用向量证明垂直PPT课件

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高中数学人教A版选修2-1课件：3.2.2 用向量方法解决垂直问题

∴ �� ·��1 = 0, �� ·�� = 0. ∴AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,∴AF⊥平面 A1ED.
3 1, , 0 2
.
题型一
题型二
题型三
证明面面垂直
【例 3】如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥ FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=
题型一
题型二
题型三
解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB=1, 依题意,得 D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),��
3 1 ∴ �� = (1,2,1), ��1 = -1,- ,4 , �� = -1, ,0 , 2 2
1 1 , 1, 2 2
, �� (1,1,0), ��(0,2,0), �� (0,1,1),
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
反思对于坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC, CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.求证:AF⊥平面 A1ED.

利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件

②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝多芬
你知道托尔斯泰哪些文学代表作？
它们在俄国历史上起过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄运？
2.他是怎样“扼住命运的咽喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)，对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。

用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。

正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。

若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2）则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。

在空间，知道向量=（x ，y ，z=222z y x ++2、空间向量数量积① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则角∠AOB 叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤π，若＜a ，b ＞=2π，称a 与b 垂直，记作a ⊥。

② 已知空间两个向量a 、bCOS ＜a ，b ＞叫向量a 、b 的数量积，记作b a ⋅COS＜，＞若⊥⇔a ⋅＝０③ 若已知空间向量a ＝（x 1，y 1，z 1）， b ＝（x 2，y 2，z 2）则a ∙b ＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=例１如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点，求证：B 1O ⊥平面PAC 。

空间向量证明线面垂直

空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。

假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。

我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。

首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。

假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。

现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。

我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。

因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。

其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。

由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。

展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。

由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。

这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。

因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。

这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。

用向量讨论垂直和平行(课堂PPT)

与平行获得处理这类问题的方法。
3 认识事物之间的规律性，进一步体会向量方法在立体几何中的具体作用。
5
导学案反馈
闪光点：1、按时交导学案； 2、对课本认真解读了，对知识达到了一定的理
解；态度方面：个别卷面不整洁；知识理解方面：
1、求点的轨迹是要注意建系设点（合作探究2） 2、当不确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上时，要注意讨论。（合作探究3）
另一个平面，则这两个平面平行。
14
例 2.在正方形 A B C D-A 1B 1C 1D 1 中 ,
求证 :平面 A 1B D//平面 C B 1D 1
证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x,y,z轴建立空间 A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
D
C
B
则A1(1,0,0),B1(1,1,0),
求证CD 平面BDM
A
A1
解 :
D
如图 ,以 C为原点建立空间直角坐标系 .
B( 2,0,0),B1( 2,1,0),A1(0,1,1),
C
C1
MY
B1
D( 2,1,1),M( 2,1,0),
B
2 22 2
X
uuur CD(
2, 2
1, 2
12),uAu1uBr (
uuuur 2,1,1)，DM(0,
C'
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB',求证：BC' AB'
证明：设底面边长 1, 为
设a AA',b AB,c AC C

空间向量与垂直关系课件

1.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系.
2.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为_______.
【解析】设n=(x,y,z),且n⊥a,n⊥b,则:
n n
a b
C(0,0,0), A( 2, 2,0), B(0, 2,0), D( 2,0,0), E(0,0,1), F( 2 , 2 ,1),
22 CF ( 2 , 2 ,1), BE (0, 2,1),
22 DE ( 2,0,1),
CF BE 0 11 0,CF DE 1 0 1 0,
DD1 (0,0, 2), AC ( 2, 2,0), DB (2, 2,0), DD1 AC 0 0 0 0, DB AC 4 4 0 0, DD1 AC, DB AC.
∴D1F⊥平面AEG.
方法三:以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立空间
直角坐标系，设正方体棱长为1，则
D1
0, 0,1 , F(1,
1 2
, 0),
A1,0,0,G( 1 ,1,0), E(1,1, 1 ).
2
2
D1F
(1,
1 2
,
1),
AG
(
1 2
,1,
0),
AE
(0,1,
0,
0,1
,
F(1,
1 2
,
0),
A
1,
0,
0
,
G
(
1 2
,1,
0),
E(1,1,
1 2
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一求空间平面的法向量【例 1】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0，由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN，又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.

关于用向量法证明垂直课件

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组

n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、用向量讨论垂直关系
设直l线、m的方向向量方向别向为量 a和b分 ,
平面、的法向量分u别 ,v 为
拓展：在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M，使得 D1M⊥平面 EFB1.
证明：分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
则 A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0， M(1,1，m)．∴A→C＝(－1,1,0)，
01
10 2
(1) 0
0
D1F
DE
01
1 1 (1) 1
2
2
0
则D1FD,AD1FDE
D A
x
E
C
F
y
B
则D1FD,AD1FDE ,又DADED
所以 D1F平面 ADE
例 4、在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、PB 的中点， PD＝AD.求证：平面 CEF⊥平面 PBC.
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)

用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件

的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?

2.点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点作为基点，
那么空间中任意一点就可以用向量来表示:我
们把向量称为点的位置向量.
向量称为点的位置向量.

三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点和一条直线，则过点且

垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =

二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =

向量法在空间垂直关系中的应用课件

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(3)由于点 M 在 AE 上，所以可设A→M＝λ·A→E＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M(2,2λ，λ)，A→1M＝(0,2λ，λ－2)．要使 A1M⊥平面 DAE，需 A1M⊥AE， ∴A→1M·A→E＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， ∴λ＝25．故当 AM＝25AE 时，A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
面面垂直
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、 G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[分析] 证法一：选取基向量A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c ―→
用a，b，c表示E→F，A→B1，B→1C0 ―→ 结论
证法二：建系 ―→ 求出A、C、E、F、B1各点坐标 ―→
求出E→F，A→B1，A→C的坐标 ―→
利用向量的坐标运算求得E→F·A→B1＝0，E→F·A→C＝0
―→
结论
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[证明] 证法一：设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则E→F＝E→B1＋ B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)
[方法规律总结] 证明直线l⊥平面α，(一)取直线的方向向量e和平面的法向量n，验证e∥n；(二)取直线的方向向量e和与平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0．可以选取基向量表示，方便建系时一般用坐标法证明．

3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件

研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明方法一如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为 2 ，则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG，而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点．证明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，

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B112，0，1，
∵M 为 BC 中点，
∴M14， 43，0.
∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1， ∴AB1⊥MN.
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
【证明】如图所示，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 1 个单位长度，则 A(1,0,0)，A1(1,0,1)， M0，0，12，O12，12，0，∴O→A1＝D→A1－D→O＝12，－12，1，A→M ＝D→M－D→A＝－1，0，12，
∴O→A1·A→M＝12×(－1)＋－12×0＋1×12＝0， ∴O→A1⊥A→M.
利用向量证明面面垂直如图 3－2－12 所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为 BB1 的中点，证明：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
图 3－2－12
【自主解答】由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直．以 B 为原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，建立如题图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝ 2， ∴OA＝OB＝OA1＝1， ∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由A→1B1＝A→B，易得 B1(－1,1,1)． ∵A→1C＝(－1,0，－1)，B→D＝(0，－2,0)，B→B1＝(－1,0,1)， ∴A→1C·B→D＝0，A→1C·B→B1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
利用向量证明线面垂直 (2013·陕西高考改编)如图 3－2－10，四棱柱 ABCD
－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
证明：A1C⊥平面 BB1D1D.
图 3－2－10
【自主解答】由题设易知 OA，OB，OA1 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
于是C→A＝(－1,1,0)，C→P＝(－1,0,1)，P→B1＝(1,1,1)， ∴C→A·P→B1＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， C→P·P→B1＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故C→P⊥P→B1，C→A⊥P→B1，即 PB1⊥CP，PB1⊥CA，又 CP∩CA＝C，且 CP⊂平面 PAC，CA⊂平面 PAC. 故直线 PB1⊥平面 PAC.
令 x1＝1，得 y1＝1. ∴n1＝(1,1,0)．设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．
则 nn22··AA→→CE＝1＝00，
－2x2＋2y2＋z2＝0， ⇒－2x2＋12z2＝0，
令 z2＝4，得 x2＝1，y2＝－1.
∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
-----平行与垂直
复习、用向量运算处理垂直关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
线面垂直面面垂直
l⊥m a⊥b ab 0；
l ⊥ a ∥u a ku； ⊥ u ⊥ v u v 0.
利用向量证明线线垂直
已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
如图 3－2－11，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2，点 P 为 DD1 的中点，求证：直线 P明】依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，
1．坐标法证明线面垂直有两种思路：方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．
A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，则 A→A1 ＝ (0,0,1) ， A→C ＝ ( － 2,2,0) ， A→C1 ＝ ( － 2,2,1) ， A→E ＝－2，0，12. 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)．则nn11··AA→→AC1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.
求证：AB1⊥MN. 【自主解答】法一设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
法二设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1.
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A －12，0，0 ， B 12，0，0 ， C 0， 23，0 ， N 0， 23，14 ，
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；
②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，O 为正方形 ABCD 的中心，用坐标法证明向量O→A1⊥A→M.