平面向量的数量积复习ppt课件

1
2
a
2
b
2
2
4
1
2
2
16 4
3
当且仅当a b 2时, S有最大值,此时cos a b 2 1
a b 22 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范1围0
例4. 已知两点M 1,0, N1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
公差小于零的等差数列, 求点P的横坐标的取值范围?
解: 记Px, y,由M 1,0, N1,0得
PM 1 x,y, PN 1 x,y, MN 2,0
MP MN 21 x, PM PN x2 y2 1, NM NP 21 x,
于是MP MN, PM PN, NM NP是公差小于零的等差数列等价于
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x
2
y2
1
1
21
x
21
x
2
21 x 21 x 0
求a与b的夹角
B
解 :因为 a
b
2,
所以a2
2
2a b b
4
b
2
2
a b 4 2a b 4 2 2 8
O
A
S AOB
1 OA OB sin
2
1 2
a
b
1 cos2
1
22
a b
22
a b cos2
1
22
2
a b ab
2
2
a
cos
ab
a b
1 2
2
2
a b 4
复习课
平面向量的数量积
1
复习目标：
1、掌握向量数量积定义，几何意义，坐标表示及其 在物理学上的应用。 2、掌握平面两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示 的充要条件。
3、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直等问题。
2
一、知识复习
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
2
ka
2k
1a b
2
2b
0
k 25 2k 1 5 4 cos60 216 0
解得: k 14 15
所以当k 14时, ka b a 2b 15
两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方
法之一.
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例3、已知OA a,OB b, a b a b 2,当AOB的面积有最大值时,
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
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例2、 已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
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二、基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0,20 a 0, 3a b a c b c, 4a b a b ,其中正确的个数为: D
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向量,下列结论正确的是: B
1a b ab 0 当a 0时, a b 0,不能推出b 0 内积为零是判定两向量垂直的充要条件
设非零向量a x1, y1,b x2, y2 ,则a b x1x2 y1y2 0
2.当a与b同向时, a b a b ;当向量a与b反向时, a b a b
2
特别地, a a a 或a a a
即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
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小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、 运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
是a和b的夹角,范围是0
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定: 0 a 0
数量积的坐标公式： a b x1x2 y1y2 其中： a (x1, y1), b (x2, y2)
3
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a a b b a cos
O | b | cos
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
S
F cos
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
设a x, y,则a x2 y2
用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么
a x1 x2 2 y1 y2 2 . 这就是平面内两点间的距离公式
3.cos a b . 用于计算向量的夹角
ab
设a x1, y1 ,b x2, y2 ,则cos
D
C
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
60
2
或AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反
A120
B
AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2
或AB CD AB 16
进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量
4.若a 0,1,b 1,1且 a b a,则实数的值是 （A）
A．-1 B.0 C.1 D.2
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三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4 . a b a b 证明柯西不等式特例: x1x2 y1y2 2 x12 y12 x22 y22
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5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a)b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b)c a c bc
A.a b 1
2
2
B.a b
C.a平行b a b
D.a b 0
3.设向量a x1, y1,b x2, y2 ,有下列命题: 1a x12 y12 ,
2b2 x22 y22 , 3a b x1x2 y1 y2, 4a b x1x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵