人教版九年级数学下册相似三角形应用举例作业及答案
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，锐角ABC ，P 是AB 边上异于A 、B 的一点，过点P 作直线截ABC ，所截得的三角形与原ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP △相似的是（ ）A ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC =3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，下列比例式成立的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AD DE AB BC = C ．AD AE DB AC = D ．AD AB AE EC= 4．下列说法正确的是（ ）A ．两个直角三角形相似B ．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A ．DE 垂直平分ACB ．△ABE ∽△CBAC ．2BD BC BE =⋅ D ．CE AB BE CA ⋅=⋅6．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且14BD AB = 则PA PD +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．D二、解答题8．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AD ＝BD ．(1)求证：△ABC ∽△BDC ．(2)若∠C ＝90°，BC ＝2，求AB 的长．9．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥10．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.12．图，点P ，M ，N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．(1)求证：△PMN是等边三角形；(2)若AB＝12cm，求CM的长．三、填空题13．如图所示，在四边形ABCD中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．参考答案与解析1．D【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.【详解】（1）如图1，作PE 平行于BC ，则△APE △ABC ,（2）如图2，作PE 平行于AC ，则△BPE △BAC ,（3）如图3，作PE ，使AE ：AB =AP ：AC ,此时∠A.是公共角，△APE △ACB ,（4）如图4，作PE ，使BP ：CB =BE ：AB ．此时∠B 是公共角，△PEB △ACB所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D ．【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.2．C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A ．APB EPC ∠=∠根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ABP ∆∽ECP △，不合题意；B.90APE ︒∠=根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到APB PEC ∠=∠，从而有ABP ∆∽PCE ，不合题意；C ．P 是BC 的中点，无法判断ABP ∆与ECP △相似，符合题意；D ．:2:3BP BC = 根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==，又∵∠B =∠C ，则ABP ∆∽ECP △，不合题意．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．3．B【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．【详解】解：∵DE ∥BC∴AD AE DB EC =，故C 错误； ∴AD DB AE EC=，故D 错误； ∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC∴AD DE AB BC =，故B 正确，A 错误 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【详解】解：A 、∵两个直角三角形只有一组角相等∴两个直角三角形不一定相似，故选项A 不合题意；B 、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似故选项B 不合题意；C 、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C 不合题意；D 、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似∴选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．D【分析】根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线AB AD =，根据SAS 证明ABE ADE ≌，可得EB ED = 90ADE ABE ∠=∠=︒根据面积法可得11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅，可得AB BE AC EC =即可判断D 选项正确，其他选项无法证明．【详解】解：根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线，AB AD =∴EAB EAD ∠=∠在ABE △与ADE 中AE AE EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ADE ≌∴EB ED =90ABC ∠=︒∴90ADE ABE ∠=∠=︒∴,BE AB ED C ⊥⊥11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ∴AB BE AC EC= 即CE AB BE CA ⋅=⋅．A,B,C 选项无法证明．故选：D ．【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．6．D【分析】由题意知△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB =AC =6，∠B =75°∴∠C =75°，∠A =30°A 、三角形各角的度数都是60°B 、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°C 、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°D 、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°∴只有D 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等故选：D ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．7．C【分析】延长AC 到点A '，使得AC CA ='，连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，则PA PD PA PD A D +='+'当点A '、P 、D 三点共线时PA PD A D +='为最小值，求得A D '的值便可．【详解】解：延长AC 到点A'，使得AC CA ='，再连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，如图90ACB ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =142A C AC AB ∴'===BC ∴==14=BD AB ∴34AD AB = DE AC ⊥ 90ACB ∠=︒DE BC ∴∥∴AED ACB ∽∴34AE DE AD AC BC AB === 334AE AC ∴== 34DE BC ==4435A E AA AE ∴'='-=+-=A D ∴'PA PD PA PD A D +='+'∴当点A '、P 、D 三点共线时，取等号∴PA PD A D +='=PA PD +的最小值．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握求PA PD +的最小值的方法．8．(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A ＝∠DBA ，进而得到∠A ＝∠CBD ，再根据∠C ＝∠C ，即可证明△ABC ∽△BDC ；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD∴∠A＝∠DBA∵BD平分∠ABC交AC于点D∴∠CBD＝∠DBA∴∠A＝∠CBD∵∠C＝∠C∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°∴∠A＋∠ABC＝90°由（1）得∴∠A =∠ABD＝∠CBD∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°∴∠A＝30°∵BC＝2∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．9．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明PBE △和ABD △相似，即可证明．（2）先证明ABC ∽CBE △，再证明PBC ∽CBD △，得到90BPC BCD ∠=∠=︒，即可证明．（1）证明：A EPB ∠=∠ PBE ABD ∠=∠PBE ∴∽ABD △ ∴BE BP BD BA= BE BA BP BD ∴⋅=⋅．（2）证明：A ECB ∠=∠ ABC CBE ∠=∠ABC ∴∽CBE △BC BA BE BC∴= 2BE BA BC ∴⋅=又∵BE BA BP BD ⋅=⋅2BC BP BD ∴=⋅BC BP BD BC∴= PBC CBD ∠=∠PBC ∴△∽CBD △90ACB ∠=︒90BPC BCD ∴∠=∠=︒CP BD ∴⊥．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．10．(1)AE BF =(2)16(3)BP 的长度为2或3或6或7．【分析】（1）由正方形的性质可得,BAO OBC AO BO ∠=∠=，AOE BOF ∠=∠根据ASA 可证AOE BOF ∆≅∆ 由全等三角形的性质可得结论；（2） 过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，证明△OME OTG ≅∆，进而证明16ATOM AEOG S S ==正方形四边形；（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠90BAD ABC ︒=∠=∵,AC BD 是对角线 ∴∠11,,22BAO BAD OBF ABC AC BD =∠∠=∠= ∴∠11,,9022BAO OBC AO BO AC BD AOB ︒=∠===∠= ∵四边形111A B C O 是正方形∴∠1190A OC ︒=∴∠1190AOB BOC ︒+∠= 又∠1190AOA A OB ︒+∠=∴AOE BOF ∠=∠∴AOE BOF ∆≅∆∴AE BF =故答案为: AE BF =（2）过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，如图∵点O 是正方形ABCD 的中心∴11=,22AT TO OM MA AB AD ==== 又∠A =90°∴四边形ATOM 是正方形 ∴21116,44ATOM ABCD S S AB ===正方形正方形 同（1）可证△.OME OTG ≅∆∴16ATOM AEOG S S ==正方形四边形（3）解：在直线BE 上存在点P ，使△APF 为直角三角形①当∠AFP =90°时，如图④，延长EF ，AD 相交于点Q∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形∴EQ =AB =6，∠BAD =∠B =∠E =90°∴四边形ABEQ 是矩形∴AQ =BE =BC +CE =8，EQ =AB =6，∠Q =90°=∠E∴∠EFP +∠EPF =90∵∠AFP =90°∴∠EFP +∠AFQ =90°∴△EFP ∽△QAF∴EP EF QF AQ = ∵QF =EQ -EF =4∴248EP = ∴EP =1∴BP =BE -EP =7；②当∠APF =90°时，如图⑤同①的方法得，△ABP∽△PEF∴AB BP PE EF=∵PE=BE-BP=8-BP∴682BPBP=-∴BP=2或BP=6；③当∠PAF=90°时，如图⑥过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N 同①的方法得，四边形ABPM是矩形∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°同①的方法得，四边形ABEN是矩形∴AN=BE=8，EN=AB=6∴FN=EN-EF=4同①的方法得，△AMP∽△FNA∴PM AM AN FN=∴684AM =∴AM=3∴BP =3即BP 的长度为2或3或6或7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．11．(2)2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，先求出直线CD '的关系式，得出点E 的坐标，求出AE =2，根据勾股定理求出CD =DE =CE =（2）将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，用待定系数法求出CD ''的关系式，然后求出与x 轴的交点坐标，即可得出答案．（1）解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中，OA =3，OB =4，D 为OB 的中点∴D （0，2），C （3，4）和02D '-（，）设直线CD '为y =kx ＋b ，把C （3，4），02D '-（，）代入得34k b =＋，2b =-解得k =2和2b =-∴直线CD '为22y x =-令y =0，得x =1∴点E 的坐标为（1，0）.∴OE =1，AE =2利用勾股定理得CD =DE =CE =∴△CDE =（2）解：如图，将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，连接D F ''，此时四边形CDEF 周长最小理由如下：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值∴DE ＋CF 最小时，四边形CDEF 周长最小∵DD EF '∥，且DD EF '=∴四边形DD FE '为平行四边形∴DE D F '=根据轴对称可知D F D F '''=∴DE CF D F CF FD CF CD '''''===＋＋＋设直线CD ''的解析式为y =kx ＋b ，把C （3，4），1,2D ''-（）代入得342k b k b =⎧⎨=-⎩＋＋，解得35k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD ''的解析式为35y x =-令y =0，得53x =∴点F 坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点E 坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．12．(1)见解析(2)4cm【分析】（1）根据等边三角形的性质得出A B C ∠=∠=∠进而得出===90MPB NMC PNA ∠∠∠︒再根据平角的意义即可得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠即可证得PMN △是等边三角形；（2）易证得PBM MCN NAP ≌≌，得出PA BM CN ==，PB MC AN ==从而求得12BM PB AB +==cm 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB BM =，即可求得PB 的长，进而得出CM 的长．（1）证明：∵ABC 是正三角形∴A B C ∠∠∠＝＝．∵MP AB ⊥，MN BC ⊥且PN AC ⊥∴90MPB NMC PNA∠∠∠︒＝＝＝ ∴PMB MNC APN ∠∠∠＝＝∴NPM PMN MNP ∠∠∠＝＝∴ABC 是等边三角形；（2）解：∵PMN △是等边三角形，ABC 是正三角形∴PM MN NP == ===60B C A ∠∠∠︒在PBM 和MCN △中===90=B C BPM CMN PM MN ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()PBM MCN AAS ≌在MCN △和NAP 中===90=C A CMN ANP MN NP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()MCN NAP AAS ≌同理可得()PBM NAP AAS ≌∴()PBM MCN NAP AAS ≌≌∴PABM CN ＝＝ PB MC AN ＝＝ ∴12BM PB AB +＝＝cm∵△ABC 是正三角形∴60AB C ∠∠∠︒＝＝＝ ∴2PB BM ＝∴212PB PB +＝cm∴4PB ＝cm∴4MC ＝cm ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠是本题的关键．13．B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC AC BC（答案不唯一） 【分析】先由AD ∥BC ，得到∠DAC =∠ACB ，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．【详解】解：∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB∴当∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC∴都可得相似．故答案为：∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC （答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．14．【分析】过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ，证明△ABC ≌△ADE ，从而得到四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，然后证明出△ACE 是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC 的长度．【详解】如图，过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ．∵BD 为⊙O 的直径∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°∵CA 平分∠BCD∴∠BCA ＝∠ACD ＝45°∴∠E ＝∠ACD ＝45°∴AC ＝AE∵AE ⊥AC∴∠CAE ＝90°∴∠CAD +∠DAE ＝90°又∵∠BAC +∠CAD ＝90°∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠BCA ＝∠E ＝45°在△ABC ≌△ADE 中BCA E AC AEBAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△ADE （ASA ）∴＝ABC ADE SS ∴四边形＝＝30ADE ABCD SS ∴21302＝AC ∴＝AC故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．。
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
27.2.3 相似三角形的应用 人教版数学九年级下册分层作业(含答案)
27.2.3 相似三角形的应用【A组-基础题】1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），即竹竿的长为四丈五尺．故选B2．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
金字塔的影长，推算出金字塔的高度。
这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为()A．B．C．D．【详解】∵，，∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD，∴∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，∴.故选C.4．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，∵同一时刻物高与影长成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴树的高度是11.8米，5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．6．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，,所以，，所以，AB=5.4故选B7．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm【详解】因为正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，设ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故选：C．8．为测量被池塘相隔的两棵树，的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得三组数据：，，，，，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有（）A．0组B．一组C．二组D．三组【详解】第①组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；第②组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；第③组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．故选D．9．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm2【详解】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．如图，已知AC⊥OB，BD⊥OB，所以AC//BD，所以△AOC∽△BOC，所以根据相似三角形的性质可得即解得BD=0.9m，同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，所以S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72πm2．故选D．10．如图，路灯P点距地面9m，身高1.8m的小明从距路灯底部O点20m的A点沿AO所在的直线行走了14m到达B点时，则小明的身影（ ）A．增长了3米B．缩短了3米C．缩短了3.5米D．增长了3.5米【详解】，，，即，解得，，，，即，解得，，小明的身影缩短了3.5米．故选C．11．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，∴△ABC∽△QDN，．∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，=1.5（米），∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ的长度为2.3米．12．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【详解】解：由题意得∠ABG=∠CDG=90°，又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG,∴=,∵AB=5.5米，BG=10.5米，∴=,∴CD≈31.69（米）又∵∠ABD=∠EFD=90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF,∴==,∴EF=2AB=11（米）∴CD-EF≈20.7（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.13．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【详解（1）在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）∵△BEF∽△CDF．∴，即，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．14．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC 上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．【详解】由题意可得DE∥BC，所以＝.又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.所以＝，即＝.因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝2 m，所以＝.解得DB＝24m.答：这条河的宽度为24m.15．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．【详解】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，又∵CD=EF，∴，∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，∴∴BD=9，BF=9+3=12∴解得，AB=6.4m因此，路灯杆AB的高度6.4m.16．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离.【详解】在△ABC与△AMN中，，，∴，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，即，解得MN=1.5(千米) ，因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米.【B组-提高题】17．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1丈10尺，1步6尺），并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？（提示：连接EC 并延长交AB于点K，用AK与常数的积表示KC和KE．）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算经》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的．）【详解】解：由题意可知，又∵，，∴，，∴，，∵丈＝5步，步，步，∴，，∴，∴步，，∴步，答：山峰的高度AB为1255步，它和标杆CD的水平距离BD为30750步．。
九年级数学下册知识讲义-27相似三角形的应用(附练习及答案)-人教版
一、考点突破1. 进一步巩固相似三角形的知识，掌握相似三角形和相似多边形的性质，能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题。
2. 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。
二、重难点提示重点：运用三角形相似的知识，计算不能直接测量的物体的长度和高度。
难点：灵活运用三角形相似的知识，解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）。
考点精讲一、相似三角形的应用 在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。
测量物体的高度（1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆【重要提示】（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；（2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区。
二、相似三角形和相似多边形的性质1. 相似三角形的性质两个相似三角形周长的比等于它们的相似比；对应高的比等于它们的相似比；面积的比等于它们相似比的平方。
A1B C1D1A2B2C2D22. 相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
B1C1BC23. 相似多边形的性质相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方。
【核心归纳】相似三角形对应边成比例，回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题。
27.2.3相似三角形应用举例九年级数学人教版(下册)(解析版)
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！
第二十七章相似
27.2.3相似三角形应用举例
1313。
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形应用举例》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章相似三角形应用举例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，小明利用标杆BE测量建筑物DC的高度，已知标杆BE的长为1.2米，测得AB=85米，BC＝425米，则楼高CD是（）A．6.3米B．7.5米C．8米D．62．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，则标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，则最大的“”字高度为（）mmA．4.36B．29.08C．43.62D．121.174．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，则发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD 为1.9米，小明到凉亭的距离BD 为2米，凉亭离城楼底部的距离DF 为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（ ）A ．7.6米B ．5.9米C ．6米D ．4.3米5．如图，在矩形ABCD 中点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F 将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在EB 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ，有下列四个结论：①BF 垂直平分EN ；①BF 平分∠MFC ；①DEF FEB ∽△△；①3BEF DEF S S =△△．其中将正确结论的序号全部选对的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题6．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ①AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．7．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m 长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，则竹竿与这一点相距5m 、与旗杆相距20m ，则旗杆的高度为_____m ．8．如图，小卓利用标杆EF 测量旗杆AB 的高度，测得小卓的身高 1.8CD =米，标杆 2.4EF =米，1DF =米，11BF =米，则旗杆AB 的高度是______米．9．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，则他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．三、解答题10．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF 的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A ，再在河岸的这一边选出点B 和点C ，分别在AB 、AC 的延长线上取点D 、E ，使得DE ∥BC ．经测量，BC ＝120米，DE ＝210米，且点E 到河岸BC 的距离为60米．已知AF ①BC 于点F ，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF 的长度．11．如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．12．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有33⨯的数阵A ，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a *b 为数阵中第a 行第b 列的数．例如，数阵A 第3行第2列所对应的数是3，所以3*2=3．（1） 对于数阵A ，2*3的值为 ；若2*3=2*x ，则x 的值为（2）若一个33⨯的数阵对任意的a ，b ，c 均满足以下条件：条件一：a *a =a ；条件二：()a b c a c **=*；则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A 是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）；①已知一个“有趣的”数阵满足1*2=2，试计算2*1的值；①是否存在“有趣的”数阵，对任意的a ，b 满足交换律a *b =b *a ？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】先判断出①ABE ①①ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】①AB =85，BC ＝425 ①AC =AB +BC =10①BE ①AC ，CD ①AC①BE ①CD①AB ：AC =BE ：CD ①85：10=1.2：CD①CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．2．B【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD =DE ，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm 3，圆锥的体积为72πcm 3，设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E ，过点E 作DE ①AC 于点D ，则AB =6cm ，AC =6cm①①ABC 为等腰直角三角形①DE ①AB①①CDE ①①CAB①①CDE 为等腰直角三角形①CD =DE圆柱体内液体的体积为：233763cm ππ⨯⨯= 圆锥的体积为2316672cm 3ππ⨯⨯=设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm①21(6)(6)72633x x πππ⋅-⋅-=-①3(6)27x -= 解得：x =3即此时“沙漏”中液体的高度3cm ．故选：B ．【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．3．C【分析】根据题意，得CAB FAD ∠=∠、90ABC ADF ∠=∠=︒结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得CAB FAD ∠=∠，且90ABC ADF ∠=∠=︒①ABC ADF △∽△ ①BC DF AB AD= ①72.7343.62mm 5BC AD DF AB ⨯⨯=== 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．4．B【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N由题意得，AN =2，CN =1.9-1.6=0.3，MN =38E CN M ∥~ACN AEM ∴CN AN EM AM∴= 0.3240EM ∴= 6EM ∴=1.7AB MF ==6 1.6 1.7 5.9∴+-=（米）故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，构造直角三角形是解题关键．5．D【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF ＝FM ＝DF ；易求得①BFE ＝①BFN ，则可得BF ①EN ；证明①EFM ＝①EBF 即可证明DEF FEB ∽△△；易求得BM ＝2EM ＝2DE ，即可得EB ＝3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明3BEF DEF S S =△△．【详解】解：①四边形ABCD 是矩形①①D ＝①BCD ＝90°，DF ＝MF由折叠的性质可得：①EMF ＝①D ＝90°即FM ①BE ，CF ①BC①BF 平分①EBC①CF ＝MF①DF ＝CF ，在①DEF 与①CFN 中90D FCN DF CFDFE CFN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①DFE ①①CFN①EF ＝FN①①BFM ＝90°−①EBF ，①BFC ＝90°−①CBF①①BFM ＝①BFC①BF 平分①MFC ；故①正确；①①MFE ＝①DFE ＝①CFN①①BFE ＝①BFN①①BFE ＋①BFN ＝180°①①BFE ＝90°即BF ①EN①BF 垂直平分EN ，故①正确；①①BFE ＝①D ＝①FME ＝90°①①EFM ＋①FEM ＝①FEM ＋①FBE ＝90°①①EFM ＝①EBF①①DFE ＝①EFM①①DFE ＝①FBE①DEF FEB ∽△△；故①正确；①①BFM ＝①BFC ，BM ①FM ，BC ①CF①BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM①BE ＝3EM①S △BEF ＝3S △EMF ＝3S △DEF ；故①正确．综上所述：①①①①都正确故答案选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中证得①DFE ①①CFN 是解题的关键．6．30【分析】根据题意得到①OCD ①①OAB ，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．【详解】解：①CD ①AB①①OCD ①①OAB ． ①CD OC ABOA = ①CD =10米，OC =15米，OA =45米 ①101545AB =①AB =30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形①OCD ①①OAB ．7．12.5##1122##252【分析】根据题意，移动竹竿、旗杆、竹竿和影子经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：由图可知设旗杆的高为x 米DE BC ∥ADEABC ∴ 255520.x ∴=+ 12.5x ∴=故答案为：12.5．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．9【分析】过点C 作CH ①AB 于点H ，CH 交EF 于点G ，如图，易得GF ＝BH ＝CD ＝1.8m ，CG ＝DF ＝1m ，GH ＝BF ＝11m ，证明△CGE ①①CHA ，再利用相似比求出AH ，然后计算AH +BH 即可．【详解】解：过点C 作CH ①AB 于点H ，CH 交EF 于点G ，如图由题意易得GF ＝BH ＝CD ＝1.8m ，CG ＝DF ＝1m ，GH ＝BF ＝11m①EG ＝EF ﹣GF ＝2.4m ﹣1.8m ＝0.6m①EG AH①①CGE ＝①CHA ，①CEG ＝①CAH①①CGE ①①CHA ①EG CG AH CH = ①0.61111AH =+①AH ＝7.2①AB ＝AH +BH ＝7.2+1.8＝9（m ）即旗杆AB 的高度是9m ．故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9．6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则①ABE ①①ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC=，即可得． 【详解】解：如图：①BE ①AC ，CD ①AC①90ABE ACD ∠=∠=︒①①ABE ①①ACD ①BE AB CD AC = ①1.8310CD = 解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．10．桥AF 的长度为80米．【分析】过E作EG①BC于G，依据△ABC①①ADE，即可得出43ACEC=，依据△ACF①①ECG，即可得到AF ACEG EC=，进而得出AF的长．【详解】解：如图所示，过E作EG①BC于G①DE∥BC①①ABC①①ADE①ACAE＝BCDE12042107==①43 AC EC=①AF①BC，EG①BC ①AF∥EG①①ACF①①ECG①AF ACEG EC=，即4603AF=解得AF=80①桥AF的长度为80米．【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．11．8.5尺【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【详解】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺根据勾股定理可得：x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1解得：x ＝7.5①门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．故答案为8.5尺．【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键．12．（1）2； 1，2，3；（2）①是；①1；①不存在，理由见解析【分析】（1）根据a *b 为数阵中第a 行第b 列的数列式计算即可求出2*3的值；分三种情况讨论可求出满足2*3=2*x 时x 的值；（2）①根据条件一：a *a =a 和条件二：()***a b c a c =验证即可；①由1*22=，可得()2*11*2*1=，结合()***a b c a c =可得()1*2*11*1=，再有a *a =a 可得1*11=，从而可求出2*1的值；①方法一：若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的,,a b c 有：**a c b c ==这说明数阵每一列的数均相同.由1*2=2 2*1=1可得出矛盾. 方法二：由条件二可知，*a b 只能取1，2或3，由此可以考虑*a b 取值的不同情形，举例验证即可．【详解】解：（1）第2行第3列的数为2①2*3的值为2；第2行第1列，第2行第2列，第2行第3列的数都是2①2*3=2*x ，则x 的值,1,2,3；故答案为：2； 1，2，3；（2）①条件一：1*1=1，2*2=2，3*3=3，满足；条件二：经验证，满足()a b c a c **=*；①数阵A 是“有趣的”．故答案为：是；①①1*22=①()2*11*2*1=①()***a b c a c =①()1*2*11*1=①a *a =a①1*11=①2*11=．①不存在理由如下：方法一：若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的,,a b c 有：()()******a c a b c b a c b c ===这说明数阵每一列的数均相同．①1*11=，2*22=和3*33=①此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3①1*2=2，2*1=1与交换律相矛盾．因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．方法二：由条件二可知，*a b 只能取1，2或3，由此可以考虑*a b 取值的不同情形．例如考虑1*2：情形一：1*21=若满足交换律，则2*11=再次计算1*2可知：()1*22*1*22*22===，矛盾；情形二：1*22=．由(2)可知， 2*11=1*22*1≠，不满足交换律，矛盾；情形三：1*23=．若满足交换律，即2*13=再次计算2*2可知：()()2*22*1*23*21*2*21*23=====与2*22=矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【点睛】本题考查了新定义运算，理解“有趣的”的数阵的含义是解答本题的关键.也考查了分类讨论的思想和反证法．。
人教版九年级数学下册 27
人教版九年级数学下册 27.2.3 相似三角形应用举例一、单选题1．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（）m.A．3.4B．5.1C．6.8D．8.52．如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2B．0.81πm2C．1.44πm2D．3.24πm23．如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（）A．sinα＝2728B．cosα＝2728C．sinα＝2128D．tanα＝21284．小明拿1米的竹竿立于地面，测其影长为1.2米，同一时刻测得一棵树在太阳光下的影长为7.2米，则这棵树的高为（）A．7.2米B．8.64米C．6米D．6.48米5．如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（）A．1米B．2米C．3米D．4米6．如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD高度是（）A．9m B．10.m C．12m D．16m7．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹杆的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为（）A．54m B．135m C．150m D．162m8．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（）A．1.25米B．5米C．6米D．4米9．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．2.4米B．4.8米C．9.6米D．12.8米10．如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树AB的高度约为（）A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米二、填空题11．如图，在ABC 中， 2AC = ， 4BC = ， D 为 BC 边上的一点，且 CAD B ∠=∠ .若 ADC 的面积为1，则 ABD 的面积为 .12．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上 A ， D 两个端点之间的距离为10cm ，23AO DO BO CO == ，则容器的内径是 .13．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2， AB BC ⊥ ， CD BC ⊥ .出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧 DE ，与上部面板线段 AE 相接于点 E ，与CD 相切于点 D .测得 24cm BC = ， 18cm CD = .进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移， 18cm CH = ， 2cm HF = .当 HF 向右移动 6cm 至 HF 时，点 A ， D ， F 在同一直线上，则 AB 的长度为 cm .若点 E 到 AB 的距离为 16cm ， tan 4A = ，连结 PO ，线段 OP 恰好过 DE 的中点.若 265cm PE = ，则点 P 到直线 BC 的距离为cm .14．如图是小孔成像原理的示意图，点 O 与物体 AB 的距离为 30cm ，与像 CD 的距离是14cm ， //AB CD . 若物体 AB 的高度为 15cm ，则像 CD 的高度是 cm .15．如图，某小区门口的栏杆短臂 1AO m = ，长臂 12OB m = ．当短臂端点高度下降0.5AC m = ，则长臂端点高度上升 BD 等于 m （栏杆的宽度忽略不计）；16．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ，东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是88cm ，那么东东的影长是 cm.17．如图，身高1.8米的轩轩从一盏路灯下的B 处向前走了4米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 长与他的身高一样，则路灯的高AB 为 米.18．有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m ．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm ．已知图纸上的三角形的周长为15cm ，则这块草坪的周长为 m ．三、解答题19．利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB 表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED 的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高．20．小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树 AB 的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部 B ，如图，围栏 29CD = 米，小刚在 DC 延长线 E 点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点 F 时，恰好可以通过镜子看到树顶 A ，这时小刚眼睛 G 与地面的高度 1.5FG = 米， 2EF = 米， 1EC = 米；同时，小亮在 CD 的延长线上的 H 处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶 A 的仰角 45AHB ∠=︒ ， 5DH = 米，请根据题中提供的相关信息，求出古树 AB 的高度.21．如图，小明站在路灯B 下的A 处，向前走5米到D 处，发现自己在地面上的影子DC 是2米．若小明的身高DE 是1.8米，则路灯B 离地面的高度AB 是多少米？22．如图，一天早上，明明正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一5G 信号接收塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷.经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m 和31.6m ，它们之间的距离为30m ，明明的眼睛距地面1.6m.当明明刚发现接收塔的顶部D 被教学楼的顶部A 挡住时，他与教学楼之间的距离为多少米？23．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB∠BD，CD∠BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．24．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则5 1.7 205x=-，∴x＝5.1m.故答案为：B.【分析】由题意易得三角形相似，根据相似三角形的性质可得比例式求解. 2．【答案】B【解析】【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∠AD，∴∠OBC∠∠OAD∴CB OCAD OD=，而OD=3，CD=1，∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= 12×1.2=0.6∴0.623 AD=，∴AD=0.9 S∠D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2.【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得∠OBC∠∠OAD，由相似三角形的性质可得比例式BC OCAD OD=，结合已知求出AD的值，再根据圆的面积S=2Rπ可求解. 3．【答案】A【解析】【解答】解：作CF∠AB于点F，由题意得：AD AC DE CF=，∵AD＝1米，AC＝4.5米，∴1 4.5 0.6CF=，解得：CF＝2.7米，∴2.727 sin2.828CFCBα===，故答案为：A．【分析】作CF∠AB于点F，利用杆长和影子吃哪个求得CF的长，再利用三角函数求得结论。
人教版九年级数学下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步测试及答案(新审)
相似三角形1．某一时刻，身高1.6 m 的小明在阳光下的影子是0.4 m ．同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m ，则该旗杆的高度为( C )A ．1.25 mB ．10 mC ．20 mD ．8 m2．[2013·北京]如图27－2－52，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( B )图27－2－52A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m【解析】 由两角对应相等可得△BAE ∽△CDE ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB . ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴△BAE ∽△CDE ， ∴AB CD ＝BE CE ∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴AB 20＝2010， 解得：AB ＝40，故选B. 3. [2013·白银]如图27－2－53，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O )20米的A 处，则小明的影子AM 长__5__米．图27－2－53【解析】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB OC ＝AM OA ＋AM ，即1.68＝AM 20＋AM， 解得AM ＝5，则小明的影长为5米．4. [2013·巴中]如图27－2－54，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置上，则球拍击球的高度h 为__1.5__m__．图27－2－54第4题答图【解析】∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ACB ，即DE BC ＝AEAB，则0.8h＝44＋3.5，∴h＝1.5 m.故答案为：1.5 m.5．如图27－2－55，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝__2.5__mm.图27－2－556．如图27－2－56，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF ＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__m.图27－2－56图27－2－577．如图27－2－57，从点A(0，2)发出一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为__41__．图27－2－588．如图27－2－58，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC＝__4__m__．【解析】设BC＝x m，根据题意得△BCD∽△ACE，∴BCAC＝CDCE，即xx＋1.8＝8.7－2.78.7，解得x＝4(m)．9．如图27－2－59，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？图27－2－59解：根据物体成像原理知：△LMN ∽△LBA ， ∴MN AB ＝LC LD . (1)∵像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD， 解得：LD ＝7，∴拍摄点距离景物7 m ；(2)拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，∴35LC ＝24， 解得：LC ＝70，∴相机的焦距应调整为70 mm.10．如图27－2－60，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF ＝E 1F 1＝1.5 m ，量得CE ＝2 m ，EC 1＝6 m ，C 1E 1＝3 m.图27－2－60(1)由题意可知△FDM ∽△________，△F 1D 1N ∽△________；(2)求电线杆AB 的高度．解：(1)FBG F 1BG(2)∵D 1C 1∥BA ，∴△F 1D 1N ∽△F 1BG ，∴D 1N BG ＝F 1N F 1G. ∵DC ∥BA ，∴△FDM ∽△FBG .∴DM BG ＝FM FG . ∵D 1N ＝DM ，∴F 1N F 1G ＝FM FG ，即3GM ＋11＝2GM ＋2. ∴GM ＝16.∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∴1.5BG ＝327. ∴BG ＝13.5.∴AB ＝BG ＋GA ＝15(m)．∴电线杆AB 的高度为15 m.11．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图27－2－61所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为( C )A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米图27－2－61第13题答图【解析】 由题意画图，树高为AB ，台阶CD 高为0.3米，DE 为树落在台阶上的影子，长为0.2米，BC 为树落在地面上的影子，长为4.4米．过D 作DF ⊥AB 于F ，则DF ＝BC ＝4.4米，所以EF ＝DF ＋DE ＝4.4＋0.2＝4.6(米)，依题意有AF EF ＝10.4， ∴AF ＝EF 0.4＝4.6×52＝11.5(米)， ∴AB ＝AF ＋BF ＝AF ＋CD ＝11.5＋0.3＝11.8(米)，即树高11.8米，选C.。
人教版九年级数学下册27.2相似三角形同步练习2含答案
27.2.2 相像三角形的判断（ 2）1、在△ ABC 中 ， AB=8， AC=6，点 D 在 AC 上，且 AD=2，若要在AB 上找一点 E ，使△ ADE 与原三角形相像 ，那么 AE=.2、如 ，在△ ABC 中，点 D 在 AB 上， 再添一个适合的条件，使△ADC ∽△ ACB ，那么可添加的条件是AB，3、如 ， DE 与 BC 不平行，当=ACABC 与ADE 相像 .4、如 ， ABC 中， BC= a.(1)若 AD 1=11AC ， D 1E 1=；AB ，AE 1=33 1(2)若DD=DB ，EE=EC ， D E =；1 21112 1 2233(3)若 D 2D 1 D 2B ，E 2E 3=1 E 2C ， D 3E 3=；3=33⋯⋯1 1 (4)若 D n - 1D n =D n - 1B ，E n - 1E n = E n - 1 C ， D n E n =.335、如 ，在平行四 形ABCD 中， AB=8cm ， AD=4cm ，EAD 的中点，在 AB 上取一点 F ， 使△ CBF ∽△ CDE ，AF= ______cm.D CEAFB6、已知：如 ，在正方形AB CD 中 ， P 是 BC 上的点，且 BP=3PC ，Q 是 CD 的中点.ADQ 与 QCP 能否相 似？ 什么？7、如 ，点 C 、D 在 段 AB 上 ，且PCD 是等 三角形 .(1) 当 AC ， CD ， DB足 怎 的关系 ，ACP ∽Δ PDB ；( 2)当 PDB ∽Δ ACP ， 求∠ APB 的度数 .- 1 -8、如图，四边形ABCD 、 CDEF、 EFGH 都是正方形 .(1) ⊿ ACF 与⊿ A CG 相像吗？谈谈你的原因.(2)求∠ 1+∠ 2 的度数 .答案： 1、8 或 32、AD=AC3、AE4、（ 1）a(2)5a(3)19a32AC AB AD3927 5、 1cm6、相像 .证明略7 、 (1)CD 2=AC DB8 、（1）相像. 理(2) ∠APB=120由略（2） 45°- 2 -。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)
专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF.∴DF ＝FA2FE ＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB ∥PD ，∴OD ⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD ＋∠CAD ＝180°，∠DBC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAD ＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA ＝∠BCD ＝45°，∴△PAD ∽△DBC.5．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠CAN.∵∠BCP ＝∠BAN ，∴∠BAN ＝∠CAN.又∵AN ⊥BC ，∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形．(2)连接MN ∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠PBC ＋∠ABC ＝∠AMN ＋∠ACN ＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN.由(1)知∠BCP ＝∠BAN ，∴△BPC ∽△MNA.∴CB AM ＝CP AN，即AM ·CP ＝AN ·CB. 6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC.又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。
人教版九年级数学下册27.3 位似同步测试附解析学生版
人教版九年级数学下册27.2.3 相似三角形应用举例同步测试附解析学生版一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m2．（3分）如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为()A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm3．（3分）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（）A．6.75米B．7.75米C．8.25米D．10.75米4．（3分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36 π平方米B．0. 81 π平方米C．2 π平方米D．3.24 π平方米5．（3分）如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（）A．40m B．120m C．60m D．180m6．（3分）如图，路灯距地面8m，身高 1.6m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（）A．变长 3.5m B．变长 2.5m C．变短 3.5m D．变短 2.5m7．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB等于()A．4.5 m B．6 m C．7.2 m D．8 m8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米10．（3分）某天同时同地，甲同学测得1m的测竿在地面上影长为0.8m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m，则国旗旗杆的长为（）A．10m B．12mC．13m D．15m二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S∠AFB ：S四边形FEDC的值为12．（3分）如图，身高1.8米的轩轩从一盏路灯下的B处向前走了4米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长与他的身高一样，则路灯的高AB为米.13．（3分）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是.14．（3分）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里看到楼的顶部，如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得LM＝30cm，MS＝2m，则这栋楼高m.15．（3分）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为120 cm，且幻灯片中的图形的高度为8 cm，则屏幕上图形的高度为cm.三、解答题(共8题；共55分)16．（7分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD= 12AC，连结BC并延长到点E，使CE= 12BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．17．（7分）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。
九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。
人教版九年级数学下册27.2.2 相似三角形应用举例同步练习及答案(新审)
27.2.2 相似三角形应用举例
1. 如图，在正方形网格中，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
2. （2013柳州）小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为
15米（如图），同时在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
3. （2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸
取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于（）A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B
点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多长？
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．解：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x 秒，
①若△ADE ∽△ABC ，则AD AE AB AC =，∴122612
x x -=，解得x ＝3； ②若△ADE ∽△ACB ，则AD AE AC AB =，∴122126
x x -=，解得x ＝4.8． ∴当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．。
人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形应用举例》检测题含答案
人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形应用举例》检测题含答案27.2.3 相似三角形应用举例01 基础题知识点1 测量物高1．(邯郸育华中学月考)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为(C )A .815B ．1C .43D .852．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m ，李明测得小芳的影长为1 m ，已知小芳的身高为1.5 m ，则旗杆的高度是12m .3．(保定莲池区期末)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为9m .4．如图，已知有两堵墙AB ，CD ，AB 墙高2米，两墙之间的距离BC 为8米，小明将一架木梯放在距B 点3米的E 处靠向墙AB 时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E 旋转90°靠向墙CD 时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD 的高为7.5米．5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米．那么该古城墙CD 的高度是多少米？解：∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP∽△CDP.∴ABCD＝BPDP，即1.4CD＝2.112.解得CD＝8.答：该古城墙CD的高度是8米．知识点2测量距离6．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．(秦皇岛海港区月考)如图所示，AB是斜靠在墙壁上的一个梯子，梯子下端B点到墙脚C 的距离为1.4 m，梯子上点D距离墙壁1.2 m，梯子每级之间的距离(如BD)为0.5 m，则这个梯子的长度是(A)A．3.5 m B．3.85 mC．4 m D．4.2 m8．(邯郸育华中学月考)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝38 m，则AB的长为152_m．9．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5_mm.10．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．02中档题11．(柳州中考)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A) A．10米B．12米C．15米D．22.5米12．如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1 m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8 m，则桶内油的高度为0.64_m．13．(秦皇岛海港区月考)如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的端点A 时，杠杆绕C点转动，另一端点B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压多少厘米呢？解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN.易知：△ACM∽△BCN.∴ACBC＝AMBN.∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，∴AMBN＝51，即AM＝5BN.∴当BN≥10 cm时，AM≥50 cm.故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50 cm.14．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．解：连接MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500.答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．03综合题15．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D 之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于Q，P.由题意，得四边形ABCM，EBCN是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.∴NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形应用举例作业
1.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为( )
A．3米B．4米
C．4.5米D．6米
2.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__________m.
3．如图，身高为1.6 m的小华站在离路灯灯杆8 m处测得影长2 m，则灯杆的高度为______m.
4.如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD.测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．
5.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5 m，如果小亮的身高为1.7 m，求路
灯杆AB的高度．
6.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．
7.问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图3，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.任务要求：
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋
2082＝2602)
8.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
答案
1. D
2. 2.3
3. 8
4. 8
5. 解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD ∥AB ，∴△CDF ∽△ABF ，
∴CD AB ＝DF BF
， 同理可得EG AB ＝GH BH
， ∴DF BF ＝GH BH ，∴3BD ＋3＝59＋BD
， 解得BD ＝6，
∴1.7AB ＝33＋6
，解得AB ＝5.1. 答：路灯杆AB 高5.1 m.
6. 解：(1)由题意可知∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠BCA ＝∠EFD ，
∴△ABC ∽△DEF.∴AB DE ＝AC DF
， 即80DE ＝60900
， ∴DE ＝1 200(cm)，
∴学校旗杆的高度是12 m.
(2)与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156
， ∴GN ＝208.
在Rt △NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602， ∴NH ＝260.
7.设⊙O 的半径为r cm ，连结OM.
∵NH 切⊙O 于M ，∴OM ⊥NH ，
则∠OMN ＝∠HGN ＝90°.
又∵∠ONM ＝∠HNG ，
∴△OMN ∽△HGN ，
∴OM HG ＝ON HN
. 又ON ＝OK ＋KN ＝OK ＋(GN －GK)＝r ＋8，
∴r 156＝r ＋8260
，解得r ＝12， ∴景灯灯罩的半径是12 cm.
8. 解：由题意得∠ABC ＝∠EDC ＝∠GFH ＝90°，
∠ACB ＝∠ECD ，∠AFB ＝∠GHF ，
∴△ABC ∽△EDC ，
ABF ∽△GFH ，
∴AB ED ＝BC DC ，AB GF ＝BF FH
， 又∵CF ＝CD ＋DF ＝2＋16＝18，
即AB 1.5＝BC 2，AB 1.65＝BC ＋182.5
， 解得AB ＝99(米)．。