第二章 薛定谔方程
第二章薛定谔方程
单值条件
有界条件
其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。 边界条件： (0) A 0 (a ) B sin ka 0 连续条件
B 0 （若B=0，则势阱内无粒子）
sin ka 0
n ( x ) B sin x a
ka n
n 1,2,3, n 叫量子数
2 2 能量算符 (哈密顿算符) H U 2m
ˆ 本征方程 H n En n
当粒子处在 n 态时，则实验测量该粒子有确定的能量 En。 ˆ n 称为能量算符 H 的本征态，En 为与其对应的本征值。
叠加原理：薛定谔方程是线性微分方程，如果 1,2,3,…,n 是体系的可能状态 (解)，那其线性叠加态也是体系 的一个可能状态。
薛定谔方程
§2.2 无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential)
一、无限深一维方势阱 粒子在力场中的势能函数为：
U
U
0 xa
x 0, x a
U 0 U
U 0
0
a
x
粒子处于束缚态：在阱内势能为零，粒子不受力的 作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受 到无限大的斥力。粒子被限制在 0< x < a 的范围内， 不可能到此范围外。
第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrö dinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子
§2.3 势 垒 穿 透
§2.4 谐
量子力学体系
振
子
总 结
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrö dinger ) 一、波函数
2 第二章 薛定谔方程
第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一，并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下，其一般形式为：),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
薛定谔方程
λ
n
Δx ⋅ Δp x ≥ h 2
ΔE ⋅ Δt ≥ h 2
第二章 薛定谔方程
§2.1 薛定谔得出的 波动方程 §2.2 无限深方势阱 中的粒子
§2.3 势垒穿透
§2.4 谐振子
§1 薛定谔方程的建立 一.含时薛定谔方程 自由粒子波函数: 自由粒子波相当于单色平面波 x 平面波函数： Ψ ( xt ) = A cos( 2πν t − 2π ) 或
−i
Φ( x ) =
n = 1,2,3 L
En t h
能量本征波函数: ψ n ( x ) = φ n ( x )e (3)概率密度
Wn ( x ) = φn ( x )
2
Φn( x )
4π x Φ( x ) = 2 sin a a
wn ( x ) = Φ n ( x )
2
n =4
2 cos 3π x Φ( x ) = a a 2 sin 2π x Φ( x ) = a a
(
)
a
a
(0 ≤ x ≤ a )
▲薛定谔方程是线性微分方程,ψ和φ都满足叠加原理 如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那它们的线 性叠加 ψ = c ψ + c ψ
1 1 2 2
也是体系的一个状态-----态叠加原理 在空间找到处于叠加态的几率密度是：
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2
2
2
[例5]在阱宽为 0-a的无限深势阱中,一个粒子的状态为 πx 2πx f ( x ) = sin − sin a a 多次测量其能量。求每次可能测到的值和相应概 率以及能量的平均值？ 解：已知0-a无限深势阱中的粒子的 本征函数和能量本征值为
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
第二章 薛定谔方程
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
1 2 2 2 p
或
2 2 p2 2 2
考虑电子双缝衍射 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这 两种状态的叠加。
Ψ1
P
Ψ
S1
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一 个可能状态，其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力 学的态叠加原理。 空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 电子穿过狭 缝１出现在 Ｐ点的几率 密度 电子穿过狭 缝２出现在 Ｐ点的几率 密度 相干项 正是由于相干项 的出现，才产生 了衍射花纹。
微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确 定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的 可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完 全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题 就是要解决以下两个问题：
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。 这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方 程之后得到了圆满解决。
( 2)
(1)–(2)式
p2 对自由粒子， E 2
量子物理第二章薛定谔方程
量⼦物理第⼆章薛定谔⽅程第2章薛定谔⽅程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了⼀个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有⼀个波动⽅程。
⼏个⽉后，薛定谔果然提出了⼀个波⽅程，这就是后来在量⼦⼒学中著名的薛定谔⽅程。
·薛定谔⽅程是量⼦⼒学的动⼒学⽅程，象⽜顿⽅程⼀样，不能从更基本的⽅程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔⽅程的建⽴(⼀种⽅法)⼀、薛定谔⽅程 1.⼀维薛定谔⽅程 · ⼀维⾃由运动粒⼦⽆势场，不受⼒，动量不变。
· ⼀维⾃由运动粒⼦的波函数(前已讲)由此有· 再利⽤可得此即ψ ? x = ( )P ψi h2ψ ? x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = ? t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ?x 22⼀维⾃由运动粒⼦(⽆势场)的薛定谔⽅程·推⼴到若粒⼦在势场U (x , t ) 中运动由有⼀维薛定谔⽅程式中ψ =ψ (x , t )是粒⼦在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相⽐较,只要把P 22mE = +U (x , t ) P 22m E = +U (x , t )再作⽤到波函数ψ(x, t)上，即可得到上述⽅程。
2.三维薛定谔⽅程式由⼀维⽅程推⼴可得三维薛定谔⽅程式·拉普拉斯算符·当 U (r , t ) = 0时，⽅程的解，即三维⾃由运动粒⼦的波函数· 波函数的叠加原理薛定谔⽅程是ψ的线性微分⽅程；若ψ1、ψ2是⽅程的解，则 c 1ψ1 + c 2ψ2也是⽅程的解。
(c 1 、c 2是常数)★ E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)2 x 2 2y 22≡ + + ?2z 2⼆、定态薛定谔⽅程 1.⼀维定态薛定谔⽅程若粒⼦在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔⽅程式可⽤分离变量法求解。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
二章薛定谔方程
E h
P h
E h
h
P
子弹通过双缝实验
光波双缝实验
电子双缝实验
2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析
能否认为波是由粒子组成？
2.1.2 波函数统计解释
2. 波函数(r,t) 应该是 r 的单值、有界、连续
函数。
3. 不确定性： a. 常数因子的不确定性：若 C 为常数，则(r,t)
和 C(r,t)描述同一个物理状态。
b. 相角的不确定性：由于(r,t)与(r,t)ei
的模相同，因此 不定。
2.1.2 波函数统计解释
4. 可归一化：(r,t)2dr 1
二章薛定谔方程
第二章 薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔方程 §2.4 粒子流密度与粒子数守恒定律 §2.5 一维方势阱 §2.6 一维方势垒 §2.7 一维谐振子 §2.8 一维周期场 §2.9 氢原子
2.1 波函数的统计解释
2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析
5. 容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。
2 (r1,r2 rN,t)dr1dr2 drN1
6. 描述粒子微观运动的波函数也可以用其他 量（如动量）为自变量。
2
7.
C(p,t) dp1
C (p,t)(21)32
ipr
(r,t)e dr
薛定谔
薛定谔 (Schroding,1897-1961) 奥地利人,因发现原子 理论的有效的新形式 一波动力学与狄拉克 (Dirac,1902-1984)因创 立相对论性的波动方 程一狄拉克方程,共同 分享了1933年度诺贝尔 物理学奖
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子力学-薛定谔方程
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d
dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以
J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p
i
第二章 薛定谔方程
第三个实验——氢原子光谱：
氢原子激发后会发出光，测其波长，得到原子光谱。
不连续性
656.3 486.1 434.1 410.2
nm
H
H
H
H
H
早在1884年，Balmer已将当时已知的可见区14条氢谱
线总结成经验公式，后被J.R.Rydberg表示成如下的波
数形式），并正确地推断该式可推广之(式中n1、n2均为 正整数):
三个著名实验导致“量子”概念的引入和 应用 第一个实验——黑体辐射
所谓黑体，是指能全部吸收 各种波长入射光线辐射的物 体。带有一个微孔的空心金 属球，非常接近于黑体，进 入金属小孔的辐射，经过多 次吸收、反射，使射入的辐 射完全被吸收。当空腔受热 时，又能发射出各种波长的 电磁波。
黑体辐射.swf
1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔物理奖。
de Broglie波不仅对建立量子 力学和原子、分子结构理论有重要 意义，而且在现代科学技术上有重 要应用。 使用de Broglie波 的电子显微镜分辨率 达到光学显微镜的千 倍,为我们打开了微观 世界的大门（扫描隧 道显微镜达原子级分 辨率）。
请在后面输入加速电压: de Broglie波长等于
30000 V 7.07254 pm
de Broglie波的提出是类比法的成功典范
从科学方法论的角度讲，由光的波粒二象性到实物微粒
的波粒二象性是一种类比推理。类比是由两个或两类对象之
间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相 似或相同的思想方法，是一种由特殊到特殊、由此类及彼类 的过程。类比可以提供重要线索，启迪思想，是发展科学知 识的一种有效的试探方法。我们在研究工作中需要重视这种
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
薛定谔方程
一. 粒子进入势垒
1.势函数 粒子从 x = - 处以能量 E 入射，
给定势函数（一维势垒）： U(x)
0 ，( x 0)
U(
x)
U0，( x
0)
入射能量 E <U0
势垒的物理模型：
入射 反射
U0
透射 ？
E
Ⅰ区 0 Ⅱ区 x
金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。 24
2. 定态薛定谔方程 I 区（x 0）：
1. 穿透系数
穿透系数
2a
Te
2m(U0 E )
a T
（U0 E） T
当 U0 E 5eV，势垒宽度 a 约50nm 以上时， 穿透系数会小6个数量级以上。此时隧道效应在
实际上已没有意义了，量子概念过渡到了经典。
29
2. 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子
31
三. 隧道效应的应用
隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，…
1. 核的 衰变
238U 234Th +4He
U
35MeV
库仑势能
E 4.25MeV 是通过 隧道效应出来的。
对不同的核，算出的 0 衰变概率和实验一致。
4.25MeV
R
r
核力势能
32
2. 扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）
0e
—自由粒子的波函数
E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。
一般情况下：
(r,
t
)
(r)
i Et
A0e
这种E 取定值的状态称定态（stationary state），
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
3.第二章薛定谔方程
i − Et h
令：
h2 2 ∇ ψ ( x, y, z) + U( x, y, z)ψ ( x, y, z) = Eψ ( x, y, z) 得：− 2m 2 h 2 定态薛定谔方程： 即定态薛定谔方程： − ∇ ψ + Uψ = Eψ 2m
解出定态波函数 后可得总波函数 总波函数为 解出定态波函数 ψ ( x, y, z)后可得总波函数为：
薛定谔方程（ 学时 学时） 第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrödinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrödinger ) 一、波函数
i − ( Et − px) h
p2 Ψ ∂2 =− 2Ψ 2 h ∂x
（1） ） （2） ）
i ∂Ψ = − EΨ h ∂t
Ψ p2 ∂Ψ ∂2 ∂Ψ h = 代入(1)式 代入 式 由(2)式可得Ψ = − 式可得 2 iEh ∂t ∂x ∂t iE
p h ∂Ψ ∂Ψ 由 E= = ih 可得薛定谔方程 可得薛定谔方程 − 2 2m 2m ∂x ∂t
r 的概率解释, 由于波函数 ψ (r , t )的概率解释 粒子在整个空间出 现的概率为1， 应该满足波函数的归一化条件 波函数的归一化条件： 现的概率为 ，所以ψ 应该满足波函数的归一化条件：
r 是未归一化的波函数， 已知 ϕ(r , t ) 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， ，
它们描述同一个状态，有 它们描述同一个状态，
问题的提出： 问题的提出：
德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De 德拜 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 Broglie的 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 的 那篇学位论文呢？ 那篇学位论文呢？ 一月以后： 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 介绍了德布罗意的论文。
大学物理-薛定谔方程
1.势能
若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能
零点， 则一维线性谐振子的势能可以表示为：
U( x) 1 kx2 1 m 2 x2
2
2
m — 粒子的质量 k — 谐振子劲度系数
谐振子的角频率 k
m
2. 谐振子的定态薛定谔方程
由
d2
d x2
2m 2
[E
U
(
x)]
0
和 U(x) 1 m2x2
2
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
U (x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！ 按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
称为定态薛定谔方程。
对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
4.第二章薛定谔方程
2
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
再加上波函数标准条件 单值 有限, 再加上波函数标准条件:单值,有限,连续函数 波函数标准条件 单值, 解出定态波函数 后可得总波函数 总波函数为 解出定态波函数 ψ ( x, y, z)后可得总波函数为：
Ψ( x, y, z, t ) = ψ( x, y, z)e
根据能量和动量关系有 p = 2m k ，而此 E 处 Ek = E 再由 ，
ℏ 2 E= ml 2 2m r
2
式可得这个做圆周运动的粒子的角动量（此角动量 式可得这个做圆周运动的粒子的角动量（ 矢量沿z轴方向） 矢量沿z轴方向）为
L = rp = ml ℏ
（2.13） 2.13）
即角动量也量子化了，而且等于 ℏ的整数倍。 角动量也量子化了 的整数倍。
l l
E i 2π t h
1 i(mlϕ+2π Et h) e = （2.11） 2.11） 2π
（2.12） 2.12）
由（2.7）式可得 2.7）
ℏ2 E= ml2 2m 2 r
此式说明，由于 ml 是整数，所以粒子的能量只能 此式说明， 是整数， 取离散的值。这就是说， 取离散的值。这就是说，这个做圆周运动的粒子的 能量“量子化” 在这里， 能量“量子化”了。在这里，能量量子化这一微观 粒子的重要特征很自然地从薛定鄂方程和波函数的 粒子的重要特征很自然地从薛定鄂方程和波函数的 标准条件得出了。 叫做量子数。 标准条件得出了ml 叫做量子数。 。
ℏ2 2 − ∇ ψ + Uψ = Eψ 二、求解定态薛定谔方程 2m 由于势函数不随时间变化，所以属定态解。 由于势函数不随时间变化，所以属定态解。 阱内： 阱内：U = 0，方程为 ，
2010薛定谔方程(第二章)
由此，按能量-时间的不确定关系式，粒子能量的 不确定度为 E 2( U E )
2t
0
这时，粒子的总能量将为E+ΔE，而其动能的不确 定度为 E k E E U 0 U 0 E
粒子在到达的区域内，其动能的不确定度大于其 名义上的负动能的值。因此，负动能被不确定关 系“掩盖”了，它只是一种观察不到的“虚”动 能。 由于粒子可以进入
式还给出在x=a/2处，ψ≠0，
波函数随x的增大而按指数规律减小。 粒子处于可能的基态和第1，2激发态（U0太 小时，粒子不能被束缚在阱内）的波函数如图中
的实线所示，虚线表示粒子的概率密度分布。
量子力学给出的结果与经典力学给出的不同：
1 处于束缚态的粒子的能量量子化了。 2 在E<U0 的情况下，按经典力学，粒子只能在阱 内（即-a/2<x<a/2）运动，不可进入其能量小于势 能的x>a/2的区域，因为在这一区域粒子的动能 Ek(Ek=E-U0)将为负值。 但是，量子力学理论给出，在其势能大于其总 能量的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒 子可以进入这一区域。
6 2
a 10
例如 : E1 2( Mev), E2 8( Mev)
例题2：设一个电子处于宽 a 10 m 的无限深势井中， 当电子从第一激发态(n=2)跃迁回基态(n=1)时发射出一个 光子，求此光子波长。 解：由公式：
10
En n
2
2
2 2 2
2me a
0.60510 n ( J ) E2 E1 16 1 2.7410 ( s ) h 0 c 8 1.0910 m 109 A
d • 阱外： [ 2m 2 ]( x ) E( x ) dx
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第二章薛定谔方程本章介绍：本章将系统介绍波动力学。
波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。
薛定谔方程是波动力学的核心。
在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。
§2.1 波函数的统计解释§2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。
怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。
2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。
如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。
能否认为粒子是由波组成？比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系：◆一类是实物粒子◆另一类是相互作用场（波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。
粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。
经典波动则是以场量（振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。
波与其他物质体系相互作用时，可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用，其能量可连续变化，波满足叠加原理，“非定域”是波动性运动的特性。
◆◆在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体系的呈现，反映着两类对象，两种物质形态，其运动特点是不相容的，即具有粒子性运动的物质不会具有波动性；反之具有波动性运动的物质不会具有粒子性。
综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。
其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。
◆现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。
他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。
◆玻恩的统计解释：波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波 §2.1.2 波函数统计解释波函数的的特点：1.由于 2|),(|t rψ给出在 t 时刻，粒子在 r处出现的几率密度，因此原则上可由统计平均公式：⎰⎰>=<r d rd r f r fψψψψ*)(*)(求出力学量 )(r f 的平均值><)(r f 。
在这种意义下，波函数),(t rψ描述了微观粒子的运动状态，微观粒子的运动状态叫量子态。
波函数),(t r ψ应该是r的单值、有界、连续函数。
3.不确定性：a.常数因子的不确定性：若C 为常数，则 C ),(t r ψ和),(t rψ描述同一个物理状态。
b.相角的不确定性：由于 ),(t r ψ与 αψi et r ),(的模相同，因此α不定。
4.可归一化：1|),(|2=⎰r d t rψ5、容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。
1|),,(|21221=⎰n n r d r d r d t r r rψ 6.描述粒子微观运动的波函数与可以用其他量（如动量）为自变量。
1|),(|2=⎰p d t p C ， r d e t r t p C r p i⎰⋅-=),()2(1),(2/3ψπ 薛定谔 薛定谔(S c h r o d i n g ,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(D i r a c ,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖玻恩M.玻恩，(Max Born 1882～1970)德国理论物理学家，量子力学的奠基人之一。
主要成就是创立矩阵力学和对波函数作出统计解释。
1954年因波函数的统计解释荣获诺贝尔物理学奖。
§2.2态叠加原理态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态叠加原理的理解。
态叠加原理：如果 ,,21n ψψψ 是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数∑==+++=ni i i n n c c c c 12211ψψψψψ也是体系的一个可能状态；当体系处于ψ 态时，出现 i ψ的概率是∑=ni ii cc 122||||，n 可以是有限的，也可以是无限的。
几点讨论：I .测量力学量A 得出的是一些可能值 n a a ,,1 但这些可能值的相对概率，或者说每个可能态的相对权重，是完全确定的。
I I .态叠加原理中所谓的叠加，是波函数的叠加，或者说是概率幅的叠加，而不是概率的叠加。
因而它必然会出现干涉、衍射等现象。
I I I .在量子力学中，对于概率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的概率波本身的干涉，而不是粒子之间的干涉。
I V .一般来说， ψ依赖于时间，是t 的函数，因此态叠加原理不仅对某一时刻成立，而且随时间的变化，态叠加原理仍然成立。
§2.3薛定谔方程➢经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。
和经典力学类似，我们也应建立一个决定波函数随时间变化规律的方程式。
从物理上，这个方程式必须满足下述条件： I .由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。
I I .方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量。
I I I .因为波函数的自变量是坐标和时间，因此它必然是关于坐标和时间的偏微分方程。
I V .由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理，当 取经典极限时，它能过渡到牛顿方程。
V .对于自由粒子，这个方程的解应该是单色平面波的波函数。
➢方程的建立对平面波式/)()(),(Et r p i wt r k i Ae Ae t r -⋅-⋅==ψ分别对坐标和时间求微商后得：ψψE ti =∂∂，ψψ222p =∇-由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 ti ∂∂及∇ i 作用在波函数上的结果相同，即存在对应关系：,ti E ∂∂-→∇→ i p ⏹1926年，薛定谔推广上述规则到一般情况，建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程，得到薛定谔方程：),()),(2(),(ˆ),(22t r t r U mt r H t r t i ψψψ+∇-==∂∂ 薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。
B .以上对应关系式（2.3.3）式，只是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。
下面我们讨论一下定态情况：若势能),(t r U不显含时间t ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令 ：)()(),(t f r t r ϕψ=将上式代入薛定谔方程并用)()(),(t f r t rϕψ=遍除等式两边，可得： i Ef dtdf=， )()()()(222r E r r U r m ϕϕϕ=+∇- 此即定态薛定谔方程。
方程（2.3.5）的解可直接给出为 Et icet f -=)(代入（2.3.4）并将c 吸收入)(rϕ中去，并有归一化条件来确定，有Etie r t r -=)(),(ϕψ，按照德布罗意关系，E 就是体系出于这个波函数所描写的状态时的能量。
由此可见，体系出于上述波函数所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态。
波函数称为定态波函数。
以n E 表示体系的能量算符的第n 个本征值，n ψ是与n E 相应的波函数，则体系的第n 个定态波函数是 t iEnn n er t r-=)(),(ϕψ含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：t iEn n nn ner t r t r-∑∑==)(),(),(ϕψψ§2.4概率流密度与概率流守恒定律⏹本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。
⏹设描述粒子状态的波函数是),(t r ψ，在t 时刻、在r点周围单位体积内粒子出现的几率是),(),(*),(t r t r t r wψψ=⏹几率密度随时间的变化率为ψψψψtt t w ∂∂+∂∂=∂∂**由薛定谔方程及其共轭：ψψψU i m i t 122+∇=∂∂， *1*2*2ψψψU i m i t -∇-=∂∂可得：*)*(2*)*(222ψψψψψψψψ∇-∇∇=∇-∇=∂∂m i m i t w 令：*)*(2ψψψψ∇-∇-=mi J称为概率流密度，由（2.4.1）式得：0=⋅∇+∂∂J tw（2.4.2）式就是概率流守恒定律对上式两边同时对任意空间体积V 积分dS J wdV dt ds⎰⎰⎰⎰⎰-=这是概率流守恒定律的积分表示。
此式表明，在空间某体积V 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过V 的边界S 流入体积V 的概率。
若以粒子的质量m 乘w 和J ，则有：2|),(|t r m mw w m ψ==是在t 时刻在点r 的质量密度。
-==J m J m *)*(2ψψψψ∇-∇i 是质量流密度，满足：0=⋅∇+∂∂m m J t w 即量子力学中的质量守恒定律。
B.同样，以粒子电荷e 乘w 和J后，得到ew w e =是电荷密度，J e J e =是电流密度，方程0=⋅∇+∂∂e eJ tw 是量子力学中的电荷守恒定律。
§2.5一维方势阱本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。
了解怎样确定定态的能量E ，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
§2.5.1一维无限深方势阱已知粒子所处的势场为：{ax a x x U <≥∞=||||0)( 粒子在势阱势能为零，在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。