高中数学平面向量数量积课件

单位设向a量、，b是是非a与零向e 的量夹，e角是，与则b
方向相同的
a b | a || b | cos
(1)e
a
a
e|a
|
cos
bB
((32)当)aa与bb同向a 时b ，0a
b
|
a
||
b
|;
Oθ
A
B1 a
当a与b反向时，a
b
|
a
||
b
|;
特别地
a
a
|
a
|2
或
|
a
|
2
2
a a b 6b
| a |2 | a || b | cos 6 | b |2
72
(a b)2
a
2
2a
b
2
b
|
a
|2
2 | a || b | cos | b |2
28
| a b |2 (a b)2 28 | a b | 28 2 7
例5 已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ 9 求ａｂ.
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
aa
a
2
(4) cos a b
| a || b |
(5) | a b || a || b |
例1：已知 a 1, b 2
(1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
当a,b同向，a b 2; 当a,b反向，a b 2。
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
b·b ＝a2－b2.
P116 例4
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
(a b)2, | a b |
解:a b | a || b | cos 12
2
a
|
a
|2
36
2
b
|
b
|2
16
(a 2b) (a 3b)
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
a
b 等于
a
的长度
|
a
|与
b在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
投影
a b | a || b | cos
b Oθ
b aO
b
a
Oθ a
| b | cos 0
| b | cos 0
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
２
思考 ａｂ
ａｂ2
2(ａ2
ｂ2 )
是一个常用的结论，如何构造一个 图形解释这个公式的几何意义？
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
例4
(a kb)(a kb) 0
2
a
k
2
2
b
0
9 16k 2 0
k3 4
小结：
a b | a || b | cos
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b在a上的投影：| b | cos
a在b上的投影：| a | cos
| b | cos 0
数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0×． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c ×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当
a=0 时成立．× 7．对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
bБайду номын сангаас
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
a·b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。