斯托克斯定理证明
斯托克斯定理的证明方法
斯托克斯定理的证明方法
1. 直接计算法呀！就好比你要数清楚一堆糖果有多少颗，一颗一颗数不就完啦！比如说求一个曲面和其边界上的积分关系，咱就老老实实一步步算，肯定能得出答案呢！
2. 利用格林公式转化后证明，这就好像给复杂的问题找个捷径！比如算一个复杂的区域积分，转化一下，不就简单多啦！哎呀，多巧妙哇！
3. 利用向量场的旋度来证明，这旋度就像是指南针呀，指引着我们找到正确的方向呢！比如在一个磁场中，用旋度就能很好地说明斯托克斯定理啦。
4. 类比物理现象来证明，就像是看见水的流动就能理解流体力学一样！想想电流在电路中的流动，不就能更好地体会斯托克斯定理了嘛！
5. 通过构建特殊的几何图形来证明，哇哦，这就像搭积木一样有趣呀！比如说用一个特定形状的曲面来直观地说明定理，酷不酷！
6. 利用已知的定理和结论逐步推导，这就好像走楼梯，一步一步稳稳地就上去啦！就像先有了一些基础定理，然后顺理成章推导出斯托克斯定理呢！
7. 从直观的物理意义入手去解释和证明，这可不就是把抽象变得具体嘛！好比感受风的力量就能理解一些流体的概念，多有意思呀！
8. 采用反证法试试呀！要是定理不成立，那会怎样呢？就像平常的辩论一样去思考，多带劲！
我觉得斯托克斯定理真的很神奇，这些证明方法都各有各的妙处，都值得我们好好去探究和理解呀！。
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
化工原理斯托克斯定理
化工原理斯托克斯定理斯托克斯定理的一般表述如下：给定一个向量场F和一个边界曲线C，以及围绕C形成的曲面S，那么该向量场F通过C的积分等于该向量场F在S上的旋度沿法向量n的面积分。
这个定理可以用以下公式表示：∮C F • dr = ∬S (curl F) • dS其中C表示曲线，F表示向量场，dr表示路径微元，S表示曲面，(curl F)表示向量场F的旋度，dS表示曲面微元。
斯托克斯定理实际上提供了一个计算曲面积分的方法，这个方法是基于曲线积分的原理。
通过斯托克斯定理，我们可以将曲面积分转化为曲线积分，从而简化了计算的过程。
斯托克斯定理的证明类似于高斯定理和格林定理的证明，即将曲面分割成无穷小的曲面微元，并对每个曲面微元应用格林定理来进行计算。
然后通过取极限，将分割的曲面微元逐渐逼近成整个曲面，从而得到斯托克斯定理的结论。
在化学工程中，斯托克斯定理经常应用到流体力学和传热学中。
比如，在通过管道流动的流体中，可以利用斯托克斯定理来计算流体的速度分布，从而研究流体的运动规律和流体的力学性质。
此外，在传热学中，斯托克斯定理可以用来计算热量的传递和傅里叶定律的应用。
为了更好地理解斯托克斯定理的运用，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个圆柱形的曲面S，它被一个圆曲线C所包围。
向量场F可以表示流体的速度。
那么根据斯托克斯定理，我们可以将曲面S上的速度分布转化为曲线C上的速度分布。
通过计算曲线C上的速度分布，我们可以得到流体在曲面S上的速度分布情况，进而研究流体在曲面S上的流动规律。
斯托克斯定理的应用不仅仅局限于流体力学和传热学中，还可以应用于电磁学、力学和天体物理学等其他领域。
通过斯托克斯定理，我们可以将求解曲面积分的问题转化为求解曲线积分的问题，简化了计算的复杂性。
斯托克斯定理不仅提供了一个数学工具，而且也提供了一种思考问题的方法，帮助我们理解和研究复杂系统的运动规律。
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理是一个非常基础且重要的数学定理，它描述了向量
场的环量与曲面积分之间的关系。
经过几百年的研究，许多大师们总
结出了斯托克斯定理的详细证明过程。
斯托克斯定理的证明涉及到大量的向量和微积分知识，具体步骤
如下：
首先，要证明斯托克斯定理，需要建立一个三维空间内的空间曲
线积分公式。
这个公式表明，如果一个向量场在某一段曲线上的积分
被求出，那么这个向量场在曲线所包围的曲面上的面积也能够被计算
出来。
其次，需要对这个空间曲线积分公式进行求导得到对应的曲面积
分公式。
在这一步骤中，需要使用到向量分析中的散度和旋度的概念。
最后，可以将曲面积分公式简化为斯托克斯定理的形式。
斯托克
斯定理表示，如果一个向量场在曲面的边界上的曲线积分被求出，那
么这个向量场在该曲面上的环量也能够被计算出来。
总之，斯托克斯定理证明非常复杂，需要理解和掌握大量的向量
和微积分知识。
但是，斯托克斯定理对于理解向量场的物理现象和建
立数学模型都具有十分重要的作用。
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。
下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。
2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。
令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。
3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。
在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。
4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。
由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。
因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。
5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。
6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。
即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。
斯科托斯公式
斯科托斯公式斯科托斯公式，又称斯托克斯定理，是向量分析中的重要定理之一。
该定理描述了一个闭合曲面上的向量场通过该曲面的流量与该向量场在曲面边界上的环路积分之间的关系。
斯科托斯公式的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
斯科托斯公式的形式可以表示为：∮_S F·ds = ∬_S (∇×F)·dS其中，S为闭合曲面，F为定义在S上的向量场，ds为S上的面积元素，∇×F为F的旋度，dS为S的面积元素的法向量与面积的乘积。
公式左边表示F通过曲面S的流量，右边表示F的旋度在曲面S上的面积积分。
斯科托斯公式的推导可以通过对曲面进行离散化处理，将曲面划分为许多小面元，然后利用面积元素的定义，将积分转化为求和，再通过求极限得到积分的结果。
这个过程需要一些数学工具和推导，这里不再详述。
斯科托斯公式的应用非常广泛。
在物理学中，斯科托斯公式常常用于求解电场、磁场等问题。
例如，可以利用斯科托斯公式计算闭合回路上的电场强度，从而求解电流的大小。
在工程学中，斯科托斯公式可以用于计算流体力学中的流量、压力等问题。
在数学中，斯科托斯公式是向量分析中的基本定理之一，也是理解和推导其他定理的基础。
斯科托斯公式的应用需要注意一些条件。
首先，曲面必须是闭合的，即没有漏洞或孔。
其次，向量场F必须是光滑的，即在曲面和曲面边界上都有定义。
此外，曲面和向量场的方向需要符合右手定则。
斯科托斯公式的应用可以简化计算过程，提高求解效率。
通过将曲面上的积分转化为曲面边界上的环路积分，可以将原本复杂的积分计算简化为对曲面边界上的积分计算。
这使得斯科托斯公式成为解决一些复杂问题的有力工具。
斯科托斯公式是向量分析中的重要定理，描述了一个闭合曲面上的向量场通过该曲面的流量与该向量场在曲面边界上的环路积分之间的关系。
它的应用广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
斯科托斯公式的推导需要一些数学工具和推导，但它的应用可以简化计算过程，提高求解效率。
stokes定理证明
stokes定理证明Stokes 定理证明Stokes 定理是数学上一个重要的定理，它建立了在曲面和曲线之间的关系，并在向量分析中具有广泛的应用。
本文将对 Stokes 定理进行证明，旨在通过逐步推导和详细解释来帮助读者更好地理解这一定理的本质和重要性。
一、Stokes 定理的表述Stokes 定理可以用不同的形式表达，但其核心思想始终是相同的。
以下是 Stokes 定理的一种常见表述形式：设 M 是一个紧致的曲面，其边界为曲线 C。
如果函数 F 是一个光滑的向量场，且它的分量具有连续的一阶偏导数，那么有：∮C F·ds = ∬M (∇×F)·dS其中，∮C F·ds 表示曲线 C 上向量场 F 在弧长元素 ds 上的环流积分，∬M (∇×F)·dS 表示曲面 M 上的向量场 (∇×F) 在面积元素 dS 上的通量积分。
二、Stokes 定理的证明为了证明 Stokes 定理，我们将以较为简洁的形式展开证明过程。
首先，假设曲面 M 和曲线 C 是平面上的闭合曲面和闭合曲线。
我们可以将曲面 M 分割成许多小的面积元素，并将曲线 C 分割成许多小的弧长元素。
我们选取一个小的面积元素 dS 和它对应的小的弧长元素ds。
接下来，考虑该小面积元素 dS 上的通量积分。
根据矢量分析的基本定理，我们可以将该积分转换为对该小面积元素 dS 的散度的积分，并乘以它们的面积：∬M (∇×F)·dS = ∬M (∇×F)·n dS其中，n 是面积元素 dS 的单位法向量。
这一步骤的证明过程较为复杂，因涉及到切向量、法向量以及矢量的叉乘运算，出于篇幅限制，在此不再赘述。
然后，我们考虑这个小的弧长元素 ds 上的环流积分。
根据向量分析的基本定理，我们可以将该积分转换为通过该小曲线元素 ds 的曲率矢量与向量场 F 的点积的积分：∮C F·ds = ∮C (F·T)ds其中，T 是弧长元素 ds 的单位切向量。
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量分析中经典的定理之一，它将曲面积分与闭合曲线积分联系起来，是高等数学中微分形式和外微分运算的重要应用之一。
斯托克斯定理在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
斯托克斯定理由苏格兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）于1854年提出，它建立了一个曲面与其边界线的关系。
斯托克斯定理的数学表述如下：设曲面S是一个光滑的有界曲面，其边界线为闭合曲线C，若F为一个光滑的向量场，则有以下等式成立：∬SrotF·dS = ∮C F·dr其中，rotF表示F的旋度，dS表示曲面S上小面元的面积，dr 表示C上小线段的长度元。
此式表明了曲面S上向量场F的旋度与该向量场沿曲线C的环路积分之间的关系。
斯托克斯定理的几何意义可以理解为：向量场在某个有边界的曲面上的旋度，与该向量场沿边界曲线的环路积分之间有一种平衡关系。
这种平衡关系可以用数学符号来表示，而斯托克斯定理就是这种关系的数学表达。
斯托克斯定理的应用非常广泛，可以用来求解许多具体问题。
例如，在电磁学中，斯托克斯定理可以将电流通过闭合曲面的总数转换为磁场穿过该曲面的通量，从而简化了计算的过程。
在流体力学中，斯托克斯定理可以用来研究旋转流体的流动速度和压强分布等问题。
在天体物理学中，斯托克斯定理可以用来分析星系的演化过程和宇宙的结构等。
斯托克斯定理的证明可以通过对曲面S进行分割，将其分割成无数个小面元，然后分别对每个小面元进行积分，最后将这些小面元的贡献相加即可。
证明过程相对复杂，需要运用到高等数学中的很多概念和技巧。
证明过程中，可以使用换元法、极限法、矢量代数等多种方法来推导。
斯托克斯定理在矢量分析和微分形式的研究中起着关键的作用，它不仅能够将曲面积分和闭合曲线积分联系起来，还可以将二维问题推广到三维空间中。
通过斯托克斯定理，我们可以更加深入地理解矢量场的性质和特点，并且可以将矢量场的问题转化为边界上积分问题，使得计算更加简洁、方便。
stokes公式证明
stokes公式证明
Stokes公式是一个非常重要的数学定理，在向量分析中被广泛应用。
它描述了一个曲面边界上的曲线积分和曲面积分之间的关系。
以下是Stokes公式的证明：
假设我们有一个光滑的曲面S，它的边界是一个简单的光滑曲线C。
在这个曲面上存在一个字段F，它在整个曲面内和曲面边界上都是连续可
微的。
首先，在曲面S上选择一个小的区域dS，然后选择在这个区域内的
一条曲线A，A的两个端点均在dS内。
这样，我们可以对这个小区域进行
积分：
∮A F·ds。
其中，s是A上的弧长参数。
然后，我们可以将这个小区域的积分进
行展开，得到：
∮A F·ds = ∫∫dS (∇×F)·n dS。
其中，n是曲面S上任意一点的法向量（指向曲面外部）。
而∇×F
就是F的旋度。
通过斯托克斯定理，可以将上述积分转换为曲面边界上的
积分，即：
∮A F·ds = ∫C F·dr。
其中，r是曲面边界C上的弧长参数。
同时，我们需要注意到，曲面
S的面积在极限情况下会趋近于0，因此在最后的积分中，只有曲面边界
上的贡献在最终答案中得到保留。
因此，我们可以得到下列Stokes公式：
∫C F·dr = ∫∫S (∇×F)·n dS。
其中，C表示曲面S的边界。
这个公式可以用于计算曲面与曲线之间的积分关系，是向量分析中一个基本且重要的工具。
斯托克斯公式推导
斯托克斯公式推导
斯托克斯公式（Stokes’s theorem）是矢量分析中的一道重要定理，将
一个曲面上的闭合线积分与该曲面的边界有关的线积分联系起来。
它
是欧拉-拉格朗日公式在三维空间中的推广。
斯托克斯公式在电动力学、流体力学和应用数学等领域中都有着广泛的应用。
推导斯托克斯公式：
1. 首先，我们假设存在一个有向闭合曲面S，它的边界是有向曲线C。
2. 假设曲面S是由以下方程限定的：
F(x,y,z) = 0
其中F(x,y,z)是一个向量场，表示在空间中任意一点(x,y,z)处的向量值。
3. 假设这个向量场是可微的，即它的各个偏导数都存在，我们对该向
量场求旋度，记为curl F。
4. 我们现在可以使用斯托克斯公式，将曲面S上的旋量环量（闭合线
积分）与曲面S的边界C上的环量（线积分）联系起来：
∮C F · ds = ∬S curl F · dS
其中，C表示曲面S的边界，S表示这个曲面本身，ds表示曲面S上一点的微元弧长，dS表示曲面S上一点的微元面积，·表示点积运算。
5. 斯托克斯公式的意义是：曲面S上旋量环量的值等于曲面S的边界C上环量的值。
6. 这个公式对于许多应用来说非常有用，例如求解电磁场、流场等问题。
总结：
斯托克斯公式是矢量分析中的一个重要定理，它将一个曲面上的闭合线积分与该曲面的边界有关的线积分联系起来。
它在电动力学、流体力学和应用数学等领域中都有着广泛的应用。
我们可以通过对向量场求旋度，来使用斯托克斯公式求解许多问题，例如求解电磁场、流场等问题。
斯托克斯公式
为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理是电磁学中重要的定理之一，它将曲面积分与曲线积分联系起来，为我们研究电场和磁场的分布提供了有力的工具。
本文将对斯托克斯定理进行详细的介绍和解析。
斯托克斯定理是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪中叶提出的。
它揭示了闭曲面上的曲面积分与曲线积分之间的关系。
斯托克斯定理的数学表达式如下：对于任意可微曲面S，其边界为闭曲线C，如果一个矢量场F在曲面S上连续可微，并且在曲面S内部有一个有界的连通区域D，那么斯托克斯定理可以表述为：∮C F·ds = ∬S ∇×F·dS其中，C表示曲线的方向，ds表示曲线的微元长度矢量，S表示曲面的方向，dS表示曲面的微元面积矢量，∇×F表示矢量场F的旋度。
这个定理告诉我们，在满足一定条件下，闭曲面上的曲线积分可以通过曲面上的曲面积分来求得。
斯托克斯定理的证明过程相对复杂，涉及到高等数学和向量分析的知识。
下面简单介绍一下斯托克斯定理的应用。
1. 计算闭合回路上的电荷量斯托克斯定理可以用于计算闭合回路上的电荷量。
我们可以将闭合回路看作一个闭曲线C，而电场强度矢量可以看作是矢量场F。
根据斯托克斯定理，我们可以通过计算曲面积分来求得闭曲线上的电荷量。
2. 分析闭合回路中的磁场分布斯托克斯定理还可以用于分析闭合回路中的磁场分布。
我们可以将闭合回路看作一个闭曲线C，而磁场强度矢量可以看作是矢量场F。
通过计算曲面积分，我们可以了解闭曲线上的磁场分布情况。
3. 研究电场或磁场的感应现象斯托克斯定理对于研究电场或磁场的感应现象也具有一定的意义。
当电场或磁场发生变化时，可以根据斯托克斯定理计算感应电场或感应磁场的强度和分布情况。
斯托克斯定理是电磁学中的重要定理，它为我们研究电场和磁场的分布提供了有力的工具。
通过斯托克斯定理，我们可以计算闭曲线上的电荷量，分析闭合回路中的磁场分布，研究电场或磁场的感应现象等。
通过深入理解斯托克斯定理，并正确应用于相关问题的分析和解决中，我们可以更好地理解电磁学的基本原理和现象。
斯托克斯公式证明
斯托克斯公式证明斯托克斯定理是物理和数学中一个重要的定理，也被称为斯托克斯公式。
它是斯托克斯从牛顿的运动规律中推导出来的一个定理，可以用于计算闭合曲线上曲线积分与曲面上的散度积分之间的关系。
斯托克斯定理揭示了矢量场与其散度之间的关系，从而在物理学和工程学中具有广泛的应用。
斯托克斯定理的数学表述为：给定一个光滑的闭合曲线C，曲线正向定义为沿着曲线的轮廓围成的区域。
如果F是一个光滑的矢量场，那么曲线C上的环量可以通过曲面S的边界的面积分来计算。
即∮F · dr = ∬∇ × F · dS其中，F是一个矢量场，dr是曲线上的微元弧长，dS是曲面S上的微元面积，∇ × F表示矢量场F的旋度。
我们将通过数学推导来证明斯托克斯定理。
dSn1->--------------->n2dS然后，我们可以将曲面S划分为无数个小面元，使得每个小面元dS 都是光滑的。
令v1和v2分别表示n1和n2的矢量值，那么v1和v2与dS所围成的小平行四边形S1、S2的面积之间存在关系：S2->--------h，/S1，/___________>根据平行四边形的面积为底乘高，可以得出：S1=，dS×v1，=，dS×(F·n1)S2=，dS×v2，=，dS×(F·n2)将S1和S2代入斯托克斯公式中的散度积分式子中，我们可以得到：∬∇ × F · dS = lim(∑(S2 - S1))= lim(∑，dS × (F · n2)， - ，dS × (F · n1)，)= lim(∑((F · n2) - (F · n1)) · dS)注意到(F·n2)-(F·n1)可以被写成(n2-n1)·F。
第五章5.5Stokes公式
5.2 环流量与旋度
Stokes公式
Pd x Qd y Rd z
设曲面 的法向量为
n (cos , cos , cos )
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
P y
Q Q , z x
R , R y x
机动
P z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1) (2) (自证) (2) (3)
设函数
( x, y , z ) Pd x Qd y Rd z ( x0 , y0 , z0 )
L
(Green公式)
简介
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返回
结束
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
(斯托克斯公式)
Байду номын сангаас
n
证: 先证
z
o x
简介 目录 上页 下页
Pd x
Dx y
返回
y C
结束
证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于一点, 设其方程为 : z f ( x , y ) , 取上侧，光滑曲面 的边界曲线 在 oxy面上的投影区域为 ( x , y ) D x y 用合一投影法
斯托克斯(Stokes)定理证明
于是
∫ P dx + Qdy + Rdz
∂S m ∫ ∑ k=1 L∗ k βk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫∫ =
D
′ ′ {Q′ 1 (x, y, f (x, y )) + Q3 (x, y, f (x, y )) f1 (x, y )
（Green公式）
′′ ′ ′ ′ ′ (x, y ) (x, y ) + R(x, y, f (x, y )) f21 (x, y )] f2 (x, y, f (x, y )) f1 (x, y, f (x, y )) + R3 + [R1 ′ ′ ′ (x, y ) (x, y, f (x, y )) f2 (x, y, f (x, y )) − P3 −P2 ′′ ′ ′ ′ ′ (x, y )} dxdy (x, y ) − R(x, y, f (x, y )) f12 (x, y )] f1 (x, y, f (x, y )) f2 (x, y, f (x, y )) + R3 − [R2
∫∫ =
D
′ ′ ′ ′ ′ {− [R2 (x, y, f (x, y )) − Q′ 3 (x, y, f (x, y ))] f1 (x, y ) − [P3 (x, y, f (x, y )) − R1 (x, y, f (x, y ))] f2 (x, y )
′ + [Q′ 1 (x, y, f (x, y )) − P2 (x, y, f (x, y ))]} dxdy
利用高斯定理和斯托克斯定理证明
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斯托克斯定律推导
斯托克斯定律推导斯托克斯定律，是电磁场理论中的一条基本定律，它描述了在闭合曲面上的磁场线圈电流的通量与该曲面外侧的非闭合线圈电流的积分的关系。
以下就让我们一起来详细的了解一下斯托克斯定律的推导吧。
1、定义环路线积分及环路面积在斯托克斯定律的推导中，我们首先需要了解环路线积分和环路面积这两个概念。
环路线积分表示某一物理量（如磁场、电场等）沿着一条围成的环路线路积分，以I（积分）表示。
环路面积表示这个环路线所围成的面积，以S（面积）表示。
2、斯托克斯定律的公式表达斯托克斯定律的公式表达如下：∮_L B·dl=μ_0I_S其中，B是磁感应强度，L是环路线路，l是沿着环路线路的长度微元，μ_0是真空磁导率，I_S是被环路线路所围成的面积S的电流。
3、根据安培环路定理进行简单推导根据安培环路定理，我们可以将环路线积分转化成面积S上的传导电流I_S的平面积分，即∮_L B·dl=(∫∫_S (∇×B)·dS)其中，∇×B表示磁通量密度的旋度。
将公式带入斯托克斯定律的公式中，得到(∫∫_S (∇×B)·dS)=μ_0I_S根据高斯定律，得到∫∫_S (∇×B)·dS=∫∫∫_V (∇·(∇×B))·dV等式两端取体积V上的积分，得到∫∫_S (∇×B)·dS=∫∫_S (n·(∇×B))·ds其中，n是S表面单位法向的向量，s表示环路面积上的微元。
将等式代入原始的斯托克斯定律公式中，得到∫∫_S (n·(∇×B))·ds=μ_0I_S4、简化公式最终的斯托克斯定律公式可以进一步简化为：∫∫_S (n·(∇×B))·ds=μ_0I_S这个公式表明了在一个闭合曲面上，磁场线圈电流通过闭合曲面的通量与该曲面外侧的非闭合线圈电流的积分相等。
斯托克斯定律推导
斯托克斯定律推导斯托克斯定律是电磁学中的一个重要定律，它描述了电场在电荷分布中的传播规律。
斯托克斯定律可以用于计算电场环路积分的值，从而推导出电场的强度和方向。
下面将详细介绍斯托克斯定律的推导过程。
我们需要明确斯托克斯定律适用的条件。
斯托克斯定律适用于电场在闭合曲线上的环路积分，即电场的环路积分只与曲线的形状有关，而与曲线内部的电荷分布无关。
设有一曲线C，其形状可以是任意的闭合曲线，我们要计算电场在该曲线上的环路积分。
根据斯托克斯定律，该环路积分的值等于曲线C所包围的面积S上的电场通量。
为了方便计算，我们将曲线C分成许多小段，每个小段可以近似看作是一条直线段。
设一小段曲线为dl，其起点为P，终点为P'。
在每个小段曲线上，电场的方向与曲线的切线方向一致。
根据电场的定义，电场强度E可以表示为电场线上单位正电荷所受的力。
因此，在一小段曲线上，电场强度E与dl的方向相同，可以用矢量E·dl来表示，其中·表示点乘运算。
对于曲线C上的任意一小段曲线，我们可以将其切割成许多小段，每个小段的长度为dl，电场强度的大小为E。
因此，整个曲线C上的环路积分可以表示为：∮C E·dl = ∫E·dl1+ ∫E·dl2 + ... + ∫E·dln其中，∮C表示对曲线C进行环路积分，∫表示对小段曲线进行积分。
接下来，我们将曲线C所包围的面积S分成许多小面元dS，每个小面元的面积为dS，法向量为n。
根据高斯定律，电场强度E与电场通量Φ之间存在关系：Φ = ∮S E·dS = ∫E·dS1 + ∫E·dS2 + ... + ∫E·dSn其中，∮S表示对面积S进行环路积分，∫表示对小面元进行积分。
在曲线C和面积S之间，存在一个重要的关系，即曲线C是面积S 的边界。
根据这个关系，我们可以得到：∮C E·dl = ∮S E·dS将上述两个等式结合起来，可以得到斯托克斯定律的推导过程：∮C E·dl = ∮S E·dS这就是斯托克斯定律的推导过程。