对数函数(第二课时)

对数函数（第二课时）

【学习目标】

1．巩固对数函数的概念、图象和性质．

2．掌握与对数函数有关的复合函数的性质，如奇偶性、单调性、值域等的求解方法．

【学习障碍】

1．应用图象和性质解题时忽略对底数的分类讨论．

2．研究复合函数的有关性质时忽略对定义域的考查．

【学习策略】

Ⅰ．学习导引

1．阅读课本P83~85页．

2．本课时的重点是应用对数函数的图象和性质去解决综合性问题，难点是有关复合函

数有关单调性、奇偶性的判断，求证．

3．本课时用到的主要知识及方法．

（1）利用图象法研究对数函数的有关性质．

对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1讨论．对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解．实际上，作出直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小．

如图2—14所示：

利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便．（2）利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间时，一定要先考查定义域．如y＝log2（x2－2x）先要考查x2－2x＞0，即x＜0或x＞2，然后再“同增异减”．

利用定义法判断复合函数的奇偶性时，也要先考查函数的定义域，若关于原点对称，

则应用定义，否则为非奇非偶函数．

关于复合函数的研究还常用换元法等方法．

［例］已知log a 2＞log b 2＞0，判断a 、b 的大小．

分析：用图象法．

解析：由两个函数值均大于0知a 、b 都大于1，作出两个底数大于1的对数函数y ＝log a x 、y ＝log b x 的图象，找出横坐标2对应的两个函数值．由log a 2＞log b 2确定两个图象对应的解

析式．由“底大头低”的规律知b ＞a ＞1．如2—15所示：

4．在学习中，应继续充分运用互为反函数的两个函数的图象和性质的对应关系，由已掌握的指数函数的图象和性质，帮助学习理解对数函数的图象和性质，结合本节的学习，

要进一步培养数形结合、分类讨论等数学思想方法的应用能力．

Ⅱ．知识拓宽

在前面我们已经学过原函数与反函数性质的一些对应关系，如：

①原函数的定义域、值域、对应法则，分别是其反函数的值域，定义域，逆对应法则．

②原函数的图象与其反函数的图象关于y ＝x 对称．

③原函数增，反函数增；例y ＝2x ，y ＝log 2x

原函数减，反函数减；例y ＝（21）x ，y ＝x

21log

原函数是奇函数，反函数是奇函数；例y ＝x 3是奇函数，y ＝3

1x 是奇函数．

原函数是偶函数，反函数不存在（f （x ）＝a ，x ∈{0}除外）

（以上所说，函数都在各自定义域上） 如1．y ＝1212-+x x 的反函数是y ＝log 211

-+x x （x >1或x ＜1）

y ＝1212-+x x 是奇函数，y ＝log 211-+x x 也为奇函数，证明f （x ）＝log 211

-+x x 为奇函数．

证明：f （x ）＝log 211-+x x ，f （－x ）＝log 211--+-x x ＝log 211

+-x x

＝log 2（11

-+x x ） －1＝－f （x ）

∴f （x ）＝log 211

-+x x 为奇函数．

如2．f （x ）＝lg （21x +＋x ）的反函数是y ＝21010x

x --．

f （x ）＝l

g （21x +＋x ）为奇函数，则y ＝21010x

x --也为奇函数

求证：f （x ）＝lg （21x +＋x ）为奇函数．

证明：f （－x ）＋f （x ）＝lg （21x +－x ）＋lg （21x +＋x ）＝lg （1＋x 2－x 2）＝0

∴f （－x ）＝－f （x ），

∴f （x ）＝lg （21x +＋x ）为奇函数．

Ⅲ．障碍分析

1．如何求指数函数、对数函数的反函数？

［例1］求下列函数的反函数：

（1）y ＝3222+-x x ，x ∈（1，＋∞）;

（2）y ＝log 2（x 2－2x ＋3），x ∈（－∞，1］．

解：（1）由y ＝3222+-x x >0，得x 2－2x ＋3＝log 2y ，

即（x －1）2＝log 2y －2．

∵x >1，∴x －1＝2log 2-y ，x ＝1＋2log 2-y ;

又当x >1时，y ＝3222

+-x x ＝2)1(22+-x ＋2>4， 故所求反函数为f －1（x ）＝1＋2log 2-x （x >4）．

（2）由y ＝log 2（x 2－2x ＋3），得x 2－2x ＋3＝2y ，即（x －1）2＝2y －2．

∵x ≤1，∴x －1＝－22-y ，x ＝1－22-y ．

又当x ≥1时，y ＝log 2（x 2－2x ＋3）＝log 2［（x －1）2＋2］≥1．故所求反函数为f

－1

（x ）＝1－22-x （x ≥1） 点评:①求反函数时要指出它的定义域，这可以通过研究原函数的值域来求．②主要按

三步走：一求，二换，三定．

2．如何求有关对数函数的定义域？

［例2］求下列函数的定义域：

（1）y ＝log （x ＋2）2322

--x x （2）y ＝

)(log 14

a x a +-