【高考数学经典题型】递推数列奇偶性分析(每日一题)

因为 a2 为定值，所以当 n = 6.5 即 n = 6 或 7 时， S2n−1 最大，即 S11 = S13 最大．
又 0 < a6 < 1 ，此时 a2 = a6 − 2d2 = a6 + 6 ∈ (6, 7)
因为 a1 + a2 = 9 ，所以 a1= 9 − a2 ，那么 a1 ∈ (2,3)
+
an )
=
9
+
7
+
5+⋅⋅⋅+
(11 −
n)
=
−
1 n2 4
+ 5n
当 n = 10 时， Sn 最大值为 25 ．
由 an+1 + an = 11 − n + (−1)n 得： an+2 + an+1 = 11 − (n + 1) + (−1)n+1
1/4
两式相减得 an+2 − an =−2(−1)n − 1 =−3
递推数列奇偶性分析
已知数列 {an} 满足 an+1 + an = 11− n + (−1)n ，且 0 < a6 < 1 .记数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，则当 Sn
取得最大值时 n 为 ( ).
A．11
B．12
C．11 或 13
D．12 或 13
答案：C
解法一：奇偶分类法 1
由 an+1 + an = 11 − n + (−1)n 得： an+2 + an+1 = 11 − (n + 1) + (−1)n+1
解法三：奇偶分类法 3 由 an+1 + an = 11 − n + (−1)n 得： an+2 + an+1 = 11 − (n + 1) + (−1)n+1 两式相减得 an+2 − an =−2(−1)n − 1 ①当 n 为偶数,即 n = 2k 时， a2k+2 − a2k = −3 ,所以= a2k a2k+2 + 3 所以 a2k = a6 + (k − 3)(−3) = a6 + 9 − 3k 此时 S2k =−k 2 + 10k ，当 k = 5 即 n = 10 时， S10 最大，为偶数项中最大项． ② 当 n 为 奇 数 , 即 =n 2k − 1 时 ， a2k+1 − a2k−1 = 1 , 所 以 a= 2k−1 a2k+1 − 1 , 所 以 a2k−1 = a7 + (k − 4) ⋅1= a7 + k − 4 S2k−1 =S2k − a2k =(−k 2 + 10k) − (a6 + 9 − 3k) =−k 2 + 13k − a6 − 9 所以当 k = 6.5 即 n = 11或13 时， S11 = S13 最大．
=na1
+
n(n −1) 2
d1
+
na2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+
n(n −1) 2
d2
=n(a1
+
a2 )
+
n(n −1) 2
(d1
+
d2 )
=−n2
+ 10n
所以当 n = 5 时， S10 最大，为偶数项中最大项．
[ ] 由 S2n − S2n−1 = a2n 得 S2n−1 =S2n − a2n =−n2 + 2n − a2 + (n − 1)d2 =−n2 + 13n − a2 − 3
因为 a1 + a2 = 9 ，易得 a9 + a10 = 1, a11 + a12 = −1, a13 + a14 = −3, 所以 S11= S10 + a11 + a12 − a12= S10 − 1 − a12 ，
2/4
S13 = S10 + a11 + a12 + a13 + a14 − a14 = S10 − 4 − a14 = S10 − 4 − (a12 − 3)= S10 − 1 − a12
又 0 < a6 < 1 ，所以 S=11 S13 > S10 ．故选 C．
解法四：奇偶合并法 由 an+1 + an = 11 − n + (−1)n 得： an+2 + an+1 = 11 − (n + 1) + (−1)n+1 两式相减得 an+2 − an =−2(−1)n − 1
当 n 为奇数时，数列{an} 中的奇数项 d1 = 1 ，奇数项是公差为1的等差数列 当 n 为偶数时，数列{an} 中的偶数项 d2 = −3 ，偶数项是公差为 −3 的等差数列 所以 {a2n−1 + a2n} 是公差为 −2 的等差数列
= − 14
(n
+ 1)2
+
5(n
+ 1)
−
−
3 2
(n
+ 1)
+
9
+
a6
= − 1 n2 4
+
6n
−
11 4
−
a6
当 n = − 2(−61 ) = 12 时， S11 或 S13 取得最大值 4
又 0 < a6 < 1 ，所以 S11 = S13 = 33 − a6 > S10 = 25 ．故选 C．
所以 a8 − a6 =−2(−1)6 − 1 =−3 ， a10 − a8 =−2(−1)8 − 1 =−3 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， an − an−2 =−2(−1)n−2 − 1 =−3
累加得
an
−
a6
=−3( n 2
−
3)
，所以
an
=−
3 2
n
+
9
+
a6
②当
n
为奇数时，
Sn
= Sn+1
−
an+1
两式相减得 an+2 − an =−2(−1)n − 1
当 n 为奇数时，数列 {an} 中的奇数项成等差数列，公差 d1 = 1
当 n 为偶数时，数列 {an} 中的偶数项成等差数列，公差 d2 = −3
又当 n = 1 时， a1 + a2 = 9
S2n= a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2n= (a1 + a3 + a5 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2n−1) + (a2 + a4 + a6 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2n )
又 0 < a6 < 1 ，所以 S=11 S13 > S10 ．故选 C．
解法五：特征分析法 因为 an+1 + an = 11 − n + (−1)n 当 n 为奇数时， Sn+1 − Sn−1 = 10 − n > 0 即 n ≤ 9 所以 S2 < S4 < S6 < S8 < S10 > S12 > S14 > ⋅ ⋅ ⋅ 当 n 为偶数时， Sn+1 − Sn−1 = 12 − n ≥ 0 即 n ≤ 12 所以 S1 < S3 < S5 < S7 < S9 < S=11 S13 > S15 > ⋅ ⋅ ⋅ 通过比较只需比较 S11 与 S10 的大小即可
当 n 为奇数时，数列{an} 中的奇数项 d1 = 1 ， {an} 为递增数列
所以 a11 > 0, S11 > S10 ，所以 S11 = S13 最大．故选 C．
解法二：奇偶分类法 2
①当 n 为偶数时，
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+⋅⋅⋅+
an
=
(a1
+
a2 )
+
(a3
+
a4 )
+⋅⋅⋅+
(an−1