导数大题的常用找点技巧和常见模型

导数大题的常用找点技巧和常见模型

引子：（年全国新课标 ·理·）已知.

（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围.

解析：（）

若，则恒成立，所以在上递减；

若，令，得.

当时，，所以在上递减；

当时，，所以在上递增.

综上，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.

（）有两个零点，必须满足，即，且.

构造函数，.易得，所以单调递减.

又因为，所以.

下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.

事实上，构造函数，易得，∴，所以，即. 当时，，

，

其中，所以在和上各有一个零点.

故的取值范围是.

注意：取点过程用到了常用放缩技巧。

一方面：；

另一方面：时，（目测的）

常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）

第一组：对数放缩

（放缩成一次函数），，

（放缩成双撇函数），，

，，

（放缩成二次函数），，

（放缩成类反比例函数），，，

，，

第二组：指数放缩

（放缩成一次函数），，，

（放缩成类反比例函数），，

（放缩成二次函数），，

第三组：指对放缩

第四组：三角函数放缩

，，.

第五组：以直线为切线的函数

，，，，.

几个经典函数模型

经典模型一：或.

【例】讨论函数的零点个数.

（）时，无零点.

，.

（）时，个零点.，.

（）当时，个零点.（目测），，其中.（放缩）

.

，其中.（用到了）

（）当时，个零点.

，单调递增. ，

.

【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例：）：