高中数学必修四第二章《平面向量》章末复习PPT课件

√A. 3
43 C. 3
3 B. 3 D.2 3
解析 答案
达标检测
解答
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决
以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题
①设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 .
跟踪训练 2 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，
BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为
A.－58
√B.18
1 C.4
11 D. 8
解析 ∵B→C＝A→C－A→B，A→F＝A→D＋D→F＝12A→B＋32D→E＝12A→B＋34A→C，
∴B→C·A→F＝(A→C－A→B)·12A→B＋34A→C
＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12＝14＋34－12－38＝18.
解析 答案
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例 3 在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝2，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN
A.43
√B.53
15
C. 8
D.2
解析 答案
类型二 向量的数量积运算
例 2 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ 3|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
解 由|ka＋b|＝ 3|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
第二章
2019.4
学习目标
1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性 质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用.
内容索引
知识梳理 题型探究 达标检测
知识梳理
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
( ×) 提示 当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线
时，a·b<0，但a和b的夹角为π.
提示 答案
题型探究
类型一 向量的线性运算 例 1 若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且C→D＝4D→B＝rA→B＋sA→C，则 3r＋s 的值为
16
12
A. 5
B. 5
√C.85
4 D.5
解析 答案
反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解 的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共 线、共点问题.
跟踪训练 1 (2017·广东深圳二模)如图所示，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若A→C＝λA→M＋μB→D，则 λ＋μ 等于
(2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得__b_＝__λ_a_(a_≠__0_)__
a⊥b
__a_·_b_＝__0___
x1y2－x2y1＝0 _x_1_x2_＋__y_1_y2_＝__0_
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
加法 向量的线 性运算
减法
三角形 平行四边形
三角形
a＋b＝(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)_ a－b＝(_x_1－__x_2_，__y_1_－__y2_)
向量的线 性运算
(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方 数乘 向 相同 ；当λ＜0时，λa的方向与 a的方向相反 ；当λ＝0时，λa＝0
λa＝_(_λ_x1_，__λ_y_1_) _
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定 向量的数 0·a＝0， 量积运算 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上 a·b＝__x1_x_2_＋__y_1y_2_
的投影的积
2.两个定理
(1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平 面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . ②基底：把 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有 向 量 的 一 组 基底.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
2k2＋2 k2＋1
∴a·b＝ 8k ＝ 4k (k>0).
解答
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 解 a·b＝k24＋k 1＝14k＋1k. 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝14k＋1k在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞) 上单调递增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12， 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
＝ 2，则C→M·C→N的取值范围为__32_，___2_ _.
解析 答案
反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量 具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题. 这样的解题方法具有普遍性.
跟踪训练 3 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120°，点 C 在 AB 上， 且∠COB＝30°，若O→C＝λO→A＋μO→B，则 λ＋μ 等于
[思考辨析 判断正误] 1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底. 2.若向量A→B和向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点在同一直线上.( × )
提示 也可能AB∥CD.
3.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × ) 4.若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.