印度与阿拉伯数学分解

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第三讲印度与阿拉伯的数学

该书包括了《天文表集》、《算术》、《时间度量》与《球》等篇，最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
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印度与阿拉伯的数学
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印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
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印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶，操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
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表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚些又在意大利和欧洲出现。
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“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡）对应于较大余数的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小，而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的数。……

印度与阿拉伯的数学

古代《绳法经》中的数学
《吠陀》——婆罗门教的经典
《绳法经》——《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的
部分《测绳的法规》——几何内容和建筑中的代数计算问题。
如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一
些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了
圆周率的以下近似值：
41 1 1 1
= y 2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到
x m y m a
满足a x2 + k (m2 -a）= y 2, 即
a
m
k
2
m2 k
a
m k
a
2
最后根据“库塔卡”方法，可以找到 m 使 k m + , 并且使 m2 a
最小。计算
m
k
1
m2 a k k1
m
a
k
1
则（1 ，1）是方程ax 2 + k1 = y2的解。用1 ，1，k1代替，，k，重
《算法本源》主要是算术和代数著作。什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”
问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax 2 + 1 = y 2 ，婆什迦罗首先选择适当
的整数k ，找出a x 2 + k = y 2的一组特解( , )，即a 2 + k = 2，另外再找一个整数 m，使（1，m）是a x 2 +（m2 -a）
+ k ’ = y2的解( , )与(‘, ’ ),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得
到:
x ' '
y ' a '
, 为ax2 + k k' = y2的解.

印度数学与阿拉伯数学

第一节印度数学
2、婆罗摩笈多 • 约公元598年生，约660年卒 • 印度印多尔北部乌贾因地方人（原籍可能为现在巴基斯坦的信德），长期在乌贾因工作 • 30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》（公元628 年），分24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲义》两章专论数学，其他各章关于天文学研究 • 前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程；
第一节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ印度数学
二、印度数学史的分期印度数学的多元化背景；（多民族的交替入侵，使古代印度文化包括印度数学不可避免地呈现多元化的复杂背景）宗教影响；（婆罗门教，佛教，蓍那教）
第一节印度数学
• 河谷文化：雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（前3500—前1500）； • 吠陀时期：（前10世纪至公元前3世纪） • 悉檀多时期：约自公元3世纪到12世纪。悉檀多指历法的总名，意译为“历数书”。
第一节印度数学
• 1、河谷文化：象形文字至今不能解读； • 2、吠陀时代的数学：公元前10世纪，至公元前3世纪。吠陀，原意为知识、光明。《吠陀》为婆罗门教和印度教的经典。 • 《绳法经》：《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分，有一些数学内容。 • 蓍那教的经典由宗教原理，数学原理，算术和天文等部分组成，流传下来的原始文献较少；
• “巴克沙利手稿”内容：涉及到分数、平
方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。 • 出现了10个完整的十进制数码，用点表示 “0”。
第一节印度数学
• 关于印度数码中的“0” • 用圆圈符号“0”表示零，是印度数学的一大发明； • “0”的意义：无；位置记数种的空位；数域中的基本元素； • 巴比伦和玛雅人也有表示空位的符号，但未看成一个单独的数； • 印度人起初用空位表示零，后来变为点号，最迟9世纪发展为圈号；11世纪，包含零号的印度数码和十进位值计数法成熟； • 印度数码8世纪传入阿拉伯国家； • 后又经阿拉伯人传入欧洲，最迟13世纪费波纳气的《算经》中就有完整的印度数码介绍。

《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)解析

巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为：
古代印度数学
• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人创造的.
关于0的发明
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的
1
作为度
量弧的单位，实际是弧度制度量的 3438
4.1.1古代《绳法经》
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文 veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．
吠陀时期（公元前10－前3世纪）
数学史讲义
印度与阿拉伯数学
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐· 达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．

古印度与阿拉伯数学的代数与方程解法

古印度与阿拉伯数学的代数与方程解法古印度和阿拉伯在数学领域有着悠久的历史和卓越的贡献。

特别是在代数和方程解法方面，古印度和阿拉伯学者的研究成果为后世的数学发展奠定了坚实的基础。

本文将分别介绍古印度与阿拉伯数学在代数和方程解法方面的重要成就。

一、古印度数学的代数与方程解法古印度是数学史上的一个重要发源地，其代数和方程解法方面的贡献不可忽视。

首先，印度学者在代数方面的研究成果为后世的代数学发展做出了重要贡献。

他们提出了一种称为“数字代数”的方法，用来解决各种数学问题。

这种方法通过将问题转化为方程或等式，通过变量的运算来求解未知数的值。

例如，古印度学者在解决线性方程组时，采用了矩阵和向量的概念，将方程组转化为矩阵形式，通过矩阵的运算来求解未知数。

此外，古印度数学家还发展了代数的符号表示法，引入了一些常用的符号和表示方法，使得代数运算更加简洁明了。

例如，他们使用字母来表示未知数，使用加减乘除的符号来表示运算，这些符号在后世的代数学中得到了广泛应用。

在方程解法方面，古印度数学家提出了一种被称为“开平方法”的方法，用来求解二次方程的根。

这种方法基于古印度数学家对数学方程的深入研究和创新思维，通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的解。

这种开平方法不仅简便实用，而且为后世的代数学研究提供了宝贵的经验和技巧。

二、阿拉伯数学的代数与方程解法阿拉伯数学在代数和方程解法方面的成就同样不可小觑。

在9至12世纪的伊斯兰黄金时代，阿拉伯学者在代数和方程解法方面做出了重要贡献。

他们传承了古印度数学的成果，并加以发展和完善。

阿拉伯数学家在代数方面的重要贡献之一是他们对多项式的研究。

他们研究多项式的性质和运算规律，提出了一些重要的理论和方法。

例如，他们发展了二次方程的求解方法，采用了“完全平方”的概念，通过变量的运算和配方法，巧妙地将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的根。

此外，阿拉伯数学家还在方程解法方面提出了一种称为“代数逻辑”的方法。

古印度与阿拉伯数学的数学问题与研究课题

古印度与阿拉伯数学的数学问题与研究课题自古至今，数学一直是人类文明的重要组成部分。

在数学发展的历史长河中，古印度与阿拉伯两大文明区域的数学成就备受瞩目。

本文将探讨古印度与阿拉伯数学的数学问题与研究课题。

一、古印度数学的问题与研究课题古印度数学又被称为印度数学，它的数学成就广泛涵盖了数论、代数、几何等领域。

在数论方面，古印度的数学家们研究了各种数论问题，例如质数分布、数的分类等。

其中最具代表性的是印度数学家巴克沙利的《解数字》，其中包含了求解二次方程的方法以及三个未知数的问题，为代数学的发展做出了重要贡献。

在几何学领域，古印度的数学家们研究了三角学和几何学问题。

他们发现了正弦、余弦和正切等三角函数的性质，并研究了三角形的周长、面积等问题。

此外，在几何方面，他们还探索了圆的性质、切线以及面积计算等课题。

古印度数学的研究课题不仅仅局限于纯粹的数论和几何学，他们还对无理数、无限级数等概念进行了探索。

这些问题与研究课题不仅仅体现了古印度数学家们的聪明才智，同时也为后来数学的发展奠定了基础。

二、阿拉伯数学的问题与研究课题阿拉伯数学，又被称为伊斯兰数学，是指在伊斯兰世界中进行的数学研究。

阿拉伯数学融合了印度、希腊、波斯等古代数学的成果，使之得以传承和发展。

在代数学方面，阿拉伯数学家们致力于解决高次方程的求解问题。

其中最著名的数学家是艾本·穆萨，他在《探索代数》中总结了一种求解高次方程的方法，为后世代数学的发展起到了重要作用。

此外，阿拉伯数学家还研究了概率论、组合数学等代数问题，并提出了许多重要的理论和方法。

在几何学领域，阿拉伯数学家们对欧几里德几何进行了深入研究，并提出了许多新的几何定理。

其中，阿拉伯数学家纳西尔丁·图西在《数学大全》中提出了一种无理数相等的新判定法，并对圆锥曲线、球体等进行了深入的研究。

阿拉伯数学的研究课题还包括三角学、数论、积分学等。

他们在这些领域内提出了一系列的理论和定理，为数学的发展贡献了许多杰出的思想和成果。

3 印度与阿拉伯的数学

一、印度的数学1、阿耶波多《阿耶波多文集》中一章专讲数学，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，得出了圆周率为3.1416的较精确的近似值。

2、婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》包括算术讲义、不定方程讲义等，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容3、摩诃毗罗《数学九章》算术运算、开平方和开立方二次方程及组合问题，还涉及二次不定方程的解法等4、婆什伽罗《丽罗娃提》《算法本原》有理数的四则运算、线性方程和不定方程（一）印度的算术1、印度数码2、10进位值制计数法3、负数4、分数5、开平方和开立方6、级数求和（二）印度的代数1、印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程2、印度数学家常用假设法作为解方程或方程组的工具3、二次方程4、双二次方程和一些特殊的三次方程5、不定方程（三）印度的几何与三角1、一些常见的几何的体积公式2、沿用古希腊数学家托勒密的方法，把圆分成360度或21600分3、正弦表二、阿拉伯的数学对数学的传播和保留（一）阿拉伯数学的分期与杰出的数学家1、早期：8世纪中叶——9世纪（高峰期）花拉子米——编辑了阿拉伯最古老的天文表、《代数学》、《算术发发》介绍印度数码的计算2、中期：10世纪——12世纪巴塔尼——天文学研究需要而致力于三角学的研究阿布。

瓦法——三角学和算术都有重要贡献奥玛。

海雅梅——《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显进步，详尽研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形的理论3、后期：13世纪——15世纪中叶纳西尔丁。

图西卡西——《算术之钥》二项式展开、高次方程的数值解法（二）阿拉伯的算术与代数1、花拉子米的《代数学》第一部分现代意义下的初等代数（系统讨论了6中类型的一次或二次方程的解法，介绍了配平法）第二部分论及各种实用算术问题第三部分例举了有关继承遗产的各种类型的问题2、奥玛。

海雅梅《代数学》中用圆锥曲线来解代数方程（用几何来解决代数问题）（三）阿拉伯的几何与三角1、探讨平行公设问题的先驱2、阿布。

第四章古代印度和阿拉伯数学

当我们不能用数学的圆规和经验的火炬时，… … 肯定的，我们连一步也不能向前迈进。

--------沃尔泰（法）代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。

--------A.N.怀特海(法)第4章古代印度与阿拉伯的数学§4.1 古代印度数学§4.2 中世纪阿拉伯数学§4.1 古代印度数学一、古代印度历史文化简述印度位于喜马拉雅山南麓的印度河、恒河流域的南亚次大陆。

（我国汉代史籍称之为“天竺”、唐代改译为“印度”），印度文明可远溯至公元前3000年，印度的主要原始居民达罗毗荼人创造了古老的哈拉帕文化。

他们发展了相当水平的农业（其中植棉在世界上最早）、手工制造业和畜牧业，还建立了许多规模宏大的城市。

在公元前2000年左右属于印欧语系的雅利安人部落从中亚高原南下，入侵印度，征服达罗毗荼人，哈拉帕文化开始走向衰亡。

公元前1000年左右，印度开始进入奴隶制社会，南亚次大陆共出现20个左右奴隶制小型国家，互相征战，争夺霸权。

公元前6世纪，以恒河流域为中心的北印度逐步形成一个奴隶制君主专制的统一国家摩揭陀王国。

到公元前四世纪末，发展为强盛的孔雀王朝（约公元前324～前185年）。

在此期间，印度曾不断遭受外族入侵。

公元前500多年，波斯帝国曾将印度部分土地并入它的版图；公元前327年，亚历山大大帝入侵旁遮普，在此建立了马其顿人的莫尔雅帝国。

公元一世纪，大月氏人（原为我国甘肃敦煌一带的游牧民族）征服整个印度河流域，并将它们并入贵霜帝国。

虽然公元四世纪至五世纪初，印度的笈多王朝（320～540）兴起，重新确立对印度西北部的统治，但从五世纪中叶开始，印度又相继遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。

这一切都使得古印度文明呈现东西方文明交错的多元化复杂背景。

古代印度的数学主要起源于农业（天文观测）和宗教。

印度是世界上宗教发展最早且最发达的国家，早在公元前一千多年，雅利安人为维护奴隶主统治就创立了婆罗门教（公元4世纪后改为印度教）。

第3章印度与阿拉伯的数学解析

波斯人奥马· 海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程．奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段，里 c a, c d b ，按照希腊人的数学传统， c 2正方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》．书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半

《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)[内容充实]

数学史讲义
印度与阿拉伯数学
高等课讲
1
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈。
高等课讲
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巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码：
高等课讲7Fra bibliotek吠陀》手稿（毛里求斯，1980）
高等课讲
印度雅利安人的作品，《绳法经》出现在吠陀时代，包含毕达哥拉斯定理等数学知识
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这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都

古印度与阿拉伯数学的数制与计算方法

古印度与阿拉伯数学的数制与计算方法古印度与阿拉伯数学历史悠久，这两个文明曾为世界数学的发展做出了巨大贡献。

在古印度和阿拉伯，数制和计算方法的发展极具特色，对后世的数学发展产生了深远的影响。

一、古印度数制与计算方法古印度数制的发展可以追溯到公元前600年左右。

该数制采用了一种称为“十进制”（decimal）的基数系统，即以10为基数进行记数。

这种数制体系在世界范围内广泛应用，直至今日。

古印度数制中的主要特点是引入了零的概念。

在其他文明中，零早已存在，但是古印度数学家将零作为一个独立的数字引入到数制中，并赋予它明确的意义。

这一创新使得数学运算更加简便和准确。

此外，古印度数制还使用了字母来表示数字，每个数字都有一个相应的符号。

这种表示方式在数学运算中起到了重要的辅助作用。

古印度人在计算方法上也有许多独特之处。

他们开发了一套称为“巴克什利”（Bakhshali）的计算方法，其中包括了加法、减法、乘法和除法。

这种方法在计算大数和进行精确计算时非常有用，对于贸易和日常生活都起到了极大的帮助。

古印度数学家还发展了一种用来开方的算法，称为“贝兹努”（Bhaskara），这在当时也是一项重大的成就。

二、阿拉伯数制与计算方法阿拉伯数制的起源可以追溯到公元9世纪左右，它是由阿拉伯数学家从古印度数制中借鉴并发展而来的。

阿拉伯数制也采用了十进制的基数系统，并引入了零的概念。

这种数制在欧洲的传播被称为“阿拉伯数字”，对现代的数学和科学发展产生了巨大的影响。

阿拉伯数制的特点是使用了十个阿拉伯数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）表示所有的数字，而不是使用字母或其他符号。

这种表示方式在计算机科学和工程领域得到广泛应用，因为它简洁明了，易于理解和使用。

阿拉伯数学家在计算方法上取得了重大突破。

他们发展了一套称为“阿拉伯计算法”（algorithms）的方法，其中包括了加减乘除运算、开方、近似计算等。

这种计算方法在商业、航海和科学领域得到广泛应用，极大地推动了数学的发展。

《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)

k ●给出了一般性的组合数 C n 公式 ●给出椭圆周长近似公式：
C 24b 2 16a 2 .
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得商，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减
去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．

古印度与阿拉伯数学的数论与密码学

古印度与阿拉伯数学的数论与密码学古印度与阿拉伯两大数学传统，为世界数学学科的发展做出了巨大贡献。

在数论与密码学领域尤其如此。

本文将从两个方面介绍古印度与阿拉伯数学在数论与密码学方面的成就，展示其在数学史上的重要地位。

一、古印度数论与密码学的贡献古印度数学在数论与密码学方面有着丰富的成就。

其中最著名的是《数论圣书》（Siddhanta Siromani）中的数学理论。

该书由印度数学家布拉马古普塔所著，包含了广泛的数学内容，其中涉及了数论和密码学的重要方法。

首先，古印度数学家提出了一种独特的整除算法。

在这种算法中，整数被分解为质因数的乘积，并发展出了判断一个整数是否为质数的方法。

这为后来的密码学研究提供了基础。

另外，古印度数学家还研究了不同的数学序列，如等差数列和等比数列，并将其应用到密码学领域。

通过研究序列的规律，他们能够解密密码，保护国家机密信息的安全。

此外，古印度数学家还研究了同余方程及其应用，为密码学的发展奠定了理论基础。

同余方程是数论中重要的概念，它也是密码学中用于加密和解密的重要工具之一。

二、阿拉伯数论与密码学的贡献在中世纪，阿拉伯地区成为数学学科的重要中心。

阿拉伯数学家们汇集了希腊、古印度和巴比伦等数学传统，发展出了自己的数学理论，并在数论与密码学领域做出了重要贡献。

首先，阿拉伯数学家们对古印度的数学理论进行了进一步的发展和推广。

他们进一步完善了整除算法，并引入了十进制数制。

这使得数字的表示更加便捷，也为密码学的发展提供了便利。

此外，阿拉伯数学家还进一步研究了同余方程，并在密码学中应用。

他们发展出了更为复杂的同余算法，使得加密算法更加灵活和安全。

阿拉伯数学家们还研究了数论中的诸多问题，如完全数、亲和数、素数等，这些研究对于密码学的发展产生了重要影响。

他们发现了许多规律和性质，为密码学的设计提供了新的思路与方法。

结论古印度与阿拉伯数学的数论与密码学研究，为现代密码学的发展奠定了基础。

它们的研究成果不仅丰富了数学学科本身，同时也对密码学的理论与实践有着重要影响。

第四讲印度与阿拉伯的数学-PPT精品文档

2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多 32～33、余数粉碎法（库塔卡）对应于较大余数的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小，而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的数。……
2007年9月
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学
印度数学的发展可以划分为3个重要时期： Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前 3000－前1400），史称河谷文化； Ⅱ吠陀时期（约公元前10世纪－前3世纪）； Ⅲ悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 1、古代《绳法经》
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多婆罗摩笈多著有《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数学内容。《婆罗摩修正体系》全书24章，专论数学的有两章（第12章，“算术”；第18章，“代数”）。
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印度与阿拉伯的数学
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印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕有弧度制的观念。阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方程研究之先河。
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算法则；同时，婆罗摩笈多是最早认识负数概念的数学家之一，并在历史上第一次提出负数的乘除法则。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。

阿拉伯数字与印度

阿拉伯数字与印度
阿拉伯数字与印度阿拉伯数字与印度
阿拉伯数字是我们今天记数的基础，但实际发明者不是阿拉伯人，而是印度人。

最古的计数数目大概至多到“3”，为了要设想“4”这个数字，就必须把2和2
加起来，5是2加2加1，3这个数字是2加1得来的。

大概较晚才出现用手的5指表示“5”这个数字和用双手的10指表示“10”这个数字，这个原则实际上也是我们计数的基础。

罗马的计数只有“V”的数字，“Ⅹ”的数字是两个“Ⅴ”的组合，同一数字符号根据它与其它数字符号的位置关系，而具有不同的量，这样就开始有了数字位置的概念。

在数学上这个重要的贡献应归功于两河流域的古代居民，后来，古印度人在这个基础上加以改进，并发明了表示数字的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0十个字符，这就成了我们今天计数的基础。

八世纪印度出现了有“0”符号的最古老的刻板记录，当时称“0”为首那（Sanya），所谓马克斯哈利稿本（包括70张来源和年代不确定的桦木皮纸）是以一点代表零的，这个“印度计数法”，九世纪时为阿拉伯的花刺子模人穆罕·伊本·穆沙编入其825年左右问世的《代数学》，并加以解释，使十进位法完备起来，零不但可以表示最大的数目，并且便于计算，这些数字被阿拉伯人传入欧洲，因此称为阿拉伯数字。

印度-阿拉伯数字系统

起源和发展演变
• 公元3世纪，印度的一位科学家巴格达巴格达发明了阿拉伯数字。巴格达 • 公元500年前后，经济、文化以及佛教的兴起发展，印度旁遮普地区的数学一直处于领先地位。天文学家阿叶彼海特数字简化的突破。 • 公元700年前后，阿拉伯人建立了东起印度，西到西班牙的阿拉伯帝国。后来帝国分裂成东、西两国。东部国东都 ---巴格达，因西来的希腊文化、东来的印度文化都汇集于此。阿拉伯人将其理解消化，创造阿拉伯文化。
印度-阿拉伯数字的优点印度阿拉伯数字的优点
• 阿拉伯数字是世界三大字符（阿拉伯数字，华夏汉字，拉丁字母）之一，因其笔画简单，书写方便，加上使用十进位制便于运算，易于推广使用。这表明它一开始就具备人类共同接受的天资。
字符
THE END THANKS
• 公元771年，印度北部的数学家被抓到阿拉伯的
巴格达，被迫传授新的数学符号和体系，及印度式的计算方法（即现在用的计算法）
传播：传入欧洲
• 公元世纪，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元8世纪阿拉伯人把这种数字传入西班牙。世纪， • 公元10世纪，由教皇热尔贝奥里亚克传到欧洲其公元世纪，由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其世纪热尔贝他国家。他国家。 • 公元公元1200年左右，欧洲的学者正式采用这些符号年左右，年左右和体系。和体系。 • 13世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契的倡导世纪，世纪普通欧洲人开始采用阿拉伯数字。下，普通欧洲人开始采用阿拉伯数字。 • 15世纪阿拉伯数字普及欧洲世纪阿拉伯数字普及欧洲
现在的使用支流
三大分支：三大分支： • 西方阿拉伯数字，世上最流行的记西方阿拉伯数字，数系统。数系统。 • 阿拉伯文数字，中东地区和西亚流阿拉伯文数字，行的记数系统。行的记数系统。 • 印度数字，印度祖传的记数系统。印度数字让数字的纪录更简便，简化小数和循环小数的记载。 • 此系统只需13个符号就可表示所有有理数： 10个数字符号、小数点、负号和一种分数符号（分号或循环小数符号）。 • 印度-阿拉伯数字系统也巩固了“〇”在西方世界的概念。