用向量证明垂直PPT课件

(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间 直角坐标系，正确地写出各点的坐标；
②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，O 为 正方形 ABCD 的中心，用坐标法证明向量O→A1⊥A→M.
利用向量证明面面垂直 如图 3－2－12 所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为 BB1 的中点，证明：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
图 3－2－12
【自主解答】 由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直．以 B 为 原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，建立如题图所示的空间 直角坐标系．
利用向量证明线面垂直 (2013·陕西高考改编)如图 3－2－10，四棱柱 ABCD
－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
证明：A1C⊥平面 BB1D1D.
图 3－2－10
【自主解答】 由题设易知 OA，OB，OA1 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
如图 3－2－11，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2，点 P 为 DD1 的中点，求证：直线 PB1⊥平面 PAC.
图 3－2－11
【证明】 依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空 间直角坐标系 Dxyz，则 C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，
∵AB＝AA1＝ 2， ∴OA＝OB＝OA1＝1， ∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由A→1B1＝A→B， 易得 B1(－1,1,1)． ∵A→1C＝(－1,0，－1)，B→D＝(0，－2,0)，B→B1＝(－1,0,1)， ∴A→1C·B→D＝0，A→1C·B→B1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
于是C→A＝(－1,1,0)，C→P＝(－1,0,1)，P→B1＝(1,1,1)， ∴C→A·P→B1＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， C→P·P→B1＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0， 故C→P⊥P→B1，C→A⊥P→B1，即 PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又 CP∩CA＝C，且 CP⊂平面 PAC，CA⊂平面 PAC. 故直线 PB1⊥平面 PAC.
1．坐标法证明线面垂直有两种思路： 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向 量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用 方法二，否则常常选用方法一解决．
【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 1 个单位长度，则 A(1,0,0)，A1(1,0,1)， M0，0，12，O12，12，0，∴O→A1＝D→A1－D→O＝12，－12，1，A→M ＝D→M－D→A＝－1，0，12，
∴O→A1·A→M＝12×(－1)＋－12×0＋1×12＝0， ∴O→A1⊥A→M.
令 x1＝1，得 y1＝1. ∴n1＝(1,1,0)． 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．
则 nn22··AA→→CE＝1＝00，
－2x2＋2y2＋z2＝0， ⇒－2x2＋12z2＝0，
令 z2＝4，得 x2＝1，y2＝－1.
Байду номын сангаас
∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
求证：AB1⊥MN. 【自主解答】 法一 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
法二 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1.
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已 知得 A －12，0，0 ， B 12，0，0 ， C 0， 23，0 ， N 0， 23，14 ，
-----平行与垂直
复习、用向量运算处理垂直关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
线面垂直 面面垂直
l⊥m a⊥b ab 0；
l ⊥ a ∥u a ku； ⊥ u ⊥ v u v 0.
利用向量证明线线垂直
已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是 底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
B112，0，1，
∵M 为 BC 中点，
∴M14， 43，0.
∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1， ∴AB1⊥MN.
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的 模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量 积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12， 则 A→A1 ＝ (0,0,1) ， A→C ＝ ( － 2,2,0) ， A→C1 ＝ ( － 2,2,1) ， A→E ＝ －2，0，12. 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)． 则nn11··AA→→AC1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.