平面向量的数量积复习ppt课件

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos

1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos

θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2

高三一轮复习课件平面向量的数量积

a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的利
性用
质向
和量
几的何Biblioteka 加意法义和简减
化法
计进
算行
b. 简化
注计
意算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几何意义简化计算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定理：两个向量的数量积等于这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的性质：向量数量积的绝对值等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的
余弦值
向量数量积的定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的余
记开方等
理解错误，如混淆向量的数量积和向量积
的性质
应用错误，如无法正确应用向量的数量积解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其正负性
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其方向
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因

高中数学课件平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1：已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即 x＝，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2）＋（y1－y2）则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节平面向量的数量积
1.两个向量的夹角定义范围向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直，记作a⊥b（规定零向量可与任一向量垂直）
非零已知两个_____向量a,b，作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)

例1. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b的夹角为θ＝120°，求：a·b，(a＋b) 2，|a-b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2,|a-b|，求模时转化为求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
| OuuAu1ur|| auu| ucuor s1r
| A1B1 || AB2 || b | cos2
uuuur uuur uuuur
Q|
Or B1r||
OA1
|

| r
A1B1
|
r
A
B2
2
ab B
r | a r b |rcos r| ar| cosr1 | b | cos2
1
c (a b) | c || a b | cos
rrLeabharlann rrOA1 c B1 C
|
c r
|| a r
|
cos rr
1

|
c
||
b
|
cos

2
r r rc ar crb r r
(a b) c a c b c
4.例题剖析加强应用
题型一求向量的数量积及向量的模
＝4×4×(－cos A)，
∵A→B·C→A＝－8，
∴cos A＝12，又∵A 为三角形的内角，
| | | | ∴A＝60°，又
→ AB
＝
→ AC
＝4
点评：∴△向A量B的C夹为角正必三须角共形起．点．所以向量A→B与C→A的夹角为(π－A).

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件

5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零向量 :(1)0 与实数 0 的区别，不可写错： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝（ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D，所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D，所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)

，求

∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！

《平面向量的数量积》课件

数量积的性质

对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包括对称性、分配律等。

平面向量的数量积课件-——2025届高三数学一轮复习

则 AB • AC 16
（二）以 AB、AC 作为基向量
AB
AD
1 2
BC
①
AC
AD
1 2
BC
②
AB• AC (AD 1 BC) • (AD 1 BC)
2
2
2
AD
1
2
BC
4
16
合作探究
【变式练习】
已知正三角形
ABC
的边长为
2，点 M
满足 CM
1 CA 3
3 2
CB
，则 MA MB
的值为（
cos
1 cos 2 1 sin 2 1 2 sin(2 )
2
2
22
4
∵
0 ,则
4Leabharlann 4244,
∴当
2
4
4
时,
PA • PD有最大值1
合作探究
【变式练习】
圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 2 ， AB 是圆 C 的任意一条直径， M 是抛物线 y2 4x 上的动点，则 MA MB 的最小值是
【解析】
2
2
2
2a b 4a 4a •b b
16 4 a b cos 9
25 24cos
2a b 49
max
2a b 1
m in
2a b 1,49
回归思教考材辨析人教A版第二册第24页第21题
2.已知 ABC 的外接圆圆心为O ，且2 AO AB AC , OA AB ,则向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为（）
回归思教考材辨析人教A版第二册第23页第10题
1.若 a ，b 满足 a 2, b 3 ，则 a b 的最大值为

平面向量数量积课件

综合练习题
总结词
综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。
详细描述
综合练习题是平面向量数量积练习题的最高级别，需要学生综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。这些练习题会涉及多个知识点和多种解题技巧，包括利用向量数量积的运算规则进行复杂向量问题的运算、利用向量数量积的几何意义解决与几何图形相关的问题等。通过这些练习题，学生可以培养综合运用知识的能力和解决实际问题的能力，提高对平面向量数量积的综合运用水平。
THANKS
感谢观看
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，可以将一个力分解为多个方向的力，然后通过计算各个方向的力与物体质量的关系，得到物体加速度等物理量。
速度与加速度
能量与动量
在物理中，能量和动量是两个重要的物理量，可以通过计算向量数量积来计算它们的变化。
可以通过计算速度和加速度的数量积来计算物体在某可以表示两个向量在某个方向上的投影分量的乘积。例如，在力学中，力的大小和方向可以用一个向量来表示，而力的作用点也可以用一个向量来表示。当两个力作用于同一物体上时，它们会产生一个合力，这个合力的方向和大小可以通过两
个力的数量积来计算。
02
平面向量数量积的运算
数量积的运算律与性质
平面向量数量积的例题解析
基础题解析
总结词
掌握平面向量数量积的基本概念和性质，熟悉向量数量积的运算规则。
详细描述
通过分析例题，让学生了解平面向量数量积的基本概念和性质，掌握向量数量积的运算规则，包括如何进行向量的数乘、向量的加法、向量的减法以及向量的数乘、向量的加法、向量的减法的混合运算。同时，让学生了解平面向量数量积在几何和物理问题中的重要应用，例如在求解距离、夹角等问题中的应用。

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |

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2
ka
2k
1a b
2
2b
0
k 25 2k 1 5 4 cos60 216 0
解得: k 14 15
所以当k 14时, ka b a 2b 15
两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方
法之一.
9
例3、已知OA a,OB b, a b a b 2,当AOB的面积有最大值时,
复习课
平面向量的数量积
1
复习目标：
1、掌握向量数量积定义，几何意义，坐标表示及其在物理学上的应用。 2、掌握平面两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示的充要条件。
3、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直等问题。
2
一、知识复习
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
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例2、已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
是a和b的夹角,范围是0
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定: 0 a 0
数量积的坐标公式： a b x1x2 y1y2 其中： a (x1, y1), b (x2, y2)
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2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a a b b a cos
O | b | cos
D
C
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
60
2
或AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反
A120
B
AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2
或AB CD AB 16
进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量
设a x, y,则a x2 y2
用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么
a x1 x2 2 y1 y2 2 . 这就是平面内两点间的距离公式
3.cos a b . 用于计算向量的夹角
ab
设a x1, y1 ,b x2, y2 ,则cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4 . a b a b 证明柯西不等式特例: x1x2 y1y2 2 x12 y12 x22 y22
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5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a)b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b)c a c bc
解: 记Px, y,由M 1,0, N1,0得
PM 1 x,y, PN 1 x,y, MN 2,0
MP MN 21 x, PM PN x2 y2 1, NM NP 21 x,
于是MP MN, PM PN, NM NP是公差小于零的等差数列等价于
x
2
y2
1
1
21
x
21
x
2
21 x 21 x 0
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
SF cos如果源自个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
1a b ab 0 当a 0时, a b 0,不能推出b 0 内积为零是判定两向量垂直的充要条件
设非零向量a x1, y1,b x2, y2 ,则a b x1x2 y1y2 0
2.当a与b同向时, a b a b ;当向量a与b反向时, a b a b
2
特别地, a a a 或a a a
1
2
a
2
b
2
2
4
1
2
2
16 4
3
当且仅当a b 2时, S有最大值,此时cos a b 2 1
a b 22 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范1围0
例4. 已知两点M 1,0, N1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
公差小于零的等差数列, 求点P的横坐标的取值范围?
A.a b 1
2
2
B.a b
C.a平行b a b
D.a b 0
3.设向量a x1, y1,b x2, y2 ,有下列命题: 1a x12 y12 ,
2b2 x22 y22 , 3a b x1x2 y1 y2, 4a b x1x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
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二、基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0,20 a 0, 3a b a c b c, 4a b a b ,其中正确的个数为: D
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向量,下列结论正确的是: B
求a与b的夹角
B
解 :因为 a
b
2,
所以a2
2
2a b b
4
b
2
2
a b 4 2a b 4 2 2 8
O
A
S AOB
1 OA OB sin
2
1 2
a
b
1 cos2
1
22
a b
22
a b cos2
1
22
2
a b ab
2
2
a
cos
ab
a b
1 2
2
2
a b 4
4.若a 0,1,b 1,1且 a b a,则实数的值是（A）
A．-1 B.0 C.1 D.2
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三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
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小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。