高三一模数学试卷
山西省晋城市2024届高三一模数学试题及答案
山西省晋城市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M={x|−1<x<5}，N={y|y=x−1,x∈M}，则M∪N=（）A．(−2,5)B．(−1,4)C．(−2,4)D．(−1,5)3．若sin18°=m，则sin63°=（）A．−35B．35C．−21D．216．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为（）7．定义min{p,q,r}表示p，q，r中的最小值．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc=−1，则（）8．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（）A．3月5日或3月16日B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日D．3月8日或3月13日二、多选题9．若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（）A．函数f(x)=x2−2x在[1,+∞)上纯粹递增B．函数f(x)=x3−2x在[1,2]上纯粹递增C．函数f(x)=sinx−2x在[0,1]上纯粹递减D．函数f(x)=e x−3x在[0,2]上纯粹递减⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面ABE 10．如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1⃗⃗⃗⃗ E=3EC，下部分对应的几何体将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，则（）为Ω下A．Ω的体积为2下B．Ω的体积为12上C．Ω的外接球的表面积为9π下D．平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为2√511．双曲线C:x2−y2=m2(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P(t,s)(s≠0)为C的右支上一点，分别以线段PF1，PF2为直径作圆O1，圆O2，线段OO2与圆O2相交于点M，其中O为坐标原点，则（）A．|O1O2|=√3mB．|OM|=mC．点(t,0)为圆O1和圆O2的另一个交点D．圆O1与圆O2有一条公切线的倾斜角为π412．已知函数f(x)=x2e x+lnx，则（）A．“x>1”是“f(x)>e−x+ln e”的充要条件x”的充分不必要条件B．“x>1”是“f(x)>e−x+ln exC．当f(x)=(e2−1)x+2时，x+lnx=2D．当f(x)=(e2−1)x+2时，x+lnx=e三、填空题13．若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．14．已知两个单位向量a，b⃗的夹角为70°，则−a与a+b⃗的夹角为．15．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A，B，C，D）的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为（填入A，B，C，D中的1个）．16．若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在(π,5π)上至少有两个极大值点和两个零点，则2ω的取值范围为．四、解答题17．在△ABC中，AB=3√3，AC=5√3，BC=7√3．(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．18．已知数列{3×2n a n}的前n项和S n=4n+1−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3(a n−1a n )2，求数列{b n}的前n项和T n．以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X 元，求X 的分布列与数学期望．20．如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：ME//平面PBD ．(2)若PA =2，二面角A −PB −D 的大小为θ，求cos2θ．21．已知函数f(x)=e2x−a−2xe x．(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1+x2<0．22．已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F(x0,y0)，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点（用x0，y0表示）．参考答案：【详解】以A为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为x2=2py．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a米，则点B的横坐标为−14a，则y B=x B22p =(−14a)22p=98a2p，所以点B到桥面的距离为98a2+pbp米．故选：A.7．B【分析】由题先分析出实数a，b，c一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为abc=−1，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3，又a+b+c=0，所以在a，b，c中，1个为负数，2个为正数，不妨设c<0，则min{a,b,c}=c．因为2√ab≤a+b=−c，所以ab≤c24，因为c<0，所以c34≤−1，则c≤−√43，故min{a,b,c}的最大值是−√43，无最小值．故选：B.8．D【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n−1．假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为(1+3+⋅⋅⋅+2n−1)+[1+3+⋅⋅⋅+2(19−n)−1]=n(1+2n−1)2+(19−n)[1+2(19−n)−1]2=193，化简得n2−19n+84=0，解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用.9．BC【分析】求各选项函数的导数，利用所给定义判断即可求解.【详解】若f(x)=x 2−2x ，则f ′(x)=2x −2，因为f ′(1)=0，所以A 错误．若f(x)=x 3−2x ，则f′(x)=3x 2−2，当x ∈[1,2]时，f ′(x)>0恒成立，所以B 正确． 若f(x)=sinx −2x ，则f′(x)=cosx −2<0，所以C 正确．若f(x)=e x −3x ，则f ′(x)=e x −3<0在[0,2]上不恒成立，所以D 错误． 故选：BC 10．ACD【分析】根据题意求截面，可知Ω下为直三棱柱ADF −BCE ，进而可求相应的体积，即可判断AB ；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C ；可知平面ABE 截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF ，即可得面积判断D. 【详解】设D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 连接EF ，AF ，BE,GF,GH,EH ，由长方体的性质可知：EF//AB ，可知A ，B ，E ，F 四点共面，所以Ω下为直三棱柱ADF −BCE ，其体积为12×1×2×2=2，故A 正确； Ω上的体积为22×4 −2=14，B 错误．Ω下的外接球即为长方体ABCD −GHEF 的外接球， 所以Ω下的外接球的半径R =√22+22+122=32，则Ω下的外接球的表面积为4πR 2=9π，C 正确．平面ABE 截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF ，其面积为2×√12+22=2√5，D 正确． 故选：ACD. 11．BCD故选：BCD因为函数ℎ(x)=x +2lnx 为增函数，且ℎ(1)=1，所以x +2lnx >1⇔x >1， 所以“x >1”是“f(x)>e −x +ln ex ”的充要条件． 当f(x)=(e 2−1)x +2时，x +lnx =2，理由如下： （解法一）f(x)=(e 2−1)x +2可变为e x+2lnx +x +2lnx =e 2x +2+lnx =e 2+lnx +2+lnx ， 则g(x +2lnx)=g(2+lnx)．因为g(t)是增函数，所以x +2lnx =2+lnx ，即x +lnx =2． （解法二）设x +lnx =m ，则lnx =m −x ，e m−x =x ，即e x =e m x，代入x 2e x +lnx =(e 2−1)x +2，得xe m +m −x =(e 2−1)x +2，即(e m −e 2)x =2−m ． 假设m ≠2，则等式左右异号，矛盾．所以m =2，即x +lnx =2． 故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数. 13． 6 42【分析】根据正n 棱台共有3n 条棱，从而得到不等式，求出n 的最小值为6，得到棱的长度之和最小值.【详解】因为正n 棱台的侧棱有n 条，底面有2n 条棱，所以正n 棱台共有3n 条棱， 由3n >15，得n >5，所以n 的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42． 故答案为：6，42 14．145°【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.【详解】设a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a −b ⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为a ，b ⃗ 均为单位向量， 所以四边形OACB 为菱形，且OC 平分∠AOB ，所以a 与a +b ⃗ 的夹角为70°÷2=35°，则−a 与a +b⃗ 的夹角为180°−35°=145°．故答案为：145°易知OA=1，OD=3，得|cosθ|=√3√35，所以cos2θ=2cos2θ−1=2|cosθ|2−1=−2935.21．(1)(−∞,1](2)证明见解析【分析】（1）求导判单调性，求f(x)的最小值，列不等式求解；（2）通过证明g(x)=f(x)−f(−x)>0求解.【详解】（1）f′(x)=2e2x−2(1−x)e x =2(e3x−1+x)e x．令ℎ(x)=e3x−1+x，易知ℎ(x)单调递增，且ℎ(0)=0．当x<0时，ℎ(x)<0,即f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，ℎ(x)>0,即f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)min=f(0)=1−a≥0，即a≤1，所以a的取值范围是(−∞,1]．（2）由f(x)的单调性可设x1<0<x2．令g(x)=f(x)−f(−x)=e2x−e−2x−(2xe x +2xe−x)=(e x+e−x)(e x−e−x−2x)．令φ(x)=e x−e−x−2x(x>0)，则φ′(x)=e x+e−x−2>2√e x e−x−2=0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增，则φ(x)>φ(0)=0，所以φ(x2)>0．所以f(x2)−f(−x2)>0，即f(x1)−f(−x2)>0，即f(x1)>f(−x2)．因为当x<0时，f(x)单调递减，且−x2<0，所以x1<−x2，即x1+x2<0．【点睛】关键点点睛：本题考查函数恒成立问题及证明不等式，第二问将g(x)=f(x)−f(−x)分解因式判断符号是本题关键.22．(1)x24+y23=1(2)过定点(x07,−y07),证明见解析.【分析】（1）先求出两椭圆焦点坐标，从而确定方程；（2）设直线y=kx+m，将直线与椭圆联立，CF⊥DF转化为k CF⋅k FD=−1，坐标化将韦达定理代入化简求解【详解】（1）因为√6−2=2，所以P的焦点为(−2,0)，(2,0)，【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为。
2024年山东省菏泽市高三一模考试数学试题及答案
2024 年高三一模考试数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据为xx1、xx2、xx3、xx4、xx5、xx6、xx7, 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比, 下列数字特征一定不变的是A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差2.已知复数zz满足zz(1+i)=i2024, 其中i为虚数单位, 则zz的虚部为A. −12B. 12C. −12iD. √223.已知集合AA={xx∣xx=3nn,nn∈ZZ},BB={xx∣0≤xx≤6}, 则AA∩BB=A. {1,2}B. {3,6}C. {0,1,2}D. {0,3,6}4.pp:mm=2,qq:(mmxx+yy)5的展开式中xx2yy3项的系数等于 40 , 则pp是qq的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知向量aa=(sin θθ,cos θθ),bb=(√2,1), 若aa⋅bb=|bb|, 则tan θθ=A. √22B. √2C. √3D. √326.已知ff(xx)=xxℎ(xx), 其中ℎ(xx)是奇函数且在R上为增函数, 则A. ff�log213�>ff�2−32�>ff�2−23�B. ff�2−32�>ff�2−23�>ff�log213�C. ff�log213�>ff�2−23�>ff�2−32�D. ff�2−23�>ff�2−32�>ff�log213�7.已知圆C1:xx2+(yy−3)2=8与圆C2:(xx−aa)2+yy2=8相交于A、 B两点, 直线AB交xx轴于点P, 则SS△CC1PPCC2的最小值为A. 32B. 92C. 272D. √2328.若数列{aa nn}的通项公式为aa nn=(−1)nn−1nn, 记在数列{aa nn}的前nn+2(nn∈NN∗)项中任取两数都是正数的概率为PP nn, 则A. PP1=23B. PP9<PP10C. PP10<PP11D. PP11<PP12二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9.已知函数ff(xx)=Asin (ωωxx+φφ)(AA>0,ωω>0,0<φφ<ππ)的部分图像如图所示, 令gg(xx)=ff(xx)−2sin2�ππ2+xx�+1, 则下列说法正确的有A. ff(xx)的最小正周期为ππB. gg(xx)的对称轴方程为xx=kkππ+ππ3(kk∈z)C. gg(xx)在�0,ππ2�上的值域为�−1,12�D. gg(xx)的单调递增区间为�kkππ+ππ3,kkππ+5ππ6�(kk∈z)10.如图, 在棱长为 2 的正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, PP为侧面AAAAAA1AA1上一点, QQ为BB1AA1的中点, 则下列说法正确的有A. 若点PP为AAAA的中点, 则过PP、QQ、AA1三点的截面为四边形B. 若点PP为AA1AA的中点, 则PPQQ与平面BBAAAA1BB1所成角的正弦值为√105C. 不存在点PP, 使PPQQ⊥AA1AAD. PPQQ与平面AAAAAA1AA1所成角的正切值最小为√5511.如图, 过点AA(aa,0)(aa>0)的直线AABB交抛物线yy2=2ppxx(pp>0)于AA,BB两点, 连接AAAA、BBAA,并延长, =−aa于MM,NN两点, 则下列结论中一定成立的有A. BBMM//AANNB. 以AABB为直径的圆与直线xx=−aa相切C. SS△AAAAAA=SS△MMAAMMD. SS△MMCCMM2=4SS△AAMMCC⋅SS△AACCMM三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.如图, 在正四棱台AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, AA1BB1=√2,AABB=2√2,该棱台体积V=14√33, 则该棱台外接球的表面积为____________13.已知斜率为√3的直线过双曲线AA:xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点FF且交双曲线右支于AA、BB两点, AA在第一象限, 若|AAFF|=|AAFF|, 则AA的离心率为_________14.关于xx的不等式xxee aaxx+bbxx−ln xx≥1(aa>0)恒成立, 则bb aa的最小值为_______四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分) 已知数列{aa nn}的前nn项和为SS nn, 且SS nn=2aa nn−2(nn∈NN∗).(1) 求数列{aa nn}的通项公式;(2) 若bb nn=log2aa2nn−1,cc nn=1bb nn bb nn+1, 求证: cc1+cc2+cc3+⋯+cc nn<12.16.(15 分) 某商场举行 “庆元宵, 猜谜语” 的促销活动, 抽奖规则如下: 在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球, 球内装有难度不同的谜语. 每次随机抽取 2 个小球, 答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语, 答错则终止游戏. 已知标号为1,2,3的小球个数比为1:2:1, 且取到异号球的概率为57.(1) 求盒中 2 号球的个数;（2）若甲抽到 1 号球和 3 号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示, 请帮甲决策猜谜语的顺序 ()球号 1 号球 3 号球答对概率0.8 0.5奖金100 50017.(15 分) 如图, 已知AABBAAAA为等腰梯形, 点EE为以BBAA为直径的半圆弧上一点, 平面AABBAAAA⊥平面BBAAEE,MM为AAEE的中点, BBEE=AABB=AAAA=AAAA=2,BBAA=4.(1) 求证: AAMM/ /平面AABBEE;(2) 求平面AABBEE与平面AAAAEE所成角的余弦值.18.(17 分) 如图, 已知椭圆AA:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)与yy轴的一个交点为AA(0,√2), 离心率为√22,FF1,FF2为左、右焦点, MM,NN为粗圆上的两动点, 且∠MMAAFF1=∠NNAAFF1.(1) 求粗圆AA的方程;(2) 设AAMM,AANN的斜率分别为kk1,kk2, 求kk1kk2的值;(3) 求△AAMMNN面积的最大值.19.(17 分) 帕德近似是法国数学家亨利. 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数mm,nn, 函数ff(xx)在xx=0处的[mm,nn]阶帕德近似定义为:RR(xx)=aa0+aa1xx+⋯+aa mm xx mm1+bb1xx+⋯+bb nn xx nn, 且满足: ff(0)=RR(0),ff′(0)=RR′(0),ff′′(0)=RR′′(0),⋯, ff(mm+nn)(0)= RR(mm+nn)(0).(注: ff′′(xx)=[ff′(xx)]′,ff′′′(xx)=[ff′′(xx)]′,ff(4)(xx)=[ff′′′(xx)]′,ff(5)(xx)=�ff(4)(xx)�′,⋯;ff(nn)(xx)为ff(nn−1)(xx)的导数)已知ff(xx)=ln (xx+1)在xx=0处的[1,1]阶帕德近似为RR(xx)=aaxx1+bbxx.(1) 求实数aa,bb的值;(2) 比较ff(xx)与RR(xx)的大小;(3) 若ℎ(xx)=ff(xx)RR(xx)−�12−mm�ff(xx)在(0,+∞)上存在极值, 求mm的取值范围.2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分 所以盒中2号球的个数为4个. -----5分 （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分 因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分 又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m ⃗⃗ =(x ，y ，z)则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分 设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++， 由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M NM M N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分M M x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a abf x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时， 时 ）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即 当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在 又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。
北京市西城区2024届高三一模数学含答案
2024北京西城高三一模数 学2024.4本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =R ，集合{|3}A x x =<，{|22}B x x =−≤≤，则U AB=（A ）(2,3) （B ）(,2)(2,3)−∞−（C ）[2,3)（D ）(,2][2,3)−∞−（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）2=+y x x （B ）cos y x = （C ）2=x y （D ）2||log =x y（3）在622()−x x的展开式中，常数项为 （A ）60 （B ）15 （C ）60−（D ）15−（4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（A ）1x =− （B ）2x =− （C ）1y =−（D ）2y =−（5）设1=−a t t ，1=+b t t，(2)=+c t t ，其中10−<<t ，则（A ）<<b a c （B ）<<c a b （C ）<<b c a（D ）<<c b a（6）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()⋅−=c a b （A ）1− （B ）1 （C ）7− （D ）7（7）已知函数2,20,(),0.⎧+−<<⎪=⎨<⎪⎩≤x x x f x x c 若()f x 存在最小值，则c 的最大值为 （A ）116 （B ）18（C ）14（D ）12（8）在等比数列{}n a 中，00>n a ．则“001+>n n a a ”是“0013++>n n a a ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）关于函数()sin cos 2f x x x =+，给出下列三个命题：① ()f x 是周期函数；② 曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③ ()f x 在区间[0,2π)上恰有3个零点． 其中真命题的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的 趋势可由函数0.2710.6=−y t 近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为 （参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈） （A ）2小时 （B ）0.8小时 （C ）0.5小时（D ）0.2小时第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析
山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
2024长春高三一模试卷数学
长春市2024年高三第一次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =R ，集合20,{2}3x A x B x x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则()UA B = ð（）A.{2x x ≤-或3}x >B.{23}x x <≤C.{23}x x -<≤ D.{23}x x <<2.已知复数z 满足()34i 7i z +=+，则z =（）A.1B.C.D.3.在ABC 中，若4AB AC AP += ，则PB =（）A.3144AB AC -B.3144AB AC-+C.1344AB AC-+D.1344AB AC -4.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A .14种B.15种C.16种D.17种5.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于y 轴的对称点在直线2x =-上，则AB =（）A.3B.4C.5D.66.已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.116B.23C.12D.15167.2023120222023112023log ,20222,202a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b a c>> C.c b a>> D.a b c>>8.半径为R 的球面上有,,,A B C D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若ABC ，ACD △，ADB △的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.64πB.2563π C.144πD.288π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差10.已知函数()sin (010)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则（）A.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.若()()()12120f x f x x x ==≠，则12x x -是25π的整数倍D.()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调11.已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++ ，若()01f '=，则（）A.{}lg n a 为单调递增的等差数列B.01q <<C.11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D.使得1n T >成立的n 的最大值为612.已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,),(1,3)a m b ==- ，若a b ⊥，则m =___________．14.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，l 为双曲线的一条渐近线，F 到直线l，过F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 长为10，则C 的离心率为________．15.若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上无零点的偶函数，若()0f π=，且()()()()f x g x f x g x ''>在(,0)-∞上恒成立，则()0()f xg x <的解集是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，且满足21421234,4a a a a a a a =++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：1223111114n n a a a a a a ++++< .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，且:2a b =2sin B A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积．19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若1PA AD ==，2AB =，求二面角E AC B --的余弦值．20.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性206010020（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63521.已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数2()ln(1)()f x x a x a =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在2x =处取得极值，对x (1,+)∀∈∞，1()ln 1x f x bx x-≤++恒成立，求实数b 的取值范围．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】(,1)(0,1)-∞- 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1）4B π=；（2）212ABC S =+ 或212-.【19题答案】【答案】（1）证明略（2）23-【20题答案】【答案】（1）列联表略，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列略，数学期望为218【21题答案】【答案】（1）22163x y +=，离心率为22；（2）证明略.【22题答案】【答案】（1）当0a =时，()f x 在(1,+)∞上单调递增；当0a ≠时，()f x 在21(1,1a +上单调递增，在21(1+,+)a ∞上单调递减.（2）211,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
陕西省西安市2024-2025学年高三上学期11月联考一模数学试题
陕西省西安市2024-2025学年高三上学期11月联考一模数学试题一、单选题1．若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设1i z =-，则2i z +=（）A ．1B ．iC ．i -D ．1-3．若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A ．54B ．54-C ．108D ．108-4．已知a 3logb =2logc =）A ．b a c<<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．b c a <<5．已知,αβ都是锐角，()cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A B C ．2D 6．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A ．512B ．12C ．712D ．567．已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．216B ．260C ．290D ．3168．已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(0,)+∞C ．1,24⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．(]0,2二、多选题9．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且ABC S =△则（）A ．ABC VB ．若A ∠的平分线与BC 交于D ，则ADC ．若D 为BC 的中点，则AD D ．若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A ．//EF 平面11AAB BB ．直线EF 与平面ABCC ．若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D ．直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211．已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A ．直线AB 与抛物线C 相切B ．6OP OQ ⋅=C ．若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF =D ．存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题12．已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=.13．甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为14．已知函数()2sin e e x x f x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为.四、解答题15．某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.(1)若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；(2)设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．(1)证明：1A D ⊥平面1A BC ；(2)求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18．如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a．(1)求12,a a 的值；(2)求出的通项公式；(3)设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E.,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E .(1)求C 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点；(3)若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.。
2024北京顺义区高三一模数学(第二次统练)试题及答案
2024北京顺义高三一模数学（第二次统练）第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合{}24U x Z x =∈≤， {}1,2A =，则U C A =（A ）[]2,0-（B ）{}0（C ）{}2,1--（D ）{}2,1,0--（2）已知复数z 的共轭复数z 满足()12i z i +⋅=，则z z ⋅=（A （B ）1（C ）2（D ）4（3）在5(21)x -的展开式中，4x 的系数为（A ）80-（B ）40-（C ）40（D ）80（4）已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c π=，则（A ）a b c>>（B ）b a c>>（C ）c b a>>（D ）c a b>>（5）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，1lg lg lg 2nn n a a ++=，N n *∈，则9S =（A ）511（B ）61（C ）41（D ）9（6）已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M ，若F 为PQ 的中点，则PM =（A ）4（B ）6（C ）（D ）8（7）若函数()1,0,0,0,1,0.x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法：考生须知1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
天津市河西区2024届高三下学期一模试题数学含答案
河西区2023-2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·球体的表面积公式24πS R =，其中R 为球体的半径.·锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.·球体的体积公式34π3V R =，其中R 为球体的半径.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}33U x x =∈-<<Z ，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()U A B ⋃=ð（）A.{}2,1,2-B.{}2,0,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,2--2.“2x x ”是“11x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.322xx x x --+ B.2122xxx --+ C.cos 222x xx x -+ D.sin 222x xx -+4.随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：时间x12345交易量y （万套）0.50.81.01.21.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法错误的是（）A.根据表中数据可知，变量y 与x 正相关B.经验回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时房屋交易量约为1.72（万套）D.5x =时，残差为0.02-5.已知数列{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++= （）A.()1614n-- B.()1612n-- C.()32143n -- D.()32123n --6.已知2πa =，1e 2b⎛⎫= ⎪⎝⎭，log a b c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<7.已知函数()23sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+>，若将函数()y f x =的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()y f x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象关于y 轴对称C.当()f x 取得最值时，()ππ12x k k =+∈Z D.当ππ,44x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()f x 的值域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦8.已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（）A.23B.932C.16D.29.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为，左､右焦点分别为1F ､2F ，过1F 的直线分别交双曲线左､右两支于A ､B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线C 的方程为（）A.2216y x -= B.22134x y -=C.22152x y -= D.22125x y -=第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.i 是虚数单位，复数34i 12i+=-___________.11.()()52x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是___________.12.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为___________.13.举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =___________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是___________.14.在ABC 中，D 是AC 边的中点，3AB =，60A ∠=︒，5BC CD ⋅=-，则AC =___________；设M 为平面上一点，且()21AM t AB t AC =+- ，其中t ∈R ，则MB MC ⋅的最小值为___________.15.已知函数()244,22,2x x x f x kx k x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，方程()0f x t -=有两个实数解，分别为1x 和2x ，当13t <<时，若存在t 使得124x x +=成立，则k 的取值范围是___________.三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin a B A +=.（1）求角B 的大小；（2）设b =，2a c -=.（i ）求a 的值；（ii ）求()sin 2A B +的值.17.（本小题满分15分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，224AB PA AC ===，N 为AB 上一点且满足3AN NB =，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（1）求证：CM SN ⊥；（2）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（3）求点P 到平面CMN 的距离.18.（本小题满分15分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n a =+，数列{}n b 为等比数列，且满足12n n n b b ++=，*n ∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：221n n n S S S ++<；（3）求()11tan tan nnn n n i aa ab +=⋅+⋅∑的值.19.（本小题满分15分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点为B ､C ，左焦点为F ，定点(P -，PF FC = .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点B 作斜率为k （0k <）的直线l 交椭圆E 于另一点D ，直线l 与x 轴交于点M （M 在B ，D 之间），直线PM 与y 轴交于点N ，若35DMN S = ，求k 的值.20.（本小题满分16分）已知函数()e 1xf x m =-（m ∈R ）()()ln ln e axg x x x=-+（a ∈R ，1a >）.（1）若()f x x，求m 的取值范围；（2）求证：()g x 存在唯一极大值点x ，且01,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭；（3）求证：()()22e e 14xa g x x-+>.河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试题参考答案及评分标准一､选择题：每小题5分，满分45分1.C2.A3.C4.D5.C6.A7.D8.B9.A二､填空题：每小题5分，满分30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.12i+11.1012.413.139；31314.4；31315.()(1-⋃三､解答题16.满分14分.（1）解：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，()1cos sin a B A +=可化为()sin 1cos sin A B B A +=，sin 0,1cos A B B ≠∴+=，ππ1cos 2sin 1,sin 662B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ0π,,663B B B <<∴-== .（2）（i ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac+-=，由π,23b B ac ==-=，得22()22cos a c ac b ac B -+-=，24ac ∴=，解得6,4a c ==.（ii ）解：由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，解得cos ,sin 1414A A =∴==，23313sin22sin cos ,cos22cos 11414A A A A A ∴===-=-，()πππsin 2sin 2sin2cos cos2sin 33314A B A A A ⎛⎫∴+=+=-⎪⎝⎭.17.满分15分.（1）证明：以A 为原点，,,AB AC AP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()0,0,0,4,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,1,2,1,0,1,0,0A B C P M S N ()()2,2,1,1,1,0CM SN =-=--，因为()()()2121100CM SN ⋅=⨯-+-⨯-+⨯=，所以CM SN ⊥.（2）解：设平面CMN 的法向量(),,n x y z =，()1,2,0CN =-，n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取1y =，得()2,1,2n =-，设直线SN 与平面CMN 所成角为θ，则32sin cos ,232n SN n SN n SN θ⋅===⨯⋅，所以π4θ=，所以直线SN 与平面CMN 所成角的大小为π4.（3）解：设点P 到平面CMN 的距离为(),1,0,2d PN =-，所以2PN nd n⋅== ，所以点P 到平面CMN 的距离为2.18.满分15分.（1）解：由1n n S a =+，得()241n n S a =+①，则()21141n n S a ++=+②，②-①得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，10,2n n n a a a +>∴-= ，数列{}n a 为等差数列，公差2d =，当1n =时，11a =+，解得11a =，{}n a ∴的通项公式21n a n =-.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意，12232,4b b b b +=+=，23122b b q b b +∴==+，由121122b b b b +=+=，解得123b =，{}n b ∴的通项公式23nn b =.（2）证明：由（1）知2n S n =，()()2224221(2)(1)24110n n n S S S n n n n n ++∴-=+-+=++-<，不等式得证.（3）解：设()11tan tan nn nn i A aa +==⋅∑，()()()()1tan 21tan 21tan tan tan 21tan 211tan2n n n n a a n n ++--⋅=-⋅+=()()tan 21tan 21tan3tan1tan5tan3111tan2tan2tan2n n n A ⎛⎫+----⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()tan 21tan1tan2n n+-=-设()1nn nn i B ab ==⋅∑，则()()1231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-⋅ ，()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯+⋅+-+- ，两式相减，得()3451122222212n n n T n ++-=+++++-- ，()12326n n T n +∴=-+，11212233n n n B T n +⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭()111tan(21)tan12tan tan 12 2.tan 23nn n n n n n n i n a a a b A B n n ++=+-⎛⎫∴⋅+⋅=+=-+-+ ⎪⎝⎭∑.19.满分15分.（1）解：由题意，PF FC =，则F 为P C ､的中点，01,12P F x x c +==-∴=，0,2P CF C y y y y b +==∴==，2224a b c ∴=+=，椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）解：设直线l的方程为y kx =，与椭圆E的方程联立，22143y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222439120k y k +-+-=，222633343,4334D B D B y y y y k k-+==∴=++ ，直䌸l 与x 相交于点M，令0,M y x =∴=-所以直绖PM的徐率为P MP My y x x k-==-，直绕PM的方程为)2y x -=+，令0x =，N y ∴=，由()11sin 213sin 2N DMN NBM B PD D P MD MN DMN y yS y y S y y MB MP BMP ∠∠⋅⋅-⋅⋅===-⋅⋅⋅3335D NN IMN MMI D y yy y S S ⋅⋅⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，35N D y y ∴⋅=-，即223345k -=-+)2222331345345kkk k +-+⇒=-⇒=-++，2290k ++=，解得k =或2k =-，所以k的值为或2-.20.满分16分.（1）解：由()e 1xf x m x =-≥，可得1ex x m +≥恒成立，令()1e x x F x +=，则()0,0exxF x x -==∴='，当(),0x ∞∈-时，()0F x '>，则()F x 在(),0∞-上单调递增，当()0,x ∞∈+时，()0F x '<，则()F x 在()0,∞+上单调递减，所以()max ()01F x F ==，所以1m ≥，故m 的取值范围是[)1,∞+.（2）证明：由()()ln ln e ax g x x x=-+，则()()21ln ax xg x x'--=，再令()()1ln h x ax x =--，因为()110h x x=--<'在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，因为当1a >时，()1110,1ln 0h h a a a ⎛⎫=->=-<⎪⎝⎭，于是存在01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()0001ln 0h x ax x =--=，即()00ln 1ax x =-，①并且当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减，于是()g x 存在唯一极大值点0x ，且01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（3）证明：由（1）知，当1m =时，()e 1x f x x =-≥，又21a >，所以()22e1x a a x -≥，于是当0x >时，()2222e e e 1e 44x a a x a x x -+≥+≥，由（2）并结合①得：()()00max 0000000ln 11()ln e ln e ln e 1ax x g x g x x x x x x x -==-+=-+=-+-，易知()0001ln e 1t x x x =-+-在01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()ln e 1g x t a a a ⎛⎫<=++-⎪⎝⎭，设()()e ln e 1G a a a a =-++-，其中1a >，因为()1e 10G a a=-->'在1a >时恒成立，所以()G a 在1a >时单调递增，于是()()10G a G >=，从而有e ln e 1a a a >++-，所以原不等式()()22e e 14x a g x x -+>成立.。
河南省豫西北教研联盟(许洛平)2025届高三上学期第一次质量检测(一模)数学试卷
豫西北教研联盟 (许洛平) 2024-2025 学年高三第一次质量检测数学试题注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每题 5 分, 共 40 分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知向量 a =(x,−3),b =(3x,x +2) ,若 a ⋅b =0 ,则 x =A. -1B. 2C. 2 或 -1D. 2 或 -22. 已知集合 A ={x ∣1<x <2},B ={x ∣1<x <a} ,若 B ⊆A ,则实数 a 的取值范围是A. (2,+∞)B. (1,2]C. (−∞,2]D. [2,+∞)3. 已知 sin (α+π4)=−23 ,则 sin2α=A. 19B. −19C. 89D. −894. 下列选项中, p 是 q 的充要条件的是A. 已知非零向量 a,b,c,p:a ⋅c =b ⋅c,q:a =bB. 已知 x ∈R,p:x 2+2x −3<0,q:0<x <1C. 在 △ABC 中, p:A >B,q:sinA >sinBD. 直线 l 1:ax +2y +6=0,l 2:x +(a −1)y +3=0,p:l 1//l 2,q:a =25. 已知 f (x )=ln(x +√1+x 2) ,则 f (x 2−8)+f (2x )≥0 的解集为A. {x ∣−2≤x ≤4}B. {x ∣−4≤x ≤2}C. {x ∣x ≥4 或 x ≤−2}D. {x ∣x ≥2 或 x ≤−4}6. 过双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,若线段 AB 的长度取最小值时,直线 l 恰有两条,则双曲线 C 的离心率为A. √2B. √3C. 2D. √57. 已知数列 {a n },{b n } 中, a 1=2,b 1=6,a n+1=2a n ,b n+1=2b n −a n ,若 a m =b m ,则 m =A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知 a >0 ,若函数 f (x )={−ax 2−(a −2)x +lnx,x >0ln (−x +1)−axe x ,x <0没有零点,则实数 a 的取值范围是 A. (e,+∞) B.(1, e) C.(0,1) D. (1,+∞)二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。
2025届浙江省温州市高三一模数学试卷(含答案)
2025届浙江省温州市高三一模数学试卷2024.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{14}A x x =∈−≤<N ∣，{}B x y x ==，则A B =（ ）A.{}1,2,3B.{}1,1,2,3−C.{}0,1,2,3D.{}1,0,1,2,3−2.若2025i 1i z =+，则复数z 对应的点位于第（ ）象限A.一B.二C.三D.四3.已知平面向量a ，b 满足1a b ==，,60a b =，则2a b +=（ ） A.13 C.274.若方向向量为(1,2)−的直线l 与圆()2215x y −+=相切，则直线l 的方程可以是（ ） A.270x y ++= B.230x y ++=C.260x y +−=D.260x y +−=5.已知()()11sin ,sin 23αβαβ+=−=，则tan tan αβ=（ ） A.15 B.15−C.5D.-56.已知函数()3,03,0x e x f x x x a x ⎧>=⎨−+≤⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)1,−+∞B.[)3,+∞C.(],1−∞−D.(],3−∞7.已知数列{}n a 的通项公式21nn a =−，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k个()*3k ∈N，得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（ ） A.28B.29C.30D.318.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X ，则()E X =（ ）A.3B.4C.5D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，微信公众号：浙江省高中数学部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（ ）ABCD10.已知(),0A a −，(),0B a ，1:0l ax y −=，2:0l ax y +=，其中1a >，点P 为平面内一点，记点P 到1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则下列条件中能使点P 的轨迹为椭圆的是（ ） A.4PA PB a += B.2224PA PB a += C.124d d a +=D.222124d d a +=11.已知函数()sin22sin f x x x =−，则（ ） A.()()240f f +< B.当06x <<时，()52f x ≤C.当34x <<时，()23x f x f ⎛⎫>+⎪⎝⎭D.当02x <<时，()174f x f x ⎛⎫<−⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
高三年级一模试卷数学
高三年级一模试卷数学一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = x^42. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 2，d = 3，那么a_5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 233. 函数y = 2x - 1的图象与x轴交点的横坐标为：A. 0.5B. 1C. 0D. -0.54. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, 2)5. 下列不等式中，解集为R的是：A. x^2 - 4x + 4 > 0B. x^2 - 4x + 4 < 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 - 4x + 4 ≤ 06. 已知集合A = {x | x^2 - 6x + 8 < 0}，集合B = {x | x > 3}，则A∩B的解集为：A. (2, 4)B. (4, +∞)C. (2, 3)D. (3, 4)7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4在区间(1, 2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减8. 已知等比数列{a_n}的前三项依次为2，6，18，则其公比q为：A. 2B. 3C. 1/3D. 1/2二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(1)的值为______。
10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3 = 9，S_6 = 24，则a_4 + a_5 + a_6的值为______。
11. 已知直线y = 2x + 3与y轴的交点坐标为______。
12. 已知圆x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0的半径为______。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题及答案
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M =（ ）A ．{}0,5B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3,4,5D ．U2．已知复数z 满足(43i)i z +=−，则z 的虚部为（ ） A ．425−B ．425C ．4i 25−D ．4i 253．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（ ）A ．1B 1C ．2D 14．在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（ ） A ．7T B ．8TC ．10TD ．11T5．关于函数4125x y x −=−，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（ ） A ．函数只有最大值没有最小值 B ．函数只有最小值没有最大值 C ．函数没有最大值也没有最小值 D ．函数有最小值也有最大值6．已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m=对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（ ）A．B ．C ．D ．88．,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba c c a a−=>=+，则下列说法正确的是（ ）A ．2c a b −>−B ．2c b a −≤−C ．2c a b +<+D ．2c a b +≤+二、多选题9．已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（ ） A ．这10个数据中至少有8个数小于或等于31 B ．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C ．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D ．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是3110．函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（ ）A ．()()3.14D D π>B ．()D x 的值域为[]2,3C ．()()D D x 是偶函数D ．a ∀∈R ， ()()D x a D a x +=−11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（ ）A ．该圆台轴截面ABCD 的面积为2B ．该圆台的表面积为211πcmC ．该圆台的体积为3cmD三、填空题12．已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t −+=，则=a . 13．已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12−=F F N.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P ﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为 .四、解答题15．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且2cos a ab C =+. (1)求角B ； (2)求21AD CD+的取值范围. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T . 17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.(1)求椭圆的标准方程； (2)求AB 的范围.18．《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：(1)从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.(2)经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫−=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？19．如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ； (2)求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；参考答案：1．B【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4UN =，所以(){}1,2,3,4U MN =，故选：B. 2．A【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解. 【详解】因为(43i)i z +=−，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z −−−===−−++−， 所以z 的虚部为425−. 故选：A. 3．D【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+， 则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++ sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x x ϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α+()2x α+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈−[]0,2，所以[]0,2a ∈. 故选：D. 4．D【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a ==不符合题意；()48127845T a a a a a a ==不符合题意； ()5101291056T a a a a a a ==不符合题意；11111210116T a a a a a ==为确定常数，符合题意.故选：D 5．D【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值. 【详解】()22594192252525x x y x x x −+−===+−−−，52x ， 由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >， y 在5,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =−，同理max y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值. 故选：D. 6．A【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断. 【详解】令()11ππ12m k k −=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ， 所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称． 令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称． 因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件． 故选：A. 7．C【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,M x y ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯= 故选：C 8．A【分析】对于2ln0cc a a−=>可构造函数()2ln f x x x =−，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a−=>得2ln 2ln c c a a −=−且c a >， 构造函数()2ln f x x x =−，所以()21f x x'=−，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b −>−. 故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论. 9．AB【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31， 可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB. 10．AC【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可. 【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x −∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D −==，所以()()()()D D x D D x =−，x ∉Q 时，x −∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D −==，()()()()D D x D D x =−，所以()()D D x 为偶函数，C 正确；x 1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D −=−=，则()()D x a D a x +≠−，D 错误.故选：AC11．AB【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D.【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O =则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm 1c S =⨯=上，()22π24πcm S =⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()31π142cm 3V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误， 故选：AB. 12．12−/-0.5【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx=，所以21()f x x '=+， 因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t −+=， 所以1(1)12f a '=+=，解得12a =−.故答案为：12−13【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12−F F 平方即可计算对应的值. 【详解】由123++=F F F 0，可得123+=−F F F ，所以()()22312−=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=−F F ，所以12−=F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14．2【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率． 【详解】如图，易得2(,)b P c a−，2(,0)F c ，22(2,)b PF c a =−，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =−−，由223PF MF =得2(2,)3(,)b c c x y a−=−−，223()3c c x b y a =−⎧⎪⎨−=−⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,)33b OM c a =， 又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=−=，c e a =，222b c a =−代入得2222(1)0e e −−=，因为1e >故解得e =15．(1)2π3(2)⎤⎥⎝⎦【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）22cos 3a S ab C=−+， 2sin cos a Cab C ∴=+，即sin cos a C b C=+， 由正弦定理得，sin sin sin cos A B C B C =+， ()sin sin sin cos B C B C B C∴+=+， cos sin sin B C B C ∴=， sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =. （2）由（1）知，2π3B =， 因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=， 在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BD DBC C =∠， 即π2sin16sin sin DC C C ==， 在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==， sin sin 21sin si 22n 11A C C C A A D D∴++=+=， 2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=, 21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=−+=−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π03C <<，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin 3C ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16．(1)21n a n =− (2)242n n n T n +=+【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可. 【详解】（1）2241n n n a a S +=−，2111241n n n a a S ++++=−，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++−−=，102n n n a a a +>∴−=，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a −=，所以11a =即()11221n a n n =+−⨯=−（2）由（1）知21n a n =−，则()()1212122n n n a a n n S n ++−===， 即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥−+−+⎢⎥⎣⎦ 1111482121n n ⎛⎫=+− ⎪−+⎝⎭， 故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+−+−++− ⎪−+⎝⎭2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+−=+= ⎪+++⎝⎭.17．(1)22143x y += (2)[]3,4【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程； （2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【详解】（1）由题意可知，将点3(1,),(2代入椭圆方程， 得222291416241a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b ==， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()11,0F −，()21,0F ，当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690m y my ++−=， 易得()22Δ636(34)0m m =++>，则12122269,3434m y y y y m m −−+==++， 所以AB =2221212443434m m m +=−++， 因为20m ≥，所以2344m +≥，所以240134m <≤+，所以34AB ≤<， 综上，34AB ≤≤，即AB 的范围是[]3,4.18．(1)25； (2)详见解析；【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【详解】（1）由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==， 所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===; （2）因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b −+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，， 该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>， 又22612166121653059055a b −⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，， 该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%−−==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 19．(1)证明见解析【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【详解】（1）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)． 依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量， 则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =−， 又3(1,,1)2MN =−，可得00MN n ⋅=，直线MN ⊄平面CDE ， 所以MN //平面CDE .（2）依题意，可得(1,0,0)BC =−，(1,2,2)BE =−，(0,1,2)CF =−，设111(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩， 得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z =为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩， 得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =， 因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅=10=. 于是10sin ,10m n <>=所以平面EBC 和平面BCF。
2024北京海淀区高三一模数学试题及答案
2024北京海淀高三一模数 学本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知全集{}22U x x =−≤≤，集合{}12A x x =−≤<，则U C A =A.(2,1)−−B.[2,1]−−C.{}(2,1)2−−D.{}[2,1)2−−2. 若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数z =A.1i +B.1i −C.1i −+D.1i −−3. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若122a a =，公差0d ≠，0m S =，则m 的值为A.4B.5C.6D.74. 已知向量,a b 满足||2=a ，(2,0)=b ，且||2+=a b ，则,<>=a bA.π6B.π3 C .2π3D.5π65. 若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.2214x y −=B.2212x y −= C.2212y x −= D.2214y x −= 6. 设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且m α⊂，l α⊥. 则“l β⊥”是“//m β”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知3, 0()lg(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限. 则 A.sin cos tan ααα−≤ B.sin cos tan ααα−≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>9. 函数()f x 是定义在(4,4)−上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =. 设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是A.[0,2]B.[3,0][3,4)−C.(5,0][2,4)−D.(4,0][2,3)−10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 . 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，11211122111,2A A A A OA ==.若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r *(,cm)r ∈N 单位:至少为A.6B.7C.8D.9第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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广东省深圳高级中学高三一模数学（理）2月一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个正确答案）。
1．设全集U 是实数集R ，}034|{},22|{2<+-=>-<=x x x N x x x M 或，则图中阴影部分所表示的集合是 A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x [来源:学|科|网]C ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2、定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： （i ）1*1=1，（ii ）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A ．nB ．n+1C ．n -1D ．n 2 3.复数1234,1z i z i =+=+，i 为虚数单位，若221z z z =⋅，则复数z =Ａ. i 5658+-Ｂ. i 5658-- Ｃ. i 5658+ Ｄ. i 5658- 4.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是.A [1,5] .B [2,6] .C [3,10] .D [3,11]5.对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是A ．3B ．6C ．9D ．21 6．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为A ．12 B ．23 C ．32D ．27.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A ．815B ．8114 C ．8122 D ．8125 8.， ()()上的可导函数为定义在已知为+∞∞-,x f ()()()0>'<x f x f x f 和且对于A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题分，每小题5分，共30分。
其中14，15小题为选做题，考生从给出的二道选做题中选择其中一道作答，若二题全答的只计算前一题得分）9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量满足[2'(1)]OA y f OB =+-OC x⋅2ln ，则函数的表达式为 。
10．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。
11．设函数()(0,1)1xxa f x a a a =>≠+，表示不超过实数m 的最大整数，则函数11[()][()]22f x f x -+--的值域是 ．恒成立，则有R x ∈()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅>⋅<()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅>⋅>()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅<⋅>()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅<⋅<,,OA OB OC ()y f x =:10 (0,0)l ax by a b ++=>>M 228210x y x y ++++=14a b+[]m12．设01a a >≠且，函数2lg(23)()x x f x a-+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>解集为 ．13．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的 数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据i a4041434344464748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其 中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是_______ .14、（几何证明选做题）如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．15、（参数方程与极坐标选做题）在直角坐标系中圆C的参数方程为（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，则圆的极坐标方程为___ __．三、解答题（本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值. （1）求.的值;（2）在ABC 中,分别是角A,B,C 的对边,已知,求角C..2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αO x C )0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x π=x ϕ∆c b a ,,,2,1==b a 23)(=A f 输出S结束输入i ←1是 开始S ←S +i ← i +1S ←0i ≥ 8 ?否S ← S / 817。
（本小题满分12分）连续做某种实验，结果或成功或失败，已知当第k 次成功，则第k+1次也成功地概率为21；当第k 次失败，则第k+1次成功的概率为43。
若首次试验成功和失败的概率都是21，求第n 次试验成功的概率。
18．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角.（1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥； （2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值；（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.19. （本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x =+.（Ⅰ）数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为S n ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围。
21．（本小题满分14分）设函数f(x) = x 2 + bln(x+1),（1）若对定义域的任意x ，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b 的值； （2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(n＜k f nk ++++∑=都成立数学（理科）答案2月一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上） 9、f(x)=2ln x10、 16 11、 ｛-1，0｝ 12、 (2,3) 13、7 14、 7 15、θρsin 4= 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16、(本小题满分12分) 解: （1）因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+-sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-sin cos cos sin x x ϕϕ=+sin()x ϕ=+π=x sin()1πϕ+=-sin 1ϕ=,所以.所以（2）因为,所以,因为角A 为ABC 的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是, 因为,所以或. 当时,;当时,. 17、(本小题满分12分)解。
=K A 令{第K 次试验成功}，且,3,2,1,)( ==k p A P K K 则()()()()()()()||,(({K-1K-1K K-1K K-1K K-1K-1K-1K-1K-1k k 1K k 1K k 1K k 1k P A P A P A A P A P A A 1313P A P A P A 1P A 242431P A k 24431p p 6441P A p A)415P p A 443313A P p 5545p -------⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭=-≥=----------------+=-+=--=--=--∴-，即分令，所以，）},K-1K K-1n-1K n 3311P 45510313111P P n N 1244510510*⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=--=--∈------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是等比列，，即分18．(本小题满分14分) 解法一：（1）ADBA BAD ⊥∴=∠,900ϕπ<<2πϕ=()sin()cos 2f x x x π=+=23)(=A f cos A =∆6A π=,2,1==b a sin sin a bA B=sin 1sin 22b A B a ===b a >4π=B 43π=B 4π=B 76412C ππππ=--=43π=B 36412C ππππ=--=.,,...,.,BAE PD A AE BA AE PD BA PD PAD PD PAD BA A AD PA PA BA ABCD PA 平面且又平面平面又底面⊥∴=⊥⊥∴⊂⊥∴=⊥⊥.,PD BE BE PD ⊥⊥∴即…………4分（2）过点E 作EM //CD 交PC 于M ，连结AM ，则AE 与ME 所成角即为AE 与CD 所成角.42334332.2,33334)332(.3342332.334,3322,30,90,.30.30,22a a aa PD PE CD ME a CD a a a PD PA PE a a aa PD AD PA AE a PD a PA a AD PDA PAD PAD Rt PDA ABCD PD ABCD PA =⋅=⋅=∴=====⋅=⋅=∴==∴==∠=∠∆∴=∠∴⊥ 中在角成与底面且底面.42cos ,.,..,,.,,90,,2,2,2.222==∠∆∴⊥⊂⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴=∠∴+=∴===∆AE ME MEA AME Rt AM ME PAC MA PAC ME PA ME CD PA ABCD PA AC ME AC CD ACD CD AC AD a CD a AC a AD ACD AC 中在平面平面底面又中在连结∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为42…………9分（3）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ，过B 作,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于,21//,AD CB A PG C CFB 的平面角为二面角--∠∴,22tan ,221,30.2,332,30,====∴=∠∴===∠==∴a aBFC a GB BF PGA a AG a PA PDA a AB GB∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的正切值为2. …………14分解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，,0)232(232210)(),232,2,0(),23,21,()332,0,0(),0,2,0(),0,,(),23,21,0(),0,0,(),0,0,0(=-⋅+⋅+⨯-=⋅∴-=-=∴a a a a PD BE a a PD a a a BE a P a D a a C a a E a B A 则 PD BE ⊥∴ …………4分（2）由（1）知，)0,,(),23,21,0(a a CD a a AE -==,420)()23()21(002321)(0||||cos 222222=++-⋅++⋅+⋅+-⨯=⋅=a a a a a a a a CD AE CD AE θθ则所成角为与设∴异面直线AE 与CD 所成角的余统值为42. …………9分（3）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥=则PAB BC PAB CB 是平面平面∴⊥.的法向量..2tan .555)3(110030110||||cos ,)3,1,1(,1.3,.0,0332.0,0),0,,(),332,,(.,),,,().0,,0(222222=∴=⋅=++⋅++⨯+⨯+⨯=⋅⋅==∴=⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=⋅=⋅∴-=-=⊥⊥==∴θθθa a a a m BC m BC m BC m y y z y x ay ax az ay ax CD m PC m a a CD a a a PC CD m PC m z y x m PCD a BC 则所成角为与设向量令得由而则的一个法向量为又设平面∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2. …………14分19、(本小题满分14分)解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2, 代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>kk k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1. 20、(本小题满分14分)解：（I ）()22f x x '=+，.........1分 122n n a a +∴=+ 122(2)n n a a +∴+=+ 11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 1322n n a -∴=⋅- (4)分（Ⅱ）由已知得0n b >， 211(1),n n b b ++=+……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以{lg(1)}n b +的公比为2的等比数列，∴12(1)1n n b t -=+-。