利用轴对称求最小值重点
利用轴对称破解最短路径问题
第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。
（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。
）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，••• PB=PB ,••• AB =AP+PB , ••• AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PB• AN+NB=AN+NB> AB', • AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。
轴对称的应用最小值问题教案
轴对称的应用最小值问题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解轴对称的概念及其在几何图形中的应用；（2）掌握利用轴对称解决最小值问题的方法。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）轴对称的概念；（2）利用轴对称解决最小值问题的方法。
2. 教学难点：（1）轴对称图形中对称点的求解；（2）最小值问题的转化与解决。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟悉轴对称的相关知识；（2）准备典型的最小值问题案例。
2. 学生准备：（1）掌握基本的几何知识；（2）具备一定的逻辑思维能力。
四、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中的轴对称现象，引导学生发现并认识轴对称的概念。
2. 知识讲解（1）讲解轴对称的定义及性质；（2）介绍轴对称在几何图形中的应用。
3. 案例分析（1）给出典型的最小值问题案例；（2）引导学生利用轴对称的知识解决这些问题。
4. 课堂练习（1）布置一些有关轴对称和最小值问题的练习题；（2）学生独立完成，教师给予解答和指导。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及对知识的掌握程度。
2. 课后作业评价：检查学生完成作业的情况，以及对知识的应用能力。
3. 练习题评价：通过学生完成练习题的表现，评估其对轴对称和最小值问题的理解和掌握程度。
七、教学拓展1. 引导学生思考：在实际生活中，还有哪些问题可以利用轴对称来解决？2. 介绍轴对称在其他学科领域的应用，如物理学、计算机图形学等。
八、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，思考如何改进教学方法，使学生更好地理解和掌握轴对称和最小值问题的解决方法。
也要关注学生的学习反馈，及时调整教学内容和进度。
中考数学经典几何模型之轴对称最值模型(解析版)
中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山B'QDA'AP B C典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>>1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，变式练习>>>2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．变式练习>>>3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．变式练习>>>4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；（2）设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′就是AC的中点O．∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．变式练习>>>5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，∴FG+DF＝FG'+DF，∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，现在再移动点E（也就是移动G），∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，即DF+GF的最小值为﹣1．故选：A．变式练习>>>6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．变式练习>>>7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，故答案为；（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，过点F作FM⊥AC于M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴，∴，∴CF＝1∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．15D．10【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：++．5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．故答案为：3．6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'＝＝＝27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．故答案为：8．8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵D为AB的中点，∴DF＝AD•cos30°＝1×＝，AF＝，易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，Q、P为AC、BC的中点．∴DD″＝×2＝，同理，DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，∴∠D′＝∠D″＝＝30°，∴D″D′＝2DD′•cos30°＝2××＝3．12. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为25．【解答】解：（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．由勾股定理，得AC+CE ＝+＝+＝+；（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB＝5，DE＝1，∴AF＝6，∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°，∵∠BDE＝∠BFE＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD＝EF＝8，∴AE＝＝＝10；（3）如下图所示：作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED ⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，当BC＝x，∵x+y＝24，∴y＝24﹣x，AE的长即为代数式的最小值，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，所以AE＝＝＝25，即代数式+的最小值为25，故答案为：25．- 21 -。
轴对称最值问题(讲义)(含答案)
轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
巧用“轴对称”解决最小值问题
．
） ．
Ｂ．１ ２０。
Ｄ ．１ ０ ０ｏ
Ｄ
为 ＢＣ边 上 的 中 点 ， 为
线 段 ＥＦ上 一 动 点 ， 则
１ １ ０ ｏ
△曰Ｄ 的 周 长 最 短 为
ｃｍ ．
— —
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ⅳ
【 分析】 如图 ６ ， 连 接
图５
ＡＤ， 由 于 ＡＡ ＢＣ是 等 腰 三 角形 ， 点 Ｄ是 Ｂ Ｃ
瓣 ０ Ｇ Ｓ 轴
Ｇ Ｓ ｌ 《 鲑
巧用“ 轴对称’ ’ 解决 最 小值 问题
徐 瑾
轴 对 称 是 中学 数 学 的 重 要 内容 之 一 ，
这 部 分 知 识 不 仅 是 中考 的 必 考 内 容 ． 而 且 应 用 这 部 分 知 识 能 解 决 生 活 中 的一 些 实
例 ４ （ ２ ０ １ ２・ 兰 ， ３ ｔ １ ） 如 图 ７ ， 四 边 形
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＬＢ ＡＤ － ＝ １ ２ ０ ￣ ， ＬＢ ＝ ＬＤ ＝ ９ ０ ￣ ， 在Ｂ Ｃ、
Ｃ Ｄ 上 分 别 找 一 点 、 Ｎ， 使 ＡＡＭＮ 周 长 最 小 时， 则 Ａ Ⅳ ＋ ＡＮ Ｍ 的度数为（
ＤＰＣ＝ ＥＰＤ ．
线 的两 侧 时 ， 根据两点之间线段最短 ， 可 连 接这两点 ， 这 两 点 连 线 与 这 条 直 线 的 交 点
‘ ．
‘
ＰＢ＝ ＥＰＤ ．
就 是 所求 点 ， 另 一 类 当两 点 在 同侧 时 ， 任作 定点关 于该 直线 的对称点 ， 再 连 接 对 称 【 点评 】 此 题 的关 键 是 应 知 点 Ｐ是 怎样 确 定 的 ．要 找 直 线 上 一 个 点 和 直 线 同 侧 的 点 与 另 一 定 点 ， 其 连 接 线 与 该 直 线 的交 点
巧用轴对称性解决线段和最小值问题
．
０， ，
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
（） ａ
（） ｂ
１ ２ 实践运 用 ．
如题（ ） ， ｃ 图 已知 ６Ｏ的直径 Ｃ 为 ４ 弧 Ａ ３ Ｄ ， Ｄ的度 数为 ６ 。点 是弧 Ａ 的 中点 ， 直径 Ｃ ０， Ｄ 在 Ｄ上找 一点 Ｐ使 ＋ Ｐ的值最小 ， ， Ａ 并求 Ｂ Ａ Ｐ＋ Ｐ的最小值
其光路 图． 分 析 ： 题 的 实 质 就 是 镜 本 面反射原 理． 解 ： 点 Ａ关 于 ＭＮ 的对 称 点 Ａ ， 结 Ａ 交 作 连 Ｂ， ＭＮ于点 Ｐ， 连结 Ａ Ｂ ． Ｐ、Ｐ １ 有一 圆柱形 食 品 盒 ， 的高 ． 它 等 于 ４Ｔｍ， 面 直 径 为 １ｃ 蚂 叮 ｃ 底 ６ ｍ， 蚁爬行 的 速度 为 ２ ｍ ｓ 如 果 在 盒 ｃ ／． 外下底 面 的 处 有 一只 蚂蚁 ， 它想 吃到盒 内对 面中部点 Ｂ处 的食 物 ， Ａ
理 中重要 的作 图之一． 其 实数学 问题 中的线段 和的最小值 问题 等价于 物理问题 中的光 的传播 问题 ： 问题 １ 如 图 ， 、 ： Ａ Ｂ在 直 线 ｆ 两侧 ， Ｚ 找 一 点 ， 得 Ｐ到 在 上 使 Ａ、 的距 离之 和最短 ， 何作 出 如 点 Ｐ？ 答： 连结 Ａ Ｂ交 Ｚ Ｐ， Ｐ为所求 点． 于 则 结论一 ： 两点 在 直 线 两 侧 时 （ 在 均 匀介 质 当 光 传播 ） 直接利用 两点之 间线 段最 短 （ 的直 线传 播 ， 光 原理 ）连 结线段 即可． ， 问题 ２ 如 图 ， 在 直 ： Ａ、 线￡ 同侧 ， Ｚ 找 一点 ， 在 上 使 得 Ｐ到 Ａ、 的 距 离 之 和最 Ｂ 短， 如何作 出点 Ｐ ？ 答 ： Ａ关 于 ｆ 对 称 作 的 点 Ａ， 连结 Ｂ Ｚ Ｐ Ａ交 于 ．
轴对称最值
作法
图形
原理
在直线 上求点A，在 上求B，使PA＋AB的值最小．
作P点关于 的对称点 ，作 B⊥ 于B，交 于A．
点到直线的距离，垂线段最短．
【问题8】
作法
图形
原理
A为 上一定点，B为 上一定点，在 上求点M，在 上求点N，使AM＋MN＋NB的值最小．
作点A关于 的对称点 ，作点B关于 的对称点 ，连接 交 于M，交 于N．
轴对称的应用——最值问题
【十二基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理
在直线 上求一点使PA＋PB的值最小．
连接AB，与直线 交于点P．
两点之间，线段最短．
PA＋PB的最小值为线段AB的长．
【问题2】将军饮马”
作法
图形
原理
在直线 上求一点使PA＋PB的值最小．
作B关于直线 的对称点 ，连接A ，与交于点P．
17．(17－18－江汉－期中T24)如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD＋MD的最小值为cm．
18．(17－18－东西湖－期中T16)如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠OPM＝α，∠PON＝β,当MP＋PQ＋QN最小时，则α，β之间的相等数量关系是
9．(17－18－华一寄－12月T16)如图，直线AB与x轴交于点A(2，0)，与y轴交于点B(0，2)，D为OC的中点，P是线段BC上一动点，则当OP＋PD值最小时点P的坐标为__________
10．(17－18－粮道街－12月T16)(2017－2018粮道街中学八上月考)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为___________
人教版数学八年上册第十三章轴对称巧解三角形周长的最小值
人教版数学八年级轴对称巧解三角形周长的最小值轴对称是初中数学中三大变换之一，是中考的重要考点来源之一，其最大的特点就是以线段和最小或者三角形的周长最小为硬件生成考题，考题通常具有一定的综合性，耐人思考，发人深思.下面介绍以三角形的周长最小为条件的轴对称考题的求解与反思，供学习时借鉴.1.三角形周长最小时，求点的坐标例1如图1，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）分析：三角形ABC的周长为AB+BC+AC，由于A,B两点的坐标是定值，因此边AB的长度也是定值，这样三角形ABC的周长最小就转化成线段AC和线段BC的和最小，也就是我们常说的轴对称中的最短路线问题.解：如图2，设点B关于y轴的对称点为D，因为点B的坐标为（3,0），所以点D的坐标为（-3,0），连接AD，交y轴于点C，此时三角形ABC的周长最小.设直线AD的解析式为y=kx+b，把A(1,4),D(-3,0)分别代入解析式，得304k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得13kb=⎧⎨=⎩，所以直线的解析式为y=x+3,令x=0,得y=3,所以点C的坐标为（0,3）,所以选择D.点评：把三角形周长最小转化成线段和最小是解题的关键.2.三角形周长最小时，求角的大小例2 如图3，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°分析：这里三角形AEF 的周长是AE+EF+AF ，三边AE,EF,AF 都是可变的，所以要使△AEF 的周长最小，就要利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作图的基本要领如下：1、确定定点 这里是点A ；2、作定点关于动点所在直线的对称点，作出A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，3、连接两个对称点，得到线段的长就是三角形的周长的最小值.解：如图4，作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于E ，交CD 于F ， ,则A ′A ″即为△AEF 的周长最小值．作DA 延长线AH ，因为∠C=50°，∠B=∠D=90°，所以∠DAB=130°，所以∠HAA ′=50°，所以∠AA ′E+∠A ″=∠HAA ′=50°，因为∠EA ′A=∠EAA ′，∠FAD=∠A ″，且∠EA ′A+∠EAA ′=∠AEF ，∠FAD+∠A ″=∠AFE ， 所以∠AEF+∠AFE=∠EA ′A+∠EAA ′+∠FAD+∠A ″=2（∠AA ′E+∠A ″）=2×50°=100°， 所以∠EAF=180°﹣100°=80°，所以选D ．点评：根据轴对称的性质，结合三角形周长最小时成立条件，确定出E ，F 的位置是解题关键．3.三角形周长最小时，求四边形的面积例3 如图5，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 ．分析：设点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，当点M 、N 在CD 上时，△PMN 的周长最小，此时△COD 是等边三角形，求得三角形PMN 和△OMN 的面积，即可求得四边形PMON 的面积.解：如图6，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OP 、OC 、OD 、PM 、PN ．因为点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ， 所以PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA；因为点P 关于OB 的对称点为D ，所以PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB，所以OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，所以△COD 是等边三角形， 所以CD=OC=OD=6．因为∠POC=∠POD，所以OP⊥CD，所以CQ=3,在直角三角形OCQ 中， 222263OC OQ -=-3PQ=6﹣3，设MQ=x ，则PM=CM=3﹣x ，在直角三角形PMQ 中，根据勾股定理，得 222(3)(633)x x -=+-，解得39，所以四边形PMON 的面积为: OMN PMN S S +=111222MN OQ MN PQ MN OP += =PO ×x=6（39）354．所以答案为3﹣54．点评：将三角形周长的最小转化成两点之间线段最短的原理是解题的关键．跟踪练习1、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度 的最小值是 ．解：在Rt△ABC 中，由勾股定理可知：AC=222253AB BC -=-=4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，因为CB′长度固定不变，所以当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A 、B′、C 三点在一条直线上时，AB′有最小值，所以AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．所以应该填：1．2、菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图2所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．答案：（）.。
利用轴对称知识求最值
利用轴对称求最小值数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边。
现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。
一、两点一线的最值问题例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点。
理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。
首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。
因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。
二、两点两线的最值问题已知两个定点位于平面内两个相交的的直线之间，要在两条直线上确定两个动点使得线段和最短。
这类问题中动点满足最值的位置是由动点和定点所在的直线位置决定，可以通过轴对称图形的性质“搬点移线”（在保持线段的长度不变的情况下将某点搬至某线段所在的直线），将所求线段移到同一直线上就可以了。
例：（课本P47练习题9），如图（4）A 点为马厩，B 点为帐篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草地边某一点牧马，然后到河边去饮水，再回到帐篷，请你确定一天的最短路程。
图形的轴对称与最小值问题教案
4.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值.
5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和
对相关知识整合应用，尝试数学模型的魅力，提升学生思维高度.
学生自主小结，适当引导，知识应用模型化.
A B
NA
A B
a aM
二、合作探究
1.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，求PE+PC的最小值.
2．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，求△PMN周长的最小值.
点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数.
6.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值．
三、拓展迁移
如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），求四边形AEPQ的周长的最小值，及此时四边形AEPQ的面积.
教案
课题：图形的轴对称与最小值问题
设计意图
教学目标：
1.巩固轴对称及轴对称图形的概念.
2.巩固轴对称的性质.
3.探索利用轴对称解决线段之和的最小值问题．
4.尝试构建“利用轴对称解决线段之和的最小值问题”的数学模型.
中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值
中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值利用轴对称求最值是高中数学中的一个重要的知识点，也是中考数学中经常考察的内容之一、下面我将从以下几个方面为你详细介绍如何利用轴对称求最值。
1.轴对称性的概念轴对称性是指对于平面上的一个图形，如果沿条直线旋转180度后，旋转后的图形与原图形重合，那么我们就说这个图形具有轴对称性。
轴对称的直线称为轴线。
轴对称的图形的特点是：图形的任意一点关于轴线对称的点也在图形内部。
2.利用轴对称求最值的一般步骤求解最值的一般步骤为：首先明确最值是指最大值还是最小值，然后利用轴对称性把问题转化为一个等价的问题，利用已知条件求解这个等价问题，最后还原到原问题中，得到最值。
3.利用轴对称求最值的具体方法在具体的问题中，可以根据实际的情况，运用合适的方法进行求解。
下面是常见的一些方法：(1)利用轴对称线上的点求最值：对于轴对称的图形，如果可以确定图形上的其中一点关于轴线的对称点是最值点，那么这个最值点的横坐标就可以作为最值的解。
(2)利用轴对称图形的特点求最值：对于具有轴对称性的图形，如果能够找到一些特殊的点，使得这些点关于轴线对称，而且能够确定这些点是最值点，那么这个最值点就可以作为最值的解。
(3)利用轴对称图形的性质求最值：对于轴对称的图形，如果能够利用对称性与其他已知条件建立等式或不等式，然后求解这个等式或不等式的解，就可以得到最值的解。
(4)利用轴对称折线的特点求最值：对于轴对称的折线图，可以利用折线图的性质，比如单调性，交点等，将问题转化为求解折线的最值的问题，然后利用已知条件求解最值。
4.练习题示例为了更好地理解和掌握利用轴对称求最值的方法，我们可以通过一些练习题来加深印象。
下面是一些练习题的示例：(1)求函数y=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解：首先，求函数的极值点，对应的x值是-1/4、然后，将-1/4代入函数，得到y=-1/8、所以在[-1,2]上，最大值为1，最小值为-1/8(2)求函数y=x^3-3x^2+3x的最大值和最小值。
轴对称的应用最小值问题教案
轴对称的应用最小值问题教案一、教学目标1. 让学生理解轴对称的概念及其在几何中的应用。
2. 培养学生运用轴对称解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 轴对称的定义及性质2. 轴对称在几何中的应用3. 最小值问题的定义及解法4. 运用轴对称解决最小值问题三、教学重点与难点1. 教学重点：轴对称的概念及其在几何中的应用，最小值问题的解法。
2. 教学难点：如何运用轴对称解决最小值问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解轴对称的定义、性质及应用，最小值问题的解法。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用轴对称解决最小值问题。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生参与度。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如剪纸、折纸等，引导学生了解轴对称的概念。
2. 讲解：讲解轴对称的定义、性质，以及如何在几何中应用。
3. 案例分析：给出具体的最小值问题，引导学生运用轴对称进行分析。
4. 解题方法讲解：讲解最小值问题的解法，如代数法、几何法等。
5. 课堂练习：布置一些有关轴对称和最小值问题的练习题，巩固所学知识。
7. 作业布置：布置一些有关轴对称和最小值问题的作业，让学生课后巩固。
六、教学案例与实践1. 案例介绍：分析一个实际问题，如建筑设计中的梁柱布局，如何通过轴对称来最小化材料使用或最大化空间利用。
2. 案例分析：引导学生观察案例中的对称性，解释如何应用轴对称原理来简化问题，并推导出最优解。
3. 实践操作：让学生分组讨论，尝试解决其他类似的实际问题，如制作一个对称的图案，或设计一个对称的装饰品。
七、巩固练习1. 练习设计：提供一系列有关轴对称和最小值问题的练习题，包括简单的计算题和应用题。
2. 练习解答：引导学生独立完成练习题，互相检查答案，讨论解题过程中的困惑和解决方法。
3. 答案讲解：对练习题答案进行讲解，指出常见的错误和易混淆点，确保学生理解正确。
最大、最小值问题
P一、利用轴对称求最小值 1、几何模型：条件：如下图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA+PB=A ′B 的值最小（不必证明）． 模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是 ； （2）如图2，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ， ∠AOC=60°，P 是OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为 ；（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 ． 跟踪练习：2、如图所示，菱形ABCD 中，∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB ；3、如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AB 边上一点，若AE=2，则EM+BM 的最小值是 ．二、根据垂线段最短求最小值4、如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上 的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为 ( ) A ．13 B ．5 C ．3 D ．2M5、已知矩形ABCD中，点M是CD上一点，连接AM，作ME⊥AM交射线CB于点E 如图13-1，当CM=BC时，求证AM=ME;如图13-2，若MC:BC=4：3，求sin∠AEM.如图13-3，若AB=5，AD=2，点N是AE的中点，当CM=时，线段MN有最小值。
三、利用旋转共线求最大、最小值6、在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C。
8.3 轴对称之最短路径问题
8.3 轴对称之最短路径问题破解策略最短路径问题通常会转化为“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称是实现这一转化的有效方法之一．常见的题型如下．1．两点在一条直线异侧如图，点A ，B 在直线l 的两侧．(1)在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作法：如图，连接AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．2．两点在一条直线同侧如图，点A ，B 在直线l 的同侧．(1)在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．作法：如图，作点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 1，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．llll(3)在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最大．作法：如图，作：直线AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(4)在直线l 上找两点P 、Q (PQ 的长度等于已知线段a 的长度)，使得AP ＋PQ ＋QB 是最小．作法：如图，先将点B 向若平移a 个单位长度到点B 1，再作B 1关于直线l 的对称点B 2，连接AB 2，与直线l 的交点即为所求点P ，然后将点P 向右平移a 个单位长度，所得点即为点Q ．3．一点在角的内部如图，点P 在∠AOB 的内部．(1)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N 使得PM ＋MN ＋NP 最小．作法，如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，与OA ，OB 的交点即为所求的点M 、N ．(2)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N ，使得PM ＋MN 最小．作法：如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，过点P 1作OB 的垂线，与OA ，OB 的交点即为所求的点M ，N ．ll P al例题讲解例1 如图，A ，B 两点在直线MN 的同侧，AC ∠MN 于点C ，BD ∠MN 于点D ，点P 在直线MN 上运动，若AC ＝16，BD ＝10，CD ＝8，则PA PB -的最大值等于＿＿＿＿．分析 显然PA PB -的最大值即为线段AB 的长，只需过点B 作AC 的垂线，构成直角三角形求AB 的长即可．解答例2 如图，等边∠ABC 的面积为P 、Q 、R 分别为边AB ，BC ，AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是＿＿＿＿．分析 点R 在AC 上，而点P 、Q 在AC 的同侧，故作点P 关于AC 的对称点P '，当点P '，R ，Q 三点共线且P Q '⊥BC 时，PR ＋QR 取最小值．解答例3 如图，AB ∠BD 于点B ，DE ⊥BD 于点D ，C 为线段BD 上一动点，连接AC ，CE ，已知AB ＝5，DE ＝2，BD ＝12，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)求AC ＋CE 的最小值；ABP C D M NAB CPRQ(3)解答例4 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上各找一点，分别为点M ，N ，使得∠AMN 的周长最小，则此时∠AMN ＋∠ANM 的度数为＿＿＿＿．分析 点A 在∠BCD 内部，作点A 关于∠BCD 两边的对称点A 1，A 2，连接A 1A 2，则A 1A 2即为∠AMN 周长的最小值．解答例5 如图，长为1的线段AB 在x 轴上移动，点C (0，1)，D (0，2)在y 轴上，则AC ＋BD 的最小值是＿＿＿＿．分析 AB 为x 轴上的定线段，点C ，D 在x 轴同侧，故作点C 关于x 轴的对称点C '，将点D 沿x 轴负方向平移AB 长至点D '，则C D ''的长即为AC ＋BD 的最小值．解答：例6 如图，∠MON ＝30°，点A ，D 分别在OM ，ON 上，且OA ＝2，OD ＝4，C ，B 分别为OM ，ON 上任意一点，则折线AB －BC －CD 的最短长度为＿＿＿＿．分析 线段和差的最值问题通常都转化为“两点之间线段最短”的问题，可利用轴对称将分散的线段变成两定点间的折线，然后再化“折”为“直”即可．解答例7 如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠B ＝30°,E ,F 是线段AB 的三等分点,P ,Q 分别是线段BC ,AC 上的动点,若AC ＝3,则四边形EPQF 周长的最小值是解答例8 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且3AE ＝ EB ,有一只蚂蚁从点E 出发,经过点F ,G ,H ,最后回到点E ,则蚂蚁所走的最短路程是解答进阶训练1.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,在CD 上找一点P ,使P A ＋PE 最小，则这个最小值是2.如图2,P 为∠AOB 内部的一点,且OP ＝2,E ,F 分别是OA ,OB 上的动点,若△PEF 周长的最小值等于2,则∠AOB ＝3.已知y =y 的最小值是4.如图3,在平面直角坐标系中有四个点A (－6,3),B (－2,5),C (0,m ),D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,m ＋n ＝5.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∠BAC的平分线交BC于点D,若P,Q分别是AC,AD 上的动点,求CQ＋PQ的最小值.6.已知三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),且点A在正比例函数12y x的图象上,P为x轴上的动点，当△OAP与△CBP周长之和取最小值时,求点P的坐标.7.如图5,等边△ABC的边长为2,D是边AB的中点,P,Q分别是边BC,AC上的动点,当P,Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值.8.如图6,正方形ABCD的边长为4,E为边CD的中点,点F在边BC上,且满足BF＝3CF,M,N均为对角线BD上的动点,且MN求四边形EMNF周长的最小值.9.如图7,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,满足CE＝3AE,P,Q分别为AB,AC上任意的点,若AC＝2,BC＝1,求折线EP＋PQ＋QB长的最小值.10.如图8,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A,⊙B ,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,求PM＋PN的最小值.。
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利用轴对称求最小值 山东省章丘市绣水中学 李爱芸
文章来源：2008年下半年度《试题与研究》
中考数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形，现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。
例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。
理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。
首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。
因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。
变形1：
已知：如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在BC 上，N 是AC 上的一动点，则BN+MN 的最小值为多少？
理解转化题意：点B 、M 都在直线AC 的同旁，因此利用轴对称找点B 的对称点，在此题中由正方形的性质可知点B 的对称点是点D ，所以连结DM,DM 的长就是BN+MN 的最小值。
解：连结MD 交AC 于N /点
∵四边形ABCD 是正方形
∴点D 与B 关于AC 对称 ∴N /B=N /D
∴DM=DN / +MN / =N /B+N /M
在直角三角形MBC 中由勾股定理求得
DM=10
∴BN+MN 的最小值为10.
变形2： 如图MN 是⊙O 的直径,MN=2点A 在⊙O 上,∠AMN=30°B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为多少?
理解转化题意：利用圆的轴对称性过点B 作BC ⊥MN 得点B 的
对称点C, 连结AC 与MN 交点即为P 点.
解：过点B 作BC ⊥MN 交⊙O 于点C 连结AC 交MN 于点P 则
AC=PA+PB A B A B C C / （2）
（3） C D
A M N
B
N
连结OA,OC
∵BC ⊥MN
∴弧BN=弧NC =21
弧AN
∴∠NOC=∠AMN=30°
∴∠AOC=∠AON+∠NOC=90°
∵MN=2
∴OA=OC=MN 21=1
在RT △AOC 中由勾股定理得 AC=22OC OA + =2
即PA+PB 最小值为2
变形3： 点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。
理解转化题意：点A 点B 在X 轴的同旁,作点A 关于x 轴的对称点E ，连结BE 交X 轴于点C, ，交⊙B 于点D ，点C 点D 即为所求。
解：作点A 关于x 轴的对称点E ，作直线BE 交x 轴于点C ，交⊙B 于点D ，连接AC ，则点C 、D 即为所求
∵A （0，2）∴E （0，-2）
设BE 的数学表达式为y=kx+b ，则
⎩⎨⎧=+=
2 b 4k -2b ∴k=1
∴y=x-2
∴C(2,0)
过点B 作BG ⊥x 轴于点 G
则CG=4-2=2 BG=2
∴BC=22 BD=2
∴CD=2
∴AC+CD= 22+2=32。
责任编辑：孟建华。