八年级数学轴对称解答题(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

2．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】 （1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2

x 可得°180-22

x x =

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE 时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE 时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C 为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

3．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．

（1）如图①，若35B C ∠=∠=︒，80BAD ∠=︒，求CDE ∠的度数；

（2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=︒，18CDE ∠=︒，求BAD ∠的度数；

（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．