2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练理科

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设复数z 满足11zi z+=-，则z =（ ）A ．1B ．CD ．22．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石 3．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知圆C ：22230x y x ++-=，直线l ：20()x ay a a R ++-=∈，则（ ） A ．l 与C 相离 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相交D ．以上三个选项均有可能 5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．81 B.71 C.61 D.516．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）A ． 6B ． 6C ． 3D ． 27．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，若sin sin sin B A cC a b-+=+，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．65πC ．3πD ．32π8．某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） A ．129A. ,()n N f n N ∀∉∈且()f n n ≤B. ,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C. 00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >D. 00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 10．在一块并排10垄的田地中，选择3垄分别种植A,B,C 三种作物，每种作物种植一垄。

为有利于作物生长，要求任意两种作物的间隔不小于2垄，则不同的种植方法共有（ ）A ．180种B ．120种C ．108种D ．90种 11．已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是 ．14.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 .15．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .16．在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A （0a >）,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的正实数a 的值为 .三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．17．(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望.18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 各项均为正数，且11a =，2211n n n n a a a a ++-=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <. 19．（本小题满分12分）如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1,DD BC 上。

（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积．20．（本小题共12分）已知抛物线：22(0)y px p =>的焦点F 在双曲线：22136x y -=的右准线上，抛物线与直线:(2)(0)l y k x k =->交于,A B 两点，,AF BF 的延长线与抛物线交于,C D 两点． （1）求抛物线的方程；（2）若AFB ∆的面积等于3，求k 的值；（3）记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CD kk为定值，并求出该定值．21．(本小题满分12分)已知函数()ln xf x x k=-（0k >）（1）求()f x 的最小值；（2）若2k =，判断方程()10f x -=在区间()0,1内实数解的个数；（3）证明：对任意给定的0M >，总存在正数0x ，使得当0x x >时，恒有ln 2xx M ->．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O的半径，且AE MN ==，求四边形G AE F ONDB CMEBCF 的面积. 23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=．（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明： （1）若ab cd >（2，则||||a b c d -<-．2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练数学（理）参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1. A 2．B 3．A 4．C 5. D 6. A 7．B 8．D 9．D 10．B11. C12. A第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1 14. 30 15．51216．10三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．17. 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==……………4分（2）X 的可能取值为200,300,40022251(200)10A P X A ===31123232353(300)10A C C A P X A +=== 3(400)1(200)(300)5P X P X P X ==-=-==故X 的分布列为20030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=……………12分18．解：（1）由已知得：11()(1)0n n n n a a a a +++--=∵{}n a 各项均为正数，∴11n n a a +-=∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列, ∴n a n =. ……………6分(2)由（1）知 21n b n = 当2n ≥时 21111(1)1n n n n n <=--- 222111123n T n ∴=++++1111111(1)()()222231n n n≤+-+-++-=-<-……………12分19．由题设知，1,,AA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为11(0,0,0),(3,0,6),(0,6,0),(0,3,6),(6,,0)A B D D Q m ，其中,06m BQ m =≤≤ ……………2分 （1）若P 是1DD 的中点，则99(0,,3),(6,,3)22P PQ m =--，又1(3,0,6)AB =，于是118180AB PQ =-=，所以1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥……………6分（2）由题设知，1(6,6,0),(0,3,6)DQ m DD =-=-是平面PQD 内的两个不共线向量。

设1(,,)n x y z =是平面PQD 的一个法向量，则1110,0,n DQ n DD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即6(6)0,360.x m y y z +-=⎧⎨-+=⎩取1(6,6,3)n m =-。

又平面AQD 的一个法向量是2(0,0,1)n =，所以121212cos ,||||(6n n n n n n <>==37=解得4m =，或8m =（舍去），此时(6,4,0)Q设1(01)DP DD λλ=≤≤，而1(0,3,6)DD =-，由此得点(0,63,6)P λλ-， 所以(6,32,6)PQ λλ=--因为//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是3(0,1,0)n =， 所以30PQ n =，即320λ-=，得23λ=，从而(0,4,4)P 故四面体ADPQ 的体积11166424332ADQ V S h ∆==⨯⨯⨯⨯=……………12分20．解：（1）双曲线：22136x y -=的右准线方程为：1x = 所以(1,0)F ，则抛物线的方程为：24y x =……………4分（2）设221212(,),(,),44y y A y B y由24(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2480ky y k --= 216320k ∆=+>12124,8y y y y k+==-12112AFB S y y ∆=⨯⨯-=3==解得2k =………8分（3）设233(,),4y C y 则221313(1,),(1,)44y y FA y FC y =-=- 因为,,A F C 共线，所以221331(1)(1)044y y y y ---=即231314()40y y y y +--= 解得：31y y =（舍）或314y y =-所以21144(,),C y y -同理22244(,),D y y -1222124444CDy y k y y -+=-12122y y k y y =-=+ , 故2CD k k =（定值）……………12分21.解：（1）11()x kf x k x kx-'=-=当0x k <<时，()0f x '<，当x k >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,)k 单调递减，在(,)k +∞单调递增， 从而min ()()1ln f x f k k ==-……………4分（2）2k =时，()1ln 12xf x x -=-- 因为11()102f e e -=>，1(1)102f -=-<，且()f x 的图像是连续的，所以()10f x -=在区间1(,1)e内有实数解，从而在区间()0,1内有实数解；又当(0,1)x ∈时，11()02f x x'=-<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，从而()10f x -=在区间()0,1内至多有一个实数解， 故()10f x -=在区间()0,1内有唯一实数解. ……………8分 （3） 证明：由（1）知：min (ln )1ln 33x x -=- 所以0x >时，1ln 3ln 3xx -+≥ ①由1ln 323x xM ->-+得：6(1ln 3)x M >-+ 所以6(1ln 3)0x M >-+>时，1ln 323x xM ->-+ ②由①②知：取06(1ln 3)0x M =-+>，则当0x x >时， 有1ln 3ln 23x x M x ->-+≥即ln 2xM x ->成立. ……………12分 22．解：（1）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥从而//EF BC ……………5分（2）由（1）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为O 的弦，所以O 在AD 上，连结,OE OM ，则OE AE ⊥由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形因为AE =4,2AO OE ==因为12,2OM OE DM MN ====所以1OD =，于是5,AD AB == 所以四边形EBCF的面积为2211(232223⨯⨯-⨯⨯=………10分23．解：（1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3,)22……………5分 （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα所以|||2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4……………10分24．解：（1）因为22a b c d =++=++由题设,a b c d ab cd +=+>得22>>5分（2>22>，即a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-因此||||a b c d -<-……………10分。