法和用数轴表示解集是解决此题的关键．39．计算：求不等式215132x+≤<的整数解．【答案】1，2，3【分析】将不等式变形成一个不等式组，解不等式组然后找到整数解即可．【详解】原不等式可变形为：211321532xx+⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①②解∵得，1x≥,解∵得，134x<,∵不等式组的解集为13 14x≤<,∵不等式215132x+≤<的整数解为1，2，3．故答案为：1，2，3．【点睛】本题主要考查不等式组的整数解，正确的解不等式是解题的关键．40．(1) 解不等式215242x x -+≤； （2）求不等式437152x x+-<+的正整数解．【答案】（1）58x -≥；（2）3x <，正整数解为：1，2.【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集即可；（2）先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的正整数解即可．【详解】解：（1）215242x x -+≤，21252x x -≤+（），21041x x -≤+，85x -≤，58x -≥；（2）437152x x+-<+，2435710x x +<-+（）（）8635510x x +<-+8535106x x +<+-1339x <3x <，∵不等式437152x x+-<+的正整数解为：1，2.【点睛】本题考查的是一元一次不等式的整数解，会求一元一次不等式的解集是解决此类问题的关键．41．已知线段12AB =，点C ，E ，F 在线段AB 上，E 是线段AC 的中点．（1）如图1，当F 是线段BC 的中点时，求线段EF 的长；（2）如图2．当F 是线段AB 的中点时，EF a =，∵求线段AC 的长（结果可用含a 的代数式表示）；∵若a 为正整数，请写出所有满足条件的a 的值．【答案】（1）6；（2）∵122a -；∵ a 可取1，2，3，4，5【分析】（1）根据线段中点的性质，得12AE EC AC ==、12BF CF BC ==，再根据线段和差的性质计算，即可得到答案；（2）∵根据线段中点的性质，得6AF BF ==；根据线段和差性质，得6AE a =-，再根据线段中点的性质计算，即可得到答案；∵结合AC AB <，根据（2）∵的结论，通过列不等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵E 是线段AC 的中点 ∵12AE EC AC == F 是线段BC 的中点 ∵12BF CF BC == ()11622EF EC CF AC BC AB =+=+==； （2）∵F 是线段AB 的中点∵6AF BF ==∵EF a =，AC AB < ∵1122AE AC AB =<，即12AE AC AF =< ∵6AE AF EF a =-=-∵122AC a =-∵∵122AC a =-，且AC AB <∵012212a <-<∵06a <<∵a 为正整数∵a 可取1，2，3，4，5．【点睛】本题考查了线段、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握线段中点、线段和差、一元一次不等式的性质，从而完成求解．42．已知不等式452x --1<6的负整数解是方程2x -3=ax 的解 （1）求出a 的值；（2）求出不等式组()733125x a x x a ⎧-->⎪⎨+<⎪⎩的解集．【答案】（1）5；（2）19152x <<． 【分析】（1）先解一元一次不等式求出x 的值，再代入方程即可得；（2）根据（1）的结论可得不等式组，再分别求出两个不等式的解，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】（1）45162x --<， 4572x -<， 4514x -<，510x -<，2x >-， 则不等式45162x --<的负整数解是1x =-， 由题意，将1x =-代入方程23x ax -=得：23a --=-，解得5a =，故a 的值为5；（2）由（1）的结论得：不等式组为()75331255x x x ⎧-->⎪⎨+<⎪⎩①②，解不等式∵得：192x >， 解不等式∵得：15x <， 则不等式组的解集为19152x <<．本题考查了解一元一次不等式和不等式组、解一元一次方程，熟练掌握方程和不等式（组）的解法是解题关键．43．已知：23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩都是关于x 、y 的方程y kx b =+的解．（1）求k 、b 的值；（2）若不等式323x m x +>+的最大整数解是k ，求m 的取值范围．【答案】（1）k 的值是2，b 的值是﹣1；（2）0≤m ＜1．【分析】（1）把23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩代入y kx b =+，得到方程组，解方程组可得答案； （2）首先根据一元一次不等式的解法，可得x ＜3-m ，然后根据不等式3+2x ＞m+3x 的最大整数解是k ，可得2＜3-m≤3，据此求出m 的取值范围即可．【详解】解：（1）∵23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩都是关于x 、y 的方程y ＝kx+b 的解， ∵2325k b k b +=⎧⎨-+=-⎩①②，∵-∵得：48,k =2,k ∴=把2k =代入∵得：1,b =-所以方程组的解是：21k b =⎧⎨=-⎩． ∵k 的值是2，b 的值是﹣1．（2）∵3+2x ＞m+3x ，∵x ＜3﹣m ，∵不等式3+2x ＞m+3x 的最大整数解是k ，2k =，∵2＜3﹣m≤3，∵m 的取值范围是：0≤m ＜1．本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是掌握解二元一次方程组的能力，并根据不等式的整数解情况列出关于m的不等式组．44．已知不等式45123x+-≤的正整数解是方程2x﹣1＝ax的解，试求出不等式组()733125x a xx x a⎧+->⎪⎨+<⎪⎩的解集．【答案】﹣1＜x＜5 11．【分析】求出不等式得负整数解，求出a的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解不等式45123x+-≤得：x≤1，∵该不等式的正整数解为x＝1，将x＝1代入方程2x﹣1＝ax，得：a＝1，将a＝1代入不等式组得()733125x a xx x a⎧+->⎪⎨+<⎪⎩，解得﹣1＜x＜5 11．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．45．（1）解不等式42362x xx+--≥，并写出非负整数解．（2）解不等式组313112123x xx x+<-⎧⎪++⎨≤+⎪⎩．【答案】（1）非负整数为：0，1，2，3，4，5；（2）不等式组的解集为-5≤x<-2．【分析】（1）首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．（1）去分母得，()()64323x x x -+≥-，去括号得，6469x x x --≥-，移项得，6694x x x --≥-+，合并同类项得，5x -≥-，系数化为1得，5x ≤，∵非负整数为：0，1，2，3，4，5；（2）313112123x x x x ①②+<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩解∵得，2x <-，解∵得，5x ≥-，把解集在数轴上表示为：∵不等式组的解集为52x -≤<-．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解以及求一元一次不等式组的解集，求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了在数轴上表示不等式的解集．46．四个数分别是a b c d ,,,，满足1a b c d a d n-+-=-，(且 3n ≥为正整数， a b c d <<<)． ()1若 3n =.∵当 6d a -=时，求 c b -的值；∵对于给定的有理数()e b e c <<，满足49b e a d -=-，请用含 ,bc 的代数式表示e ； ()2若 12e b c =-，12f ad =-，且110e f a d ->-，试求 n 的最大值． 【答案】（1）∵4c b -=；∵2133e c b =+；（2）n 的最大值为4. 【分析】方法一:()1∵根据 a b c d <<<和绝对值的性质去掉绝对值符号，再利用它们之间的关系即可得出答案； ∵同样先去掉绝对值符号，通过等量代换和第（1）问中的结论得出()23e b c b -=-，则答案可得； ()2同样先将e,f 去掉绝对值符号，然后表示出e f-，然后利用110e f a d ->-建立一个关于n 的不等式，解不等式即可找到答案.方法二:()1∵将四个数表示在数轴上，然后转化已知条件为1AB CD AD n +=，然后利用两点间的距离即可得出答案；∵用点E 表示数e 在数轴上表述出来,得出49BE AD =进而得出3,2BE BC =则答案可得； ()2直接将e,f 代入得出210a d a d n -->，再利用0a d ->得出210n <，则答案可得. 【详解】方法一: ()1∵3n =，13a b c d a d ∴-+-=-， a b c d <<<， ()13b a d c d a ∴-+-=-， ()23c d d a ∴-=-， 6d a -=，4c b ∴-=. ∵4,9b ec b e ad <<-=-()49e b d a ∴-=-()23c b d a -=-()32d a c b ∴-=-()()432923e b c b c b -=∴=⨯--2233e b c b ∴-=-2133e c b ∴=+ ()21,b c d a d a b e n a c d -+-=-<<<<()11,22e b c c b ∴=-=-()1122f a d d a =-=-，()()()1b a dc ad n -+-=-f e ∴>()12e f f e d a c b ∴-=-=--+()()12b a d c +=--⎡⎤⎣⎦()112a d n =⋅-()12d a n =-110e f a d ->-()()11210d a d a n ∴->-，即210d a d an -->210n ∴<，5n ∴<，35n ≤<，且n 为正整数，n ∴的最大值为4.方法二:()1∵把a b c d ,,,四个数在数轴上分别用点,,,A B C D 表示出来，如下图所示，1a b c d a d n -+-=-，1AB CD AD n ∴+=又3,6n d a =-= 6,2AD AB CD ∴=-+=4BC b c c b ∴=-=-=.∵()e b e c <<用点E 表示数e 在数轴上表述出来，点E 在线段BC 上，4.9b d a d -=-49BE AD ∴= 又23BC AD =，4433,9922BE AD BC BC ∴==⨯=即4.9b e b c -=-b ec <<2233e b c b ∴-=-2133e c b ∴=+()21,a b c d a d a b c d n -+-=-<<<()11c b d a n ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭12e b c =-，12f a d =-，且110e f a d ->-1112210b c a d a d ∴--->- 11210a d a d n ∴->-，即210a d a dn -->a d->210n∴<5n∴<35n≤<，且n为正整数，n∴的最大值为4.【点睛】本题主要考查绝对值的性质，代数式的运算，不等式，掌握绝对值的性质是解题的关键.47．解不等式171+223x x++≥-，并求出其最小整数解；【答案】不等式的最小整数解为﹣2【解析】试题分析：根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取其最小整数解即可.试题解析：，去分母，得6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），去括号，得6+3x+3≥12﹣2x﹣14，移项、合并同类项，得5x≥﹣11，系数化为1，得．故不等式的最小整数解为﹣2．点睛：此题主要考查了不等式的解法，解题关键是根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取符合条件的数即可.。
2023年中考数学--统计与概率练习(解析)
专题28 统计与概率一、单选题1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）下列说法正确的是（ ） A ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B ．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C ．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式D ．若平均数相同的甲、乙两组数据，20.3s =甲，20.02s =乙，则甲组数据更稳定 【答案】C 【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；B ．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；C ．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；D ．若平均数相同的甲、乙两组数据，20.3s =甲，20.02s =乙，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；故选：C ．2．（2022·全国九年级课时练习）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】将一组数据从小到大排列，处于最中间的数字就是中位数，本题有5个数字，则排在第三个的就是中位数． 【详解】把数据从小到大排列为：2，2，4，5，6， 中间的数是4， ∴中位数是4， 故选：B ．3．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）截止2022年3月，“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则由年龄组成的这组数据的众数是（ ）A．27 B．29 C．30 D．31【答案】D【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，进行求解即可．【详解】解：由题意可知，这组数据中31出现了4次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为31，故选D．4．（2022·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（）A．16B．13C．12D．56【答案】B【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为26＝13，故选B．5．（2022·重庆实验外国语学校九年级）为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗平均长度一样，甲、乙的方差分别是10.9、9.9，则下列说法正确是（）A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐【答案】B【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲、乙的方差的分别为10.9、9.9，∴甲的方差大于乙的方差，∴乙秧苗出苗更整齐．故选：B．6．（2022·深圳市新华中学九年级期末）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（）A．49B．23C．12D．13【答案】D【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．【详解】解：画出树状图：根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，∴两次都摸到红球的概率是26＝13；故选：D．7．（2022·四川广元·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差【答案】B 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【详解】解：A 、原来数据的平均数是12234+++=2，添加数字3后平均数为122331155++++=，所以平均数发生了变化，故A 不符合题意；B 、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B 与要求相符；C 、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C 与要求不符；D 、原来数据的方差=222211[(12)(22)(22)(32)]42-+-+-+-=，添加数字3后的方差=222221111111111114[(1)(2)(2)(3)+(3)]5555555-+-+-+--=，故方差发生了变化，故选项D 不符合题意． 故选：B ．8．（2022·湖北随州·）如图，从一个大正方形中截去面积为23cm 和212cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．49B ．59C ．25D ．35【答案】A 【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为23cm 和212cm ， ∴323 ∴3+23=33∴大正方形的面积为27=， ∴阴影部分的面积为2731212--=， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为124=279， 故选：A ．9．（2022·山东聊城·）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A ．样本为40名学生 B ．众数是11节 C ．中位数是6节 D ．平均数是5.6节【答案】D 【分析】根据样本定义可判定A ，利用众数定义可判定B ，利用中位数定义可判定C ，利用加权平均数计算可判定D 即可． 【详解】解：A . 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A 样本为40名学生不正确； B . 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B 众数是11节不正确， C . 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于4020,212=两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为6节与7节的平均数676.52+=节，故选项C 中位数是6节不正确； D . 根据样本平均数()1495116117584 5.640x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=节 故选项D 平均数是5.6节正确． 故选择：D ．10．（2022·全国九年级课时练习）现在要选拔一人去参加全国青少年数学竞赛，小明和小刚的三次选拔成绩分别为：小明：96，85，89，小刚：90，91，89，最终决定选择小刚去参加，那么，最终依据是（ ） A ．小刚的平均分高 B ．小刚的中位数高 C ．小刚的方差小 D ．小刚最低分高【答案】C利用平均数、中位数及方差的定义进行计算，再根据各统计量特点判断即可．【详解】解：A.平均数：小明的平均数=96+85+89=903，小刚的平均数=90+91+89=903，平均数相同，故此项错误；B.中位数：小明的中位数89，小刚的中位数90，89<90，但中位数不能代表平均水平，故此项错误；C.方差：小明的方差=()()()2229690+8590+899062=33---，小刚的方差=()()()2229090+9190+89902=33---，623>23，小刚的波动较小，故小刚的方差较小，故此项正确；D. 此时不能选择最低分来比较两人的水平，故此项错误．故选C．二、填空题11．（2022·上海宝山区·九年级）如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是_______（只需写出一个满足要求的数）．【答案】4【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．【详解】解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，∴a≥4或a≥5，故答案是4（答案不唯一）．12．（2022·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．【答案】3【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．解：（1）假设袋中红球个数为1，此时袋中由1个黄球、1个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．（2）假设袋中的红球个数为2，列树状图如下：由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，∴P（摸出一红一黄）=42=63，P（摸出两红）=21=63，不符合题意，（3）假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=61=122，符合题意，所以放入的红球个数为3，故答案为：3．13．（2022·山东九年级期中）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字-3，122，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为______．【答案】12【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两球上所标数字之积是正数的情况，即可求出所求的概率．【详解】解：列表如下：所有等可能的情况有12种，其中两球上所标数字之积是正数的情况有6种，则两球所标数字之积是正数的概率为6÷12＝12，故答案是：12．14．（2022·山东九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为___．【答案】4 9【分析】由10条线段中任意取2条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有90种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有40个结果．因而就可以求出概率．【详解】从1~10这10条整数线段中任意取1条，有10种可能结果；再从剩下9条线段中任意取1条，有9种可能结果；所以从1~10这10条整数线段中任意取2条有10×9=90种等可能的情况，三角形两边之和大于第三边，其中能和线段 a 组成三角形，即这2条线段的长度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10)(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=40种等可能的情况；故能和线段 a 组成三角形的概率为：404=909． 故答案为：49．15．（2022·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a 、b ，把a 、b 作为点A 的横、纵坐标;求点A （a ，b ）的个数为：__________；点A （a ，b ）在函数y x =的图象上的概率为：______．【答案】16 14【分析】（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数； （2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案． 【详解】 解：（1）列表得：(1,4)(2,4) (3,4) (4,4)(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (1,2)(2,2) (3,2) (4,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)∴点(,)A a b 的个数是16；（2）当a b =时，(,)A a b 在函数y x =的图象上，∴点(,)A a b 在函数y x =的图象上的有4种，分别是：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)， ∴点(,)A a b 在函数y x =的图象上的概率是41164=； 故答案是：16，14．三、解答题16．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球1个．（1）现从中任意摸出一个球，求摸到黄球的概率；（2）现规定：摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的概率．【答案】（1）14；（2）见解析，12【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画出树状图，共有16个等可能的结果，所得分数之和不低于8分的结果有8个，由概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）任意摸出一个是黄球的概率为1211++=14；（2）画树状图如图：共有16个等可能的结果，甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的结果有8个，∴一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的概率为816=12．17．（2022·云南师范大学实验中学九年级期末）从今年开始，云南将在全省集中开展为期一年半，以“清垃圾、扫厕所、勤洗手、净参观、常消毒、管集市、众参与”为主题的爱国卫生“7个专项行”为了动员广大师生朋友，争做爱国生的参与者，传播者，监督者，自觉投身爱国卫生专项行动．现做如下活动：在一个不透明的盒子中装有4张分别标有A、B、C、D的卡片，A、B、C、D四张卡片的背面分别写有“清垃圾、勤洗手、常消毒、众参与”，它们的形状、大小完全相同，现随机从盒子中摸出两张卡片．（1）请用树状图或列表法表示摸出的两张卡片可能出现的所有结果；（2）求摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”卡片的概率．【答案】（1）见解析；（2）12【分析】（1）根据题意可以画出相应的树状图；（2）根据（1）中的树状图可以求得摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”的概率．【详解】解：（1）树状图如下图所示，（2）由树状图得：共有12个等可能的结果，摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的结果有6个，∴摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的概率是61 122．18．（2022·全国九年级专题练习）某学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：第一回投球第二回投球第三回投球第四回投球第五回投球第六回投球每回投球次数 5 10 15 20 25 30每回进球次数 3 8 6 16 17 18相应频率（1）请将数据表补充完整．（2）画出该同学进球次数的频率分布折线图．（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？（结果用小数表示）【答案】（1）0.6；0.8；0.4；0.8；0.68；0.6；（2）见解析；（3）0.65【分析】（1）根据频率计算方法：频率＝每回进球次数÷每回的投球次数，即可求解；（2）利用描点法画图即可；（3）利用样本估计总体即可求解．【详解】（1）∵3÷5=0.6；8÷10=0.8；6÷15=0.4；16÷20=0.8；17÷25=0.68；18÷30=0.6；故将数据表补充如下：第一回投第二回投第三回投第四回投第五回投第六回投球球球球球球每回投球次数5 10 15 20 25 30每回进球次数3 8 6 16 17 18相应频率0.6 0.8 0.4 0.8 0.68 0.6 （2）如图：进球次数的频率分布折线图如下：（3）386161718 51015202530++++++++++≈0.65.答：估计这个概率是0.65．19．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）某校为了了解学校女生的身高情况，抽查了部分女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的女生共有______人，E组人数m=______；（2）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角的大小是______；（3）该校共有女生550名，请你估计该校女生身高不低于160cm的人数．【答案】（1）50，10；（2）72°；（3）308人【分析】（1）从扇形统计图中获取D 部分的比重，从频数分布直方图中获取D 部分的人数，即可求解；求得C 组人数，即可求解．（2）求得E 组的所占的百分比，即可求解；（3）求得女生身高不低于160cm 所占的百分比，即可求解． 【详解】解：（1）从扇形统计图中获取D 部分的比重为26% 从频数分布直方图中获取D 部分的人数为13 总人数为1326%=50÷人 C 组的人数为5028%=14⨯人50261413510m =-----=故答案为：50，10（2）E 部分所对应的扇形圆心角的大小是103607250⨯︒=︒ 答：E 部分所对应的扇形圆心角的大小是72︒ （3）样本中女生身高不低于160cm 的人数有28人2855030850⨯= 答：估计该校女生身高不低于160cm 的有308人．20．（2022·全国九年级课时练习）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔赛，他们的跳高成绩（单位：cm ）如下： 甲：172 168 175 169 174 167 166 169 乙：164 175 174 165 162 173 172 175 （1）甲、乙两名运动员跳高的平均成绩分别是多少？ （2）分别求出甲、乙跳高成绩的方差； （3）哪个人的成绩更为稳定？为什么？（4）经预测，跳高165cm 以上就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳高170cm 方可获得冠军，又应该选哪位运动员参赛？【答案】（1）都是170cm ；（2）29.5s =甲，225.5s =乙；（3）甲运动员的成绩更为稳定，理由见解析；（4）跳高165cm 以上就很可能获得冠军的情况下，选甲运动员参加；跳高170cm 方可获得冠军的情况下，应选乙运动员参加 【分析】（1）根据平均数的计算方法，先将数据求和，再除以8即可得到甲乙两人各自的平均成绩； （2）根据方差的计算公式分别计算即可，（3）由题（2）的计算结果，根据方差的意义可知，方差越小，即波动越小，数据越稳定即可判断； （4）根据题意分情况分析数据即可判断． 【详解】（1）甲的平均成绩为：1(172168175169174167166169)170(cm)8⨯+++++++=，乙的平均成绩为：1(164175174165162173172175)170(cm)8⨯+++++++=，（2）()()()()()()22222221[1721701681701751701691701741701671708s =⨯-+-+-+-+-+-甲221(166170)(169170)769.58⎤+-+-=⨯=⎦22222221(164170)(175170)(174170)(165170)(162170)(173170)8s ⎡=⨯-+-+-+-+-+-⎣乙221(172170)(175170)20425.58⎤+-+-=⨯=⎦；（3）∵9.525.5<， ∴22s s<甲乙，∴甲运动员的成绩更为稳定；（4）若跳过165cm 以上就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm ，而乙只有5次，所以应选甲运动员参加；若跳过170cm 才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm ，而乙有5次，所以应选乙运动员参加．21．（2022·湖北黄石八中）2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有______人；扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______．（2）请把图2的条形统计图补充完整；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）180，126°；（2）画图见解析；（3）1 6【分析】（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；然后出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.【详解】（1）54÷30%=180（人）田径人数：180×20%=36（人），游泳人数：180×15%=27（人），篮球人数为：180-54-36-27=63（人）图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：360°63= 180126°，故答案为：180，126°；（2）补全统计图如下所示：（3）画树状图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种． 所以P （恰好选中甲、乙两位同学）=21=126． 22．（2022·靖江市靖城中学）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率． （2）这个运动员投篮命中的概率约是_____． （3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？ 【答案】（1）0.6,0.6；（2）0.6；（3）27分 【分析】（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率； （2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案； （3）先计算15次投篮的命中数，从而可得答案. 【详解】解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：90120=0.6,=0.6.150200（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在0.6附近， 所以这个运动员投篮命中的概率约是0.6. 故答案为：0.6.（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中150.6=9⨯次， 所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：39=27⨯分.23．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生意识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ：8085x ≤<，B ：8590x ≤<，C ：9095x ≤<，D ：95100x ≤≤），下面给出了部分信息：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99； 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99；七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均分 中位数 众数 方差七年级 91 a 89 45.2 八年级 9192.5b39.2八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图请根据相关信息，回答以下问题：（1）直接写出表格中a ，b 的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图：（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有800人，八年级有1000人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（90x ≥）的学生人数是多少．【答案】（1）89.5；93；见解析；（2）八年级，见解析；（3）1100人 【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“C 组”的频数才能补全频数分布直方图； （2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论； （3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可． 【详解】解：（1）将七年级10名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为： 899089.52+=， 因此中位数是89.5，即89.5a =；八年级10名学生成绩出现次数最多的是93，共出现2次，因此众数是93，即b =93， 八年级10名学生成绩处在“C 组”的有10-2-3-1=4（人）， 补全频数分布直方图如下：（2）八年级学生掌握防火安全知识较好．因为七、八年级平均分相等，八年级中位数92.5大于七年级中位数89.5，所以八年级学生掌握防火安全知识较好．（3）17 80010001100210⨯+⨯=（人）；答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是1100人．。
专题28 经济大危机和第二次世界大战(第01期)-2019年中考真题历史试题分项汇编(原卷
2019年中考题卷历史分项汇编专题28 经济大危机和第二次世界大战考点118 罗斯福新政1．（2019年东潍坊）1929～1933年资本主义经济危机期间，各国争相提高关税，世界贸易锐减2/3。
这说明经济危机A．推动了区域经济发展B．提高了国家竞争力C．加速了资本主义灭亡D．阻碍了经济全球化2．（2019年东德州）观察下图，造成1929—1933年美国国民生产总值变化的原因是A．经济大危机。
B．罗斯福新政C．朝鲜战争D．越南战争3．（2019年重庆A）在罗斯福“新政”的所有计划中，受到最严厉批评的是农业政策。
这种在千百万人处于饥饿的情况下去减少粮食生产的设想，在人道主义者看来，是极其错误的。
但农业政策的实施，不仅使农业生产得到恢复，也推动了整个社会经济的发展。
这是因为该政策A．增加了新就业机会B．使银行的信用得到了恢复C．缓解了生产过剩的状况D．消除了资本主义制度的根本矛盾4．（2019年福建）罗斯福上台后不久，美国国会通过了《国家工业复兴法》。
不到两年，联邦最高法院却裁定该法案违宪。
由此可见，对该法案的不同处理是基于美国A．社会环境发生变化B．政治体制得到完善C．权力制衡逐步强化D．社会性质日渐转变5．（2019年江苏南京）在1934年的头四个月里，“公共工程艺术计划”雇佣了三千多位艺术家，在全美各地为政府的各种建筑创作了一万五千多件艺术品。
政府部门计算了艺术家们的报酬：总计118．4万美元，每件作品约合75．59美元。
该计划的作用是A．体现了三权分立的制衡原则B．调动了黑人奴隶的积极性C．根本上解决了社会就业问题D．有助于增强政府调控能力6．（2019年内蒙古呼和浩特节选）德国是对世界历史发展产生重大影响的国家，也是受世界历史发展影响至深的国家。
请举出1919年、1929年发生在世界历史上对德国产生重大影响的事件。
7．（2019年江西节选）穿越时空的伟大工程，功在当代，利在千秋。
阅读下列材料，回答问题。
专题28：文言文阅读之课外文言文阅读-备战2023年中考语文一轮复习 (解析版)
专题28：文言文阅读之课外文言文阅读2023年中考语文一轮复习考点帮一、（2022·江苏南通·统考中考真题）阅读下面这篇文言文，完成题目。
李少翁传（节选）①李少翁者，名莳，字德春，豫章人。
翁家世受医，精脉法。
翁乃沉默长者，入门无流视，未尝预问病者病，第令伸臂出示，手指一着腕上，形神忽往①。
久之，指离于腕，徐以一二语病者隐结②，少焉投药，犹掇③之耳。
余尝谓翁诊脉甚苦，而投药甚快。
②余始不甚识翁，会余弟妇病风眩，状类尸蹶④，举家喧言“瞑矣”！翁至，视其脉：“治也！”进一匙而苏。
期以逾月，法当病如前，再进一匙，乃愈。
余始奇其言，神其术。
后余数患奇疾，法当死，翁数起之。
已而，友得绵疾，翁起如之，以是益神翁医。
③于是，人争家之，念缓急可立应。
翁赴人急甚于己，百里外，中夜叩门，不以家累为解，不以风雨寒暑为辞。
会岁两大祲⑤，翁煮药如池，积片成丘。
翁所医者莫知其名，安问糈⑥？④翁性不忤物⑦，不以人所不能而愧人，不以人所不知而傲人。
翁足迹半朱门，不传言，对主人未尝暴僮仆之过。
所游病者家，酒法食单，丰约优劣之数，不挂齿牙。
其为长者如此。
⑤翁为人诊脉，思虑与病者相通。
与人处，不相疑。
余以知李翁，几乎道者也，非医者也。
（选自《钟惺散文选集》，有删改）【注】①形神忽往：全身心迅速投入到诊断病情上。
②隐结：隐伏的病根。
③掇（duō）：拾取。
④尸蹶：一种病症，类似休克。
⑤祲（jìn）：瘟疫。
⑥糈（xǔ）：粮食。
这里指报酬。
⑦忤物：冲撞人。
1．用斜线（/）标出下面句子的朗读停顿（共两处）。
余尝谓翁诊脉甚苦2．写出下列句子中加点词的意思。
（1）期以逾．月( )（2）余数．患奇疾( )（3）会．岁两大祲( )（4）安．问糈( )3．用现代汉语写出文中画线句的意思。
余始奇其言，神其术。
4．文中有多件事能体现李少翁医术高明，请概括其中的两件事。
5．结合具体内容分析李少翁作为医者的“仁心”。
二、（2022·浙江衢州·统考中考真题）读下面的选文，完成学习任务。
2024高考化学考点必练专题28物质结构与性质知识点讲解
考点二十八物质结构与性质学问点讲解一、原子结构1. 能层与能级由必修的学问，我们已经知道多电子原子的核外电子的能量是不同的，由内而外可以分为：第一、二、三、四、五、六、七……能层符号表示 K、 L、 M、 N、 O、 P、Q……能量由低到高例如：钠原子有11个电子，分布在三个不同的能层上，第一层2个电子，其次层8个电子，第三层1个电子。
由于原子中的电子是处在原子核的引力场中，电子总是尽可能先从内层排起，当一层充溢后再填充下一层。
理论探讨证明，原子核外每一层所能容纳的最多电子数如下：能层一二三四五六七……符号K L M N O P Q……最多电子数 2 8 18 32 50……即每层所容纳的最多电子数是：2n2(n：能层的序数)但是同一个能层的电子，能量也可能不同，还可以把它们分成能级(S、P、d、F)，就好比能层是楼层，能级是楼梯的阶级。
各能层上的能级是不一样的。
能级的符号和所能容纳的最多电子数如下：能层 K L M N O ……能级1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f ……最多电子数 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 ……各能层电子数 2 8 18 32 50 ……（1）每个能层中，能级符号的依次是ns、np、nd、nf……（2）任一能层，能级数=能层序数（3）s、p、d、f……可容纳的电子数依次是1、3、5、7……的两倍各能层所包含的能级类型及各能层、能级最多容纳的电子数见下表：2. 构造原理依据构造原理，只要我们知道原子序数，就可以写出几乎全部元素原子的电子排布。
即电子所排的能级依次：1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s……电子填充的先后依次（构造原理）为：1s2s2p3s3p4s3d4p5s4d5p6s4f5d6p7s5f6d7p...ns (n－2)f (n－1)d np构造原理揭示了原子核外电子的能级分布。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版)
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式 题型二：圆锥曲线第一定义 题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 题型五：利用数形结合求解 题型六：利用正弦定理 题型七：利用余弦定理 题型八：内切圆问题 题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ 题型十一：基本不等式 题型十二：已知12PF PF ⋅范围 题型十三：12=PF PF λ 题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角 题型十六：利用渐近线的斜率 题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围 题型十九：四心问题 【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．例2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（ ）AB ．1CD ．1例3．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 与C 的左、右两支分别交于,M N 两点，且2MNF 是以2MNF ∠为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则2e =（ ）A．533B ．5+C ．5+D ．5+例4．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D例5．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D题型二：圆锥曲线第一定义例6．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为（ ） A ．[12,1)B ．[13,12]C ．[12,23]D ．[15,14]例7．（2022·浙江·高三开学考试）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF FQ ==，则C 的离心率是（ ）A B C D例8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1y C x b-=的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F △的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D例9．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左焦点为(,0)F c -， 点P 在双曲线C 的右支上， (0,4)A ．若 ||||PA PF +的最小值是 9 ， 则双曲线C 的离心率是_____．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 B C D ．题型三：圆锥曲线第二定义例11．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.则15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（ ） A ．15B ．45C ．54D ．5例12．（2022·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12F F ，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、1||PF 、2||PF 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．(1C ．[1)+∞D ．(1，1例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95例14．（2022·四川遂宁·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若10MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20例15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为( )A ．43B ．53C ．2D ．85题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．2⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭例18．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．13例19．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．例20．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．3例21．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D题型五：利用数形结合求解例22．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的,A B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且12tan 5CAB ∠=-，2||?BD AD BD =，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．65B C D ．3例23．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）ABCD例24．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例25．（2022·全国·二模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例26．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AFAQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例27．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+题型六：利用正弦定理例29．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD例30．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D例31．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．例32．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D题型七：利用余弦定理例33．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C D ．13例34．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.例35．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．13例36．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+例37．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ）A ．3BCD ．2题型八：内切圆问题例38．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，且22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），若12PF F △内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（ ）A 1BCD 1例39．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12例40．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △ ）A 1B ．12C D 1例41．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C ：()222104x y a a -=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设1PF 与双曲线的左支交于点Q ，2PQF 的内切圆与2QF 相切于点M .若4QM =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D例42．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ） A．54B ．43C D例43．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，12F F P 是y 轴正半轴上一点，线段1PF 交双曲线左支于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A B C D例44．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一点（点P 在第一象限），点12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若123,4F O F I I π∠== ）AB C D例45．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D题型九：椭圆与双曲线共焦点例46．（2022·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦例47．（2022·重庆·模拟预测）如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．6+2B ．C D例48．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e =，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）AB C ．2 D例49．（2022·河南郑州·一模（文））已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．65B C D例50．（2022·河南郑州·一模（理））已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8例51．（2022·江西·模拟预测（理））已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的公共点，且1212,,3F PF e e π∠=的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例52．（2022·云南·一模（理））已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1例53．（2022·甘肃白银·模拟预测（理））已知1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为 A ．45BCD例54．（2022·山东日照·二模）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221213e e +的值为（ ） A ．1 B ．2512C ．4D ．16例55．（2022·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=题型十：利用最大顶角θ例56．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦例57．（2022·全国·高二专题练习）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1)C ．D ．例58．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例59．（2022·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．例60．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.例61．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．题型十一：基本不等式例62．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1⎤⎥⎣⎦C ．)1,1D ．⎣⎦例63．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A 2B C 2D例64．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.例65．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．例66．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．题型十二：已知12PF PF ⋅范围例67．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段AB 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得2123i i c PF PF ⋅=-，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭例68．（2022·全国·高二专题练习）已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C．1D．1)例69．（2022·全国·高三开学考试（理））设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P 满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦例70．（2022·四川·高二期末（文））设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．2⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦例71．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知()1,0F c -、()2,0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得2123PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______．题型十三：12=PF PF λ例72．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．⎫⎪⎪⎝⎭例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A．)1,1 B．⎫⎪⎪⎣⎭C．(1⎤⎦D．⎛ ⎝⎦例74．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型十四：中点弦例75．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） ABCD例76．（2022·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN为矩形，且面积为 ） A ．13B ．23CD例77．（2022·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±例78．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．2例79．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F F的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1例80．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B ．2 CD例81．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD例82．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若22F A F B =，1212285AF F BF F S S c +=△△（12AF F S表示12AF F △的面积），则双曲线C 的离心率的值为（ ）AB C D例83．（2022·全国·高三专题练习）设直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，直线l 与直线OM （O 是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD题型十五：已知焦点三角形两底角例84．（2022·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 分别是椭圆D ：()222210x y a b a b +=>>的左右两个焦点，若在D 上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（ ） AB1CD例85．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） ABCD ．2例86．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦例87．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ） AB2C ．2 D例88．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01) B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D ．1,1)题型十六：利用渐近线的斜率例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）AB CD例90．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线22221x y a b-=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点2-⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 2C ．12D ．3例91．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线经过1C 的焦点且与1C 交,A B 两点，8AB =，若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则双曲线1C 的离心率是（ ）A BCD例92．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆()222104x y b b +=>与双曲线()22210x y a a-=>有公共的焦点，F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P 点，且点P 在第一象限，若OP FP ⊥，则椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D例93．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知点1F 和2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过点1F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为H ，且213F H F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D例94．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线22122:1y x C a b-=及双曲线()22222:10,0x y C a b b a-=>>，且1C ()0y kx k =>与双曲线1C 、2C 都无交点，则k 的值是（ ）A ．2B ．12C D ．1例95．（2022·江西·二模（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，点P 在圆F '：2220x y cx +-=上，若C 的一条渐近线恰为线段FP 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D例96．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上顶点为P ，3OQ OP=（O 为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M ，使得90PMQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎣⎭例97．（2022·新疆·二模（理））如图．已知椭圆221:110x C y +=，双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若以椭圆1C 的长轴为直径的圆与双曲线2C 的一条渐近线交于A ，B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D题型十七：坐标法例98．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF AF ⊥时，AF BF =.求双曲线C 的离心率.例99．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 是其左顶点.若双曲线上存在点P 满足1232PA PF PF =+，则该双曲线的离心率为___________.例100．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与x 轴切于点F ，与y 轴交于A ，B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为______.例101．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：2214F N F M =，则E 的离心率的取值范围是___________.例102．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD例103．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________.题型十八：利用焦半径的取值范围例104．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.例105．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例106．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．(1,1D ．)1⎡+∞⎣例107．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．例108．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.例109．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十九：四心问题例110．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>）的左､右焦点分别为()1,0F c -和()212,0,,b F c M x c ⎛⎫⎪⎝⎭为C 上一点，且12MF F △的内心为()2,1I x ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35例111．（2022·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5例112．（2022·江苏·高二单元测试）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2 D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例114．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线222:1(0)2x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 右支上一点，若12PF F △的重心为11,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．3例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12B C D例116．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在第一象限内，2PF a =，G 为12PF F △重心，且满足11112GF F P GF F F ⋅=⋅，线段2PF 交椭圆C 于点M ，若24F M MP =，则椭圆C 的离心率为（ ）。
高中数学合格考资料 专题08 统计
专题08统计考点一：随机抽样1．（2023春·湖南）某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）A．162cm B．164cm C．166cm D．168cm【答案】C【分析】由分层抽样与平均数的概念求解，【详解】由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，故样本平均数为1706160416610⨯+⨯=，估计该校学生的平均身高是166cm故选：C2．（2023·云南）高一年级有男生210人，女生190人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有21人，则该样本的样本容量为（）A．30B．40C．50D．60【答案】B【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义列式计算作答.【详解】依题意，该样本的样本容量为21(210190)40 210⨯+=.故选：B3．（2023春·新疆）某兴趣班有男生35人，女生25人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班学生中抽出一个容量为12的样本．如果样本按比例分配，那么女生应抽取（）A．3人B．4人C．5人D．6人【答案】C【分析】按照分层比例抽取，即可求解.【详解】女生应抽取251252535⨯=+人.故选：C4．（2022春·贵州）某班有男生25人，女生15人，现用分层抽样的方法从该班抽取8人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解.【详解】由题意，某班有男生25人，女生15人，用分层抽样的方法从该班抽取8人参加志愿者活动，所以应抽取的女生人数为81532515⨯=+人.故选：B.5．（2021秋·贵州）某校有高一年级学生1000名，高二年级学生1200名，高三年级学生1100名，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取330名学生，则抽取的高三年级学生人数为（）A．50B．70C．90D．110【答案】D【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】由题意得抽取的高三年级学生人数为1100330110100012001100⨯=++，故选：D6．（2021春·贵州）某班有45名学生，其中男生25人，女生20人．现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】利用分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为用分层抽样的方法，所以应抽取的男生人数为259545⨯=，故选：C7．（2023·广东）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为.【答案】9【分析】由分层抽样的定义按比例计算.【详解】由题意高二抽取的人数为450279 400450500⨯=++．故答案为：9.8．（2022春·天津）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为.【答案】8【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】由题意可知抽取男运动员的人数为561485642⨯=+，故答案为：8.9．（2022·湖南）一支游泳队有男运动员20人，女运动员12人，按性别分层，用分层随机抽样从全体运动员抽取一个容量为8的样本，那么抽取的女运动员人数为.【答案】3【分析】根据抽样比例,即可求解.【详解】抽取的女运动员人数为128=332⨯故答案为:310．（2021秋·吉林）某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：98考点二：总体百分位估计值1．（2023春·新疆）数据12,13,14,15,17,18,19,20,24,26的第80百分位数为（）A ．20B ．22C ．24D ．25【答案】B【分析】由第80百分位数的求法求解即可.【详解】因为按从小到大排列的数据12,13,14,15,17,18,19,20,24,26共有10个数据，而1080%8⨯=，所以这组数据的第80百分位数为第8个与第9个数据的平均数，即为2024222+=.故选：B2．（2022春·浙江）某校高二年级开展数学测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计．将所得成绩分成5组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．则第80百分位数约为（）A ．0.04B ．92.5C ．85D ．90【答案】B【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得m ，再利用第80百分位数的定义求解.【详解】解：因为()0.010.070.060.0251m ++++⨯=，所以0.04m =，设第80百分位数为x ，则()()0.010.070.065900.040.8++⨯+-⨯=x ，解得92.5=x ，故选：B3．（2021秋·吉林）有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A ．165B ．168C ．170D ．171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.4．（2021秋·广西）2022年7月21日至30日某地区的最高温度（单位：℃）分别为：33，33，32，36，34，35，35，37，34，38，则这组数据的65%分位数是.【答案】35【分析】根据百分位数的计算公式计算即可.【详解】将33，33，32，36，34，35，35，37，34，38，按照从小到大的顺序排列，得32,33,33,34,34,35,35,36,37,38共10个数，由65%10 6.5⨯=，得这组数据的65%分位数是第7个数，所以这组数据的65%分位数是35.故答案为：35.考点三：计算平均数、众数，中位数1．（2023·河北）某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（）A ．8808B ．9696C ．10824D ．11856【答案】C【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为：()12853674632903357196984517x =⨯++++++=（件），∴每月（按30天计算）代收快递约为4513013530⨯=件，∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为135300.810824⨯=元.故选：C.2．（2023·山西）中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（）A ．中位数B ．极差C ．平均数D ．方差【答案】A【分析】根据题意，结合中位数的定义，即可判断和选择.【详解】其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩．若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛.故选：A ．3．（2021·吉林）已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（）A ．27.5B ．28.5C ．27D ．28【答案】A【解析】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：16,17,19,22,25,27,28,30,30,32,36,40，所以这组数据的中位数是272827.52+=.故选：A.4．（2021秋·贵州）如图所示茎叶图表示的数据中，中位数是（）A ．65B ．77C ．81D ．89【答案】B【分析】根据中位数的概念即可得出结果.【详解】根据茎叶图，该组数据从小到大：65,66,73,75,77,78,81,84,89，所以中位数为：77.故选：B5．（2021秋·广东）如图是表示某班6名学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（）A ．87B ．86C ．85.5D ．85【答案】A【分析】利用平均数公式求得平均成绩.【详解】解：这6名学生的平均成绩为()1768585869397876x =+++++=，故选：A.6．（2021春·贵州）如图所示茎叶图表示的数据中，众数是（）A ．78B ．79C ．82D ．84【答案】D【分析】根据茎叶图，看出现次数最多的数据是哪个，即可得答案.【详解】根据茎叶图可知，只有84出现的次数最多为2次，其余数均出现1次，故众数为84，故选：D7．（多选）（2023春·浙江）给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的（）A ．中位数为5B ．方差为85C ．平均数为5D ．85%分位数为8【答案】ACD【分析】将数据从小到大排列，再求出平均数、中位数、方差及第85%分位数.【详解】将数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8按小到大的顺序排列为：1,3,3,3,4,6,6,8,8,8则这组数据的中位数为4652+=，故A 正确；平均数为：13383462510+⨯+⨯++⨯=，故C 正确；则方差为()()()()()2222211545353853652 5.810⎡⎤-+-+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，故B 错误；因为1085%8.5⨯=，所以第85%分位数是从小到大第9个数字为8，故D 正确，故选：ACD8．（2021春·福建）数据1，2，2，2，3的中位数是.【答案】2【分析】根据中位数的概念判断即可；【详解】解：数据从小到大排列为1、2、2、2、3，故中位数为2；故答案为：2考点四：平均数、众数，中位数的估计值（小题）1．（2023·河北）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（）A ．65B ．75C ．85D ．95【答案】C【详解】根据频率分布直方图中频率值最大的组为(]80,90,则众数为8090852+=故选:C.2．（2023·河北）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是（）A ．80.75B ．81.25C ．82.50D ．82.75【答案】B【详解】根据频率分布直方图可知前四组的频率分别为0.005100.05,0.015100.15,0.025100.25,0.040100.40⨯=⨯=⨯=⨯=，前三组频率之和为0.050.150.250.450.5++=<，所以中位数在(]80,90组，设中位数为x ，则()0.450.040800.5x +⨯-=，解得81.25x =.故这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是81.25.故选：B.3．（2023·河北）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（）A ．79.0B ．79.5C ．81.0D ．82.5【答案】B【详解】根据题意可得，平均数的估计值为：()550.005650.015750.025850.04950.0151079.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：B4．（2022春·贵州）某校高一年级一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，估计该次考试成绩的众数为（）A ．65B ．75C ．85D ．95【答案】C【分析】根据众数的定义求解即可【详解】由频率分布直方图可知考试成绩在80到90的最多，所以该次考试成绩的众数为85，故选：C5．（2021春·河北）为了更好地锻炼身体，某人记录了自己4月份（共30天）每天行走的步数，将每天行走的步数（单位：千步）进行如下分组：[)0,5，[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[]25,30，并作出如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图估计此人每天行走步数（单位：千步）的众数是（）A．10B．12.5C．15D．17.5(2)若按此锻炼习惯，估计此人未来30天中行走不少于2万步的天数是（）A．3B．5C．6D．10(3)若同一组数据以这组区间的中点值作代表，估计此人该月平均每天行走的步数（单位：千步）是（）A．13.5B．14.5C．15.5D．16.5【答案】(1)B(2)C(3)B【分析】（1）众数出现在频率最大的分组内，众数就是频率最高的分组中间值；（2）未来30天中行走不少于2万步的天数等于不少于2万步的频率×30；（3）该月平均每天行走的步数等于每组数值的中间值乘频率再相加.【详解】（1）每天行走的步数在区间[0,5)内的频率为0.01×5=0.05，在区间[5,10)内的频率为0.04×5=0.2，在区间[10,15)内的频率为0.06×5=0.3，在区间[15,20)内的频率为0.05×5=0.25，在区间[20,25)内的频率为0.03×5=0.15，在区间[25,30]内的频率为0.01×5=0.05.因为每天行走的步数在区间[10,15)内的频率最大,所以每天行走步数的众数在区间[10,15)内，所以每天行走步数的众数是12.5.故选：B.（2）由（1）知，因为每天行走不少于2万步的频率为0.15+0.05=0.2,所以估计此人未来30天中行走不少于2万步的天数是30×0.2=6.故选：C.（3）由（1）知，估计此人该月平均每天行走的步数为2.5×0.05+7.5×0.2+12.5×0.3+17.5×0.25+22.5×0.15+27.5×0.05=14.5.故选：B.6．（2023春·湖南）为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是分钟.【答案】45【分析】由频率分布直方图数据求解，【详解】由图可知人数最多的组别在4050-组，故众数的估计值为45，故答案为：45考点五：频率分布直方图1．（2022春·天津）从某校抽取100名学生进行一周课外阅读时间调查，发现他们的一周课外阅读时间都在0~18小时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的学生中，课外阅读时间落在区间[)10,12内的人数为（）A ．6B ．8C ．12D ．25【答案】C 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.【详解】由题知,课外阅读时间落在区间[)10,12内的频率为0.06020.12⨯=，则课外阅读时间落在区间[)10,12内的人数为1000.1212⨯=.故选：C2．（2021春·天津）某学校的环保志愿者小组为了研究本校学生家庭用电情况，在全校学生家庭中抽取了100户进行调查，发现他们的用电量都在50~400kW h ⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则在被调查的用户中，用电量落在区间[)250,300内的户数为（）A ．28B ．16C ．14D ．7【答案】C 【分析】由频率分布直方图求出频率，即可计算出频数.【详解】由频率分布直方图可知用电量落在[)250,300的频率为0.0028500.14⨯=,所以用电量落在[)250,300内的户数为1000.1414⨯=.故选：C3．（2021秋·青海）现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（）A ．34B ．67C ．340D ．670【答案】D 【分析】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可.【详解】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：()0.0330.0240.0080.002100.67+++⨯=，所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为10000.67670⨯=.故选：D4．（2021春·贵州）某校初二年级学生一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则该图中a 的值为（）A ．110B ．150C ．1100D ．1200【答案】D【分析】根据所有小矩形的面积之和为1，列出方程，从而可得出答案.【详解】解：根据频率分布直方图可得：()1047621a a a a a ++++=，解得1200a =.故选：D.5．（2023·云南）从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则直方图中a 的值为.【答案】0.1/110【分析】根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，列式计算作答.【详解】由频率分布直方图知，(0.050.030.02)51a +++⨯=，解得0.1a =，所以直方图中a 的值为0.1.故答案为：0.16．（2021·吉林）在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是【答案】40【解析】先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用120.3即可得出答案.【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：()0.0050.01200.3+⨯=，则该班学生人数是12400.3=.故答案为：40.7．（2022·山西）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，⋅⋅⋅，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】（1）77.5；（2）160(人).【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+⨯=，从而有：样本中分数小于70的频率为10.60.4-=，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[)70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4-+⨯=-所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，从而有，样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=，进而得，样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，所以总体中女生人数为40400160100⨯=(人).8．（2022春·浙江）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.(1)求第三组[)60,70的频率；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.【答案】(1)0.2(2)平均值为73.8，第25百分位数为64.5【分析】（1）利用频率分布直方图求解；（2）利用平均数和第25百分位数的定义求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.9．（2022秋·福建）某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：[)[)[]40,50,50,60,,90,100 ，整理得到频率分布直方图，如图．(1)若0.002,0.006a b ==，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间[)60,70内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．【答案】(1)80.4(2)20【分析】（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；（2）根据直方图面积等于1，求出a ，再将频率作为概率计算即可.【详解】（1）由直方图可知：平均成绩450.02550.02650.06750.4850.3950.280.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即平均成绩为80.4；（2）由于在[)60,70内有8人，0.008b ∴=，∴a =0.001，低于60分的人数约为20.00110100020⨯⨯⨯=人；综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.10．（2021秋·河南）从某部门参加职业技能测试的2000名员工中抽取100名员工，将其成绩（满分100分）按照[20,40)，[40,60)，60.80[)，[80,100]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该部门参加测试员工的成绩的中位数；（2）估计该部门参加测试员工的平均成绩.【答案】（1）中位数为70分.（2）平均成绩为68分.【分析】（1）频率分布直方图中中位数把频率等分，即在频率分布直方图中中位数对应的点（过此点与x 轴垂直的直线）把矩形的面积等分，由此可计算中位数；（2）用各组中点值作为这组的估计值乘以频率的相加．【详解】解：（1）设中位数为x 分.因为前2组频率之和为0.10.20.30.5+=<，而前3组频率之和为0.10.20.4070.5++=>，所以6080x ≤<.由0.0260)0.50.10.2x -=-+(()解得70x =.故可估计该部门参加测试员工的成绩的中位数为70分.（2）抽取的100名员工的平均成绩300.1500.2700.4900.3x =⨯+⨯+⨯+⨯310282768=+++=.故可估计该部门参加测试员工的平均成绩为68分.11．（2021秋·广西）某中学组织学生到某电池厂开展研学实践活动，该厂主要生产型号为2号的干电池．为了解2号干电池的使用寿命，在厂技术员的指导下，学生从某批次2号干电池中随机抽取50节进行测试，得到每一节电池的使用寿命（单位：h ）数据，绘制成如下的统计表．请根据表中提供的信息解答下列问题．使用寿命分组/h 频数频率[)5,10a 0.08[)10,15140.28[)15,20200.40[)20,25b c []25,3040.08(1)求表中a ，b ，c 的值，并将如下频率分布直方图补充完整；(2)试估计该批次2号干电池的平均使用寿命．【答案】(1)4a =，8b =，0.16c =，频率分布直方图见解析(2)16.9h【分析】（1）根据：样本容量⨯频率=频数，结合频率和为1计算得到a ，b ，c 的值，并根据频率分布表画出频率分布直方图；（2）由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，即可求出平均寿命．【详解】（1）500.084a =⨯=，1(0.080.280.40.08)0.16c =-+++=，500.168b =⨯=，所以区间[)20,25对应的频率/组距为0.160.0325=，频率分布直方图如图所示：.（2）根据频率分布直方图，计算平均寿命为：7.50.016512.50.056517.50.08522.50.032527.50.0165⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯16.9=，所以该批次2号干电池的平均使用寿命为16.9h ．考点六：方差1．（2021秋·河南）已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为5，方差为2，则样本数据13x +，23x +，33x +，43x +，53x +，63x +的平均数和方差分别为（）A ．8和2B ．8和5C ．5和3D ．5和8【答案】A【分析】由新数列与原数据之间的线性关系求均值和方差．【详解】样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为5，方差为2，则样本数据13x +，23x +，33x +，43x +，53x +，63x +的平均数是538+=，方差是2122⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查均值和方差，掌握均值和方差的性质是解题关键．样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数是x ，方差是2s ，则新样本数据：12,,n ax b ax b ax b +++ ,的均值为ax b +，方差为22a s ．2．（2021·贵州）甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是（）A ．甲稳定B ．乙稳定C ．一样稳定D ．不能确定【答案】A 【分析】计算平均数，方差，通过比较方差的大小来确定谁更稳定.【详解】甲命中环数的平均数()16899885x =++++=甲，方差()()()()()22222216688898988855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲.乙命中环数的平均数()11097385x =++⨯=乙，方差()()()()()222222181087878789855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙.因为22s s >乙甲，所以甲比乙射击成绩稳定.故选：A.3．（2022·北京）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲8.17.98.07.98.1乙7.98.08.18.57.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,s s 甲乙，则：2s 甲2s 乙（填“>”，“=”或“<”）．【答案】<【分析】计算出22,s s 甲乙，由此确定正确答案.【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455s =⨯=甲.乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255s =⨯+⨯=乙，所以22s s <甲乙.故答案为：<4．（2022·山西）如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是.①若甲､乙射击成绩的平均数分别为12,x x ，则12x x <②若甲､乙射击成绩的方差分别为2212,s s ，则2212s s <③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数④乙比甲的射击成绩稳定【答案】③④【分析】从图中得到甲、乙的射击成绩进而求出其平均数、中位数，可以判断①错误，③正确；甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，可以判断②错误、④正确.【详解】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.甲､乙射击成绩的平均数分别12,x x ，则()1149910679866x =⨯+++++=，()213767557766x =⨯+++++=，所以12x x >，所以①错误；从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即2212s s >，所以②错误；甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.故答案为：③④5．（2023·北京）某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：1班89101111152班7789911123班57999101421①设样本中1班数据的均值为1μ，2班数据的均值为2μ，则1μ2μ（填“＞”或“＜”）；②设样本中2班数据的方差为22s ，3班数据的方差为23s ，则22s 23s （填“＞”或“＜”）．【答案】＞＜【分析】根据均值和方差的计算公式，分别计算1μ，2μ和22s ，23s ，再比较大小即可【详解】由表中数据得1132(8910111115)63μ=+++++=，21(778991112)97μ=++++++=，所以12μμ>；设样本中3班数据的均值为3μ，则31(579991014)97μ=++++++=，所以222222222122[(2)(2)(1)0023]77s =-+-+-++++=，222222223146[(4)(2)00015]77s =-+-+++++=，所以2223s s <，故答案为：①＞；②＜．6．（2023·广东）甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下：甲868659乙6778104求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况.【答案】答案见解析【分析】根据平均数和方差公式可求得甲和乙分数的平均数和方差，结合平均数与方差的大小关系可得出结论.【详解】解：甲分数的平均数为86865976x +++++==甲，方差为()()()()()()222222287678767579726s -+-+-+-+-+-==甲，乙分数的平均数为677810476x +++++==乙，方差为()()()()()()222222267777787107471063s -+-+-+-+-+-==甲，所以，x x =乙甲，22s s <甲乙，故甲乙分数的平均数相同，但甲比乙发挥更为稳定.。
【(2020-2022)三年真题分项汇编】第28讲 概率与统计(解答题)(理科专用)(学生版)
三年专题15 概率与统计（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B ̅|A)与P(B|A )P(B ̅|A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． （ⅰ）证明：R =P(A|B)P(A |B)⋅P(A |B̅)P(A|B ̅)；（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̅)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，3．【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.4．【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.5．【2021年新高考2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．6．【2020年新课标1卷理科】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮，空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.7．【2020年新课标2卷理科】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi ，yi )(i =1，2，…，20)，其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800ii ix y x y =--=∑（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi ，yi )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.8．【2020年新课标3卷理科】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，9．【2020年新高考1卷（山东卷）】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题28 数列的概念与简单表示法(解析版)
考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( ) A.a n =2n 2+3n-1 B.a n =n 2+5n-5 C.a n =2n 3-3n 2+3n-1 D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B ．158C ．34D ．38【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017【答案】B【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1. 5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又a n n ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．－8B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1), 两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3, 即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1), 结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2, 则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列, 据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A. 9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22【答案】B【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，a n a n －1＝n ＋1n －1，则a n ＝a 1×⎝⎛⎭⎫a 2a 1×⎝⎛⎭⎫a 3a 2×…×⎝⎛⎭⎫a n a n －1＝2×31×42×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{0,2}【答案】A【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=, S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= . 【答案】3【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －n 为奇数，则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= . 【答案】121【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1, 所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－12n －1 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. 16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= . 【答案】0【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-, a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0. 17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n-1【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1), 即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n , ∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) n 3－n 2＋2n 2，n ∈N *【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *. (2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴b n ＋1n ＋1－b nn ＝n ，故b n n －b n －1n －1＝n －1，…，b 33－b 22＝2，b 22－b 11＝1，n ≥2， 将上面各式累加得b n n －b 11＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n n －2，∴b n ＝n 3－n 2＋2n2，n ∈N *.19、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。
初中数学统计与概率专题训练50题(含答案)
初中数学统计与概率专题训练50题含参考答案一、单选题1．红河州博物馆拟招聘一名优秀讲解员，其中小华笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分．综合成绩中笔试占30%、试讲占50%、面试占20%，那么小华的最后得分为（）A．92分B．92.4分C．90分D．94分2．一个足球队23名队员的年龄统计结果如下表所示，这个足球队队员年龄的众数，中位数分别是（）A．14，15B．14，14C．15，13D．15，153．我校四名跳远运动员在前的10次跳远测试中成绩的平均数相同，方差s2如下表示数，如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动会，应选择的选手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，由此估计摸白色乒乓球的概率为（）A．14B．12C．13D．345．下列数据是2019年3月一天某时公布的中国六大城市的空气污染指数情况：则这组数据的中位数和众数分别是()A．162和155B．169和155C ．155和162D ．102和1556．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A ．对横锦水库水质情况的调查B ．新冠疫情期间，对某高危县市居民的体温进行调查C ．某厂生产出的口罩进行质量合格率的调查D ．春节期间对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查 7．以下调查中，适宜全面调查是（ ） A ．调查某种灯泡的使用寿命 B ．调查某班学生的身高情况 C ．调查春节联欢晚会的收视率D ．调查我市居民日平均用水量8．一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．请估计箱子里白色小球的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出红球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3410．七个人并成一排照相，如果a 表示甲、乙两人相邻的可能性，b 表示甲、乙两人不相邻的可能性，则（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定11．8名学生的鞋码（单位：原米）由小到大是21，22，22，22，23，23，24，25，则这组数据的众数和中位数是（ ） A ．23，22B ．23，22.5C ．22，22D ．22，22.512．以下问题，不适合采用全面调查方式的是（）． A ．调查全班同学对“商合杭”高铁的了解程度 B ．春运期间检查旅客的随身携带物品 C ．学校竞选学生会干部，对报名学生面试D ．了解全市中小学生对“2019年海军阅兵”的知晓程度13．若一组数据1，1，2，3，x 的平均数是2，则这组数据的众数是（ ） A ．1B ．1和3C ．1和2D ．314．河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A ．中位数是12.7%B ．众数是15.3%C ．平均数是15.98%D ．方差是015．下列说法正确的是（ ）A ．为了解一批电池的使用寿命，应采用全面调查的方式B ．数据1x ，2x ，...，n x 的平均数是5，方差是0.2，则数据12x +，22x +，...，2n x +的平均数是7，方差是2.2C ．通过对甲、乙两组学生数学成绩的跟踪调查，整理计算得到甲、乙两组数据的方差为20.3s =甲，20.5s =乙，则乙数据较为稳定D ．为了解官渡区九年级8000多名学生的视力情况，从中随机选取500名学生的视力情况进行分析，则选取的样本容量为50016．下列结论中：①ABC 的内切圆半径为r ，ABC 的周长为L ，则ABC 的面积是12Lr ；①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为12；①圆内接平行四边形是矩形；①无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．将50个数据分成3组，第一组和第三组的频率之和为0.7，则第二小组的频数是（ ） A ．0.3B ．0.7C ．15D ．3518．教练准备从甲、乙、丙、丁四个足球队员中选出一个队员去罚点球，四个队员平时训练罚点球的平均命中率x 及方差s 2如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态较稳定的队员去执行罚球，那么应选的队员是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁19．有下列调查：①了解地里西瓜的成熟程度；①了解某班学生完成20道素质测评选择题的通过率；①了解一批导弹的杀伤范围；①了解成都市中学生睡眠情况．其中不适合普查而适合抽样调查的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①20．随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次正面朝上的概率为（ ） A ．12B ．13C ．34D ．1二、填空题21．为了调查全校学生对购买正版书籍，唱片和软件的支持率，用简单的随机抽样方法，在全校55个班级中抽取8个班级，调查这8个班级所有学生对购买正版书籍，唱片和软件的支持率．在这次调查中，总体是_____，样本是_____，样本容量是_____，抽样方法 _____（填“合理”或“不合理”）．22．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择___________． 23．为完成下列任务，你认为用什么调查方式更合适？（选填“全面调查”或“抽样调查”）（1）了解一批圆珠笔芯的使用寿命________． （2）了解全班同学周末时间是如何安排的________． （3）了解我国八年级学生的视力情况________． （4）了解中央电视台春节联欢晚会的收视率________． （5）了解集贸市场出售的蔬菜中农药的残留情况________．（6）了解里约奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况________．24．我市11月份30天的最高气温变化情况如图所示，将1日－15日气温的方差记为21S ，15日－30日气温的方差记为22S ．观察统计图，比较21S ，22S 的大小：21S ______22S （填“>、=、<”）25．小张手机月基本费用为18元，某月，他把手机费中各项费用的情况制成扇形统计图（如图），则他该月的基本话费为________元．26．某校为了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到某一天各自课外阅读所用时间，结果如图．根据条形图估计这一天该校学生平均课外阅读时间为______小时．27．甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩为18米，方差分别为S甲2=0.1，S2=0.04，成绩比较稳定的是__（填“甲”或“乙”）．乙28．某社区开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从该小区的1000个家庭中选出20个家庭统计了解一个月的节水情况，见下表①请你估计这1000个家庭一个月节约用水的总量大约是________m3．29．某射击运动员在同一条件下的射击结果如下表：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率是______（结果保留小数点后两位）．30．一组数据－3，－2，1，3，6，x的中位数是1，那么这组数据的众数是___________．31．袋中装有大小相同的2个红球和3个绿球，从袋中摸出1个球摸到绿球的概率为___________．32．甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；①乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；①甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是____．33．质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________ 34．一组数据为5，7，3，x，6，4. 若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是______.35．转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是________．36．数据-5，3，4，0，1，8，2的极差为_______．37．从1-，23-，0，23，1这五个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程213axx+=-的解为正数的概率是______．38．如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生1000人，则根据此估计步行上学的有________人．39．一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是_____．40．从如图所示的四个带圆圈的数字中，任取两个数字(既可以是相邻也可以是相对的两个数字)相互交换它们的位置，交换一次后能使①，①两数在相对位置上的概率是________．三、解答题41．某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校比赛．两个队选出的五名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示，填写下表：（2）结合两个队的成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；（3）计算两队成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较稳定．42．质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等；（1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质量检查员抽取被检产品；（2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？43．某市在,,,,A B C D E五处客流中心存放共享单车，并陆续投放至城区.在D处客流中心存放了甲、乙、丙三种型号的单车，其中甲型号单车500辆.根据单车存放数量绘制了如图1的条形统计图和图2的扇形统计图.图1图2（1）补全条形统计图1，该市在五处客流中心存放共享单车共______辆，这五处客流中心单车存放量的中位数是________千辆；（2）在客流中心D处有_________辆乙型号单车；（3）张华和姐姐准备一起从所住小区每人骑一辆单车去书店.小区门口停放着甲型单车两辆，乙型和丙型单车各一辆，张华认为自己随机选中乙型单车，同时姐姐选中甲型单车的概率是13.张华的说法是否正确？请通过列树状图的方法说明理由.44．为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩按“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了名学生？(2)①请补全条形统计图；①扇形统计图中表示“及格”的扇形的圆心角度数为°(3)若该校有2400名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为“优秀”和“良好”等级的学生共有多少名？45．小明和小聪最近5次数学测验的成绩如下：小聪：76，84，80，87，73；小明：78，82，79，80，81．哪位同学的数学成绩比较稳定？46．在一个不透明的口袋中装有4个红球，3个白球，2个黄球，每个球除颜色外都相同．（1）请判断下列事件是不确定事件、不可能事件还是必然事件，填写在横线上．①从口袋中任意摸出1个球是白球；①从口袋中任意摸出4个球全是白球；①从口袋中任意摸出1个球是红球或黄球；①从口袋中任意摸出8个球，红、白、黄三种颜色的球都有；（2）请求出（1）中不确定事件的概率．47．佳佳调查了初一600名学生选择课外兴趣班的情况，根据调查结果绘制了统计图的一部分如下：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中表示“书法”的扇形圆心角的度数；（3）估计在3000名学生中选择音乐兴趣班的学生人数．48．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治全国统一考试全国卷试卷满分100分，社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，根据他们的成绩数据绘制了如下的表格和统计图：根据上面提供的信息，回答下列问题: .a，b=，c=；（1）统计表中的=（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？49．在学校组织的迎接建党100周年知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．学校将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图．(1)根据统计图，求出在此次竞赛中二班成绩为C的人数．(2)①请完成下面的表格：①结合以上统计量，请你从不同角度分析两个班级的成绩．50．某学校八年级举行“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从中随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理，得到条形统计图如下：（1）求抽取的学生测试成绩的平均数、众数和中位数；（2）该校八年级共有600名学生参加此次测试活动，试估计八年级参加此次测试的学生成绩合格的人数．参考答案：1．B【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【详解】解：小华的最后得分为90×30%+94×50%+92×20%=92.4（分），故选：B．【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．2．D【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．【详解】解：这组数据中出现次数最多的是15，所以这组数据的众数是15，这组数据中第12个数据是15，所以这组数据的中位数是15，故选：D．【点睛】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．3．D【分析】根据方差的意义进行判断即可．【详解】解：由题意知：丁的方差最小，所以丁的成绩最稳定，应选择的选手是丁，故D 正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4．A【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，利用概率公式解答即可．【详解】解：估计摸白色乒乓球的概率为901 3604，故选A．【点睛】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例即白球的概率．5．A【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．【详解】解：由图可得出这组数据中155出现的次数最多，因此，这组数据的众数是155；把这一组数据按从小到大的数序排列，在中间的两个数字是155、169，因此，这组数据的中位数是1691551622+=．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是众数以及中位数，掌握众数以及中位数的定义是解此题的关键．6．B【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A、对横锦水库水质情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；B、新冠疫情期间，对某高危县市居民的体温进行调查，适合全面调查，故本选项符合题意；C、某厂生产出的口罩进行质量合格率的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；D、春节期间对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7．B【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；B、调查某班学生的身高情况，适宜全面调查，故本选项符合题意；C、调查春节联欢晚会的收视率，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；D、调查我市居民日平均用水量，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．A【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．【详解】解：估计箱子里白色小球的个数是4(10.75)⨯-＝1（个），故选：A．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．9．C【分析】由袋子中装有2个红球，1个黄球，1个黑球，随机从袋子中摸出1个球，这个球是黄球的情况有1种，根据概率公式即可求得答案．【详解】解：①袋子中装有2个红球，1个黄球，1个黑球共2+1+1＝4个球，①摸到这个球是红球的概率是1÷2＝12．故选：C．【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．B【分析】可分析特定情况下a，b的值，比较即可．【详解】若甲站在一排最左边的位置，那么第二个位置可有6个人选择，是乙的只有1种，故a＜b．故选B．【点睛】易错点是得到特定情况下两人相邻的情况数和不相邻的情况数．11．D【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为21，22，22，22，23，23，24，25，所以中位数是22232＝22.5；数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．故选：D．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．12．D【分析】根据全面调查和抽样调查的特点对每个选项进行判断即可．【详解】A、调查全班同学对“商合杭”高铁的了解程度，适合采用全面调查，故A项错误；B、春运期间检查旅客的随身携带物品，适合采用全面调查，故B项错误；C、学校竞选学生会干部，对报名学生面试，适合采用全面调查，故C项错误；D、了解全市中小学生对“2019年海军阅兵”的知晓程度，不适合采用全面调查，故D项正确；故选：D．【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查的区别，掌握这两种调查方式的特点是解题关键．13．B【分析】先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．【详解】解：①数据1，1，2，3，x的平均数是2，①1+1+2+3+x=5×2，解得x=3，则这组数据为1，1，2，3，3，①这组数据的众数为1和3，故选：B ．【点睛】本题主要考查众数和算术平均数的求法，解题的关键是掌握算术平均数和众数的概念．14．B【详解】分析：直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．详解：A 、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%，故中位数是：15.3%，故此选项错误；B 、众数是15.3%，正确；C 、15（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）=14.98%，故选项C 错误； D 、①5个数据不完全相同，①方差不可能为零，故此选项错误．故选B ．点睛：此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，正确把握相关定义是解题关键．15．D【分析】根据普查与抽样调查的区别判断A ，根据平均数的计算方法和方差的计算方法可得出B ，根据方差的意义可得出C ，最后根据样本容量的含义进行分析即可．【详解】为了解一批电池的使用寿命，应采用抽样调查，故A 错误； 由题可得125n x x x n+++=可得，125n x x x n +++=， 所以12+25+27n x x x n n n n n +++==； 因为()()()22212-5-5-50.2n x x x n+++=， 所以()()()22212+2-7+2-7+2-7n x x x n+++，()()()22212-5-5-5=0.2n x x x n +++=．故B 错误；根据方差的意义可知，方差越小越稳定，故C错误；题目中的500确实是样本容量，故D正确；故答案选D．【点睛】本题主要考查了平均数和方差的求解，准确的理解方差意义及样本容量的意义是解题的关键．16．B【分析】①如图1，连接圆心和切点，则可得到垂直关系，此时将图形分割成三个三角形，求三个三角形的面积和即为ABC的面积；①用列举法求此种情况的概率即可；①如图3，根据矩形的判定性质：对角线相等，且互相平分的四边形是矩形，判断其是否为矩形；①根据一元二次方程根的判别式性质判断该方程有几个实数根．【详解】①如图1，连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则OE①AB，OF①AC，OD①BC；①S△ABC=12AB·OE+12BC·OD+12AC·OF①OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，①S△ABC=12AB·r+12BC·r+12AC·r=2r(AB+BC+AC)=12Lr，①①正确．①列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反，①满足硬币全部正面向上的概率=14，①①错误．①如图3，①平行四边形ABCD为圆内接平行四边形，①OA=OB=OC=OD，且圆心O是对角线的交点，①BD=2OB=2OC=AC ，①平行四边形ABCD 是矩形，①①正确．①①()()2320x x p ---=，即x 2-5x +6-p 2=0，①△=b 2﹣4ac =(-5)2-4(6-p 2)，①△=25-24+4 p 2＞0，①无论p 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，①①正确，故选：B ．【点睛】①本小问考查了三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，解答本小问的关键是，充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和；①本小问考查了用列举法求概率，解答本题的关键是列举出所能产生的全部结果，然后再找出题目所要求的结果数量除以全部结果的数量；①本小问考查了圆的性质，矩形的判定，熟练掌握并运用对角线互相平分且相等的四边形是矩形是解题的关键；①本小问考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握并运用一元二次方程根的判别式是解题的关键(①＞0时，有两个不同的实数根；①=0时，有两个相等的实数根；①＜0时，无实数根)．17．C【分析】根据频率的性质，即各组的频率和是1，求得第二组的频率；再根据频率=频数÷总数，进行计算【详解】根据频率的性质，得第二小组的频率是0.3，则第二小组的频数是50×0.3=15．故选C ．【点睛】本题考查频率、频数的关系：频率=数据数据总数．注意：各组的频率和是1．18．C【分析】先比较平均数得到乙和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选队员丙去参赛．【详解】解：①乙、丙的平均数比甲、丁大，①应从乙和丙中选，①丙的方差比乙的小，①丙的成绩较好且状态稳定，应选的队员是丙；故选：C．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．19．C【分析】根据普查适用的范围小，具有适用性，抽样调查具有代表性，机会均等的原则，不具破坏性的特点依次判断即可.【详解】①了解地里西瓜的成熟程度，不适合普查而适合抽样调查；①了解某班学生完成20道素质测评选择题的通过率，适合普查；①了解一批导弹的杀伤范围，不适合普查而适合抽样调查；①了解成都市中学生睡眠情况，不适合普查而适合抽样调查；故选：C.【点睛】此题考查普查与抽样调查的定义，正确理解两者的关系及各自的特点是解题的关键.20．C【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是34，。
2021年全国中考历史试题分类汇编专题28 第一次世界大战和战后初期的世界
A.第一次世界大战的背景B.经济大危机的根本原因
C.第二次世界大战的影响D.“冷战”对峙局面的形成
【答案】A
【解析】英国与俄国缔约的主要动机“是改变欧洲的力量对比，尤其万安加上一个对付德国的砝码”，这反映了一战前三国协约军事集团的形成，是一战的背景，故选A；1929年暴发经济大危机，根本原因是资本主义社会的基本矛盾，不符合题意，排除B；1939－1945年第二次世界大战，C项不符合题意，排除；1955年华沙条约组织成立，标志“冷战”对峙局面形成，排除D。
17.（2021年四川遂宁）变化是世界历史发展的常态，存在着一个从不断的量变到质变的过程，人类文明就是在不断变化的过程中得到丰富和发展的。请阅读材料，回答下列问题。
材料五：
(5)战争是推动国际格局变化的重要因素之一，上图反映了两次世界大战后国际关系格局变化及相关的影响因素。请根据提示信息，填出①②处对应的内容。
15.（2021年贵州黔东南）根据提示写出相关战役。
（1）有“绞肉机”“地狱”“屠场”之称的战役：______。
【答案】
（1）凡尔登战役。
【解析】
（1）1916年，德国和法国在凡尔登展开了一场历时约10个月的阵地战。这场战役异常惨烈，交战双方损失近百万人。由于死亡人数太多，此战役有“绞肉机”“地狱”“屠场”之称。德军进攻被遏止，法军由战略防御转入战略进攻。成为了第一次世界大战的转折点。
9.（2021年湖北宜昌）历史图片记录了历史瞬间的镜头，并且真实地再现了历史。下列图片中，记录了第一次世界大战的是（ ）
A.“遭到轰炸的珍珠港美军机场”B.“遭到炮轰后的凡尔登”
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精锐教育学科教师辅导讲义二、命题分析统计和统计案例主要以应用题为命题背景，考查分层抽样、系统抽样的有关计算，或三种抽样方法的区别．以及茎叶图频率分布表、频率分布直方图的识图及运用，少部分涉及到回归分析和独立性检验．一般以选择题、填空题考查，少有大题，有些只是解答题中的一问．主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法．三、复习建议②根据公式χ2＝－＋＋＋＋，计算χ2的值．A．随机抽样B．分层抽样 C．系统抽样D．以上都不是[答案] C[解析] 因为所抽取学生的学号成等差数列，即为等距离抽样，属于系统抽样．4．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A．简单随机抽样法B．抽签法 C．随机数表法D．分层抽样法[答案] D[解析] 本小题主要考查抽样方法．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，故选D.5．当前，国家正在分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题，统计数据表示，甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭180户、150户、90户，若第一批经济适用房中有70套用于解决这三个社区中70户低收入家庭的住房问题，现采用分层抽样的方法决定各社区的户数，则应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为________．[答案] 30[解析] 因为18015090＝653，故若采用分层抽样的方法，则应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为66＋5＋3×70＝30.6．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．[答案] 37 20[解析] 考查随机抽样概念及方法．由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人．7．从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．[解析] 可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下：⎪⎧y＋＋＝200⎪⎧y＝953．(文)为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] A[解析] 因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.(理)某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外出参观，若这20名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有( )A．C6020种B．A248C3612种 C．C2410C3610种D．C248C3612种[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，要在男生中选出的人数为20×3624＋36＝12(人)．女生选出的人数为20×2424＋36＝8(人)．所以组成方法有C248C3612种．4．(2010·湖北理)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9[答案] B[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为60050＝12，在第Ⅰ营区恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区共有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．5．某班有50人，其中男生30名，女生20名，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为( )A．5 B．4 C．3 D．2[答案] D[解析] 分层抽样，按3020＝32分层抽样，男人抽6人，女人抽4人．6．某地区A、B、C三家养鸡场，鸡的数量分别为12000只、8000只、4000只，为了预防禽流感，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则从A家养鸡场抽取的个体数是( )A．120 B．100 C．80 D．60[答案] D[解析]120×1200012000＋8000＋4000＝60(只)，故选D.7．某单位共有老、中、青年职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．7D ．36[答案] B[解析] 本小题主要考查分层抽样等基础知识．由题意知青、中、老年职工的人数分别为160、180、90， ∴三者比为16189， ∵样本中青年职工32人， ∴老年职工人数为18，故选B.8．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1300 样本容量130由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染得看不清楚，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是( )A ．300件B ．800件C ．500件D ．1000件[答案] B[解析] 设样品的容量为x ，则x3000×1300＝130，所以x ＝300，所以A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋(y ＋10)＝170， 所以y ＝80，所以C 产品的数量为3000300×80＝800(件)．二、填空题9．一个总体A 、B 有两层，其个体数之比为41，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为________． [答案] 40[解析] 由A 、B 两层个体数之比为41及样本容量为10知，B 层抽取2个个体，设B 层有m 个个体，则甲、乙都被抽到的概率为1（m －1）（m －2）＋…＋2＋1＝2m （－1）＝128∴m ＝8，故总体容量为8×(4＋1)＝40.10．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列．则乙生产线生产了________件产品． [答案] 5600[解析] 设甲、乙、丙分别生产了a －d 、a 、a ＋d 件，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝3a ＝16800，∴a ＝5600.11．某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品共有________． [答案] 200[解析] 设抽取的150件中甲有a 件，则有a ＋aq ＋aq2＋aq3＝150，aq ＋aq·q2＝100，①，∴a(1＋q2)＝50②，①②，得q ＝2，∴a ＝10，∴甲类产品共有3000×10150＝200(件)．三、解答题12．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师人数为n 36×6＝n6人，技术员人数为n 36×12＝n 3人，技工人数为n 36×18＝n2人，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量为n ＝6.13．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取． [分析] (1)机构改革关系到各种人不同的利益；(2)不同层次的人员情况有明显差异，故采用分层抽样． [解析] 用分层抽样方法抽取． 具体实施抽取如下： (1)∵20：100＝1：5，[解析] 本小题主要考查了频率分布直方图，考查了读图用图的能力．产品净重小于100克的频率P＝或等于98克而小于104克的产品的频率3．如图，是2010年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．84,4.84 B．84,1.6 C[答案] CA．161 cm[答案] B[解析] 本题主要考查频率分布直方图的应用，和分析解决问题的能力．由题意知，棉花纤维的长度小于20mm小于20mm的有0.3×100＝30(根)6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取492 496 494 495 498 497497 503 506 508 507 492根据用频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约________． [答案] 0.25[解析] 袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的共有5袋，所以其概率约为520＝0.25.7．为了了解高一女生的体能情况，我校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为128743，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在120以上(含120次)为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？ [解析] (1)依题意知第二小组的频率为225＝0.08，又因第二小组的频数为12，则样本容量为：120.08＝150.(2)次数在120以上(含120)的频率为：141＋2＋8＋7＋4＋3＝1425＝0.56.所以全体高一学生的优秀率为56%.（四）典型例题1.命题方向：频率分布直方图[例1] 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命(h) 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 个数2030804030(1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在100h ～400h 以内的概率；(3)由频率分布表可以看出，寿命在100h～400h400h的概率为0.65.(4)由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为400h以上的概率为0.35.[点评] 解决总体分布估计问题的一般程序为：一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估计．其具体步骤如下：将数据分组，确定合适的组距，列出频率分布表，本题中已经给出频率分布表；，横轴表示样本数据，画出直方图；(3)甲车间：平均值：x1＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是( )[答案] 乙组[解析] 根据题中所给的数据，可计算出甲组的平均数为(3)该年度每周的肥皂销售量主要在1500万块到3000万块之间．[点评] (1)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．(2)用样本的频率分布可以估计相应的概率分布．跟踪练习3某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支．该公司对这些灯管的使用寿命果如下表所示.(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率．[解析] (1)(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.233＝0.6，所以灯管使用寿命不足A ．1 000,2 000B ．40,80C ．20,40D ．10,20[分析] 根据频率分布直方图，分别计算出低收入者和高收入者的频率即可，这个频率分布直方图可以看作是容量为200的样本的频率分布直方图． [答案] C[解析] 由图可知，低收入者的频率是0.000 2×500＝0.1，故应在低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应在高收入者中抽取200×0.2＝40人．4．甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图如图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A.56分B ．57分C ．58分D ．59分[答案] C[解析] 乙中位数26，甲中位数32，和为58.5．期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M.如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ：N 为( )A ．4041B ．11 C ．4140D ．21[答案] B[解析] 设40个人的成绩依次为a 1，a 2，…，a 40，则M ＝1240+40a a a ++…当把该平均分M 当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N ＝1240+41M a a a +++…＝40M ＋M41＝M ，故M:N ＝1：1.[答案] 24、23[解析] 将零件个数和除以天数，得甲平均数为10．如图所示，是虹美电视机厂产值统计图，产值最少的是第[答案] 二；四；150[解析] 折线图描述某种现象在时间上的发展趋势．二季度最少，第四季度最多．第四季度比第二季度增产11．(2010·北京理)从某小学随机抽取100名同学，图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．[答案] 0.030 3[解析] 由所有小矩形面积为1不难得到a ＝0.030，而三组身高区间的人数比为321，由分层抽样的原理不难得到140～150区间内的人数为3人．三、解答题12．(2010·湖北文)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在答题卡上的表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] 本小题主要考查频率分布直方图，频数，概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法．(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表： 分组频率 [1.00,1.05) 0.05(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30中位数为27.5.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少，普读物需要通俗易懂、简明．。