云南省昆明市2021届高考数学调研试题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8．A
【解析】
【分析】
根据题意可知最后计算的结果为 的最大公约数.
【详解】
输入的a，b分别为 , ,根据流程图可知最后计算的结果为 的最大公约数，按流程图计算 , , , , , , ,易得176和320的最大公约数为16，
故选:A.
【点睛】
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.
23．（8分）已知动圆过定点 ，且与直线 相切，动圆圆心的轨迹为 ，过 作斜率为 的直线 与 交于两点 ，过 分别作 的切线，两切线的交点为 ，直线 与 交于两点 ．
（1）证明：点 始终在直线 上且 ；
（2）求四边形 的面积的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
又由 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】
，故 ，对应点在第三象限.
故选： .
【点睛】
本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出 的坐标，由题意求得 ，运用直线的斜率公式可得 ， ， ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且 ，由 ，可得以 为圆心， 为半径的圆与渐近线交于 ，
可得 ，可取 ，则 ，
设 ， ，则 ， ， ，
由 ， ， 成等差数列，可得 ，
A． B． C． D．ห้องสมุดไป่ตู้
2．已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
3．已知P是双曲线 渐近线上一点， ， 是双曲线的左、右焦点， ，记 ，PO， 的斜率为 ，k， ，若 ，-2k， 成等差数列，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
5．函数 在 内有且只有一个零点，则a的值为（）
A．3B．－3C．2D．－2
6．若 , , ,则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
7．设复数 满足 ，则 在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）
A．16B．18C．20D．15
9．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10． （）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得 ，
， ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由已知可得 • 4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn ，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得： 2（ ）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
，
若 ， ，
在 单调递增，且 ，
在 不存在零点；
若 ， ，
在 内有且只有一个零点，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
6．D
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由指数函数的性质，可得 ，即 ，
【详解】
如图所示：
设内切球球心为 ， 到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以截面圆的半径 ，所以截面圆的面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记 表示抽到“很幸福”的人数,求 的分布列及 ．
19．（6分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为 ,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
5．A
【解析】
【分析】
求出 ，对 分类讨论，求出 单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
11．已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，则平面 截该正方体的内切球所得截面面积为（）
A． B． C． D．
12．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
【详解】
当 时， .
当 时， 为增函数，且 ，则 是 唯一零点.由于“当 时， .”，所以
令 ，得 ，因为 ， ，
所以函数 的零点所在区间为 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3．B
【解析】
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（）
A．18B．17C．16D．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ， ， 则 _________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量 （4，﹣n）， （Sn，n+3）.若 ⊥ ，则数列{ }前2020项和为_____
15．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，则球 的表面积为__________.
16．若函数 与函数 ，在公共点处有共同的切线，则实数 的值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
分子分母同乘 ,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解: ,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
化为 ，即 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．B
【解析】
【分析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
（2）已知数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，求 大于 的最小的正整数 的值．
22．（8分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与 和 分别交于点 ，求 ．
20．（6分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 ，直线 与曲线 相交于 ， ，求 的值．
21．（6分）已知数列 满足对任意 都有 ，其前 项和为 ，且 是 与 的等比中项， ．
（1）求数列 的通项公式 ；
16．
【解析】
【分析】
函数 的定义域为 ，求出导函数，利用曲线 与曲线 公共点为 由于在公共点处有共同的切线，解得 ， ，联立 解得 的值．
【详解】
解：函数 的定义域为 ， ， ，
设曲线 与曲线 公共点为 ，
由于在公共点处有共同的切线，∴ ，解得 ， ．
由 ，可得 ．
联立 ，解得 ．
9．D
【解析】
【分析】
先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性，比较出三个数 的大小.
【详解】
当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ，故本题选D.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 年某省将实行“ ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
【详解】
∵ ⊥ ，∴ • 4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn ，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1 .
，满足上式， .
∴ 2（ ）.
∴数列{ }前2020项和为
2（1 ）＝2（1 ） .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
如图所示，将三棱锥 补成长方体，球 为长方体的外接球，长、宽、高分别为 ，计算得到 ，得到答案.
【详解】
如图所示，将三棱锥 补成长方体，球 为长方体的外接球，长、宽、高分别为 ，
则 ，所以 ，所以球 的半径 ，
则球 的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥 补成长方体是解题的关键.
17．在直角坐标系 中，长为3的线段的两端点 分别在 轴、 轴上滑动，点 为线段 上的点，且满足 .记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上的两个动点，记 ，判断是否存在常数 使得点 到直线 的距离为定值？若存在，求出常数 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
18．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
甲同学所有的选择方案共有 种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有 种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率 ，故选B．
2．A
【解析】
【分析】
首先求得 时， 的取值范围.然后求得 时， 的单调性和零点，令 ，根据“ 时， 的取值范围”得到 ，利用零点存在性定理，求得函数 的零点所在区间.
12．B
【解析】
【分析】
由题意可知“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【解析】
【分析】
根据题意可知最后计算的结果为 的最大公约数.
【详解】
输入的a，b分别为 , ,根据流程图可知最后计算的结果为 的最大公约数，按流程图计算 , , , , , , ,易得176和320的最大公约数为16，
故选:A.
【点睛】
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.
23．（8分）已知动圆过定点 ，且与直线 相切，动圆圆心的轨迹为 ，过 作斜率为 的直线 与 交于两点 ，过 分别作 的切线，两切线的交点为 ，直线 与 交于两点 ．
（1）证明：点 始终在直线 上且 ；
（2）求四边形 的面积的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
又由 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】
，故 ，对应点在第三象限.
故选： .
【点睛】
本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出 的坐标，由题意求得 ，运用直线的斜率公式可得 ， ， ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且 ，由 ，可得以 为圆心， 为半径的圆与渐近线交于 ，
可得 ，可取 ，则 ，
设 ， ，则 ， ， ，
由 ， ， 成等差数列，可得 ，
A． B． C． D．ห้องสมุดไป่ตู้
2．已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
3．已知P是双曲线 渐近线上一点， ， 是双曲线的左、右焦点， ，记 ，PO， 的斜率为 ，k， ，若 ，-2k， 成等差数列，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
5．函数 在 内有且只有一个零点，则a的值为（）
A．3B．－3C．2D．－2
6．若 , , ,则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
7．设复数 满足 ，则 在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）
A．16B．18C．20D．15
9．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10． （）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得 ，
， ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由已知可得 • 4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn ，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得： 2（ ）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
，
若 ， ，
在 单调递增，且 ，
在 不存在零点；
若 ， ，
在 内有且只有一个零点，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
6．D
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由指数函数的性质，可得 ，即 ，
【详解】
如图所示：
设内切球球心为 ， 到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以截面圆的半径 ，所以截面圆的面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记 表示抽到“很幸福”的人数,求 的分布列及 ．
19．（6分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为 ,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
5．A
【解析】
【分析】
求出 ，对 分类讨论，求出 单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
11．已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，则平面 截该正方体的内切球所得截面面积为（）
A． B． C． D．
12．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
【详解】
当 时， .
当 时， 为增函数，且 ，则 是 唯一零点.由于“当 时， .”，所以
令 ，得 ，因为 ， ，
所以函数 的零点所在区间为 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3．B
【解析】
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（）
A．18B．17C．16D．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ， ， 则 _________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量 （4，﹣n）， （Sn，n+3）.若 ⊥ ，则数列{ }前2020项和为_____
15．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，则球 的表面积为__________.
16．若函数 与函数 ，在公共点处有共同的切线，则实数 的值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
分子分母同乘 ,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解: ,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
化为 ，即 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．B
【解析】
【分析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
（2）已知数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，求 大于 的最小的正整数 的值．
22．（8分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与 和 分别交于点 ，求 ．
20．（6分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 ，直线 与曲线 相交于 ， ，求 的值．
21．（6分）已知数列 满足对任意 都有 ，其前 项和为 ，且 是 与 的等比中项， ．
（1）求数列 的通项公式 ；
16．
【解析】
【分析】
函数 的定义域为 ，求出导函数，利用曲线 与曲线 公共点为 由于在公共点处有共同的切线，解得 ， ，联立 解得 的值．
【详解】
解：函数 的定义域为 ， ， ，
设曲线 与曲线 公共点为 ，
由于在公共点处有共同的切线，∴ ，解得 ， ．
由 ，可得 ．
联立 ，解得 ．
9．D
【解析】
【分析】
先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性，比较出三个数 的大小.
【详解】
当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ，故本题选D.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 年某省将实行“ ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
【详解】
∵ ⊥ ，∴ • 4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn ，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1 .
，满足上式， .
∴ 2（ ）.
∴数列{ }前2020项和为
2（1 ）＝2（1 ） .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
如图所示，将三棱锥 补成长方体，球 为长方体的外接球，长、宽、高分别为 ，计算得到 ，得到答案.
【详解】
如图所示，将三棱锥 补成长方体，球 为长方体的外接球，长、宽、高分别为 ，
则 ，所以 ，所以球 的半径 ，
则球 的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥 补成长方体是解题的关键.
17．在直角坐标系 中，长为3的线段的两端点 分别在 轴、 轴上滑动，点 为线段 上的点，且满足 .记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上的两个动点，记 ，判断是否存在常数 使得点 到直线 的距离为定值？若存在，求出常数 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
18．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
甲同学所有的选择方案共有 种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有 种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率 ，故选B．
2．A
【解析】
【分析】
首先求得 时， 的取值范围.然后求得 时， 的单调性和零点，令 ，根据“ 时， 的取值范围”得到 ，利用零点存在性定理，求得函数 的零点所在区间.
12．B
【解析】
【分析】
由题意可知“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.