无穷积分的敛散判别法

无穷积分的敛散判别法

摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结．

关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散

The convergence and divergence method of infinite integral

Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence

前言

我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是

被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法．

1 无穷积分的定义

定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限

lim ()u

u a

f x dx J →∞=⎰

则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作

()a

f x dx J +∞

=⎰

并称()a

f x dx +∞⎰

收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a

f x dx +∞

⎰

发散．

类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分：

()()lim b

u

b

u f x dx f x dx →∞-∞=⎰⎰

对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：

()()()b

a

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

-∞

-∞

=+⎰⎰

⎰

，

其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．

2无穷积分的性质

性质1 若1()a

f x dx +∞⎰

与2()a

f x dx +∞

⎰

都收敛，12,k k 为任意常数，则

1122[()()]a

k f x k f x dx +∞

+⎰

也收敛，且

11212212[()()]()()a

a

a

k f k k x k f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

+∞

=++⎰⎰

⎰

性质2 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，a b <，则()a

f x dx +∞

⎰

与()b

f x dx +∞⎰

同

敛态，且有

()()()b a

a

b

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

=+⎰⎰⎰

其中右边第一项是定积分．

性质3 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且|()|a

f x dx +∞

⎰收敛，则()a

f x dx +∞

⎰

亦

必收敛，并有

|()||()|a

a

f x dx f x dx +∞+∞

≤⎰

⎰

当|()|a

f x dx +∞

⎰

收敛时，称()a

f x dx +∞

⎰

为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷

积分他自身也一定收敛．但是它的逆命题一般不成立，并称收敛而不绝对收敛者为条件收敛．

3无穷积分的敛散判别法

3.1 定义法

根据定义我们可以得到判断无穷积分()a

f x dx +∞⎰

收敛的一个方法，这是证无穷积分

()a

f x dx +∞

⎰收敛的一个最基础的方法．

例1

[1]

讨论无穷积分1

p dx

x

+∞

⎰

的敛散性． 解 由于当1p ≠时，

()11

111u

p p dx u x p

-=--⎰

， 当1p =时，

1

ln u

p dx

u x

=⎰

， 所以当1p >时，1

1

lim 1

u

p u dx x p →∞=-⎰

，而当1p <时，1lim u p u dx x →∞=+∞⎰．

所以当1p >时收敛，其值为1

1

p -；当1p <时发散于+∞． 3. 2 柯西准则

由定义知道，无穷积分()a

f x dx +∞

⎰

收敛与否，取决于函数()()u

a

F u f x dx =⎰在

u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西收敛准则导出无穷积分收敛的柯西准则．

定理1

[２]

无穷积分()a

f x dx +∞

⎰

收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要

1u 、2u G >便有

2

12

1

||||()()()u u u a

a

u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰

⎰⎰

因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分()a

f x dx +∞⎰

是否收敛．

在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散． 3. 3 比较判别法

这是无穷积分的绝对收敛判别方法．

由于|()|u

a

f x dx ⎰关于上限u 是单调递增的，因此|()|a

f x dx +∞⎰

收敛的充要条件是

|()|u

a f x dx ⎰存在上界．根据这一分析，我们得到下述比较判别法：

定理2（比较法则） 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 都在任何有限区间上

[,]a u 可积，且满足

|()|()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞

则当()a

g x dx +∞

⎰

收敛时|()|a

f x dx +∞⎰必收敛（或者，当|()|a

f x dx +∞⎰发散时，()a

g x dx

+∞

⎰

必发散）．

例2 讨论2

sin 1x

x

dx +∞+⎰

的收敛性