云南省昆明市2021届高考数学调研试题
2021年云南省昆明市师大第二附属中学高三数学理联考试题含解析
2021年云南省昆明市师大第二附属中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数为纯虚数，那么实数a=（）A．﹣1 B．C．1 D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．故选：C．2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V几何体=13﹣×12×1=．故选：A．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．3. 若关于x的不等式2－>|x－a| 至少有一个负数解，则a的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A略4. 已知函数，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：5. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（）A. B. C.D.参考答案：C依题，从而，于是，选C.6. 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为A. B.C. D.参考答案：C略7. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是A． B． C． D．参考答案：A8. 已知集合，，，则（）A. {5}B. {1,5}C. {2,5}D. {1,3}参考答案：D【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】解：，则，则，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础．9. 已知全集，集合，，那么（）A．B．C．D．参考答案：A略10. 已知，，则（）A．B．或C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 集合，，则.参考答案：{-2}12. 已知函数若存在，，使得，则a的取值范围是 .参考答案：略13. 设函数的定义域为A，不等式的解集为B，则参考答案：略4.已知=0，=1，则y= .参考答案：115. 若以轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数，则圆的参数方程为.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【试题分析】圆化为标准方程为，所以圆心（1,0），半径为1，所以圆上的点的坐标为，,所以圆的参数方程为（为参数）,故答案为.16. 已知点落在角的终边上，且的值为 . 参考答案：略17. 对于具有相同定义域的函数和，若存在，使得，则和在上是“亲密函数”.给出定义域均为的四组函数如下：①②③ ④其中，函数和在上是“亲密函数”的是 .参考答案：②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ， 又()00g =Q ，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A． B．C ．25-D ．25【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．532【答案】C 【解析】 【分析】 根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．)1±C ．)1±D ．【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2， 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 10．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）AB．2C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.11．若双曲线22214x y a -=）A．B．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324sin120AD ==o，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. [−1,1]D. {−2,−1,0，1，2}2.已知向量a⃗=(0,3)，b⃗ =(4,0)，则cos<a⃗，a⃗−b⃗ >=()A. 35B. 45C. −35D. −453.给出下列三个结论：①若复数z=(a2−a)+ai(a∈R)是纯虚数，则a=1；②若复数z=2i1+i，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数z满足|z|=1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”.其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()A. 13B. 23C. 15D. 165.△ABC为等腰三角形，且∠C=90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为()A. √32B. √22C. √3−1D. √2−16.已知等差数列{a n}的公差为d，有下列四个等式：①a1=−1；②d=1；③a1+a2=0；④a3=3．若其中只有一个等式不成立，则不成立的是()A. ①B. ②C. ③D. ④7.(a+b)n=C n0a n+C n1a n−1b+⋯+C n k a n−k b k+⋯+C n n b n叫做二项式定理，取a=b=1，可得二项式系数的和.执行如图所示的程序框图，如果输入n=8，则输出S=()A. 64B. 128C. 256D. 5128.已知平面α截球O所得截面圆半径为√3，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的表面积为()A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π9.智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线y=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)在[−π2,π2]上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为()A. y=2sin(πx+π6) B. y=2√33sin(2π5x−π3)C. y=2√33sin(4π5x−2π3) D. y=2sin(πx−5π6)10.已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k⋅8e−0.1x(k>0)，当x=0时，y的值表示2021年年初的种群数量.若t(t∈N∗)年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t 的最小值为()(参考值：ln3≈1.09)A. 9B. 10C. 11D. 1211.设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在C上，若∠F1PF2=π3，且|OP|=3a(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()A. y=±2√63x B. y=±√64x C. y=±2√155x D. y=±√156x12.已知函数f(x)=e x−a−lnxx−1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e,+∞)B. (√e2,+∞) C. (12,+∞) D. (1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x−y−1≥0x−y≤0x+y−6≤0，则z=−x+2y的最小值为______ ．14.甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N∗，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则(a,b)为______ .(只需填一组)甲12a b10乙12471115.两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为______ ．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+S n−1=4n2(n≥2,n∈N∗)，则S25=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，A=60°，D为BC边上一点，BD=2CD．(1)若CD=1，求sin C；(2)若△ABC的面积为2√3，求AD的长．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，AB⊥BC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点．(1)证明：CB1⊥平面ABC1；(2)若BC=2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．19.我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困.某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z(单位：千元)，整理数据(x i,y i)(i=1,2，⋯，8)得到下面的折线图，由数据(y i,z i)(i=1,2，⋯，8)得到如表．家庭(i)12345678消费支出(y)2730333537404244食品支出(z)910111312111212(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(精确到0.01)，并解释b ̂的现实生活意义；(2)恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个家庭收入越少，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数．参考数据：∑x i 8i=1=360，∑y i 8i=1=288，∑x i 8i=1y i =13310，∑x i 28i=1=16714．附：回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂==∑x n i=1y−nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 设函数f(x)=13x 3−x 2+(1−a 2)x +a 3(a ∈R)的极大值点为x 1，极小值点为x 2．(1)若x 1∈(0,1)，求a 的取值范围；(2)若∃a ∈(0,1]，f(x 1)+f(x 2)≤2m ，求实数m 的取值范围．21. 已知斜率为12的直线与圆x 2+(y −3)2=5相切，切点为T ，且T 在抛物线E ：y 2=2px(p >0)上．(1)求点T 的坐标和E 的方程；(2)已知点M(a,0)，N(2a,0)，R(4a,0)(a >0)，点A 是E 上的任意一点(异于顶点)，连接AM 并延长交E 于另一点B ，连接BN 并延长交E 于另一点C ，连接CR 并延长交E 于另一点D ，设直线AC 与BD 的交点为P.设△PAB 和△PCD 的面积分别为S 1，S 2，证明：S 1S 2为定值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =t,y =2t 2−t +√32(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0)． (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设射线θ=π3(ρ≥0)与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于M 点(异于O)，若|OM|=|AB|，求a ．23. 已知关于x 的不等式2a +3b +4c ≤|x|+|x −1|(x ∈R)恒成立．(1)求2a +3b +4c 的最大值；(2)当a >−12，b >13，c >−12，2a +3b +4c 取得最大值时，证明：12a+1+13b−1+14c+2≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|−1≤x ≤1}，B ={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−1,0，1}． 故选：A ．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ =(0,3)，b ⃗ =(4,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)， ∴cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |⋅|a ⃗ −b⃗ |=93×5=35．故选：A ．先求出a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，再由cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |⋅|a ⃗ −b⃗ |，能求出结果． 本题考查向量的余弦值的求法，考查向量夹角余弦公式等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：①若复数z =(a 2−a)+ai(a ∈R)是纯虚数，则{a 2−a =0a ≠0，解得a =1，故①正确； ②因为复数z =2i1+i=(1+i)21+i=1+i ，则复数z 在复平面内对应的点(1,1)在第一象限，故②错误；③设z =x +yi(x,y ∈R)，因为复数z 满足|z|=√x 2+y 2=1，所以x 2+y 2=1，即z 在复平面内所对应点的轨迹是圆，故③正确； 综上所述，所有正确结论的个数是2个， 故选：C ．①复数z=(a2−a)+ai(a∈R)是纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，从而可判断①的正误；②化简复数z=2i1+i=1+i，由复数的几何意义可判断②的正误；③设z=x+yi(x,y∈R)，依题意，可得x2+y2=1，可判定③的正误．本题考查复数的代数表示及其几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，基本事件总数n=C62=15，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m=C11C51=5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=mn =515=13．故选：A．基本事件总数n=C62=15，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m=C11C51=5，由此能求出其中一个是安宁温泉小镇的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C=90°，可知：△ABC是等腰直角三角形，设：BC=2c，AC=2c，AB=2√2c由椭圆的定义可知：2√2c+2c=2a，则椭圆的离心率：e=ca =√2+1=√2−1．故选：D．由题意首先确定△ABC的形状，然后结合离心率的定义和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果．本题考查了椭圆的离心率的求解，等腰直角三角形的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．6.【答案】B【解析】解：假设①②成立，则a 1=−1，d =1，a 1+a 2=−1+0=−1≠0，③不成立，a 3=2≠3，④不成立；故①②不可能同时成立，则③④一定同时成立， 即a 1+a 2=0，a 3=3，所以{2a 1+d =0a 1+2d =3，解得d =2，a 1=−1，所以②不成立． 故选：B ．由已知结合等差数列的通项公式分析各条件即可判断．本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了分析问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =C 80+C 81+C 82+...+C 88的值， 由于(a +b)n =C n 0a n +C n 1a n−1b +⋯+C n k a n−k b k +⋯+C n n bn ， 取a =b =1，n =8，可得(1+1)8=C 80+C 81+C 82+...+C 88=28=256．故选：C ．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =C 80+C 81+C 82+...+C 88的值，根据已知利用二项式定理即可求解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了二项式定理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图，设平面α截球O 所得小圆为圆G ，圆心为G ， 由题意可得，PG =3，AG =√3，再设球的半径为R，则(3−R)2+(√3)2=R2，解得：R=2．∴球O的表面积为4πR2=4π×4=16π．故选：C．由题意画出图形，利用勾股定理求得球的半径，再由球的表面积公式得答案．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：根据曲线y=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)在[−π2,π2]上大致图象，可得Asin(0+π6)=1，∴A=2．再根据五点法作图，可得ω×56+π6=π，∴ω=π，故函数的解析式为y=2sin(πx+π6)，故选：D．由函数的特殊点坐标求出A，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的特殊点坐标求出A，由五点法作图求出ω的值，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知y0=k×8e0=8k，∴y1≤14y0，即k⋅8e−0.1t≤14×8k，∴23e−0.1t≤2，∴e−0.1t≤13，∴t≥ln30.1≈10.9．故选：C．利用题中的条件列出等式，表示出k的值，进而可解出结果．本题考查了函数模型的实际应用，指数和对数不等式的解法，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设P 在双曲线的右支上，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 由双曲线的定义可得m −n =2a ，又PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方可得PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即为9a 2=14(m 2+n 2+2mncos π3)=14[(m −n)2+3mn]=14(4a 2+3mn)， 可得mn =323a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2=m 2+n 2−2mncos π3=(m −n)2+2mn −mn =4a 2+323a 2，化为c =√333a ，则b =√c 2−a 2=2√63a ， 所以双曲线的渐近线方程为y =±2√63x.故选：A ．由双曲线的定义和向量的中点表示，结合三角形的余弦定理，可得a ，c 的关系，求得a ，b 的关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理、向量的中点表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：依题意，e x−a −1=lnx x有且仅有两个根，即函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点， 而ℎ′(x)=1−lnx x 2，易知函数ℎ(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且x →0时，ℎ(x)→−∞，x →+∞时，ℎ(x)→0，函数g(x)=e x 0−a −1相当于函数y =e x −1在水平方向向左(或右)平移了|a|个单位，作出函数g(x)与ℎ(x)的草图如下，当曲线g(x)与曲线ℎ(x)恰好相切时，设切点为(x 0,y 0)，则{e x 0−a −1=lnxx 0e x 0−a =1−lnx 0x 02，解得{x 0=1a =1， 由图象可知，当a >1时，函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点，符合题意．故选：D ．依题意，函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得出答案．本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =02x −y −1=0，解得A(1,1)，由z =−x +2y ，得y =x2+z2，由图可知，当直线y =12x +z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−1+2=1． 故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】(6,6)(其它答案；(5,7)，(7,5)，(4,8)，(8,4))【解析】解：由题意可得，1+2+a+b+10=1+2+4+7+11，所以a+b=12，平均数为5，因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以(1−5)2+(2−5)2+(a−5)2+(b−5)2+(10−5)2<(1−5)2+(2−5)2+(4−5)2+(7−5)2+ (11−5)2，即(a−5)2+(b−5)2<16，所以(a,b)可以为(4,8)，(6,6)，(5,7)，(7,5)，(8,4)．故答案为：(6,6)(其它答案：(5,7)，(7,5)，(4,8)，(8,4))．由平均数相等求出a+b的值，再利用方差列出不等式，求解即可．本题考查了特征是的理解和应用，主要考查了平均数和方差计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.【答案】√62【解析】解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：根据正弦定理得：{1√32=Gsin75∘2√22=Gsin75∘，∴F1F2=√3√2=√62．故答案为：√62．可设这捆书所受的重力为G，根据力的合成，画出力的合成图形，然后根据正弦定理即可求出F1与F2的大小之比．本题考查了力的合成，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】1297【解析】解：∵S n +S n−1=4n 2(n ≥2,n ∈N ∗)，S n+1+S n =4(n +1)2， 相减可得：a n+1+a n =8n +4，∴S 25=1+8(2+4+⋯…+24)+12×4=49+8×12×(2+24)2=1297．故答案为：1297．由S n +S n−1=4n 2(n ≥2,n ∈N ∗)，S n+1+S n =4(n +1)2，相减可得：a n+1+a n =8n +4，通过分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、分组求和、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意得BD =2，则BC =3，在△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =csinC ，即√32=2sinC ，所以sinC =√33．(2)因为S △ABC =12bcsinA =√32b =2√3，所以b =4，由BD =2CD 可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =19×22+49×2×4×12+49×42=849，所以AD =2√213．【解析】(1)由已知结合正弦定理即可直接求解sin C ；(2)由已知结合三角形面积公式可求b ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求． 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，向量数量积的性质，属于中档题．18.【答案】(1)证明：设BC 中点为D ，连结C 1D ，因为C 1在底面ABC 上的射影为BC 中点，所以C 1D ⊥平面ABC ， 又因为C 1D ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面ABC ， 又因为平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 因为B 1C ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥B 1C ，(4分) 又因为四边形BCC 1B 1为菱形， 所以B 1C ⊥BC 1，而AB ∩BC 1=B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1.(6分)(2)解：不妨设BC =2，则AB =1，因为C 1D ⊥BC ，BD =DC ，所以C 1B =C 1C ，又因为四边形BCC 1B 1为菱形，所以C 1C =CB ，故△C 1BC 为等边三角形， 所以∠BCC 1=60°，故C 1D =√3，由(1)知AB ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥BC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系B −xyz 如图，B(0,0，0)，A(0,1，0)，C(2,0，0)，B 1(−1,0,√3)，C 1(1,0,√3)， 所以CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,√3)，(8分)设平面ACC 1A 1法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,√3)， 由{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0， 可得一个n ⃗ =(√3,2√3,1)，(10分) 设CB 1与平面ACC 1A 1所成角为θ，则sinθ=|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3+√3|2√3×4=14，所以CB 1与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为14.(12分)【解析】(1)设BC 中点为D ，连结C 1D ，推出C 1D ⊥平面ABC ，得到平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，然后证明AB ⊥平面BCC 1B 1，推出AB ⊥B 1C ，结合B 1C ⊥BC 1，证明B 1C ⊥平面ABC 1．(2)以B 为原点，建立空间直角坐标系B −xyz ，求出平面ACC 1A 1法向量，利用空间向量的数量积求解CB 1与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知，x −=∑x i 8i=18=3608=45，y −=∑y i 8i=18=2888=36， 所以b ̂=∑x i 8i=1y 1−8x −⋅y−∑x i 28i=1−8x−2=13310−8×45×3616714−8×452=175257≈0.681≈0.68，故a ̂=y −−b ̂x −≈36−0.681×45≈5.36，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=0.68x +5.36，b ̂的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元； (2)由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为38×40=15(户)．【解析】(1)先求出样本中心，然后利用参考公式求出b ̂,a ̂，即可得到线性回归方程，分析b ̂的现实意义即可；(2)列出8户脱贫家庭的恩格尔系数的表格，由此分析求解即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=13x 3−x 2+(1−a 2)x +a 3(a ∈R)，则f′(x)=x 2−2x +1−a 2=[x −(1−a)][x −(1+a)]，①当1+a =1−a ，即a =0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，与题设矛盾，则a ≠0； ②当1+a <1−a ，即a <0时，f(x)在(−∞,1+a]，[1−a,+∞)上单调递增， 在(1+a,1−a)上单调递减，所以x 1=1+a ，由0<1+a <1，解得−1<a <0； ③当1+a >1−a ，即a >0时，f(x)在(−∞,1−a]，[1+a,+∞)上单调递增， 在(1−a,1+a)上单调递减，所以x 1=1−a ，由0<1−a <1，解得0<a <1．综上所述，a 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)；(2)因为f(x)=13(x −1)3−a 2(x −1)+a 3−a 2+13， 所以f(x)图象关于(1,a 3−a 2+13)对称，而x 1+x 22=1，所以f(x 1)+f(x 2)2=f(1)，又因为∃a ∈(0,1]使f(x 1)+f(x 2)≤2m ，即∃a ∈(0,1]使m ≥f(1)=a 3−a 2+13， 令g(x)=x 3−x 2+13，x ∈(0,1]，所以g′(x)=3x 2−2x =x(3x −2)，可得g(x)在(0,23]上单调递减，(23,1]单调递增， 所以g(x)min =g(23)=527，则m ≥527， 综上，m 的取值范围为[527,+∞)．【解析】(1)求出导函数f′(x)，然后根据导函数两个根的大小关系进行分类讨论，由极值的定义确定x 1的值，利用x 1∈(0,1)，求解a 的取值范围即可； (2)利用函数f(x)的对称性，求出f(x 1)+f(x 2)2=f(1)，从而将所求不等式转化为∃a ∈(0,1]，使m ≥f(1)=a 3−a 2+13，构造函数g(x)=x 3−x 2+13，x ∈(0,1]，利用导数求g(x)的最小值，即可得到答案． 本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式存在性问题或恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．21.【答案】(1)解：由已知可得，经过T 和圆心的直线方程为y =−2x +3，代入x 2+(y −3)2=5得5x 2=5，x =1或x =−1(舍去)， 所以T(1,1).(2分)由点T 在抛物线上，得12=2p ×1，所以p =12， 故E 的方程为y 2=x.…(4分)(2)证明：设A(m 2,m)(m ≠0)，直线AB 的方程为x =ty +a ，代入E 的方程，得y 2−ty −a =0，所以my B =−a ，所以y B =−am ，所以B(a 2m2,−am)，同理可得C(4m 2,2m)，D(4a 2m 2,−2am )，直线AC 的方程为y −m =13m (x −m 2)，即x −3my +2m 2=0， 直线BD 的方程为y +am=−m3a (x −a 2m 2)，即x +3a my +2a 2m 2=0．由{x −3my +2m 2=0,x +3a m y +2a 2m 2=0,得y P =23(m −a m )，(8分) 则S 1S 2=12|PA||PB|sin∠APB 12|PC||PD|sin∠APB =|PA||PC|×|PB||PD|=y P −y A y P −y C×y P −y B y P −y D．而y P −y A =23(m −am )−m =−13(m +2am )， y P −y C =23(m −am )−2m =−23(2m +am )， y P −y B =23(m −am )+a m =13(2m +am)， y P −y D =23(m −am)+2a m=23(m +2a m)，所以S1S 2=14是定值．(12分)【解析】(1)求出经过T 和圆心的直线方程为y =−2x +3，代入x 2+(y −3)2=5求出T 的坐标，由点T 在抛物线上，求出p ，然后求解抛物线方程．(2)设A(m 2,m)(m ≠0)，直线AB 的方程为x =ty +a ，代入E 的方程，得y 2−ty −a =0，求出B(a 2m 2,−am )，求出C(4m 2,2m)，D(4a 2m 2,−2a m)，求出直线AC 的方程，直线BD 的方程，然后推出面积的比值的表达式，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线以及圆的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 1：{x =t,y =2t 2−t+√32(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：y =2x 2−x +√32，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为曲线C 1的极坐标方程为：2ρ2cos 2θ−ρ(sinθ+cosθ)+√32=0；曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0).根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为曲线C 2的直角坐标方程为：(x −a)2+y 2=a 2．(2)将θ=π3代入2ρ2cos 2θ−ρ(sinθ+cosθ)+√32=0，得12ρ2−√3+12ρ+√32=0， 即(ρ−1)(ρ−√3)=0， 解得ρ1=1，ρ2=√3， 所以|AB|=|ρ2−ρ1|=√3−1．又|OM|=2acos π3=a ， 而|OM|=|AB|， 所以a =√3−1．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：∵|x|+|x −1|={1−2x,x <01,0≤x ≤12x −1,x >1，作出函数f(x)=|x|+|x −1|的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为1，∵不等式2a +3b +4c ≤|x|+|x −1|(x ∈R)恒成立， ∴2a +3b +4c 的最大值为1； (2)证明：∵a >−12，b >13，c >−12，∴12a +1+13b −1+14c +2=(12a +1+13b −1+14c +2)[(2a +1)+(3b −1)+(4c +2)]×13 =(3b −12a +1+2a +13b −1+2a +14c +2+4c +22a +1+4c +23b −1+3b −14c +2+3)×13≥(2√3b −12a +1⋅2a +13b −1+2√2a +14c +2⋅4c +22a +1+2√4c +23b −1⋅3b −14c +2+3)×13=9×13=3．当且仅当a =0，b =23，c =−14时等号成立．【解析】(1)令f(x)=|x|+|x −1|，写出分段函数解析式并作出图象，求其最小值，可得2a +3b +4c 的最大值；(2)由12a+1+13b−1+14c+2=(12a+1+13b−1+14c+2)[(2a +1)+(3b −1)+(4c +2)]×13，展开多项式乘多项式，再由基本不等式证明．本题考查分段函数的应用，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．。
2021年云南省高考数学试卷(理科)(甲卷)及试题详解
2021年云南省高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}（）A．{x|0＜x≤}B．{x|≤x＜4}C．{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5} 2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）6．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，B，C三点，且A，B，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A 点的仰角为45°，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．4739．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．10．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）11．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，则三棱锥O ﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2），当x∈[1，2]时，f（x）2+b．若f（0）+f（3）＝6（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市五华区2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②2． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．453．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．23D ．274．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等5．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．26．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 7．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．48．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线9．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A．B．13C．65-D．6511．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣1212．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年云南省昆明一中高考数学第七次仿真模拟试卷(文科)(附答案详解)
2021年云南省昆明一中高考数学第七次仿真模拟试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·云南省昆明市·模拟题)在复平面内，已知复数z 所对应的点与复数1−i 所对应的点关于虚轴对称，则z 的共轭复数为( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i2. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知集合A ={y|y =x 2−2x}，B ={x ∈N|x 2−2x <3}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {1,2}C. (−1,3)D. (0,3)3. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知b <a <0，且ab =1，则下列结论不正确的是( )A. 1a <1bB. a 2<b 2C. |a|+|b|=|a +b|D. a +b >24. (2021·云南省昆明市·模拟题)在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的5名选手的成绩的平均数为( )A. 93.6B. 94.6C. 95.6D. 975. (2021·云南省昆明市·模拟题)在四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该四边形的面积是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. (2020·安徽省·模拟题)德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”现将底与腰之比或腰与底之比为√5−12的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC ，△BCD ，△ADE 都是黄金三角形，若AB =2，则DE 的大小为( )7.(2021·云南省昆明市·模拟题)函数f(x)=x 4|(1 4)x−1|的图象大致为()A. B.C. D.8.(2021·云南省昆明市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S=1，则图中判断框内可填入()A. i<5B. i>5C. i<6D. i>69.(2021·云南省昆明市·模拟题)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，若函数ℎ(x)=f(x)+1的两个不同零点分别为x1，x2，则|3x1−3x2|的最小值为()A. 2π3B. π2C. 4π3D. 2π10.(2021·云南省昆明市·模拟题)设双曲线C的左、右焦点分别为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，A.x 24−y 2=1B. y 2−x 24=1C.x 25−y 24=1D. x 2−y 25=111. (2021·云南省昆明市·模拟题)△ABC 中，cos∠ABC =13，点D 在AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB =2，BC =3，则BD 的长为( )A. √2B. √3C. 83D. 4√3312. (2020·山东省菏泽市·月考试卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其中c >0，C 的长轴长为2a ，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 1|=3|F 1B|，4|BF 2|=5|AB|，则|AF 2|=( )A. 54aB. 43aC. 23aD. a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·云南省昆明市·模拟题)记T n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=1，a 5=4，则T 10= ______ ．14. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知函数f(x)=2sinxcosx −√3cos2x ，则函数y =f(x)的最大值为______ ．15. (2021·云南省昆明市·模拟题)曲线y =xe x−a 在x =3处的切线与x 轴交于点P ，则点P 的坐标为______ ．16. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知三棱锥S −ABC 的所有棱长都相等，点M 是线段SB 上的动点，点N 是线段SC 上靠近S 的三等分点，若AM +MN 的最小值为2√13，则三棱锥S −ABC 的棱长为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·云南省昆明市·模拟题)设数列{a n }满足a n =3a n−1+2(n ≥2)，且a 1=2，b n =log 3(a n +1)． (1)求a 2，a 3的值；(2)已知数列{a n }的通项公式是：a n =3n −1，a n =3n ，a n =3n +2中的一个，判断{a n }的通项公式，并求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．18. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知四棱锥P −ABCD ，其中AD//BC ，AB ⊥AD ，CD =√2，BC =2AD =2，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 是PB 上一点，CE ⊥PB ． (1)求证：CE ⊥平面PAB ；(2)若△CDE 是等边三角形，当点A 到直线PC 距离最大时，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知F 为抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，点A(p4,b)(b >0)在抛物线C 上，且|AF|=3． (1)求以线段AF 为直径的圆的方程；(2)不过原点O 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，若P 为线段MN 的中点，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线MN 的方程．20. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知函数f(x)=ax 2−lnx ，g(x)=e x +ax 2−ax ．(1)当a =3时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)的图象在区间(1,e)上有交点，求整数a 的取值集合． 附：5e <e e +1<6e ．21.(2021·山西省长治市·期中考试)2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如表：科技投入x24681012收益y 5.6 6.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y=c⋅2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：y−z−∑(6i=1x i−x−)(y i−y−)∑(6i=1x i−x−)(z i−z−)∑(6i=1y i−y−)2∑(6i=1x i−x−)243.5 4.5854.034.712730.470其中z i=log2y i，z−=16∑z i 6i=1．(1)(i)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；(ii)根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中log25≈2.3)0.92x 2−12.0，以及该回归模型的相关指数R 2=0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线方程v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑(n i=1u i −u −)(v i −v −)∑(n i=1u i −u −)2，α̂=v −−β̂u −，相关指数：R 2=1−∑(n i=1v i −v̂i )2∑(n i=1v i −v −)2．22. (2021·云南省昆明市·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sin α2−cosα2y =√1+sinα(α为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=t(t 为参数)． (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有公共点，求实数t 的取值范围．23. (2021·云南省昆明市·模拟题)已知函数f(x)=|2x −a|+|x +1|．(1)若不等式f(x)+|x +1|>2对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若a >−2，且函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值．答案和解析1.【答案】C【知识点】复数的代数表示及其几何意义、复数的四则运算【解析】解：复数z所对应的点与复数1−i所对应的点关于虚轴对称，z=−1−i，则z的共轭复数z−=−1+i，故选：C．由复数z所对应的点与复数1−i所对应的点关于虚轴对称，可得z=−1−i，即可得出z的共轭复数z−．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={y|y=x2−2x}={y|y=(x−1)2−1}={y|y≥−1}，B={x∈Z|x2−2x<3}={x∈Z|−1<x<3}={0,1，2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【知识点】不等式的概念与不等关系【解析】解：∵b<a<0且ab=1，∴−b>−a>0，∴a+b=−[(−a)+(−b)]<−2√ab=−2．故选：D．根据b<a<0，且ab=1及基本不等式即可得出a+b<−2，从而判断D错误．4.【答案】B【知识点】茎叶图、系统抽样【解析】解：结合系统抽样法知间隔5人抽取一次，甲为85分，故其他人的成绩分别是88，94，99，107， 故平均数为85+88+94+99+1075=94.6，故选：B ．结合系统抽样法知间隔5人抽取一次，甲为85分，故其他人的成绩分别是88，94，99，107，从而求得．本题考查了系统抽样的一般方法及平均数的求法，属于基础题．5.【答案】B【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的数量积【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2−1×m =0，即m =2， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+12=√2，|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+22=2√2， ∴四边形ABCD 的面积为12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√2×2√2=2． 故选：B ．运用向量垂直的性质，求出m 的值，再求出四边形的面积即可．本题考查向量垂直的性质，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用，是基础题．6.【答案】C【知识点】解三角形 【解析】解：由题意BC AB=√5−12，即BC =√5−1，∵BCDC =√5−12， ∴DC =2，由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形 可知∠A =36°，△ABC 等腰三角形， ∴∠CBD =108°，△BCD 等腰三角形∵△ADE 都是黄金三角形， ∴∠ECD =72°， 则DC =DE ， 所以DE =2． 故选：C ． 由题意BC AB=√5−12，可得BC ，BC DC=√5−12，求解DC ，由DC =DE 可得答案；本题考查阅读题的信息提取和应用．属于基础题．7.【答案】A【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，f(x)=x 4|(14)x −1|，其定义域为{x|x ≠0}，f(−x)=x 4|4x −1|，则f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)， ∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数，排除C 、D ， 又f(−3)=8163，f(−4)=256255，∴f(−3)>f(4)， ∴f(x)在区间(−∞,0)上不是减函数，排除B ， 故选：A ．根据题意，先判断函数的奇偶性，排除C 、D ，再求出f(−3)、f(−4)的值，可得f(x)在区间(−∞,0)上不是减函数，排除B ，即可得答案．本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．8.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：模拟程序的运行，可得： a =2，S =0，i =1； a =12，S =12，i =2； a =−1，S =−12，i =3； a =2，S =32，i =4； a =12，S =2，i =5；输出S的值为1，则图中判断框内可填入i<6？故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象，可得A=2，14×2πω=2π3−π6，∴ω=1．结合五点法作图，可得1×π6+φ=0，∴φ=−π6，f(x)=2cos(x−π6).令函数ℎ(x)=f(x)+1=2cos(x−π6)+1=0，求得cos(x−π6)=−12，∴x=2kπ+2π3，或x=2kπ+4π3，k∈Z．函数ℎ(x)=f(x)+1的两个不同零点分别为x1，x2，则|3x1−3x2|=3|x1−x2|的最小值为3×2π3=2π，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据余弦函数的零点，求得|3x1−3x2|的最小值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的零点，属于中档题．10.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1，设P在双曲线E的右支上，由|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，可得|PF1|+|PF2|=4c，由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|=2a，可得|PF1|=2c−a，|PF2|=2c+a，由由题意可得c=√5，因为|PF 1|⋅|PF 2|=16，所以可得4c 2−a 2=20−a 2=16， 可得：a 2=4，b 2=c 2−a 2=5−4=1， 双曲线的方程为：x 24−y 2=1；故选：A ．由成等差数列可得|PF 1|+|PF 2|的值，再由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|的值，进而求出|PF 1|，|PF 2|的值，由|PF 1|⋅|PF 2|的值，可得a 的值，进而可得b 的值，求出双曲线的方程．本题考查双曲线的性质及等差数列的性质，属于中档题．11.【答案】D【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用 【解析】解：如图所示，△ABC 中，cos∠ABC =13，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB =2，BC =3， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19×22+49×2×3×13+49×32=489，所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√33，即BD 的长为4√33．故选：D ．根据题意用向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出模长即可． 本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.【答案】D【知识点】椭圆的性质及几何意义 【解析】解：由题意设椭圆方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，连接AF 2，如图所示：∵|AF1|=3|BF1|，则|BA|=4|F1B|，又4|BF2|=5|AB|=20|F1B|，可得|BF2|=5|BF1|，a，由椭圆定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=6|F1B|，所以|BF1|=13|AF1|=a，可得|AF2|=2a−a=a，故选：D．设出椭圆方程，利用已知条件，结合椭圆的定义，转化求解即可．本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．13.【答案】45【知识点】等差数列的求和【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵T n为等差数列{a n}的前n项和，a2=1，a5=4，∴3d=a5−a2=3，解得d=1，∴a1=1−1=0，=45．∴T10=10×0+10×9×12故答案为：45．利用等差数列的通项公式，列方程求出等差数列{a n}的公差和首项，由此能求出T10．本题考查等差数列的前10项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2【知识点】三角函数的最值、三角恒等变换【解析】解：f(x)=2sinxcosx−√3cos2x=sin2x−√3cos2x)，=2sin(2x−π3)的值域是[−2,2]，由于函数f(x)=2sin(2x−π3所以函数y=f(x)的最大值为2．故答案为：2．)，进而根利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x−π3据正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．15.【答案】(94,0)【知识点】导数的几何意义【解析】解：∵y′=e x−a+xe x−a=(1+x)e x−a，∴曲线y=xe x−a在x=3处的切线方程为y−3e3−a=4e4−a(x−3)，令y=0，得x=94，∴点P的坐标为(94,0)，故答案为：(94,0)．由题意可得曲线y=xe x−a在x=3处的切线方程为y−3e3−a=4e4−a(x−3)，令y=0，可得点P的横坐标，从而可得答案．本题考查利用导数研究函数在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】6【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：设三棱锥S−ABC的棱长为3a，则在△SAN中，∠ASN=120°，SA=3a，SA=a，由余弦定理可知cos∠ASN=SA2+SN2−AN22⋅SA⋅SN =−12，解得：a=2，所以三棱锥的棱长为6．故答案为：6．直接利用三棱锥的展开图的应用，余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三棱锥的展开图的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为a n=3a n−1+2(n≥2)，且a1=2，所以a2=3a1+2=8，a3=3a2+2=26，(2)设c n=a n+b n，由已知可得a n=3n−1，b n=log3(a n+1)=n．所以c n=3n+n−1，S n=(3+32+...+3n)+(1+2+...+n−1)=3(1−3n)1−3+(n−1)(1+n−1)2=12(3n+1+n2−n−3)．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用a n=3a n−1+2(n≥2)，且a1=2，求解；(2)设c n=a n+b n，由已知可得c n=3n+n−1，利用分组求和求解．本题考查了数列递推式，分组求和，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为AD//BC，AB⊥AD，则AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC，又CE⊂平面PBC，所以AB⊥CE，又CE⊥PB，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，则CE⊥平面PAB；(2)解：因为点A到直线PC的距离为d=AC⋅sin∠ACP，当∠ACP=90°时，点A到直线PC的距离最大，此时PC⊥AC，由(1)可知，AB⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AB⊥PC，又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD，又△CDE为等边三角形，所以CD=CE=√2，在Rt△BCE中，BC=2，CE=√2，则BE=√2，故∠CBE=45°，所以PC=2，因为S梯形ABCD =32，故V P−ABCD=13⋅S梯形ABCD⋅PC=1，所以四棱锥P−ABCD的体积为1．【知识点】线面垂直的判定、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】(1)利用面面垂直的性质定理可证明AB⊥平面PBC，从而得到AB⊥CE，又CE⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；(2)首先确定当点A到直线PC距离最大时，PC⊥AC，利用(1)中的结论证明PC⊥平面ABCD，利用平面几何知识求解梯形ABCD的面积，求出棱锥的高PC，由锥体的体积公式求解即可．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，及抛物线的性质可得：|AF|=3=p 4+p2，解得：p =4，所以抛物线的方程为：y 2=8x ；由点A 在抛物线上，所以b 2=8⋅44，b >0， 可得：b =2√2；所以A(1,2√2)， 由抛物线的方程可得焦点F(2,0) 所以AF 的中点坐标(32,√2)，所以以线段AF 为直径的圆的方程：(x −32)2+(y −√2)2=94； (2)因为P 是MN 的中点，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得OM ⊥ON ， 由题意设直线MN 的方程为x =y +m ，则m ≠0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =y +m y 2=8x ，整理可得：y 2−8y −8m =0，则△=64+32m >0，可得：m >−2， 且y 1+y 2=8，y 1y 2=−8m ， 则x 1x 2(y 1y 2)264=m 2，由OM ⊥ON ，所以x 1x 2+y 1y 2=0， 即m 2−8m =0， 可得m =8或m =0(舍)，所以直线MN 的方程为：x =y +8， 即直线MN 的方程：x −y −8=0．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由|AF|的值即抛物线的性质可得p 的值，进而求出抛物线的方程，将A 的点的只能代入抛物线的方程可得b 的值，即A 的坐标，由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，进而求出AF 的中点的坐标，求出以AF 为直径的圆的方程；(2)由题意设直线MN 的方程，由题意可得OM ⊥ON ，可得M ，N 的坐标的关系，将直线MN 与抛物线的方程联立可得两根之积，再由垂直可得横纵坐标的关系，进而求出参数的值，即求出直线MN 的方程．本题考查求抛物线的方程及圆的方程的求法及直线与抛物线的综合，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=3x2−lnx，f′(x)=6x−1x，∴f(1)=3，f′(1)=5，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=5(x−1)，即5x−y−2=0.........5分(2)若函数f(x)与g(x)的图象在区间(1,e)上有交点，则方程ax2−lnx=e x+ax2−ax，即a=e x+lnxx在区间(1,e)上有实数解．设F(x)=e x+lnxx，则F′(x)=ex(x−1)+1−lnxx2，因为x∈(1,e)，所以e x(x−1)>0，1−lnx>0，所以F′(x)>0，即函数F(x)在(1,e)上单调递增，所以F(1)<F(x)<F(e)，即e<F(x)<e e+1e，所以e<a<e e+1e，因为5e<e e+1<6e，所以5<e e+1e<6，所以整数a的取值集合为{3,4，5}..............................12分【知识点】导数的几何意义【解析】(1)求得f(1)=3，f′(1)=5，利用直线的点斜式方程可求得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)依题意，方程ax2−lnx=e x+ax2−ax，分离参数a，得a=e x+lnxx在区间(1,e)上有实数解，构造函数设F(x)=e x+lnxx，利用导数可求得F(1)<F(x)<F(e)，再由5e<e e+1<6e得5<e2+1e<6，从而可求得整数a的取值集合．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：(1)(i)x−=2+4+6+8+10+126=7，令z=log2y=bx+log2c；令a=log2c，则z=bx+a．根据最小二乘估计可知：b̂=∑(6i=1x i −x −)(z i −z −)∑(6i=1x i −x −)2=34.770≈0.5，从而a ̂=z −−b ̂x −=4.5−0.5×7=1，故回归方程为z =0.5x +1，即y =20.5x+1．(ii)设20.5x+1≥200，解得0.5x +1≥log 2200，即x ≥4+4log 25≈13.2， 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿． (2)甲建立的回归模型的残差： y i 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 ŷi 4 8 16 32 64 128y i −ŷi 1.6 −1.5 −4 −4.5 16 1.2则∑(6i=1y i −y ̂i )2=298.5，从而R 2=1−298.512730.4≈1−0.02=0.98>0.94， 即甲建立的回归模型拟合效果更好．【知识点】回归直线方程【解析】(1)(i)求出样本中心坐标，利用回归直线方程，求解系数，推出结果即可． (ii)列出不等式转化求解即可．(2)甲建立的回归模型的残差表，然后求解方差，说明结果即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，注意残差的求法与应用，是基础题． 22.【答案】解：(1)由{x =sin α2−cos α2y =√1+sinα(α为参数)，两式平方得：{x 2=1−sinαy 2=1+sinα(α为参数)，消去α得x 2+y 2=2(0≤y ≤√2).由ρsin(θ−π3)=t(t 为参数)，得ρ(12sinθ−√32cosθ)=t ，化为直角坐标方程√3x −y +2t =0．∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2=2(0≤y ≤√2)，直线l 的直角坐标方程为√3x −y +2t =0；(2)曲线C ：x 2+y 2=2(0≤y ≤√2)表示以O 为圆心，以√2为半径的圆的上半部分， 当直线l 过点(√2,0)时，t =−√62，当直线l 与C 相切时，由|2t|√(√3)2+(−1)2=√2，解得t =√2(负值舍去)．由图可知，要使曲线C 与直线l 有公共点，则实数t 的取值范围是[−√62,√2].【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)由{x =sin α2−cosα2y =√1+sinα(α为参数)，两式平方作和可得曲线C 的普通方程，把ρsin(θ−π3)=t(t 为参数)左边展开两角差的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；(2)曲线C ：x 2+y 2=2(0≤y ≤√2)表示以O 为圆心，以√2为半径的圆的上半部分，求出直线l 过点(√2,0)时的t 值，再由圆心到直线的距离等于半径求得直线与半圆相切时的t 值，数形结合可得实数t 的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵不等式f(x)+|x +1|>2对一切x ∈R 恒成立，∴|x −a2|+|x +1|>1 恒成立，∵|x −a2|+|x +1|≥|(x −a2)−(x +1)|=|a2+1|，当且仅当(x −a2)(x +1)≤0时，等号成立，∴只需|a2+1|>1，解得a <−4或a >0， ∴实数a 的取值范围为(−∞,−4)∪(4,+∞)． (2)∵a >−2， ∴a2>−1，∴f(x)={−3x +a −1,x <−1,−x +a +1,−1≤x ≤a23x −a +1,x >a2,，∴f(x)min =f(a2)=|a2+1|=a 2+1=3，解得a =4．【知识点】不等式和绝对值不等式【解析】(1)不等式f(x)+|x +1|>2对一切x ∈R 恒成立，即|x −a2|+|x +1|>1 恒成立，由于|x −a2|+|x +1|≥|(x −a2)−(x +1)|=|a2+1|，只需|a2+1|>1，即可求解．(2)根据条件，对f(x)分类讨论，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．。
云南省昆明市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
云南省昆明市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=；1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.2．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C4．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．6．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.7．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.82，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A．3B．3C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O；3SA ==，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 9．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 10．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z=-，易知当直线2133y x z =-经过点D 时，z 取得最小值， 由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．11．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序的运行即可求出答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得： p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析
云南省昆明市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r；而当a b ⊥r r，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以“2m =”是“a b ⊥r r”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.2．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．8【答案】C 【解析】 【分析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))22y x x =-=--，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.3．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+ B ．-1i -C ．1i +D ．1i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，化简复数1i1i i+=-，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，复数()1i (i)1i 1i i i (i)+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与5．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，4AB =，3AC =，则BC uuu v 在CA u u u v方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C ．-4D ．-3【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥u u u r u u u r ，再结合图形求出BC uuu r 与CA u u u r方向上的投影即可. 详解：如图所示：Q AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r， ∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，又4AB =，3AC =，BC ∴u u u r 在CA u u u r方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v π=-∠=-∠=-， 故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 6．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】 复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力. 8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．1y x =±D ．2y x =±【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b =，b a =，所以双曲线的渐近线方程为：y x =. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.11．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程222516a a ⎛⎫可得141128,21a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可.设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，则()()22222x a y x a y ++=-+ =2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1， ∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得6a 6,b ==， ∴椭圆的离心率为2231b a -=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷含解析
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B．43C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥A BCD-，长度如上图所以111121,11222 MBD DEC BCNS S S∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯=所以3 222 BCD MBD DEC BCNS S S S∆∆∆∆=⨯---=所以113A BCD BCDV S AN -∆=⋅⋅=故选：A 【点睛】2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，则，则，故选：． 【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.3．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】2【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.5．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 6．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C .本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．10．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.11．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C 3D ．13利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,3AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） π【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 22B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市2021届新高考三诊数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A ．3π B ．6π C ．23π D ．26π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23可得半径r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，123232r r ⨯⨯=，解得2r =， 所以圆锥的体积2133V r r π=⨯=26π. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.2．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A 2B 3C ．1D 6【答案】B 【解析】 【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．20151008【答案】D 【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336s t i s t i s t i =====+===++=L直至1111,2016;12123122015t i =++++=++++++L L 结束循环，输出1111111112(1)1212312201522320152016t =++++=-+-++-++++++L L L120152(1)20161008=-=，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．(62⎤⎦C ．2312⎛⎤⎥⎝⎦D ．(31⎤⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m 的取值范围,进而求得()2224232c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ；由11QF PF ≥,可得13m n≤<,由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得()222mn a c=-②,由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m ,令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦, 即()2224232c a c <≤-,所以()222223a c c a c -<≤-,所以()222113e e e -<≤-,所以2142e <≤-解得12e <≤. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 5．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 6．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩…„的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-„；2:(,),22p x y D y x ∃∈-…；3:(,),22p x y D y x ∀∈-„；4:(,),24p x y D y x ∃∈-….其中的真命题是（ ） A ．12,p p B ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【详解】作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以1(,),25,x y D y x p ∀∈-„为真命题；2(,),22,x y D y x p ∃∈-…为真命题；34,p p 为假命题.故选：A【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 7．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327V a =，进一步求出四面体1AMND 的体积即可． 【详解】 解：如图，∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，∴11111,33BM BB C C N C == 设正方体1AC 的棱长为3a ，则327a V =，∴327V a =． 取13BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，12212212222211111112(3)(3)32,(3)10,(32)(2)22,cos 21022255319sin 25511sin 22319192D NA AD a a a D N a a a AN a a a D NA a a D NA S D N AN D NA AD a h h ∆=+==+==+=∴∠==⋅⋅∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，设M 到平面1AGND 的距离为2h ，22111111[(2)322]3231922219222M AGN A MGNa a V V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=⋅⋅= 1231319332919AMND a V V a ∴=⨯==. 故选D ． 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．8．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ 极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.9． 若x,y 满足约束条件xx+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65 C ．64 D ．63【答案】D根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m 平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确.本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.12．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．23B．1 C．43D．83【答案】C 【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明一中2021届高三数学诊断性考试试题理含解析
故选：C．
【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型，属于基础题.
8.已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件进行向量数量积的运算得 ，进而得 ，从而得答案.
【详解】已知单位向量 ， ，则 ，满足 ，平方得 ，即 ，
【详解】由题可得 ， ， .所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
4.在 的展开式中，二次项的系数为（）
A. B. C.4D.6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式可得结果.
【详解】因为 的展开式中的通项公式为 ， ，
令 ，得 ，
所以二次项为 ，
所以二次项的系数为 .
故选：B．
【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.
5.已知正项等比数列 中， ，若 ，则 （）
A.511B.512C.1023D.1024
【答案】C
【解析】
【分析】
由 求得 ，再由 求得公比 ，然后由等比数列前 项和公式求得结论．
【详解】由 得 ，所以 ，
又因为 ，得 ，
云南省昆明一中2021届高三数学诊断性考试试题 理（含解析）
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
云南省昆明市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 2．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥【答案】B 【解析】根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥. 对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥. 对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥. 综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥” 故选：B 【点睛】本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l P ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【详解】直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l P 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l P ”的充分必要条件. 故答案为C. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．5．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）A B ． C ．12D ．12-【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且cos θ=率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又cos θ=sin θ=tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题7．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．B ．4C ．5D ．【答案】D由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==.1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，32c ∴=故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值.8．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.9．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．3 CD【答案】B 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【详解】4OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∴2121221212()()ABy y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，228,3b e a ∴=∴==．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．10．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u ur 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u ur u u u r ，M Q 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 11．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π【答案】B 【解析】 【分析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体， 把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32π. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学摸底试卷(文科)(附答案详解)
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学摸底试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图，若复数z在复平面内对应的点为E，则复数z−在复平面内对应的点为()A. EB. FC. GD. H2.已知集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B的元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 53.在正项等比数列{a n}中，已知a1，a3，a5成等差数列，则a3+a4a1+a2=()A. 1B. 2C. 4D. 84.已知直线l：x+my−1=0与圆(x−2)2+(y+1)2=4相交于A，B两点，当AB取得最大值时，则m=()A. −3B. −1C. 1D. 35.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于()A. 6πB. 8πC. 12πD. 14π6.双曲线x26−y23=1的顶点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. √2D. 17.函数y=xsinx(x∈[−π,π])的图象可能是()A.B.C.D.8. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的一条对称轴为x =π6，则ω的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知log 2a =(12)a ，b =ln 12，c =(12)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. a >b >cC. b >a >cD. a >c >b10. 在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用T(n)(单位：次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n 的函数.已知某算法的时间复杂度T(n)=20n 4+nlog 2n(n ∈N ∗)，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n 的最大值为( )A. 40B. 50C. 60D. 7011. 已知O 1是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的中心O 关于平面A 1B 1C 1D 1的对称点，则下列说法中错误的是( )A. O 1C 1与D 1C 是异面直线B. O 1C 1//平面A 1BCD 1C. O 1C 1⊥BDD. O 1C 1⊥平面BDD 1B 112. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息.某人在银行贷款金额为A 元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止.若月利率p 固定不变，按“复利”计算本息和，分n 个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，则此人每月还款金额为( )A. An 元 B.A(1+p)nn元C. A(1+p)n(1+p)n −1元D. Ap(1+p)n(1+p)n −1元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y ≤2x +3y ≥3，则z =4x +y 的最大值等于______ ．14. 已知向量a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=4，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2√2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ． 15. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物，为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株测量胸径(厘米)作为样本，得到样本频率分布直方图如图所示，这100株滇山茶胸径不超过m 厘米的占90%，超过m 厘米的占10%，将胸径超过m 厘米的作为重点监测对象，则m 约为______ 厘米.(精确到0.1)16. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，第一象限内的A ，B 两点都在C 上，O为坐标原点，若∠AFO =∠AFB =π3，且△AFB 的面积为3√3，则点A 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinB +bcosA =c ．(1)求B ；(2)设a =√2c ，b =2，求c ．18.如图的四棱锥S−PMNE和四棱台PMNE−ABCD是由一个四棱锥S−ABCD被过各侧棱中点的平面所截而成.在四棱台PMNE−ABCD中，PA⊥平面ABCD，H是AD 的中点，四边形ABCH为正方形，AB=AP=2．(1)证明：CH⊥ED；(2)求四棱台PMNE−ABCD的体积．19.已知函数f(x)=e x+x2−x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：对任意x∈R，都有f(x)≥1．20.在甲、乙两位选手以往的比赛中随机抽取10局比赛，胜负情况依次如表：第i局比赛(i=1,2，…，10)12345678910胜者乙乙甲乙甲乙乙甲甲甲(1)从表中第5局到第10局的六局比赛中任选两局，求甲至少有一局获胜的概率； (2)甲、乙两位选手将要进行一场比赛赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负.若以甲、乙两位选手表中10局比赛的结果作为样本，视样本频率为概率，求甲2：0获胜的概率．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√32，M 为C 上一点，△MF 1F 2面积的最大值为3√3． (1)求C 的标准方程；(2)设动直线l 过F 2且与C 交于A 、B 两点，过F 1作直线l 的平行线l′，交C 于R 、N 两点，记△RF 2A 的面积为S 1，△NF 2B 的面积为S 2，试问：S 1+S 2是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设P(3,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||PA|−|PB||．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−b|．(1)当a=1，b=2时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)设a>0，b>0，若f(x)的最小值为2，证明：1a +1b+1≥43．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为复数z对应的点与复数z−对应的点关实轴对称，故复数z−在复平面内对应的点为H．故选：D．利用共轭复数的定义以及复数的几何意义求解即可．本题考查了复数的几何意义的理解和应用，共轭复数定义的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵A={−2,−1,0，1，2}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B={−1,0，1}，∴A∩B的元素个数为3．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B的元素个数．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为a1，a3，a5成等差数列，所以2a3=a1+a5，所以2a1q2=a1+a1q4，因为数列{a n}是正项等比数列，所以a1>0，q>0，所以q4−2q2+1=0，解得q=1或q=−1(舍)，所以a3+a4a1+a2=a1q2+a2q2a1+a2=q2=1．故选：A．由等差数列的性质和等比数列的通项公式可得关于q的方程，解方程可求得q的值，再由等比数列的通项公式将所求式子化简即可求解．本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：当直线l经过圆的圆心时，AB取得最大值，因为圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心坐标为(2,−1)，所以2−m−1=0，解得m=1．故选：C．当直线l经过圆心时，AB取得最大值，将圆心坐标代入直线方程，即可求解m的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成；故这个零件的体积V=13×π×22×3+π×12×2=6π．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：双曲线x26−y23=1的顶点(±√6,0)，渐近线方程为：x±√2y=0，所以双曲线x26−y23=1的顶点到渐近线的距离为：√6√1+2=√2．故选：C．求出双曲线的顶点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法．点到直线的距离公式的应用，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置判断选项即可． 【解答】解：函数y =xsinx(x ∈[−π,π])是偶函数，排除B ，D ， 当x =π2时，y =π2，可知选项A 不正确； 故选C ．8.【答案】B【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx +π6)的一条对称轴为x =π6， 所以π6⋅ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，解得ω=6k +2，k ∈Z ； 又ω>0，所以ω的最小值为2． 故选：B ．根据正弦型函数的对称性，结合题意即可求出ω的最小值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵log 2a =(12)a >0，∴a >1， ∵ln 12<ln1=0，∴b <0，∵0<(12)0.2<(12)0=1，∴0<c <1， ∴a >c >b ， 故选：D ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题主要考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，是基础题．10.【答案】B【解析】解：只需要T(n)=20n 4+nlog 2n ≤1.3×108的最大n 即可， 当n =40时，T(40)=20×404+40×log 240≈5.12×107<1.3×108， 当n =50时，T(50)=20×504+50×log 250≈1.25×108<1.3×108， 当n =60时，T(60)=20×604+60×log 260≈2.592×108>1.3×108，综上所述，保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，n 的最大值为50． 故选：B ．只需要T(n)=20n 4+nlog 2n ≤1.3×108的最大n 即可． 本题考查对数的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2， 对于A ，O 1C 1∩平面CDD 1C 1=C 1，C 1∉D 1C ， ∴O 1C 1与D 1C 是异面直线，故A 正确； 对于B ，O 1(1,1，3)，C 1(0,2，2)，D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，设平面A 1BCD 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0， 取y =1，得n⃗ =(0,1，1)， O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，且O 1C 1⊄平面A 1BCD 1，∴O 1C 1//平面A 1BCD 1，故B 正确； 对于C ，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)， O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴O 1C 1⊥BD ，故C 正确； 对于D ，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2≠0，∴O 1C 1与BD 1不垂直，∴O 1C 1与平面BDD 1B 1不垂直，故D 错误． 故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，利用向量法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.【答案】D【解析】解：因为贷款金额为A 元，月利率为p ，分n 个月还清， 所以本息和一共为A(1+p)n 元，设每个月还款金额为Q 元，则A(1+p)n =Q +Q(1+p)+Q(1+p)2+⋯+Q(1+p)n−1，由等比数列求和公式可得A(1+p)n =Q[(1+p)n −1]1+p−1，所以Q =Ap(1+p)n(1+p)n −1，所以此人每月还款金额为Ap(1+p)n(1+p)n −1元． 故选：D ．由题意得到本息和一共为A(1+p)n 元，然后设每个月还款金额为Q 元，则A(1+p)n =Q +Q(1+p)+Q(1+p)2+⋯+Q(1+p)n−1，然后利用等比数列求和公式求解即可． 本题考查了函数在实际生活中的应用，主要考查了指数型函数模型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中得到数学模型，属于中档题．13.【答案】132【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =2x +3y =3，解得A(12,32)，化目标函数z =4x +y 为y =−4x +z ，由图可知，当直线y =−4x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为4×32+12=132．故答案为：132．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14.【答案】120°【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 向量a ⃗ =(1,−1)，则|a ⃗ |=√1+1=√2，则有a⃗⋅b⃗ =√2×4×cosθ=−2√2，变形可得cosθ=−12，又由0°≤θ≤180°，则θ=120°，故答案为：120°．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求出|a⃗|的值，由数量积的计算公式可得a⃗⋅b⃗ =√2×4×cosθ=−2√2，变形可得cosθ=−12，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．15.【答案】19.3【解析】解：胸径超过m厘米的占10%，即胸径超过m厘米的频率是0.1，落在[25,30]内的频率是5×0.004=0.02，落在[20,25]内的频率是5×0.012=0.06，所以m应落在[15,20)内，所以(20−m)×0.030=0.1−0.02−0.06，所以m≈20−0.667=19.333≈19.3厘米，故答案为：19.3．估计频率分布直方图求出落在[25,30]，[20,25]内的频率，再求出m的值．本题考查了频率分布直方图，频率的计算，用样本估计总体等知识，属于基础题．16.【答案】(12,√3)【解析】解：设|AF|=m，|BF|=n，∵∠AFO=∠AFB=π3，∴A(p−m2,√3m2)，B(p+n2,√3n2)，由抛物线的定义知，|AF|=p−m2+p2=m，∴m=23p，|BF|=p+n2+p2=n，∴n=2p，∵△ABF的面积为3√3，∴12mn⋅sin∠AFB=3√3，即mn=12，∴23p⋅2p=12，解得p=3，∴m=2，∴A(12,√3).故答案为：(12,√3).设|AF|=m，|BF|=n，可用含m，n，p的式子表示出点A和B的坐标，再由抛物线的定义，推出m=23p，n=2p，然后结合三角形的面积公式，求出p和m的值，从而得解．本题考查抛物线的定义与几何性质，三角形的面积公式，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAsinB=sinAcosB，又因为sinA≠0，cosB≠0，所以tanB=1，又0<B<π，所以B=π4．(2)由余弦定理b2=c2+a2−2accosB，a=√2c，可得4=c2+2c2−2√2c2×√22，解得c=2．【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1，结合0<B<π，可求B的值．(2)由已知利用余弦定理即可解得c的值．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCH为是正方形，∴CH⊥AH，∵PA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，∴CH⊥PA，又AP∩AH=A，AH、AP⊂平面PADE，∴CH⊥平面PADE，而ED⊂平面PADE，∴CH⊥ED；(2)解：将四棱锥S−PMNE与四棱台PMNE−ABCD拼回成原四棱锥S−ABCD，根据题意，可知四边形ABCD与四边形PMNE都是直角梯形，∵P、M、N、E分别是四棱锥S−ABCD四条侧棱的中点，∴PE=12AD=2，PM=12AB=1，MN=12BC=1，SP=12SA=2，∴V S−PMNE=13×(PE+MN)×PM2×SP=1，V S−ABCD=13×(BC+AD)×AB2×SA=8．∴四棱台PMNE−ABCD的体积为V S−ABCD−V S−PMNE=8−1=7．【解析】(1)由已知可得CH⊥AH，CH⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得CH⊥平面PADE，进一步可得CH⊥ED；(2)将两个几何体拼回成四棱锥，则四棱台的体积等于大四棱锥的体积减去小四棱锥的体积．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】(1)解：根据题意可得，f′(x)=e x+2x−1，根据函数导数的几何意义即得，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程即为y−f(0)=f′(0)(x−0)∵f(0)=1，f′(0)=0，∴函数y=f(x)在点(0,1)处的切线方程即为：y−1=0⇔y=1．(2)证明：由(1)得，f′(x)=e x+2x−1，∴f“(x)=e x+2>0，即得f′(x)在R上单调递增，又因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>f′(0)=0，此时函数f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)<f′(0)= 0，此时函数f(x)单调递减；综上可得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减；在(0,+∞)上单调递增．即得f(x)min=f(0)=1，所以对任意的x∈R，都有f(x)≥1．【解析】(1)根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点(0,f(0))处的切线方程；(2)根据题意，只需证明函数f(x)在R上的最小值为1，即可．本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．20.【答案】解：(1)第5局到第10局的六局比赛中任选两局，总的情况共有C 62=15种， 甲获胜一局有C 41C 21=8种，甲获胜两局有C 42=6种，所以甲至少有一局获胜的概率为8+615=1415； (2)因为甲、乙两位选手10局比赛各获胜5局， 所以比赛中甲、乙每局获胜的概率均为12，要使得甲、乙两位选手进行比赛中甲2：0获胜，需使比赛前两局甲均获胜， 所以甲2：0获胜的概率为12×12=14．【解析】(1)分别求出第5局到第10局的六局比赛中任选两局的种数以及甲至少有一局获胜的种数，利用古典概型的计算公式求解即可；(2)分析可知，比赛中甲、乙每局获胜的概率均为12，所以需使比赛前两局甲均获胜，由概率公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，主要考查了古典概型的求解，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由题意，可知△MF 1F 2面积的最大值为bc ， 所以{bc =3√3c a=√32a 2=b 2+c 2，解得a =2√3，b =√3，c =3，所以椭圆的方程为x 212+y 23=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y =k(x −3)，(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −3)x 212+y 23=1，得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−12=0，所以△=48(1+k 2)>0恒成立， 所以x 1+x 2=24k 21+4k2，x 1x 2=36k 2−121+4k 2，由l′//l ，可知S △RF 2A =S △F 1F 2A ，S △NF 2B =S △F 1F 2B ， 所以S 1+S 2=S △F 1F 2A +S △F 1F 2B =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2| =3|k|⋅|x 1−x 2|=3|k|⋅√48(1+k 2)1+4k 2=12√3×√1+1k 21k 2+4，令√1+1k 2=t ，则t >1，所以S 1+S 2=12√3×tt 2+3≤12√3×2√3t =6，(当且仅当t 2=3时取等号)，即1+1k 2=3，k =±√22时，S 1+S 2取得最大值，最大值为6，当直线l 的斜率不存在时，不妨设A(3,√32)，B(3,−√32)，R(−3,√32)，N(−3,−√32)，则S 1+S 2=3√3<6，综上，当k =±√22时，S 1+S 2取得最大值，最大值为6．【解析】(1)将离心率，△MF 1F 2面积的最大值用a ，b ，c 表示出来，结合a ，b ，c 之间的关系，联立求解，解得a ，b ，c 的值，从而求出椭圆C 的标准方程．(2)分两种情况：直线l 的斜率存在和直线l 的斜率不存在，求S 1+S 2，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)消去参数得C ：(x −2)2+y 2=4．由√2ρsin(θ+π4)=3得√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=3，即ρsinθ+ρcosθ=3， 所以直线l 的直角坐标方程为x +y −3=0． (2)直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√22t(t 为参数)，代入曲线C 的方程得：(1−√22t)2+12t 2=4，整理得t 2−√2t −3=0．所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3<0，所以t 1，t 2异号， 故||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2．【解析】(1)消去参数能求出曲线C 的普通方程，直线l 的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα=3，由此能求出直线l 的直角坐标方程． (2)写出直线l 的参数方程{x =3−√22t y =√22t(t 为参数)，代入曲线C 的方程得：(1−√22t)2+12t 2=4，整理得t 2−√2t −3=0.利用韦达定理解答．本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段差的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】(1)解：将a =1，b =2代入f(x)≥5，得|x +1|+|x −2|≥5，等价于：{x ≤−11−2x ≥5或{−1<x <23≥5或{x ≥22x −1≥5解得：x ≤−2或x ≥3．所以不等式f(x)≥5的解集为(−∞,−2]∪[3,+∞)． (2)证明：f(x)=|x +a|+|x −b|≥|a +b|， 因为f(x)的最小值为2，且a >0，b >0，所以a +b =2．1a+1b+1=13(1a +1b+1)(a +b +1)=13(b+1a+a b+1+2)≥13(2√b+1a⋅ab+1+2)=43，当且仅当b+1a=a b+1，即当a =b +1，即a =32，b =12时取等号．【解析】(1)通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的焦距即可． (2)利用函数的最小值，结合基本不等式，转化证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想，逻辑推理能力，是中档题．。
云南省昆明市2021届新高考四诊数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．±1D ．3±【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：212z a =+=，求解关于实数a 的方程可得：3a =±.本题选择D 选项.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．4．已知(2sin,cos ),(3,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 5．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为221916x y -=.故选：B .【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.6．已知(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r ，那么0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由0a b =r rg ，可得cos20α=，解出即可判断出结论． 【详解】解：因为(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r 且0a b =r rg22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==g g ． 222k παπ∴=±，解得()4k k Z παπ=±∈．∴0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．设非零向量a r ，b r ，c r，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||3b a -=r r ”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】解：||3b a -=r r ，∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴ “||3b a -=r r ”是“3πθ=”的充分必要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．53π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =，所以体积为()346422233V ππ=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 10．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故11c c b a--> ，错误 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．11．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A 2B 3C ．1D 6【答案】B 【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．12．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A 【解析】 【分析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)xg x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>.设ln ()(0)x h x x x=>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检测试卷(文科)(解析版)
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检测试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知复数z满足＝2+i，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2．集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（1，+∞）3．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．设直线y＝1与y轴交于点A，与曲线y＝x3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线y＝x3围成的区域为Ω．在Ω内随机取一个点P，已知点P取在△OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（）A．AB⊥PQB．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面CDD1C16．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在（1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{a n}，则数列{a n}的项数为（）A．98B．99C．100D．1017．已知曲线y＝e x﹣1在x＝x0处的切线方程为ex﹣y+t＝0，则（）A．x0＝1，t＝﹣1B．x0＝1，t＝﹣e C．x0＝﹣1，t＝﹣1D．x0＝﹣1，t＝﹣e 8．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A．﹣或2B．或3C．或4D．或59．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣10．已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL，若经过n（n∈N*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100mL，则n的最小值为（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．7B．8C．9D．1012．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），f（x）的一个零点是，f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，下列四个结论：①φ＝；②ω＝+3k（k∈N）；③f（﹣）＝0；④直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市2021届高三数学10月摸底调研试题 理(1)
云南省昆明2021届高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，那么A∩B=（）A．{0，1} B． {﹣1，0} C． {﹣1，0，1} D． {0，1，2}2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）3．以下函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B． y=C． y=2﹣|x| D． y=log2|x|4．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，那么双曲线C的离心率为（）A． B．C． 2 D．5．在△ABC中，点D为BC的中点，假设AB=，AC=3，那么•=（）A．1 B． 2 C． 3 D． 46．已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，那么实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B． [﹣2，2]C． [﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）7．执行如下图的程序框图，若是输入的x，y，N的值别离为1，2，3，那么输出的S=（）A．27 B． 81 C． 99 D． 5778．设α为第四象限的角，假设=，那么tanα=（）A．﹣B．﹣ C．﹣D．﹣39．4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每一个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．10．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的核心F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且通过点A的圆交l于B、D两点，假设∠ABD=90°，△ABF的面积为3，那么p=（）A．1 B．C． 2 D．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C． 18 D．12．已知函数f（x）=ax2﹣lnx，假设f（x）存在两个零点，那么实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（+）6的展开式中常数项为_________ ．（用数字作答）14．甲、乙、丙三名同窗中只有一人考了总分值，当他们被问到谁考了总分值时，甲说：丙没有考总分值；乙说：是我考的；丙说：甲说实话．事实证明：在这三名同窗中，只有一人说的是谎话，那么得总分值的同窗是_________ ．15．已知在△ABC中，C=，AB=6，那么△ABC面积的最大值是_________ ．16．已知三棱锥A﹣BCD的所有极点都在球O的球面上，AB为球O的直径，假设该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，那么球O的表面积为_________ ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an ，求数列{an+1•bn+1}的前n 项和Tn ．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA=PC ，（1）证明：PB ⊥AC ；（2）假设平面PAC ⊥平面平面ABCD ，∠ABC=60°，PB=AB ，求二面角D ﹣PB ﹣C 的余弦值．19．（12分）某校高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次总分值为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采纳分层抽样的方式共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．取得的频率散布直方图如下图：（1）请将以下2×2列联表补充完整，计算并说明是不是有95%的把握以为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀 合计男生 12女生合计 100（2）在第1组、第7组中共抽处学生3人调查阻碍数学成绩的缘故，记抽到“成绩优秀”的学生人数为X ，求X 的散布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d ．P （K2≥k0） 0.15 0.10 0.05K0 2.072 2.706 3.841 20．（12分）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左核心为F （﹣，0），过F 的直线交C 于A ，B 两点，设点A 关于y 轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）假设点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）假设BD=5，CF=，求四边形EDFC外接圆的半径．一、选修4-4-：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，成立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为一般方程；（2）假设直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）假设不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假设f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19．解：（Ⅰ）应抽取男生60人，女生40人，2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12 48 60女生 6 34 40合计18 82 100k2==0.407＜3.841，计算结果说明，没有95%把握以为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的散布列为X 0 1 2 3PE（X）==．20．解：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和概念可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．解得a=2，∵左核心为F（﹣，0），c=，∴b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为=1．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．∵≥2×=，∴．当△AFA′面积取得最大时，=，解得，y1=1．由F（﹣，0），A，可得直线AB的方程为：，化为=0，设B（x2，y2），联立，解得，，可得B．∴|AB|==．21．解：（1）函数的导数f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=ex﹣x2，那么g（x）=e2x﹣ex﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣ex﹣6x，令h（x）=2e2x﹣ex﹣6x，h′（x）=2e2x﹣ex﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，那么d′（x）=，那么d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．22．（Ⅰ）证明：连接ED，FD，∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴∠DEC+∠DFC=180°，∴E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，∴CD是四边形EDFC外接圆的直径，∵CD是△ABC中AB边上的高，∴BD是四边形EDFC外接圆的切线，∴BD=BF•BC∵BD=5，CF=，∴BF=3，同理CD=∴四边形EDFC外接圆的半径为．23．解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，∴x2+y2﹣2x﹣4y=0；由直线l的参数方程（t是参数）化为．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B别离对应的参数为t1，t2．那么t1+t2=1，t1t2=﹣4．∴|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．24．解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得=﹣1，=2，解得b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），那么g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，假设f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．。
2021年云南省高考数学试卷(文科)(甲卷)
2021年云南省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝（）A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9} 2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i4．（5分）下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝5．（5分）点（3，0）到双曲线﹣＝1的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（）A．1 B．C．D．39．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.811．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．12．（5分）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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A．16B．18C．20D．15
9．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10． （）
A． B． C． D．
20．（6分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 ，直线 与曲线 相交于 ， ，求 的值．
21．（6分）已知数列 满足对任意 都有 ，其前 项和为 ，且 是 与 的等比中项， ．
（1）求数列 的通项公式 ；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为 ,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
5．A
【解析】
【分析】
求出 ，对 分类讨论，求出 单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
2019-2020学年高考数学模源自试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 年某省将实行“ ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
又由 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】
，故 ，对应点在第三象限.
故选： .
【点睛】
本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
23．（8分）已知动圆过定点 ，且与直线 相切，动圆圆心的轨迹为 ，过 作斜率为 的直线 与 交于两点 ，过 分别作 的切线，两切线的交点为 ，直线 与 交于两点 ．
（1）证明：点 始终在直线 上且 ；
（2）求四边形 的面积的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【详解】
，
若 ， ，
在 单调递增，且 ，
在 不存在零点；
若 ， ，
在 内有且只有一个零点，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
6．D
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由指数函数的性质，可得 ，即 ，
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记 表示抽到“很幸福”的人数,求 的分布列及 ．
19．（6分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
化为 ，即 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．B
【解析】
【分析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
12．B
【解析】
【分析】
由题意可知“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（）
A．18B．17C．16D．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ， ， 则 _________．
（2）已知数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，求 大于 的最小的正整数 的值．
22．（8分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与 和 分别交于点 ，求 ．
17．在直角坐标系 中，长为3的线段的两端点 分别在 轴、 轴上滑动，点 为线段 上的点，且满足 .记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上的两个动点，记 ，判断是否存在常数 使得点 到直线 的距离为定值？若存在，求出常数 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
18．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
3．已知P是双曲线 渐近线上一点， ， 是双曲线的左、右焦点， ，记 ，PO， 的斜率为 ，k， ，若 ，-2k， 成等差数列，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得 ，
， ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由已知可得 • 4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn ，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得： 2（ ）.利用裂项求和方法即可得出.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
分子分母同乘 ,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解: ,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
当 时， .
当 时， 为增函数，且 ，则 是 唯一零点.由于“当 时， .”，所以
令 ，得 ，因为 ， ，
所以函数 的零点所在区间为 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3．B
【解析】
11．已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，则平面 截该正方体的内切球所得截面面积为（）
A． B． C． D．
12．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
9．D
【解析】
【分析】
先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性，比较出三个数 的大小.
【详解】
当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ，故本题选D.
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
5．函数 在 内有且只有一个零点，则a的值为（）