第五章 假设检验

第五章 假设检验

第一节 假设检验中的基本概念和基本原理

一、统计假设的概念

统计假设，指的是和抽样手段联系在一起,并且依靠抽样数据来进行验证的假设。 统计假设的内容都是数量化了的，而且验证的依据都是凭借抽样调查所取得的资料，在抽取样本资料时，必须保证抽样的随机性。

假设⎩

⎨⎧H H 10备择假设原假设

原假设，又称为零假设。它一般是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的、具有稳定性的、受保护的经验和看法。因此，若没有充分根据, H 0是不会被轻易否定的。

备择假设，又称为研究假设。经过抽样调查,若有充分根据否定原假设H 0,自然就得接受其逻辑对立面。原假设H 0的逻辑对立面即为备择假设。

以总体均值μ的假设检验为例，根据问题的不同，假设检验可能有三种： 1、双边检验 H 0：μμ0

=

H

1

：μ

μ0

≠

2、右侧单边检验 H 0：μμ0

=

H

1

：μ＞

μ

3、左侧单边检验 H 0：μ

μ0

=

H

1

：μ＜

μ

二、假设检验的基本原理——小概率原理

小概率原理可归纳为两个方面：一是可以认为小概率事件在一次观察中是不可能出现的；二是如果在一次观察中出现了小概率事件，那么，合理的想法是否定原来认为该事件具有小概率的看法。

假设检验的基本思想:经过随机抽样获得一个来自总体的样本,然后根据样本计算某个(或

某几个)统计量的数值。若在原假设H 0成立的条件下，该统计量数值的出现几乎是不可能的,就拒绝或否定原假设H 0,并接受它的逻辑对立面——备择假设H 1。反之,如果在原假设H 0成立的条件下,该统计量数值出现的可能性不是很小的话，就没有理由拒绝原假设H 0。

三、假设检验中的统计量

1、在原假设H 0成立的情况下，统计量中不应包含有未知参数，其数值应该是确定的。

2、所选用的统计量的分布应该是已知的，是有表可查的。

例如，对于正态总体均值μ的检验H 0：μ

μ0

=

，应选择的统计量为： =Z n

X σ

μ

-（σ2

已知） t =

n

S X μ-（σ2

未知）

四、显著性水平α

显著性水平α是假设检验中所规定的小概率的数量界限。也就是在原假设H 0成立的条件下，判断统计量数值的出现是否是小概率事件的标准。常用的标准有：05.0,1.0==αα或

01.0=α。

五、临界值、接受域和拒绝域

选定一个检验统计量后，在原假设H 0成立的条件下，就可画出统计量的分布。再根据给定的显著性水平α，就可确定临界值、接受域和拒绝域。

比如，对于正态总体均值μ的双边检验H 0：μ

μ0

=，在总体方差σ2

已知的情况下，我

们选择=

Z n

X σ

μ

-为统计量；根据原假设H 0：μ

μ0

=

，就可以画出如图5-1-1所示的Z 统计

量的分布。

图5-1-1 Z 统计量的分布

由于双边检验把拒绝原假设H 0的小概率事件定在了统计量分布的两侧，因此，两侧尾部面积总和所代表的概率即为显著性水平α。又由于Z 统计量的分布是对称的，所以每侧的概率都是2α。查标准正态分布表可得：

2

)(2α

α=

>Z Z P ，2

)(2α

α=

-

即 )(22Z Z Z P αα<<-= α-1

根据假设检验的小概率原理,如果统计量的值Z Z Z Z c c 22αα-<>或，就应拒绝原假设

H

；反之，若统计量的值Z Z Z c 2αα<<-，就应接受原假设H 0。

因此，该双边检验以Z Z 22αα和-为临界值，两者之间的区域为接受域，两边为拒绝域。 六、双边检验和单边检验 (一)双边检验

双边检验的假设形式为：H 0：μ

μ0

=

←→H 1：μ

μ0

≠

双边检验的拒绝域被定在了统计量分布的两侧。若给定的显著性水平为α,则每侧拒绝域的概率应各为2α。假定所选统计量为Z 统计量，则临界值Z 2α和显著性水平α有如下的关系式：

)(22Z Z Z P αα<<-=α-1

也就是说，该双边检验的拒绝域为：Z Z Z Z 22αα-<>或,如图5-1-3所示。

图5-1-3 双边检验的接受域、拒绝域

(二)单边检验 l.右侧单边检验

右侧单边检验的假设形式为：H 0：μ

μ0

=

←→H 1：μ

μ0

>

右侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的右侧。若给定的显著性水平为α,则统计量分布右尾的概率应为α。假定所选统计量为Z 统计量，则临界值Z α和显著性水平α有如下的关系式：

αα=>)(Z Z P

也就是说，该右侧单边检验的拒绝域为：Z Z α>，如图5-1-4所示。

图5-1-4 右侧单边检验的接受域、拒绝域

2.左侧单边检验

左侧单边检验的假设形式为：H 0：μ

μ0

=

←→H 1：μ

μ0

<

左侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的左侧。若给定的显著性水平为α,则统计量分布左尾的概率应为α。假定所选统计量为Z 统计量，则临界值-Z α和显著性水平α有如下的关系式：

αα=-<)(Z Z P

也就是说，该左侧单边检验的拒绝域为：Z Z α-<，如图5-1-5所示。