高中数学 不等式恒成立问题 教案
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分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象（如右），从图象中容易知道：当 且 时，函数 的图象恒在函数 上方，不合题意；当 且 时，欲使函数 的图象恒在函数 下方或部分点重合，就必须满足 ，即 ．
不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数．（I）试确定 的值；（II）讨论函数 的单调区间；（III）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
故所求的 的取值范围为 ．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式 的一切实数 ，函数 的值恒大于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于 对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意 有 求出 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为 ， ，所以数列 是等比数列，可以求得对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，取 就有 解得 ；
下面只要证明当 时，就有对任意 有
由通项公式得
当 （ ）时，
当 （ ）时， ，可见总有 ．
故 的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知 ，若当 时，恒有 ＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当 时，显然 ＜0成立，此时，
（ii）当 时，由 ＜0，可得 ＜ ＜ ，
令
则 ＞0，∴ 是单调递增，可知
＜0，∴ 是单调递减，可知
此时 的范围是（—1，3）
综合i、ii得： 的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对 进行分段讨论，
当 时，不等式恒成立，所以，此时 ；
当 时，不等式就化为 ，此时 的最小值为 ，所以 ；
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵ ，∴不等式可以化为 ；下面只要求 在 时的最小值即可，分段处理如下．
当 时， ， ，再令 ， ，它的根为 ；所以在区间 上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有 在 的最大值是 ，这样就有 ，即 在区间 是递减．同理可以证明 在区间 是递增；所以， 在 时的最小值为 ，即 ．
技巧解：由于 ，所以， ， 两个等号成立都是在 时；从而有 （ 时取等号），即 ．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
Байду номын сангаас2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数 的单调区间；
（II）若不等式 对于任意 都成立（其中 是自然对数的底数），求 的最大值．
分析：对于（II）不等式 中只有指数含有 ，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数 的单调增区间为 ， 的单调减区间为
（II）不等式 等价于不等式 ，由于 ，知 ；设 ，则 ．
分析：不等式 恒成立，可以转化为
解：（I）（过程略） ．
（II）（过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 ．
（III）由（II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值．要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
评注：最值法是我们这里最常用的方法． 恒成立 ； 恒成立 ．
由（I）知， ，即 ；于是， ，即 在区间 上为减函数．故 在 上的最小值为 ．
所以 的最大值为 ．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ， ，则原问题转化为 恒成立的问题．
故应该有 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设 是常数，且 （ ）．
（I）证明：对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围．
当 时，不等式就化为 ，此时 的最大值为 ，所以 ；
由于对上面 的三个范围要求同时满足，则所求的 的范围应该是上三个 的范围的交集即区间
说明：这里对变量 进行分段来处理，那么所求的 对三段的 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
8判别式法
例9．若不等式 对于任意 恒成立．则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意 恒成立，可以选择判别式法．
解：当 时，不等式化为 ，显然对一切实数恒成立；
当 时，要使不等式 一切实数恒成立，须有 ，解得 ．
综上可知，所求的实数 的取值范围是 ．
7单调性法
例8．若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式 成立，若不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ，则 ，有 ．这样， ，则 ，函数 在 为减函数．
因此 ；而 （当且仅当 时取等号），又 ，所以 的取值范围是 ．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象（如右），从图象中容易知道：当 且 时，函数 的图象恒在函数 上方，不合题意；当 且 时，欲使函数 的图象恒在函数 下方或部分点重合，就必须满足 ，即 ．
不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数．（I）试确定 的值；（II）讨论函数 的单调区间；（III）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
故所求的 的取值范围为 ．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式 的一切实数 ，函数 的值恒大于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于 对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意 有 求出 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为 ， ，所以数列 是等比数列，可以求得对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，取 就有 解得 ；
下面只要证明当 时，就有对任意 有
由通项公式得
当 （ ）时，
当 （ ）时， ，可见总有 ．
故 的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知 ，若当 时，恒有 ＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当 时，显然 ＜0成立，此时，
（ii）当 时，由 ＜0，可得 ＜ ＜ ，
令
则 ＞0，∴ 是单调递增，可知
＜0，∴ 是单调递减，可知
此时 的范围是（—1，3）
综合i、ii得： 的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对 进行分段讨论，
当 时，不等式恒成立，所以，此时 ；
当 时，不等式就化为 ，此时 的最小值为 ，所以 ；
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵ ，∴不等式可以化为 ；下面只要求 在 时的最小值即可，分段处理如下．
当 时， ， ，再令 ， ，它的根为 ；所以在区间 上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有 在 的最大值是 ，这样就有 ，即 在区间 是递减．同理可以证明 在区间 是递增；所以， 在 时的最小值为 ，即 ．
技巧解：由于 ，所以， ， 两个等号成立都是在 时；从而有 （ 时取等号），即 ．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
Байду номын сангаас2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数 的单调区间；
（II）若不等式 对于任意 都成立（其中 是自然对数的底数），求 的最大值．
分析：对于（II）不等式 中只有指数含有 ，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数 的单调增区间为 ， 的单调减区间为
（II）不等式 等价于不等式 ，由于 ，知 ；设 ，则 ．
分析：不等式 恒成立，可以转化为
解：（I）（过程略） ．
（II）（过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 ．
（III）由（II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值．要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
评注：最值法是我们这里最常用的方法． 恒成立 ； 恒成立 ．
由（I）知， ，即 ；于是， ，即 在区间 上为减函数．故 在 上的最小值为 ．
所以 的最大值为 ．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ， ，则原问题转化为 恒成立的问题．
故应该有 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设 是常数，且 （ ）．
（I）证明：对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围．
当 时，不等式就化为 ，此时 的最大值为 ，所以 ；
由于对上面 的三个范围要求同时满足，则所求的 的范围应该是上三个 的范围的交集即区间
说明：这里对变量 进行分段来处理，那么所求的 对三段的 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
8判别式法
例9．若不等式 对于任意 恒成立．则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意 恒成立，可以选择判别式法．
解：当 时，不等式化为 ，显然对一切实数恒成立；
当 时，要使不等式 一切实数恒成立，须有 ，解得 ．
综上可知，所求的实数 的取值范围是 ．
7单调性法
例8．若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式 成立，若不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ，则 ，有 ．这样， ，则 ，函数 在 为减函数．
因此 ；而 （当且仅当 时取等号），又 ，所以 的取值范围是 ．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．