平面向量系列之几何意义法

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平面向量几何意义

平面向量几何意义平面向量是数学中重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用和重要的意义。

平面向量可以用来描述平面上的位置、方向和运动，它是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。

平面向量的几何意义在于描述两点之间的位移或者方向，可以用来表示物体在平面上的运动轨迹、力的作用方向等。

首先，平面向量可以用来描述平面上的运动轨迹。

在平面上，我们可以用一个有向线段来表示一个平面向量，这个有向线段的方向表示运动的方向，长度表示运动的距离。

通过平面向量，我们可以清楚地描述物体在平面上的移动轨迹，比如一个物体从起点出发，经过一段距离朝着某个方向前进，这个运动轨迹可以被用平面向量来表示，这对于理解和分析物体的运动是非常有帮助的。

其次，平面向量还可以用来描述平面上的力的作用方向。

在物理学中，力是一个有大小和方向的量，它可以用平面向量来表示。

两个力的合力可以通过向量的加法来求得。

当多个力作用在一个物体上时，它们可以被表示成不同的平面向量，这些力的合力可以通过平面向量的运算来求得，从而得到物体所受合力的方向和大小，这对于研究物体的平衡和运动是非常有意义的。

另外，平面向量还可以用来表示平面上的方向关系。

在几何学中，有些问题需要我们判断某两个向量的夹角或者平行关系，这时我们就可以通过平面向量来解决。

两个向量平行是指它们的方向相同或者相反，两个向量垂直是指它们的夹角为90度。

利用平面向量的性质，我们可以方便地判断两个向量之间的方向关系，这对于解决几何问题有着重要的作用。

最后，平面向量还可以用来计算平面上的距离和面积。

在平面上，两个点之间的距离可以由两个点的坐标来计算，而这两个点的坐标可以用平面向量来表示。

两个向量的差向量表示两个点之间的位移，它的模长就是两点之间的距离。

而平面向量的叉乘可以得到一个新的向量，这个向量的模长表示两个向量所构成的平行四边形的面积。

通过平面向量的运算，我们可以方便地计算平面上的距离和面积，这对于解决几何问题是非常有帮助的。

平面向量的内积与外积的几何意义

平面向量的内积与外积的几何意义平面向量是二维几何中常见的概念，它们不仅可以进行加减乘除等基本运算，还有很多与几何意义相关的应用。

其中，内积和外积是平面向量较为重要的运算，它们在几何上具有独特的意义。

本文将详细探讨平面向量的内积和外积，并解释它们在几何中的作用。

一、内积内积是平面向量运算中的一种重要形式，也称为点积或数量积。

给定两个向量a和b，它们的内积表示为a·b。

内积具体的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。

例如，对于二维向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的内积为：a·b = a1 * b1 + a2 * b2内积具有以下几何意义：1. 投影：内积可以用来计算向量在另一个向量上的投影长度。

设向量a表示一条线段，而向量b表示一条方向，那么a·b的结果就是一个长度，表示a在b上的投影长度。

2. 角度：内积还可以用来计算两个向量之间的夹角。

设两个非零向量a和b，它们的夹角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)这个公式可以用来判断两个向量是否垂直或平行。

3. 正交：内积为0的向量称为正交向量，它们之间的夹角是90度。

正交向量在几何中具有重要的应用，例如，平面直角坐标系中的x轴和y轴就是正交的。

二、外积外积是平面向量运算中的另一种形式，也称为叉积或向量积。

给定两个向量a和b，它们的外积表示为a×b。

外积具体的计算方法是使用行列式的形式来计算，结果是一个向量。

例如，对于二维向量a=(a1,a2)和b=(b1, b2)，它们的外积为：a×b = a1 * b2 - a2 * b1外积具有以下几何意义：1. 方向：外积的结果是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并且遵循右手法则。

具体来说，如果右手的四指指向a的方向，中指指向b的方向，那么大拇指的方向就是a×b的方向。

平面向量的数量积和向量积的几何意义

平面向量的数量积和向量积的几何意义在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

平面向量的数量积和向量积是两个重要的运算，在几何上有着具体的意义和应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与夹角余弦的乘积。

设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B。

平面向量的数量积的几何意义是通过夹角的余弦值来衡量两个向量的相关性。

当夹角为零度时，夹角的余弦值为1，表示两个向量共线且方向相同；当夹角为90度时，夹角的余弦值为0，表示两个向量垂直；当夹角为180度时，夹角的余弦值为-1，表示两个向量共线但方向相反。

通过数量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及判断两个向量之间的关系。

具体应用包括求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、计算向量的投影等。

二、平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或矢积，是两个向量的乘积与夹角的正弦的乘积。

设有两个平面向量A和B，它们的向量积表示为A×B。

平面向量的向量积的几何意义是通过夹角的正弦值来衡量两个向量构成的平行四边形的面积。

向量积的大小等于该平行四边形的面积，方向垂直于该平行四边形所在的平面，并符合右手规则。

通过向量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及求解与平面相关的问题。

具体应用包括求解三角形的面积、判断三个向量是否共面、求解平行四边形的对角线等。

三、数量积与向量积的关系数量积和向量积都是平面向量的运算，它们之间有着一定的关系。

首先，根据数量积和向量积定义的公式，可以得到以下关系：A·B = |A||B|cosθA×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A 和向量B之间的夹角，n表示单位法向量。

其次，数量积和向量积之间还存在一个重要的关系——勾股定理。

根据向量积的定义，可以得到：|A×B| = |A||B|sinθ = ABsinθ由此可以看出，向量A和向量B的模长和夹角的正弦值决定了向量积的大小，而根据勾股定理，向量A和向量B的数量积的平方也等于向量积的平方。

平面向量的坐标表示和几何意义

平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。

为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。

假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。

在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。

二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。

1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。

2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。

- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。

- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。

- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。

- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。

- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。

- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。

- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。

- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。

三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。

向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。

2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。

向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。

(整理版)第七讲平面向量的概念与几何意义

第七讲平面向量的概念与几何意义一、知识回忆知识点1：向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量知识点2：向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a ，b ； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；知识点3：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 知识点4： ①长度为0的向量叫零向量，记作0 ，0 的方向是任意的.②长度为1个长度的向量，叫向量.知识点5：平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.知识点6：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；〔3〕两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 知识点7：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，任一组平行向量都可移到同一直线上〔与有向线段的起点无．．．．．．．．．关〕．．.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、典型例题例 1、A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量例 2、判断：〔1〕平行向量是否一定方向相同？〔2〕不相等的向量是否一定不平行？〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔6〕两个非零向量相等的当且仅当什么？〔7〕共线向量一定在同一直线上吗？例4、如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC相等的向量.A(起点) B 〔终点〕a变式一：与向量OA 长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量OA 长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量OA 共线的向量有哪些？三、课堂练习1、①向量AB 与CD 是共线向量，那么A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形A BCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.四、总结提升1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.五、课后作业1、以下各量中不是向量的是〔〕错误的选项是．．．．．．〔〕 A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为03．把平面上一切向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是〔〕A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点4．非零向量b a //,假设非零向量a c //，那么c 与b 必定 .5．a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,假设非零向量c 与a 共线,那么c 与b 必定 .ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,那么_______,||=KL ________=KL。

2.2.1平面向量加法及几何意义KK

解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示船实际航行的速度.
4、应用举例：
长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
E
O
F1+F2=F
F是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线
E
O
F
向量加法
向量的加法 1、定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量 a 与向量 b 的和，记作 a b
两个向量的和仍然是一
个向量（简称和向量）
向量加法法则
已知 a ,b ,求向作 a 量 b 向 a b 量
向量的加法
练习:用三角形法则作 ab
b （1）
a
ab
b
（2）
a
ab
向量的加法
练习:用平行四边形法则作 ab
（1）
b
a
b
（2）
a
向量加法法则总结
向量加法的三角形法则: 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量加法的平行四边形法则: 1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
2.2.1向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量 2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
引入1：香港
上海台北
O上海

平面向量数量积及其几何意义

平面向量数量积及其几何意义平面向量的数量积，也称为点积、内积，是向量运算中的一种运算，用于比较两个向量的方向以及大小关系。

平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦的乘积。

可以表示为：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A和B是平面上的两个向量，A·B表示它们的数量积，A，和，B，表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有以下几何意义：1.比较两个向量的方向：数量积大于0时，表示两个向量的方向相近；数量积小于0时，表示两个向量的方向相反；数量积等于0时，表示两个向量垂直。

2.比较两个向量的大小关系：根据数量积公式，可以看出如果夹角θ固定，向量A、B的模越大，数量积就越大。

因此，数量积可以衡量两个向量的大小关系。

3.求角度：根据数量积公式，可以反推夹角θ的大小。

通过解反三角函数可以求得θ的值。

4.计算投影：根据数量积的几何意义，可以推导出计算一个向量在另一个向量上的投影的公式。

投影表示一个向量在另一个向量上的阴影长度，可以用于解决现实中的很多问题，如力的分解、力的合成等。

5.判断两条直线的关系：如果两条直线的法向量相同，那么它们是平行的；如果两条直线的法向量垂直，那么它们是垂直的。

6.判断图形的性质：根据向量的数量积可以判断图形的性质。

如两个向量垂直，则表示两个直线垂直；两个向量平行，则表示两个直线平行。

除了以上几何意义外，数量积还有一些其他重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.数量积为0时，向量垂直：如果两个向量的数量积为0，即A·B=0，那么向量A和向量B垂直。

3.数量积的性质：(aA)·B=a(A·B)，(A+B)·C=A·C+B·C总结来说，平面向量的数量积可以用来比较两个向量的方向和大小关系，求解向量的夹角和投影，判断直线和图形的性质。

它在几何学中具有重要的应用，也是向量运算中的基础概念之一。

平面向量向量加法运算及其几何意义

平面向量向量加法运算及其几何意义平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的过程。

在进行向量加法运算时，可以使用坐标法或三角法。

坐标法是指将向量表示为有序数对的形式，例如vector AB可以表示为(Ax, Ay)，vector CD可以表示为(Cx, Cy)。

要将两个向量相加，只需将它们对应的坐标相加即可。

例如，若vector AB + vector CD =vector EF，则有(Ax + Cx, Ay + Cy) = (Ex, Ey)。

三角法是指利用向量的方向角和长度来进行向量加法运算。

假设vector AB的长度为a，方向角为θ，vector CD的长度为b，方向角为φ。

要求它们的和，可以先将它们用三角形形式绘制出来，然后将其首尾相接，连接向量AB的尾部和向量CD的头部，得到一个新的向量EF，即vector AB + vector CD = vector EF。

无论使用何种方法进行向量加法运算，其几何意义是将两个向量进行平移后的结果。

首先，将向量AB的起点平移到坐标原点，然后将向量AB的终点与向量CD的起点连接起来，再将向量CD的终点与该连接线的终点连接起来，得到向量EF。

即vector AB + vector CD = vector EF。

在几何上，向量加法运算的结果可以表示为一个以向量AB为一条边，以向量CD为相邻边的平行四边形，其中向量EF为对角线。

向量AB称为平行四边形的第一条边，向量CD称为平行四边形的第二条边。

向量EF称为平行四边形的对角线，连接向量AB的起点和向量CD的终点。

此外，可以利用向量的加法运算推导出向量的其他运算规律。

例如，可以推导出向量加法满足交换律（vector AB + vector CD = vector CD+ vector AB）和结合律（vector AB + (vector CD + vector EF) = (vector AB + vector CD) + vector EF）。

_平面向量几何意义的...

（．）三边均不相等的三角形Ａ．直角三角形Ｂ．等腰非等边三角形Ｃ．等边三角形Ｄ．分析：本题可先由条件的几何意义得出ＡＢ＝ＡＣ，再求得Ａ＝ π ，即可得出答案．３
→ ＝所以ＯＭ
１ → １ → ＯＡ＋ＯＢ．２２
→ ＝Ｏ → → 所以ＭＰＰ－ＯＭ
→ → → 【】例２Ａ，ＯＢ满足｜ＯＡ平面上的两个向量Ｏ｜＝ａ，
２２ → → → → → 且Ｏ向量ＯＯＢＡ ⊥ＯＢ，ａ＋ｂ＝４，Ｐ＝ｘＯＡ＋｜｜＝ｂ，
→ 所以当且仅当ＯＰ为圆Ｍ的直径时，ＯＰ．｜｜ｍａｘ＝２
π 所以 ∠ＢＡＣ＝．３所以 △Ａ故选Ｄ．ＢＣ为等边三角形，
２（＝ａｘ－
＝１．１ → → → → → ＭＰＭＡＭＢＭＯＡＢ｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝１．２故Ｐ，Ｏ，Ａ，Ｂ四点都在以Ｍ为圆心，１为半径的圆上，
２）（又由（及ａ１ｘ－
→ → ＡＢＡＣ · → → 解：因为非零向量ＡＢ与ＡＣ满足（ → ＋ → ）ＡＢＡＣ｜｜｜｜ → ＢＣ＝０，
所以 ∠Ｂ所以ＡＡＣ的平分线垂直于ＢＣ，Ｂ＝ＡＣ．
１）１２２２（＋ｂｙ－）＝１得２２
中学教学参考
解题方法与技巧
平面向量几何意义的应用
）安徽宿州市第三中学（２３４０００井红星
在平面几何问题的求平面向量作为一种基本工具，解中有极其重要的地位和作用，尤其是平面向量的几何意义，其中又有很多独特之处，若在解题中能合理运用，必能起到难为易、化繁为简的作用．

平面向量的向量积与几何意义

平面向量的向量积与几何意义平面向量的向量积是向量分析中的一种重要运算，它不仅具有计算上的意义，还有着深刻的几何意义。

本文将以详细的解释和实例分析，探讨平面向量的向量积的定义、计算方法以及其在几何上的应用。

1. 定义设有两个平面向量a和b，则它们的向量积（也称为叉乘或叉积）用a × b表示。

向量积的定义如下：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。

2. 计算方法计算平面向量的向量积，一般有两种方法：几何法和坐标法。

2.1 几何法几何法是根据向量积的定义，通过几何图形进行计算的方法。

首先，将向量a和向量b的起点都放在原点O，然后根据向量的几何性质进行绘制。

连接向量a和向量b的终点，得到一条线段AB。

然后，以线段AB为对角线的矩形的“高”为向量积的模|a × b|，方向由右手定则确定。

2.2 坐标法坐标法是利用向量的坐标表示进行计算的方法。

对于二维空间中的平面向量，设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则向量积a × b的计算公式如下：a ×b = x1y2 - x2y13. 几何意义平面向量的向量积具有重要的几何意义，它能够用来刻画向量间的关系以及平行四边形的面积。

3.1 刻画向量间的关系由向量积的定义可知，当两个向量a和b之间的夹角为0度或180度时，它们的向量积为0。

这意味着当两个向量共线时，它们的向量积为零。

因此，向量积可以用来判断两个向量是否共线。

3.2 平行四边形的面积设平面向量a和b共同构成一个平行四边形，以向量a和向量b为相邻边，则该平行四边形的面积可以通过向量积的模来计算。

S = |a × b|这是因为向量积的模|a × b|等于平行四边形的底边的长度乘以高的长度。

4. 实例分析为了更好地理解向量积在几何上的应用，我们通过以下实例进行分析。

2023高考数学基础知识综合复习专题2平面向量的几何意义极化恒等式等和线课件(共12张PPT)

2
4
a·b=
考点三
等和线
例 6 已知△AOB,点
解由已知 =
P 在直线
||
AB 上,且满足=2t+t(t∈R),求 .
||
2

+
,点
1+2
1+2
P 在直线 AB 上,
2

+
=1,t=1.
1+2 1+2
得
2
3
1
3
可得 = + ,2 = ,
π
2
易得 sin(θ+4)∈[- 2 ,1],
故 ·∈[0,1+ 2].
例2已知单位向量e,平面向量a,b满足a·e=2,b·e=3,a·b=0,求|a-b|的
最小值.
解由题意得,a在e上的投影数量为2,b在e上的投影数量为3,
建系如图:
设 A(2,m),B(3,n),a=(2,m),b=(3,n),m>0,n<0,
例 1 在平面直角坐标系中,已知
A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 1- 2 上一
个动点,求 ·的取值范围.
解设 P(cos θ,sin θ),0≤θ≤π,=(1,1),=(cos θ,1+sin θ),
π
∴ ·=cos θ+1+sin θ= 2sin(θ+4)+1,θ∈[中线来表示,即 a·b=||2-|| .它揭
4
示了三角形的中线与边长的关系.
三、等和线
如图,平面内一组基底, 及任一向量 , =x+y .连接

AB,OP 相交于点 Q,则 x+y= ,过 P 作 AB 的平行线分别交

初识平面向量的几何意义与运算

初识平面向量的几何意义与运算平面向量是数学中常见的概念，它可以用来描述平面上的运动、位移和力等物理量。

本文将介绍平面向量的几何意义以及相关的运算。

一、平面向量的几何意义平面向量可以表示平面上的位移和方向。

它由两个有序的数对(x, y)表示，其中x代表水平方向的位移，y代表垂直方向的位移。

平面向量可以用箭头来表示，箭头的起点表示向量作用的初始位置，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小（也称为模）。

平面向量的起点和终点分别为A和B，用向量AB来表示。

二、平面向量的基本运算1. 加法：平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的和记作C(x1+x2, y1+y2)。

几何上，向量的加法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线。

2. 减法：平面向量的减法是指将一个向量的对应分量分别减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。

设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的差记作D(x1-x2, y1-y2)。

几何上，向量的减法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线的反向。

3. 数乘：平面向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

设有平面向量A(x, y)和实数k，则kA为与A方向相同（或相反）但长度为|k|倍的向量。

几何上，kA的起点和A的起点相同，方向与A相同（或相反），长度为k|A|。

三、平面向量的运算性质1. 交换律：对于任意的平面向量A和B，有A + B = B + A。

2. 结合律：对于任意的平面向量A、B和C，有(A + B) + C = A +(B + C)。

3. 数乘结合律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1k2)A = k1(k2A)。

4. 数乘分配律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1 +k2)A = k1A + k2A。

4.4平面向量几何意义的应用

平面向量向量数乘运算及其几何意义

要点二
数乘运算的数乘分配律
$(\lambda_1\lambda_2)\overset{\longrightarrow}{ a} = \lambda_1(\lambda_2\overset{\longrightarrow}{a} )$。
坐标表示
• 平面向量数乘运算的坐标表示：设 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda$ 为实数，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$夹角是指两个向量之间的夹角，可以用字母表示。
向量的夹角范围是$[0,\pi]$，其中$0$表示两个向量同向， $\pi$表示两个向量反向。
向量的夹角可以通过向量的点积计算得到。
03
平面向量数乘的几何应用
平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等
当两个向量平行时，它们的长度相等且方向相同。
向量的方向
平面向量数乘的结果不仅可以改变向量的长度，还可以改变向量的方向，因此可以用来描述几何图形的旋转和变形。
与三角函数的联系
三角恒等式
平面向量数乘的结果可以用来表示三角函数中的恒等式，如 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb等。
VS
向量的夹角
平面向量数乘的结果还可以用来计算两个向量的夹角，进而用来描述两个向量之间的角度关系。
• 平面向量数乘运算在坐标表示下的性质：在二维直角坐标系中，如果 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda > 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相同；如果 $\lambda < 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相反。

平面向量的数量积与几何意义

平面向量的数量积与几何意义平面向量是代表了平面上的位移和方向的量，而数量积则是用来衡量两个向量之间的关系的一种运算。

它不仅仅是一个数值结果，还有着重要的几何意义。

本文将探讨平面向量的数量积及其几何意义。

一、数量积的定义与性质数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。

设有向量a和向量b，其数量积记为a·b。

数量积的定义如下：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长，θ表示a与b之间的夹角。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积的模长：|a·b| = |a|·|b|·|cosθ|4. 垂直性：若a·b=0，则a和b垂直二、数量积的几何意义数量积不仅仅是一个数值结果，还蕴含着重要的几何意义。

下面我们将从两个方面来解释数量积的几何意义。

1. 夹角的余弦值在数量积的定义中，夹角的余弦值cosθ是数量积的一个因子。

夹角的大小可以通过夹角的余弦值来衡量。

当夹角为锐角时，cosθ大于0；当夹角为钝角时，cosθ小于0；而当夹角为直角时，cosθ等于0。

由此可以得到以下结论：- 若a·b > 0，夹角θ为锐角；- 若a·b < 0，夹角θ为钝角；- 若a·b = 0，夹角θ为直角。

2. 平行与垂直根据数量积的性质4，若a·b=0，则a和b垂直。

这个性质给出了判定两个向量是否垂直的方法。

另外，当两个向量的数量积大于0时，可以说明它们的方向相似，即平行；当数量积小于0时，可以说明它们的方向相反，即反平行。

这些几何意义使得数量积在解决几何问题中有着广泛的应用。

三、数量积的应用举例1. 判断两个向量的方向通过判断两个向量的数量积的正负，可以得知它们的方向关系。

平面向量的叉乘及其几何意义

平面向量的叉乘及其几何意义在数学中，平面向量是研究平面几何学和向量代数的重要概念之一。

而平面向量的叉乘是向量运算中的一种重要形式，它在物理学、工程学以及计算机图形学中有着广泛的应用。

本文将探讨平面向量的叉乘及其几何意义。

一、平面向量的定义和表示平面向量是一种有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，假设有两点A和B，以这两点为端点的线段AB就表示了一个平面向量，记作向量AB或者向量→AB。

在表示向量时通常使用粗体字母或带箭头的字母来表示。

二、向量叉乘的定义向量的叉乘又称为向量积或叉积，它是一个向量运算。

对于平面上的两个向量A和B，它们的叉乘结果记作A × B，读作"向量A叉乘向量B"。

向量的叉乘运算满足以下性质：1. 叉乘的结果是一个向量而不是一个标量；2. 叉乘的结果与被乘向量的顺序有关，即A × B ≠ B × A；3. 叉乘满足右手法则，即叉乘的结果的方向垂直于A和B所在的平面，方向按照右手的握法确定。

三、向量叉乘的计算方法平面上的向量A = (x1, y1) 和向量B = (x2, y2) 的叉乘结果记作A ×B = (0, 0, x1y2 - x2y1)，也可以表示成向量的行列式形式：A × B = |i j k ||x1 y1 0 ||x2 y2 0 |其中i, j, k分别是三维坐标系的单位向量，右手法则决定了它们的方向。

四、向量叉乘的几何意义向量叉乘的几何意义主要体现在以下几个方面：1. 叉乘结果的大小表示平行四边形的面积：向量A和向量B的叉乘结果的大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。

这个几何意义在计算几何学和物理学中非常重要，可以用于计算面积、体积以及描述物体的运动等。

2. 叉乘结果的方向垂直于两个向量所在的平面：向量A和向量B的叉乘结果的方向与这两个向量所在的平面垂直，并且遵循右手法则确定其方向。

活用几何意义解平面向量_徐春桃

2 2 2 | + | c ∴ |a | + || b | = 4 . |
解析记 BC 的中点为 D ，则由题知 OP - OA = AP = λ( AB + AC) = 2λ AD, 即 AP = 2λ AD , 也即 P 在射线 AD 上. 由 D 为 BC 的中点，故选 D.
∴ P 的轨迹一定通过 △ABC 的内心. 答案
AB 为点拨 “ 在很多试题 AB 上的单位向量” AB
B
|
|
| |
|
|
P
中有应用，我们一定要从投影的角度加深理解. 【练习】 1. 线段 AB 上的一点 C ，直线 AB 外的一点 P ，满足 PA - PB = 2 ， PA - PB = 2 5 ， PA ⋅ PC = PB ⋅ PC ， I 为 PC 上一点，且 PA PB AP + AC ), λ ∈ (0, +∞) ，则 BI ⋅ BA BI = BA + λ( -BA | AP | AC
设点 O 在 △ABC 得内部且 OA + 2OB +
由定理我们很容易得即
S ΔABC =3. S ΔAOC
S ΔAOC 2 = =1. S ΔABC 1 + 2 + 3 3
答案 C 点拨本题解答中应用了结论： “设点 O 为 △ABC ，内一点，若 m OA + n OB + p OP = 0 m、p、n 为正实数，则

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平面向量系列
几何意义法解题
一、平面向量的几何意义
✓ 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解
题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。

✓ 首指向尾
首尾相连，b a ⇒+ ✓ 指向被减向量
共起点，b a ⇒-
✓ b
a b t a b t a ⊥⇒-=+||||
✓ 即矩形
形对角线相等的平行四边，b a b a ⇒-=+||||
✓
即菱形
四边形对角线互相垂直的平行，b a b a ⇒=-+0))((
二、例题精析
例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知b a ,是非零向量，则下列条件中b a ,夹角等于0
120的是（） A 、||||b a b a -=+ B 、 |||||a |b a b -== C 、|||||a |b a b +== D 、 ||2||||a b a b a =-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为0
90；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为0
60；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为0
60的补角，即为0
120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为0
90。

故选C 。

例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足
|,2|||OA OC OB OC OB -+=-则ABC ∆一定是（）
A 、等腰直角三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形
【解析】：|,2|||OA OC OB OC OB -+=-||||||AC AB OA OC OA OB CB +=-+-=⇒，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ∆一定是直角三角形，选B 。

例3、（2017，西安模拟改编）若非零向量b a ,满足|,|||b b a =-则（）
A 、|2||2|b a b ->
B 、|2||2|b a b -<
C 、|2||2|b a a ->
D 、|2||2|b a a -< 【解析】：若b a ,共线，如左图，故只有C 对。

若b a ,不共线，如右图所示，故选A 。

例4、（2015，朝阳区模拟）已知向量a ≠ e ，e =1 ，对任意t ∈ R ,恒有e t a - ≥ e a - ，则（） A 、a ⊥ e B 、a ⊥ （a )e -
C 、e ⊥ （a )e -
D 、（)()e a e a -⊥+
【解析】：如图分别画出向量e a ,，e t 表示与e 共向的直线上，当e 与)(e a -垂直时，||e a -最小，故选C 。

例5、（2015，浙江模拟）设向量c b a ,,满足,0=++c b a 且,)(c b a ⊥-,b a ⊥若,1||=a 则2
2
2
c b a ++的值是__________
【解析】：根据题意，如图所示，易知42112
222
2
2
=++=++c b a
例6、设b a ,是单位向量，0=⋅b a ，向量c 满足,1||=--b a c 则||c 的最大值为__________ 【解析】：,1|)(|||=+-=--b a c b a c 根据题意，如图所示，易知||c 的最大值为12+
例7、（2017，桂林模拟）已知平面向量c b a ,,满足,1||=a ,2||=b ,2||=c |,|||b a b a -=+则||c b a ++的最大值为__________
【解析】：根据|,|||b a b a -=+知对角线相等的平行四边形，即为矩形，b a ⊥，521||22max =+=+b a
如图，易知||c b a ++最大值为25+。

例8、（2017，吴川校级模拟）设向量b a ,满足,1||||||=+==b a b a 则||b t a -，)(R t ∈的最小值是__________
【解析】：根据题意，画出图形，易知2
3
||min =
-b t a
例9、（2017，湛江校级月考）已知向量b a ,满足,1||,2||==b a 且对一切实数x ，||||b a b x a +≥+恒成立，则><b a ,=__________
【解析】：根据题意，作出图形，易知4
3,π
>=
<b a ；
例10、（2017，西安模拟）若两个非零向量b a ,满足|,|2||||a b a b a =-=+则向量b a +与b a -的夹角是__________
【解析】：根据题意，对角线长度等于其中一条边的2倍，如图所示，易知两对角线的夹角为0
60。

例11、（2017，宜宾一模）设向量c b a ,,满足,60,,2
1
,1||||0>=--<-=⋅==c b c a b a b a 则||c 的最大值是__________
【解析】：根据题意，知圆内接四边形，如图所示，易知||c 为直径时最大，即2||=c 。

三、巩固练习
练习1、（2013，清浦区校级期末）已知非零向量,,b a 满足,1||||=+=b a a b a 与夹角为0
120，则||b ＝
________。

【解析】：作出图形可知，有一个夹角为0
120的平行四边形，则将平行四边形分为两个正三角形，故有
1||||==a b
练习2、（2016，湛江校级期末）已知向量＝则且满足||,5||||,4||,b b a b a a b a =-=+=_______。

【解析】：⇒=-=+5||||b a b a 对角线等于5的矩形，又知一边为4，则另一边等于3。

练习3、（2014，宝山区二模）已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量||j i +＝_______。

【解析】：j i ,是互相垂直的单位向量，在平面直角坐标系中作出图形易知，2||=
+j i
练习4、（2016，化州模拟）已知b a ,是两个非零向量，且=-+-==|
||||,|||||b a b a b a b a 求
_______。

【解析】：⇒-==|||||a |b a b 两向量构成正三角形，补成一个夹角为0
120的平行四边形，即求对角线的比值，易知：
31
3
|
|||==
-+b a b a
练习5、（2013，永康模拟）已知向量b a ,满足，1||||||=+==b a b a 则b a ,的夹角为________。

【解析】：作出平行四边形，其中两边与一对角线相等，如图，易知b a ,的夹角为0
120。

练习6、（2017，长安县校级期末）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则b a 与的夹角为____。

【解析】：三个向量的长度相等，又知c b a =+，构成平行四边形，如图，易知b a ,的夹角为0120。

练习7、（2016，蓝山校级模拟）已知向量,1||),4,3(=-=b a a 则||b 的范围是_______。

【解析】：利用平面向量的几何意义，如图所示，易得||b 的范围是15||15+≤≤-b 。