高中数学 不等式恒成立问题 教案
不等式恒成立问题教案
教师： 学生： 时间: 2018年 2月 日 时段：高中 一、授课目的与考点分析：授课目的：在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
本人根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。
法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
二、授课内容 不等式恒成立问题1) 一、常见类型 1. 1.恒成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2 2. 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.3 3. 恰成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x A >的解集为D ； 若不等式()f x B <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x B <的解集为D .二、 四种常见的方法法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .1.设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为___．2.已知f (x )＝2x x 2＋6.若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 3.当x>1时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]4.若对任意恒成立，则的取值范围是_____5.若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 6.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．7．已知x >0，y >0，2x +y =1，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是8.不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为.9.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是________.10. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．0x >1a ≤+a ,x y ln ln 0x y +=22(2)4k x y x y +≤+k。
高中二年级下学期数学《导数在不等式恒成立问题中的应用》教学设计
（二）数学思想方法
转化化归、分类讨论、数形结合
四、作业布置
1.已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
2.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
3.已知函数 ，若函数在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《导数在不等式恒成立问题中的应用》
教科书
书 名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社
教学目标
1.掌握不等式恒成立问题的转化方法。
2.利用导数研究函数的最值问题、曲线的切线问题。
3.培养学生的转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想。
综上所述：实数 的取值范围 .
方法总结：
函数最值法：将不等式恒成立问题转化为某含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，然后构建不等式，进而求出参数的取值范围.
一般地， 恒成立 ；
恒成立 .
探究二
例 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围？
思考：能否将参数 与变量 分离开呢？
分析： ，记 ，问题转化 .
对任意 恒成立
函数 的图象在 图象的下方或在 图象上
解法三： ，记 ， ， ，问题转化为 对任意 恒成立，即函数 的图象在 图象的下方或在 图象上.
在 单调递增； 表示恒过定点 的一条直线。
是该直线的斜率.只需过点 求出函数 的切线斜率.
设切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 ，将点 代入得： ，解得 .则切线斜率 ，所以实数 的取值范围 .
高中数学恒成立问题教案
高中数学恒成立问题教案
一、教学目标：
1. 理解恒成立问题的概念，并能够应用相关方法解决问题。
2. 掌握常见的恒成立问题解题技巧。
3. 提高分析问题和推理能力。
二、教学内容：
1. 恒成立问题的定义和性质。
2. 常见的恒成立问题的解法。
3. 实际问题中的恒成立问题应用。
三、教学重点：
1. 恒成立问题的理解和应用。
2. 常见恒成立问题的解法。
四、教学难点：
1. 理解恒成立问题的本质。
2. 能够灵活应用解题方法。
五、教学过程：
1. 概念引入（5分钟）：
教师简要介绍恒成立问题的概念和意义，引发学生的兴趣。
2. 例题讲解（15分钟）：
解释一个常见的恒成立问题，并指导学生解题思路和方法。
3. 学生练习（20分钟）：
让学生在教师的指导下，自行解决一些恒成立问题，并在课堂上相互讨论、交流解题思路。
4. 拓展练习（15分钟）：
提供一些更具挑战性的恒成立问题，让学生在课后自行解决。
5. 总结（5分钟）：
回顾本节课学习的内容，强调恒成立问题在数学分析中的重要性。
六、作业：
完成拓展练习题，并写一篇关于恒成立问题的小结。
七、教学反思：
本教案注重引导学生理解恒成立问题的本质，并通过实例讲解和练习巩固学习成果。
同时，引导学生在解题过程中思考，提高解决实际问题的能力。
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。
4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法那么几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法那么：法那么1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法那么2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法那么3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'2.求直线斜率的方法〔高中范围内三种〕(1) tan k α=〔α为倾斜角〕； (2) 1212()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；3.求切线的方程的步骤：〔三步走〕〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；〔3〕点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；4.用导数求函数的单调性：〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕()0f x '>，求单调递增区间；〔3〕()0f x '<，求单调递减区间；〔4〕()0f x '=，是极值点。
高二数学最新教案-恒成立不等式的参数求解类型及方法 精品
恒成立不等式的参数求解类型及方法对于恒成立不等式的参数问题，涉及知识面广，要求有较高的解题技巧.本文通过举例给同学们介绍恒成立不等式中参数问题的常见类型及解法.一、对于一次函数f (x )=kx +b ,若f (m )＞0,f (n )＞0,则当x ∈[m ,n ]时，恒有f (x )＞0.例1 已知P =(log 2x －1)(log a b )2+log 2x －6log 2x ·log a b +1(a ＞0,a ≠1)当x ∈[1,2]内任意取值时，P 的值恒为正，求b 的取值范围.解：P 可变形为P =[(log a b )2－6log a b ＋1]log 2x －(log a b )2＋1设t =log 2x ，则t ∈[0,1]P =f (t )=[(log a b )2－6log a b ＋1]t －(log a b )2＋1.于是，该问题就转化成当t ∈[0,1]时，f (t )＞0恒成立，求b 的取值范围.因为f (t )是一次函数，所以f (t )在[0，1]上恒为正，则有31log 102log 6)1(01)(log )0(2 b b f b f a a a -⇒⎩⎨⎧+-=+-= 故当a ＞1时，a 1＜b ＜3a ;当0＜a ＜1时，3a ＜b ＜a1. 二、不等式ax 2+bx +c ＞0对任意实数x 恒成立的充要条件是⎩⎨⎧⎩⎨⎧==0000 Δa c b a 或 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立的充要条件是⎩⎨⎧⎩⎨⎧==0000 Δa c b a 或 例2 不等式（a 2－1）x 2－(a －1)x －1＜0对x ∈R 恒成立，求a 的变化范围.解：（1）当a =1时，－1＜0，不等式恒成立；当a =－1时，不等式对x ∈R 不恒成立.（2）当a 2≠1时，有153153110)1(4)1(01222 a a a a a Δa -⇒⎪⎩⎪⎨⎧--⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-=- 综合（1）、（2）得153≤-a 三、若函数f (x )具有最大值，则f (x )≤a 恒成立的充要条件是max )(x f ≤a ;若函数f (x )具有最小值，则f (x )≥a 恒成立的充要条件是min)(x f ≥a .例3 设函数f (x )=ax 2－2x +2对于满足1＜x ＜4的一切x 都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围. 解：原题化为⎪⎩⎪⎨⎧-⇔⎩⎨⎧+-22)1(24102241x x a x x ax x记max 2])1(2[x x M -= 令21)211(2)1(2)(22+--=-=x xx x t ∵1141 x∴当21,2,11===M x x x 时即 ∴a ＞.21 四、有一类对任意实数恒成立的不等式，具有明显的规律不变性，即规律不因数值的改变而变化，利用特殊情形表现这种不变性，可以解决一般性问题.例4 设a 、b ∈R ,不等式a cos x +b cos3x ≤1对任意实数x 恒成立，求b 的变化范围.解：由于x 的任意性，令a cos x +b cos3x ≤1中x =0得a +b ≤1 ①又令x =π得a +b ≥－1∴－1≤a +b ≤1 ② 又当12,12,3-≥+-≤-=b a b a x 即有时π 当121,12,32≤+-≤-≤+-=b a b a x 从而有有时π ∴－2≤－a ＋2b ≤2 ③②＋③得－3≤3b ≤3∴－1≤b ≤1五、根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.例5 不等式ax ≤)4(x x -在x ∈[0,3]内恒成立，求a 的变化范围.解：画出两个函数y =ax 与y =)4(x x -的图象.（如图）将x =3代入ax =)4(x x -,得a =33 ∴a ∈[33,＋∞].。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
高中数学_不等式专题复习之不等式恒成立和存在性问题教学设计学情分析教材分析课后反思
不等式专题复习不等式恒成立和存在性问题教学设计一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1.课程标准要求（1）经历从实际情境中中抽象出一元二次不等式模型的过程；（2）通过函数图形了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题2.课程标准解读（1）不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；（2）不等式的性质常与简易逻辑结合考查；（3）不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；（4）线性规划问题难度不大；（5）基本不等式求最值是重点，要加强训练；（6）不等式的恒成立也应当重视。
（二）教材分析本章的主要内容是：不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法；其中不等式的证明和不等式的解法是重点；不等式的性质及其证明中，不等式的证明是难点，掌握不等式的性质是学好本章的关键。
本节课的重点是不等式恒成立问题的探究，难点是用求函数（表达式）最值（取值范围）解决恒成立问题（三）学情分析1．认知分析：学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质有了初步的了解，在高中也学习了基本不等式，这为我们学习恒成立转化为函数（或二元变量）求最值打下了基础。
2．能力分析：高中学段的学生数学思维较初中来说更为严密，抽象思维能力也有了进一步的提升。
3．情感分析：学生对高考重点内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
因此对于这个阶段的学生来说，对恒成立的学习有一定的基础和必要。
二、教学目标目标1：通过独立思考完成典型例题，梳理构建解题方法、解题步骤和注意问题，培养直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象的核心素养目标2：通过小组合作探究完成变式练习，掌握不同的数学问题与不等式恒成立和存在性问题之间的等价转化，培养逻辑推理的核心素养目标3：通过独立思考完成目标检测，合理选择解决问题的方法，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.三、评价设计目标1评价：学生通过独立思考，都能用基本三种方法中的一种解决简单的恒成立问题过程；目标2评价：通过小组讨论后的抢答展示，都能注意处理恒成立问题的细节目标3评价：学生通过独立思考，完成目标检测，60%的学生能正确解答，40%的学生通过学生讲解能意识到自己的错误并改正；四、教学过程一、“做”中“理”——问题导入，梳理知识师：通过前面的学习，发现同学们对不等式恒成立问题还存在思路不清晰，方法选择不恰当的情况。
教案 不等式恒成立
教案不等式恒成立教案标题：不等式恒成立教学目标：1. 了解和理解不等式的概念和性质；2. 掌握解不等式的方法和技巧；3. 能够判断和证明不等式是否恒成立；4. 能够应用不等式恒成立的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教师备课笔记、教学课件、教学素材、练习题；2. 学生准备：课本、笔记本、笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 教师通过提问和讨论引导学生回顾不等式的概念和性质，例如“什么是不等式？不等式有哪些符号表示？不等式有哪些基本性质？”等。
知识讲解与示范：2. 教师结合教学课件，详细讲解不等式恒成立的概念和判断方法。
a. 解释什么是不等式恒成立，即对于给定的不等式，无论取任何满足条件的变量值，不等式都成立；b. 介绍判断不等式恒成立的基本方法，如代入法、变形法等；c. 通过具体的例子演示如何判断不等式是否恒成立。
练习与巩固：3. 学生进行个人或小组练习，解决一些简单的不等式恒成立的题目，巩固刚才所学的知识。
4. 教师在课堂上解答学生的问题，引导学生发现解题的关键点和方法。
拓展与应用：5. 学生通过课堂讨论或小组合作的方式，解决一些复杂的不等式恒成立的问题，培养学生的分析和推理能力。
6. 学生将所学的不等式恒成立的知识应用到实际问题中，例如通过不等式恒成立解决最优化问题、约束条件问题等。
总结与评价：7. 教师对本节课所学的内容进行总结，强调不等式恒成立的重要性和应用领域。
8. 学生进行自我评价，回顾自己在本节课中的学习情况和收获。
作业布置：9. 布置一些相关的课后作业，以巩固学生对不等式恒成立的理解和应用能力。
教学反思：教师根据本节课的教学情况和学生的反应，进行教学反思和调整，为下一节课的教学做好准备。
不等式恒成立问题教案
不等式恒成立问题教案教学目标：1．掌握解决不等式恒成立问题的基本方法：最值分析法、变量分离法、图像法等；能根据题目的构成特征，合理选择解题最优策略；2．在解决不等式恒成立问题的过程中，体验数形结合，函数与方程，分类讨论的数学思想方法；3．养成眼睛的思维习惯，提高分析解决问题的能力.教学重点: 处理不等式恒成立问题的基本方法．教学难点：不等式恒成立问题解法的合理选择．教学内容：一、复习二次不等式的恒成立问题二、例题分析例题1. 对于一切实数x，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式1：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式2：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．例题2. 若关于的不等式对任意在恒成立，则实常数的取值范围是.答案：巩固练习1：1. 在上定义运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 _________________2．若函数在上有意义，则实数a的取值范围是______3. 已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。
例题3.：如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是_______巩固练习2：2. 当x(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．3. 设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：三、知识回顾，方法总结；1．最值分析法2．分离变量法3．图像法四、结束语：数学常见恒成立,最值分析来考虑;变量分离和图像,往往也来共参与.五、教学反思1. 第三轮复习的内容可以参照二模的一些新题型，提高学生的学习兴趣2. 复习的内容偏重于基础，可以在思维上再加深一些难度。
3. 课上学生的含参问题的计算能力不强，需要在以后的教学过程中加以改进教学说明：不等式的恒成立问题是高考中常见的一类问题，解题方法比较多，需要让学生在复习过程中加以提炼。
所以我在第三轮复习时选择了这个课题让学生研究。
在教学过程中主要抓住了解不等式恒成立问题的一些基本类型加以复习巩固和课堂练习。
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案
函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数,有),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=1）对恒成立; 0)(>x f R x ∈⎩⎨⎧<∆>⇔00a 2）对恒成立 0)(<x f R x ∈.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1：若不等式的解集是R ，求m 的范围。
02)1()1(2>+-+-x m x m 例2 设函数f(x)＝ mx 2-mx-1．(1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立a x f >)(min)(x f a <⇔2）恒成立a x f <)(max)(x f a >⇔例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
[]2,2x ∈-23x ax a ++≥a 例2．设，当时，恒成立，求实数的取22)(2+-=mx x x f ),1[+∞-∈x m x f ≥)(m 值范围。
巩固．已知函数，若对任意，恒),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ),1[+∞∈x 0)(>x f 成立，求实数的取值范围。
a 练习2 已知，若恒成立，求a 的取值范围.a ax x x f -++=3)(22)(],2,2[≥-∈x f x 22210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。
高中数学必修五《不等式恒成立问题》优秀教学设计
恒成立问题（第一课时）
【学习目标】
1．能根据已知条件选择合适的方法，并能熟练准确地求出数列的通项公式；
2.独立思考，小组合作，理解转化与化归、分类讨论等数学思想方法；
3.积极主动展示，并能提出问题，从学习中体会数学的美及体验成功的快乐。
【知识准备】
1．？
2．？
【规律方法总结】
限时训练
计划使用时间：2017年4月6日至4月8日
班级：________姓名：_______学号：_____得分：
1.若关于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
2.若关于x的不等式 在R上恒成立，求m的取值范围。
3．关于x的不等式 的解集为R，求m的取值范围。
4．已知关于x的不等式 对任意的 恒成立，求m的取值范围.
【探究三】
例3.若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围。
问题1：这个方程式可以化成哪两项的比？
问题2：从特殊到一般来写，你可以写多少个式子？
训练：
【规律方法总结】
【探究四】
例4已知 关于x的不等式 恒成立，求a的取值范围。
问题1：？
问题2：？
问题3：？
问题4：？
训练：已知关于x的不等式 对任意的 恒成立，求m的取值范围
探 究 案
【探究一】
例1.若关于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
问题1：？
问题2于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
【规律方法总结】
【探究二】
例2、若关于x的不等式 在R上恒成立，求m的取值范围。
问题1：？
问题2：？
问题3：？
问题4：列？
训练:
【规律方法总结】
“不等式恒成立问题”的教学再设计word资料3页
“不等式恒成立问题”教学再设计高三数学两种主要课型是复习课与讲评课，解题教学是其重点，单纯求解应转变为解法拟定及具体实施，把能力培养置于首位。
于是，笔者对一节“不等式恒成立问题”教学设计进行了反思及再设计，并在后续教学中进行了尝试，取得了预期效果。
一、教学引入――预设练习，暴露问题1.设计意图考虑到学生已经具备一定解答问题知识方法，只是尚未系统化。
因此，在新教学设计中，将这节解题课转变成一节习题课，试图通过对学生前期解答剖析，来了解学生解题思路，对学生解题中暴露问题进行整理剖析，增加学生亲切感，更能引起重视，帮助学生由最近发展区靠近解题要点。
2.教学过程学生剖析预习作业错误原因，交流解题经验：（1）关于x不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0对一切实数x恒成立，则实数a取值范围是________。
3.说明与反思高三教学中，新课较少，习题课增加。
本课即为一节有主题习题课。
然而一部分“懂而不会”高三学生，对习题课极不重视。
为解决这一问题，教师需在“备学生”上多下工夫。
本课设计以学生错误引入，让学生感受到内容重要性。
其中，作业（1）旨在巩固学生对常规问题解决及分类讨论能力，让学生在自我反思中发现二次项系数讨论重要性；作业（2）则是在学生解答中整理多种解法，一方面将解法归纳，另一方面通过解法对比体现解题过程中观察及思考重要性。
二、教学重点（一）重点突破，以“理”服人1.设计意图高三学生，由于已经学会了高中阶段数学知识，一些新知识方法常常会对其认知结构产生冲击，导致对新内容吸收较为困难。
所以切不能将教学内容强加于学生，那样学生从根本上不能掌握，也使学生对教师失去了信任。
苏霍姆林斯基曾说：“在人们心灵深处，都有一种根深蒂固需要，这就是希望感到自己是一个发明者、研究者、剖析者，而在孩子精神世界中，这种需要则特别强烈。
”因此，本课在教学重点环节处理，改变了过去教师传授讲解生硬方式，而是创设环境，给予学生表达自己想法空间，平等地与学生交流，让学生自然过渡到新方法运用中。
陕西省西安经发中学高中数学 3.2一元二次不等式恒成立问题教案 新人教A版必修5
x yO6362+-=x y “一元一次不等式与一次函数”教案设计教 学 目 标知识与能力：通过做函数图象、观察函数图象，使学生进一步理解函数的概念，体会一元一次等式与一元一次函数的内在联系。
掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。
情感、态度、价值观：提供问题的策略化，发展学生的个性，发展学生的数学才能，感悟知识的价值。
教 学 重 点 难 点 教学重点：培养学生对函数图象的观察能力，进一步理解函数的概念。
用函数的知识求一元一次不等式的解集。
教学难点：对函数图象的理解和体会，一次函数图象与一元一次不等式一次函数的关系。
教 学 用 具小黑板或PPT 课件。
课 时安 排 1课时 学 习 任 务1．回顾什么叫一元一次函数？什么叫不等式？2．已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答： ⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为 思考：⑵当x ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为 ⑶当x 时，y 总结：当y=0时，正好是图象与 轴的交点 当y ＞0时，图象位于 轴 方 当y ＜0时，图象位于 轴 方四 总结1、本节课学习的数学知识是一次函数与一元一次不等式的关系 ⑴若方程0=+b ax （a 、b 为常数且a ≠0）的解为b ax -=，那么不等式0＞b ax +（或0＜b ax +）（a ≠0）的解集就是一次函数b ax y +=（a ≠0）函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围。
⑵若解不等式ax+b ＞cx+d （或ax+b ＜cx+d ）（a 、b 、c 、d 为常数且a 、c 都不为0）则可化为最简一元一次不等式，再利用一次函数图象求解。
也可两边分别看成一次函数、利用图象求解。
2、本节课学习的数学方法——数形结合。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
高中数学：含参数的二次不等式恒成立问题
高中数学
第五课时
含参数的二次不等式恒成立问题 一、知识与技能
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、 解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集； 3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式； 4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次 不等式解法与二次函数的有关知识解题. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；
高中数学
高中数学
高中数学
练习
1 若 mx2 2x 1 0值 x m 0值 x (2,3)值值值值值
m值值值值值
课堂 小结 作业 布置 练习 调配
对于二次不等式恒成立问题数形结合做题，看对称轴，端点处的函数值的符号。 练习册和报纸上的类型题。 报纸随堂练含参数问题 4，同步检测试题基础卷 10，提高卷 3,10
分析：通过观察图像
例 5 已知 x2 x mx 1值 x R 恒成立，求 m 的取值范围 新课 变式 1：已知 x2 x mx 1值 x (1,) 恒成立，
学习 求 m 的取值范围
变式 2：已知 x2 x mx 1值 x (1,2) 恒成立，求 m 的取值范围 变式 3：已知 x2 x mx 1值 x (2,2)值值值 ，求 m 的取值范围
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解：（I）（过程略） ．
（II）（过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 ．
（III）由（II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值．要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
评注：最值法是我们这里最常用的方法． 恒成立 ； 恒成立 ．
7单调性法
例8．若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式 成立，若不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ，则 ，有 ．这样， ，则 ，函数 在 为减函数．
因此 ；而 （当且仅当 时取等号），又 ，所以 的取值范围是 ．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
解：设 ， ，则原问题转化为 恒成立的问题．
故应该有 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设 是常数，且 （ ）．
（I）证明：对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵ ，∴不等式可以化为 ；下面只要求 在 时的最小值即可，分段处理如下．
当 时， ， ，再令 ， ，它的根为 ；所以在区间 上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有 在 的最大值是 ，这样就有 ，即 在区间 是递减．同理可以证明 在区间 是递增；所以， 在 时的最小值为 ，即 ．
由通项公式得
当 （ ）时，
当 （ ）时， ，可见总有 ．
故 的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知 ，若当 时，恒有 ＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当 时，显然 ＜0成立，此时，
（ii）当 时，由 ＜0，可得 ＜ ＜ ，
令
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象（如右），从图象中容易知道：当 且 时，函数 的图象恒在函数 上方，不合题意；当 且 时，欲使函数 的图象恒在函数 下方或部分点重合，就必须满足 ，即 ．
8判别式法
例9．若不等式 对于任意 恒成立．则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意 恒成立，可以选择判别式法．
解：当 时，不等式化为 ，Fra bibliotek然对一切实数恒成立；
当 时，要使不等式 一切实数恒成立，须有 ，解得 ．
综上可知，所求的实数 的取值范围是 ．
故所求的 的取值范围为 ．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式 的一切实数 ，函数 的值恒大于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于 对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意 有 求出 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为 ， ，所以数列 是等比数列，可以求得对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，取 就有 解得 ；
下面只要证明当 时，就有对任意 有
2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数 的单调区间；
（II）若不等式 对于任意 都成立（其中 是自然对数的底数），求 的最大值．
分析：对于（II）不等式 中只有指数含有 ，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数 的单调增区间为 ， 的单调减区间为
（II）不等式 等价于不等式 ，由于 ，知 ；设 ，则 ．
技巧解：由于 ，所以， ， 两个等号成立都是在 时；从而有 （ 时取等号），即 ．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
则 ＞0，∴ 是单调递增，可知
＜0，∴ 是单调递减，可知
此时 的范围是（—1，3）
综合i、ii得： 的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对 进行分段讨论，
当 时，不等式恒成立，所以，此时 ；
当 时，不等式就化为 ，此时 的最小值为 ，所以 ；
不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数．（I）试确定 的值；（II）讨论函数 的单调区间；（III）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
当 时，不等式就化为 ，此时 的最大值为 ，所以 ；
由于对上面 的三个范围要求同时满足，则所求的 的范围应该是上三个 的范围的交集即区间
说明：这里对变量 进行分段来处理，那么所求的 对三段的 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
由（I）知， ，即 ；于是， ，即 在区间 上为减函数．故 在 上的最小值为 ．
所以 的最大值为 ．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．