图的基本概念.ppt
合集下载
课件：第九章 图的基本概念及其矩阵表示
29/128
定义：设图 G V ,图E,的 和同G ' 构 V ', E ', '。如果存
在双射f :V V ' 和双射g : E E ' , 使得对于任意 的e E ，v1,v2 V 都满足
' (g(e))
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e)v1,v2
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e) v1,v2
8/128
图的种类
(1) 如果 : E {{v1,v2} v1 V v2 V} ，则称 G V , E, 为 无向图。
(2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。
无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V 的元素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G 的结点数目称为图的阶。
注意，在计算无向图中结点的度时，自回路 要考虑两遍，因为自回路也是边。
16/128
例：计算下图中各结点度的度。
v3
dG (v1) 4 , dG (v2) dG (v3) 2
v1
v2
d
D
(v1
)
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
2
d
D
(v1
)
0,
d
D
(v4
)
3
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
d
D
(v4
)
1
dD (v1) 2
dD (v2 ) dD (v3 ) 3
d (v ) 4
17/128
定理：在无向图中，所度有节点的度数之和等于边
定义：设图 G V ,图E,的 和同G ' 构 V ', E ', '。如果存
在双射f :V V ' 和双射g : E E ' , 使得对于任意 的e E ，v1,v2 V 都满足
' (g(e))
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e)v1,v2
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e) v1,v2
8/128
图的种类
(1) 如果 : E {{v1,v2} v1 V v2 V} ，则称 G V , E, 为 无向图。
(2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。
无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V 的元素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G 的结点数目称为图的阶。
注意，在计算无向图中结点的度时，自回路 要考虑两遍，因为自回路也是边。
16/128
例：计算下图中各结点度的度。
v3
dG (v1) 4 , dG (v2) dG (v3) 2
v1
v2
d
D
(v1
)
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
2
d
D
(v1
)
0,
d
D
(v4
)
3
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
d
D
(v4
)
1
dD (v1) 2
dD (v2 ) dD (v3 ) 3
d (v ) 4
17/128
定理：在无向图中，所度有节点的度数之和等于边
第14章-图基本概念
环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其 余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） 如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其 余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） 如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
离散数学 第3章 图的基本概念
例题5： 已知图的结点集 V {a, b, c, d }以及图G和图D的 边集合分别为：E (G) {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c)} E ( D) { a, b , a, c , c, d , c, a , c, b } 试作图G和图D，写出各结点的度数，回答图G、图D 是简单图还是多重图？ 解：a d a d
3.2 图的连通性
一、连通性
若在无向图G中，任何两个不同的结点都是连通的 则称G是连通图。 无向图中结点的连通关系具有自反性、对称性和 传递性，所以结点的连通关系是等价关系。 若图G不是连通图，但如果把G分成几个部分，每 一个部分都是连通的，则每一个部分称为一个连通子 图，每一个连通子图G’称为G的一个连通分支。 G中相互连通的结点一定在同一连通分支中。 无向图G的连通分支数记作W(G)。
v2
v5
v4
v7 v6
例如G：
v1
v3
G不是连通图，但可以划分为三个连通分支。
G({v1}) 是一个连通分支，G({v2 , v3 , v4 , v5}) 是一个连 通分支，G({v6 , v7 })是一个连通分支。
W (G) 3
{{v1},{v2 , v3 , v4 , v5},{v6 , v7 }} 称为V的一个划分。
b
c
b
c
图G
图D
图G： deg( a) 4, deg(b) 2, deg(c) 2, deg( d ) 0 图D： deg (a) 2, deg (a) 1, deg (b) 0, deg (b) 2
deg (c) 3, deg (c) 1, deg (d ) 0, deg (d ) 1
图论讲义-图的基本概念
到目前为止，判断两图同构 还只能从定义出发。判断过 程中不要将两图同构的必要 条件当成充分条件。
注意：在研究图的过程中，顶点的位置以及边的曲直长短 都是无关紧要的。而且也没有假定这些顶点和边都要在一 个平面上（正方体的顶点和棱也可构成图）。我们研究的 只是顶点的多少及这些边是连接那些顶点的。
五、顶点的度
若e=(u,v)，则表示u到v的一条边（Edge），此时的
图称为无向图(Undigraph)。
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
V1 V4
V1
V5 V2 V3 V2 V3
V4
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
例1、设V={v1,v2,v3,v4,}，E={e1,e2,e3,e4,e5}，满足e1=(v1,v2)，
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的 通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。 由定义可看出,G中v1v2v5v1为 长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为 长为6的简单回路。
e2=(v2,v3)，e3=(v2,v3)，e4=(v3,v4)，e5=(v4,v4),则G=(V,E)是一个图。图 中边集E的边也可直接由点对表示，而将E作为多重集（即允许E中有相同元素的 集合）。 例2、设V={v1,v2,v3,v4}，E={(v1,v2)，(v1,v2)，(v2,v3)}，则H=(V,E)是 一个图。 e
d (V ) 2m
i 1 i
n
五、顶点的度
推论：任何图（无向图或有向图）中，度为奇数的顶点个
图的基本概念无向图及有向图
16
第16页，幻灯片共61页
1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B 的无序积，记作A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？
A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
，共提供2m度。
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
33 第33页，幻灯片共61页
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能 每个人恰好与其他5个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个 人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。 存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。
关于图的基本概念无 向图及有向图
第1页，幻灯片共61页
图论的起源
图论是组合数学的一 个分支,它起源于 1736年欧拉的第一篇 关于图论的论文，这 篇论文解决了著名的
“哥尼斯堡七桥问 题” ，从而使欧拉 成为图论的创始人 。
第2页，幻灯片共61页
Байду номын сангаас
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地解决了
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示
4. 最短路径及关键路径
14
第14页，幻灯片共61页
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
第16页，幻灯片共61页
1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B 的无序积，记作A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？
A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
，共提供2m度。
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
33 第33页，幻灯片共61页
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能 每个人恰好与其他5个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个 人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。 存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。
关于图的基本概念无 向图及有向图
第1页，幻灯片共61页
图论的起源
图论是组合数学的一 个分支,它起源于 1736年欧拉的第一篇 关于图论的论文，这 篇论文解决了著名的
“哥尼斯堡七桥问 题” ，从而使欧拉 成为图论的创始人 。
第2页，幻灯片共61页
Байду номын сангаас
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地解决了
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示
4. 最短路径及关键路径
14
第14页，幻灯片共61页
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
图论课件第一章 图的基本概念
2、发展历史
图论起源于18世纪的1736年，标志事件是 “哥尼斯堡七桥问题 数学家欧拉被称为“图论之父”
20世纪30年代出版第一本图论著作
7
目前，图论已形成很多分支：如结构图论、 网络图论、代数图论、拓扑图论等
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、 化学、环境保护、流体动力学、心理学、社 会学、交通管理、电信以及数学本身等。
22
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
23
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为 完全图 . 在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
1 容易求出： m (K n (n 1 ) n) 2
(三)、图的同构
在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个 图的异同，这就是图的同构问题。 定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点 集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2 v1↔v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2, 且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：
图论及其应用
应用数学学院
1
《图论及其应用》
作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》 [2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电 出版社，2007 [3] Bela Bollobas ，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书 [4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学 出版社，2005 李慧霸 王风芹译
图论起源于18世纪的1736年，标志事件是 “哥尼斯堡七桥问题 数学家欧拉被称为“图论之父”
20世纪30年代出版第一本图论著作
7
目前，图论已形成很多分支：如结构图论、 网络图论、代数图论、拓扑图论等
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、 化学、环境保护、流体动力学、心理学、社 会学、交通管理、电信以及数学本身等。
22
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
23
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为 完全图 . 在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
1 容易求出： m (K n (n 1 ) n) 2
(三)、图的同构
在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个 图的异同，这就是图的同构问题。 定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点 集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2 v1↔v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2, 且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：
图论及其应用
应用数学学院
1
《图论及其应用》
作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》 [2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电 出版社，2007 [3] Bela Bollobas ，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书 [4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学 出版社，2005 李慧霸 王风芹译
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
第七章图论PPT课件
v V
ห้องสมุดไป่ตู้
deg(v)为偶数，2|E|亦为偶数
vV2
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
-
12
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(- n-1)/2
13
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
a到b的有向边
孤立结点：无邻接点的结点
a
e hi
k
b
df
c
j
l
g
无向边：(a,b), (b,c), (b,d), (c,d), (i,l), (k,l)
有向边：<e,f>, <f,g>, <g,e>, <e,h>, <k,j>, <j,l>
-
5
7-1 图的基本概念
（2）无向图：图中每一边都为无向边
e f
g
deg+(e)=2, deg-(e)=1, deg(e)=3
h deg+(f)=1, deg-(f)=2, deg(f)=3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
度。
定理10.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n－1。
证明 因G无平行边也无环，所以G中任意结点v至多与其 余n－1个结点相邻，于是d(v)≤n－1。由v的任意性可得，
(G)≤n－1。
第10章 图
定义10.10 n阶无向图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}， 称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。对给定非负整数列d ＝(d1，d2，…，dn)，若存在以{v1，v2，…，vn}为结点集的n阶 无向图G使d(vi)＝di(i＝1，2，…，n)，称d是可图化的，若所 得图G为简单图，称d是可简单图化的。
第10章 图
第10章 图
10.1.3结点的度 定义10.7 在有向图G＝<V，E>中，对于结点v∈V，以v为
始点的弧的条数称为v的出度，记为d＋(v)；以v为终点的弧的 条数称为v的入度，记为d－(v)；v的出度和入度之和称为v的度 数，记为d(v)。
在无向图G＝<V，E>中，结点v的度数等于它关联的边数， 记为d(v)。若v有环，规定该结点度数因环而增加2。
第10章 图
第10章 图
10.1 图的基本概念 10.2 路、回路与连通性 10.3 图的矩阵表示 10.4 欧拉图与哈密顿图 10.5 二部图与匹配 10.6 平面图 10.7 树及其应用 10.8 着色问题 10.9 最短路径与关键路径
第10章 图
10.1 图的基本概念
10.1.1图 定义10.1 一个图G定义为一个有序对<V，E>，记为G＝<V，
个结点中任取两点的组合数为Cn2，故完全图Kn的边数为 Cn2。
定义10.3 给每条边(或弧)都赋予权的图G＝<V，E>称为带权 图或加权图，记为G＝<V，E，W>，W为各边(或弧)权的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
第10章 图
10.1.2子图与补图
定义10.4 设G＝<V，E>、G＝<V，E>是两个图，于是
(1)若VV且EE，则称G为G的子图，G为G的母图。 (2)若G是G的子图，且VV或EE，则称G为G的真子图。 (3)若V＝V且EE，则称G为G的生成子图或支撑子图。 定义10.5 G＝<V，E>，V1V且V1≠，以V1为结点集，以两 端点均在V1中的全体边为边集的G的子图，称为V1的诱导子图； E1E且E1≠，以E1为边集，以E1中边关联的结点的全体为结点 集的G的子图，称为E1的诱导子图。
推论：图G中度数为奇数的结点必为偶数个。
第10章 图
定理10.3 在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所 有结点的出度之和。
证明 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若 某个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以 有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出度之和等于边 数，故结论成立。
E>。其中V为非空有限集，其元素称为结点或顶点，E也是有限 集，其元素称为边。对E中的每个边都有V中的两个结点与之对 应，其结点对可以有序也可无序。
若边e与无序结点对[u，v]对应，称e为无向边，简称边，记
为e＝[u，v]，u、v称为边e的端点，也称u和v为邻接点，边e关联
u与v。关联同一结点的两条边称为邻接边。连接一结点与它自 身的边称为环或自回路。两个端点都相同的边称为平行边。
定义10.8无向图中度数为1的结点称为悬挂结点，它对应 的边称为悬挂边。各结点度数均相同的图称为正则图。各结 点度数均为k的图称为k度正则图。
第10章 图
定义10.9 在无向图G＝<V，E>中，令(G)＝max{d(v)|vV}， (G)＝min{d(v)|vV}，称(G)、(G)分别为G的最大度和最小
第10章 图
例1 图10-1所示的两个图分别为无向图和有向图。在图(a)中， e7是环，e1、e2与e3是邻接边。在图(b)中，v2v1与v2v3是邻接边， 但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结点。
第10章 图 对于图，我们只关心图有多少个结点，哪些结点之间有 关。至于结点的记号和位置，边的长短和曲直都不改变图的 本质。但在有向图中，特别强调弧的方向性。 定义10.2(1)含有平行边(或弧)的图称为多重图。不含平行 边(或弧)和环的图称为简单图。 (2)具有n个结点和m条边的图称为(n，m)图，也称n阶图。 一个(n，0)图称为零图，(1，0)图称为平凡图。 (3)任两结点之间都有边(或弧)的简单图称为完全图。n个 结点的无向完全图记为Kn。若n阶有向简单图的基图为Kn，称 其为n阶竞赛图。
例4，在图10-1(a)中，d(v1)＝3，d(v2)＝5，在图10-1(b)中， d＋(v2)＝2，d－(v2)＝1。
第10章 图
定理10.2(握手定理)在图G＝<V，E>中，结点度数的总和 等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
证明 因为图G中的每条边(包括环)都有两个端点，所以加 上一条边就使各结点度数之和增加2，因此图G中结点度数的总 和等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
第10章 图
(4)在一个n边形内放置一个结点，使之与n边形的各结点有 边，这样得到的简单图称为轮图，记为Wn。
例2在图10-2中，图(a)是简单图且为完全图，但图(b)是多重 图，因为e4和e5是平行弧。
第10章 图
定理10.1 完全图Kn的边数为Cn2。 证明 因为在完全图Kn中任意两结点之间都有边相连，所以n
第10章 图
若边e与有序结点对<u，v>对应，称e为有向边或弧，记为e ＝<u，v>，u称为弧e的始点，v称为弧e的终点，也称u邻接到v， v邻接于u。若e和e有相同的始点，称e和e相邻。始点和终点都 相同的弧称为平行弧。
在图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 每条边都是无向边的图称为无向图。每条边都是有向边的 图称为有向图。既有有向边也有无向边的图称为混合图。将有 向图各有向边去掉方向后的无向图称为原来图的基图。
第10章 图
定义10.6 若G＝<V，E>是一个n阶无向简单图，从Kn中删 去G的所有边而得到的图称为G的补图或G的相对于完全图的 补图，记为 。
例3 在图10-3中，图(b)、(c)、(d)都是图(a)的子图，也是 真子图。图(b)和(c)是图(a)的生成子图。图(d)既是结点集｛v2， v3，v4｝的诱导子图，也是边集{[v2，v3]，[v2，v4]，[v3，v4]} 的诱导子图。图(b)和(c)互为补图。
定理10.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n－1。
证明 因G无平行边也无环，所以G中任意结点v至多与其 余n－1个结点相邻，于是d(v)≤n－1。由v的任意性可得，
(G)≤n－1。
第10章 图
定义10.10 n阶无向图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}， 称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。对给定非负整数列d ＝(d1，d2，…，dn)，若存在以{v1，v2，…，vn}为结点集的n阶 无向图G使d(vi)＝di(i＝1，2，…，n)，称d是可图化的，若所 得图G为简单图，称d是可简单图化的。
第10章 图
第10章 图
10.1.3结点的度 定义10.7 在有向图G＝<V，E>中，对于结点v∈V，以v为
始点的弧的条数称为v的出度，记为d＋(v)；以v为终点的弧的 条数称为v的入度，记为d－(v)；v的出度和入度之和称为v的度 数，记为d(v)。
在无向图G＝<V，E>中，结点v的度数等于它关联的边数， 记为d(v)。若v有环，规定该结点度数因环而增加2。
第10章 图
第10章 图
10.1 图的基本概念 10.2 路、回路与连通性 10.3 图的矩阵表示 10.4 欧拉图与哈密顿图 10.5 二部图与匹配 10.6 平面图 10.7 树及其应用 10.8 着色问题 10.9 最短路径与关键路径
第10章 图
10.1 图的基本概念
10.1.1图 定义10.1 一个图G定义为一个有序对<V，E>，记为G＝<V，
个结点中任取两点的组合数为Cn2，故完全图Kn的边数为 Cn2。
定义10.3 给每条边(或弧)都赋予权的图G＝<V，E>称为带权 图或加权图，记为G＝<V，E，W>，W为各边(或弧)权的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
第10章 图
10.1.2子图与补图
定义10.4 设G＝<V，E>、G＝<V，E>是两个图，于是
(1)若VV且EE，则称G为G的子图，G为G的母图。 (2)若G是G的子图，且VV或EE，则称G为G的真子图。 (3)若V＝V且EE，则称G为G的生成子图或支撑子图。 定义10.5 G＝<V，E>，V1V且V1≠，以V1为结点集，以两 端点均在V1中的全体边为边集的G的子图，称为V1的诱导子图； E1E且E1≠，以E1为边集，以E1中边关联的结点的全体为结点 集的G的子图，称为E1的诱导子图。
推论：图G中度数为奇数的结点必为偶数个。
第10章 图
定理10.3 在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所 有结点的出度之和。
证明 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若 某个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以 有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出度之和等于边 数，故结论成立。
E>。其中V为非空有限集，其元素称为结点或顶点，E也是有限 集，其元素称为边。对E中的每个边都有V中的两个结点与之对 应，其结点对可以有序也可无序。
若边e与无序结点对[u，v]对应，称e为无向边，简称边，记
为e＝[u，v]，u、v称为边e的端点，也称u和v为邻接点，边e关联
u与v。关联同一结点的两条边称为邻接边。连接一结点与它自 身的边称为环或自回路。两个端点都相同的边称为平行边。
定义10.8无向图中度数为1的结点称为悬挂结点，它对应 的边称为悬挂边。各结点度数均相同的图称为正则图。各结 点度数均为k的图称为k度正则图。
第10章 图
定义10.9 在无向图G＝<V，E>中，令(G)＝max{d(v)|vV}， (G)＝min{d(v)|vV}，称(G)、(G)分别为G的最大度和最小
第10章 图
例1 图10-1所示的两个图分别为无向图和有向图。在图(a)中， e7是环，e1、e2与e3是邻接边。在图(b)中，v2v1与v2v3是邻接边， 但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结点。
第10章 图 对于图，我们只关心图有多少个结点，哪些结点之间有 关。至于结点的记号和位置，边的长短和曲直都不改变图的 本质。但在有向图中，特别强调弧的方向性。 定义10.2(1)含有平行边(或弧)的图称为多重图。不含平行 边(或弧)和环的图称为简单图。 (2)具有n个结点和m条边的图称为(n，m)图，也称n阶图。 一个(n，0)图称为零图，(1，0)图称为平凡图。 (3)任两结点之间都有边(或弧)的简单图称为完全图。n个 结点的无向完全图记为Kn。若n阶有向简单图的基图为Kn，称 其为n阶竞赛图。
例4，在图10-1(a)中，d(v1)＝3，d(v2)＝5，在图10-1(b)中， d＋(v2)＝2，d－(v2)＝1。
第10章 图
定理10.2(握手定理)在图G＝<V，E>中，结点度数的总和 等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
证明 因为图G中的每条边(包括环)都有两个端点，所以加 上一条边就使各结点度数之和增加2，因此图G中结点度数的总 和等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
第10章 图
(4)在一个n边形内放置一个结点，使之与n边形的各结点有 边，这样得到的简单图称为轮图，记为Wn。
例2在图10-2中，图(a)是简单图且为完全图，但图(b)是多重 图，因为e4和e5是平行弧。
第10章 图
定理10.1 完全图Kn的边数为Cn2。 证明 因为在完全图Kn中任意两结点之间都有边相连，所以n
第10章 图
若边e与有序结点对<u，v>对应，称e为有向边或弧，记为e ＝<u，v>，u称为弧e的始点，v称为弧e的终点，也称u邻接到v， v邻接于u。若e和e有相同的始点，称e和e相邻。始点和终点都 相同的弧称为平行弧。
在图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 每条边都是无向边的图称为无向图。每条边都是有向边的 图称为有向图。既有有向边也有无向边的图称为混合图。将有 向图各有向边去掉方向后的无向图称为原来图的基图。
第10章 图
定义10.6 若G＝<V，E>是一个n阶无向简单图，从Kn中删 去G的所有边而得到的图称为G的补图或G的相对于完全图的 补图，记为 。
例3 在图10-3中，图(b)、(c)、(d)都是图(a)的子图，也是 真子图。图(b)和(c)是图(a)的生成子图。图(d)既是结点集｛v2， v3，v4｝的诱导子图，也是边集{[v2，v3]，[v2，v4]，[v3，v4]} 的诱导子图。图(b)和(c)互为补图。