二、单自由度系统阻尼自由振动

▪由
n
k m
，和
c m
c cc
cc m
2mn
m
2n
▪ 原来的微分方程可以改写成：
&x& 2n x& n2x 0
▪ 特征根：s1,2 2 1 n
大阻尼情况的讨论
▪ 当 1，方程的特征根 s1,2 2 1 n ， 均为实数，方程的通解为：
x e Ae A e nt
是相邻两次的振幅，对应的时间分别为：t1 和 t2 ，则：t2 t1T d
▪ 可得：
x1 x2
Aent1 Aen t1Td
enTd
1
▪ 在一个周期后，幅值缩减到原来的 enTd
衰减数据
▪ 在 0.05的情况下，在一个周期振幅减小27%，
经过10个周期，振幅减小到原来的4.3%。可见， 只要有微弱的阻尼，就可以使振动迅速衰减。
小阻尼系统的运动特点
▪ 当 1 ，特征方程的根
s1,2 n j 1 2 n
▪ 令： d 1 2 n
解的三角形式
▪ 方程可以写成：
x ent C1 cosdt C2 sindt Aent cos(dt )
， ，
▪ 由初始条件，
C1 x0
C2
x&0 n x0 d
2
A
x02
coefficient）记为，cc
cc 2 km 2mn
阻尼比
▪ 令 c c c ，称为阻尼比或者相 cc 2 km 2mn
对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要
振动参数。
▪ 表征一个振动系统阻尼的大小：
▪ 1 表示大阻尼，
▪ 1 表示临界阻尼，
▪ 1 表示小阻尼。
微分方程和解的表达方式
5
10
15
20
时间
阻尼振动的特点
▪ 由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t 趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋 于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由 振动的主要区别之一。
阻尼振动的数字特征
▪ 习惯上，将函数 cos(dt ) 的周期称为衰
减振动的周期，故衰减振动的周期和频率 分别为：
车辆中广泛存在的阻尼
▪ 在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬 架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑，液体（浸没在液体中振动物 体），摩擦表面（离合器），金属橡胶等。
液压减振器工作原理
活塞缸
活塞运动方向
液流方向 阻尼孔
活塞
流体具有黏滞性而产生能耗及阻尼作用，称黏性阻尼；制有小 孔的阻尼器，当流体通过小孔时，形成涡流并损耗能量，所以 小孔阻尼器的能耗损失实际上包括黏滞损耗和涡流损耗。
Td
2 d
T
1 2
2 1 2 n
fd
d 2
1 2 f
1 2 n 2
阻尼对频率和周期的影响
▪ 可见，阻尼的存在，使系统的振动频率降
低，振动周期延长。但有的时候，阻尼的
存在对于周期和频率的影响，可以略去不
计。
1 1 1 x2 o(x2)
1 x2
2
1 x2 1 1 x2 o(x2) 2
f (x) ~
n0
f
(n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n
忽略阻尼影响的条件
▪ 根据上述展开，大家可以口算当 0.05和 0.3 时，系统的周期和频率变化幅度。
▪ 所以，当时 0.3 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响
阻尼对振幅的影响
▪ 阻尼对与振幅的影响非常大。设 x1 和 x2分别
单自由度系统阻尼自由振动
引言
▪ 惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。
引言
▪ 对于实际的振动系统，由于不可避免的存 在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最 后振动完全停止。
有： U 2
U1
证明
▪ 设第一个位移最大值 x1 ，相邻的位移最大 值 x2 ，则相应的机械能为：
U1
1 2
kx12
U2
1 2
kx22
2
U U1
U1 U2 U1
1
x2 x1
证明
2
▪ 由 ln x1
x2
，从而
x2 x1
e2
▪ 对 e2 进行Taylor展开
e2 1 2 4 2 8 3 L
轮胎的阻尼
轮
胎
恢
复
压缩
力
复原
O
轮胎变形量
耗能量由分析恢复力——轮胎变形所包围的面积得到
单自由度粘性阻尼的自由振动
▪ 以物体的平衡位 置为原点，水平 方向为x轴正向， 建立如图所示的 坐标系。
O k
c
x m x
kx
m c·x
微分方程的建立
▪ 根据受力分析，和初始条件，可以得到下 面的微分方程。
m&x& cx& kx 0 x(0) x0, x&(0) x&0
c 2m
2
k
微分方程的通解
▪ 微分方程的通解为： x Bes1t Des2t
▪ B, D 为任意常数，由运动的初始条件决定。 而解的形式，决定于 s。1, 随s2 着阻尼系数
的不同，特征方程可以有两个不等的负实 根，相等的负实根和一对共轭复根。
临界阻尼系数
▪ 使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值，称为临界阻尼系数（critical damping
·x0
t
t
临界阻尼情况的讨论
▪ 当 1 ，特征方程的根 s1,2 n
▪ 由微分方程的理论，方程的解为：
x A1ent A2tent
▪ 代入初始条件可得：
A1 x0, A2 x&0 n x0
临界阻尼系统的运动特点
▪ 可见，临界阻尼下的系统的运动也不是振 动，但在相同的条件下，临界阻尼的系统 的自由运动最先停止，因此，仪表都将系 统的阻尼设置为临界阻尼。
2! 3!
▪ 当阻尼很小的时候， = 1 ， 2 = 1
U 2 4 2 8 3 L 2
U1
2! 3!
x&0
n d
x0
tan1 x&0 n x0 d x0
小阻尼的运动曲线
▪ 如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
值 Aent
称为振幅。 -3 -4
-5 0
小阻尼振动曲线
2 1nt
1
2 1nt
2
▪ A1, A2 与初始条件 x0 , x&0 有关，
A1,2
1 2
x0
x&0
n x0 2 1 n
大阻尼系统的运动特点
▪ 可以证明，x e Ae A e nt
2 1nt 1
2 1nt 2
越过平衡位置的次数至多有一次。
x
·x0
x
·x0
x
x0
x0
t
x0
▪ 从上式可以看出，如果两个振动系统的固有频率相 同，则阻尼比较大的系统自由振动衰减得较快，这 也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。如 果两个振动系统的阻尼比相同，则固有频率比较大 的系统自由振动衰减得较快，这也就是常说的； “高频成分衰减快”在单自由度系统时的情况。
对数缩减率
▪ 前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为：
ln
x1 x2
nTd
▪ 由于： Td
T
1 2
可得：
2 1 2
▪ 当在小 = 1 的时候，有 2
对数缩减率的作用
▪ 由 2 ，可以求出
1 2
4 2 2
▪ 当在
=
1
的时候， 2 ，
2
▪
为了便于测量， 通常由
1 n
n
1 ln xt n xtn
获得
例子
▪ 试证明：在衰减振动中，在相邻两个位移 最大值消耗的机械能U，与开始时的机械 能 U1 之比为常量，在阻尼很小的时候，
方程求解
▪ 由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：
x est
▪ 将解的形式带入微分方程：
s2
c m
s
k m
e
st
0
特征方程及其解
▪ 由于est 0 ，因此，要想方程成立；
▪ 必须： s2 c s k 0 称为微分方程 的特 征方程 m m
▪ 可以解出它的两个根：
s1,2
c 2m
阻尼定义
▪ 阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。
线性阻尼
▪ 又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比，方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。
▪ 为了研究方便，通常将阻尼进行线性化， 线性化的方法是等效原则。即在运动过程 中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。