斯托克斯定理证明

矢量场C绕正方形的环流为：

�CC.ddss=CC xx(1)∆xx+CC yy(2)∆yy−CC xx(3)∆xx−CC yy(4)∆yy

其中，

CC xx(3)=CC xx(1)+ððCC xxððyy∆yy

所以，

CC xx(1)∆xx−CC xx(3)∆xx=−ððCC xxððyy∆xx∆yy

同理，

CC yy(2)∆yy−CC yy(4)∆yy=ððCC yyððxx∆xx∆yy

所以，

�CC.ddss=�ððCC yyððxx−ððCC xxððyy�∆xx∆yy=(∇∇×CC)zz∆a，正好为旋度的z分量

结论：任一矢量绕一无限小正方形的环流=该矢量旋度垂直于表面的分量与正方形面积的乘积。

归纳得出斯托克斯定律：

�CC.ddss=�(∇∇×CC)nn da

SS