梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
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在运用该定理进行计算时，恰当地选择三角形 和梅氏线是解决问题的关键，在解决线段比的问题 时，恰当地选择三或多点共线的直线作为梅氏线，应 用梅涅劳斯定理解决；由于存在线段比例关系，就会 存在面积比，因此我们也可以它来解决面积的相关 问题；在解决特殊角问题中，可以借助它推导出相应 的线段关系，将问题引向全等三角形或相似三角形 方面来考虑.总之，梅涅劳斯定理的应用很广泛，更 由于其叙述本身就简洁明了，关于对复杂命题中的 数形结合，能 使 复 杂 的 推 理，转 化 为 简 单 的 计 算 问 题，能极大地促进问题的解决.
S△PQR
=S△ABC
-3S△AQB
=1-3·
2 7
=17.
4 在中学数学教学中引入梅涅劳斯定理的建议
梅涅劳斯定理可以解决平面几何中角、线段、边 长等问题.通过分析我们不难看出，可以用中学最基 础的知识来对该定理进行证明，例如：相似三角形， 正弦定理等；同时我们知道，利用梅涅劳斯定理可以 解决中学数学的有关问题，尤其是在中学数学中涉 及到特殊角度及比例关系的题目.
D D′
C
OCEC=1.
又因为 AB=2BF，CE=EA，
代入上式，得 2FO=OC.
连接 AO延长交 BC于 D′，将△ABC看成梅式
三角形 AOD′看成梅氏线，则有DBD′C′·C OOF·F ABA=1.
又因为 OC=2OF，AB=2FA，
所以 BD′=D′C，所以 D与 D′重合，
因而三角形的三条中线交于一点.
B
CE
又 AD=DC，所以BAEE=CBFF.
例 2 若 AD为△ABC的一条中线，引任一条直
线 CF，交 AD于 E，交 AB于 F，求证：EAED=2FABF.
证 明：如 图，我 们 可 以
A
将 CEF视 为 △ABD的 梅 氏
F
线，则由梅涅劳斯定理知CBDC
E
·DEEA·FAFB=1.
B
D
C
因为 D为 BC的中点，所以 BC=2DC，
2.3 利用正弦定理证明
因此梅涅劳斯定理得证.
正弦定理是三角形中的一个重要定理，揭示了
法二：如图，在中，过 A作 DF边上的高 AQ，在 三角形中边和角的关系，进而把三角函数的运算与
·71·
《数学之友》 2020年第 20期
例 4 在 △ABC中，点 D、E、F分 别 是 边 AB、
BC、AC的三等分点，且 EC=2BE，BD=2AD，AF=
2FC，设 AE与 CD交于 P点，AE与 BF交于 Q点，
BF与 CD交于 R点.若 S△ABC =1，求 S△PQR.
解：如 图，对 于 △AEC，直
A
线 BQF为梅氏线， ∵EC=2BE，∴BC=3BE， 又 BD=2AD，AF=2FC，
梅涅劳斯定理：若直线 l
A
分别截三角形 ABC三边 BC、
F
CA、AB及延长线于点 D、E、
E
F，则FAFB·BDDC·CEEA=1.
B
CD
如图，我 们 称 直 线 DEF为 三 角 形 ABC的 梅
氏线.
2 运用中学数学知识证明梅涅劳斯定理
S△AFD S△BDF
=112DDFF··BAQN=BAQN，SS△△BCDDFF
理不同方法的证明，不仅可以让学生了解、掌握梅涅 劳斯定理对于学生已有的知识也可以起到一个巩固 的作用，还可以激发学生对课本以外的知识产生浓 厚的兴趣，让学生体会数学的奥妙，在一定程度上发 展了学生的数学思维，拓展了学生的数学视野.
3 梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
上文用中学学过的知识点来对梅涅劳斯定理进
行了证明，那么我们是否可以利用它来解答中学试
题呢？
例 1 若一直线和三角形 ABC的边 AB、AC及
BC的延长线分别相交于点 E、D及 F，并 且 AD=
DC，求证：BAEE=CBFF.
证明：视直线 EDF为 G
A
△ABC的 梅 氏 线，则 由 梅 涅劳斯定理得 CBDC· DEEA·
F D
FAFB=1.
《数学之友》 2020年第 20期
梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
解题探索
龙仲城，侯万君
（云南师范大学数学学院，650000）
1 引言
近年来，越来越多的中学题目中出现高等数学 的背景，高观点下的中等数学在中学数学中有着越 来越广泛的应用，因此在平时的教学中，对于在数学 学习中学有余力的同学，鼓励他们学习一些高等数 学的知识和定理，用它来解决各种中学中的问题，有
代数式的 运 算 联 系 起 来，其 中 最 重 要 的 思 想 就 是
“角化边”，“边化角”.因此，我们也可以巧用它来对
梅涅劳斯定理进行证明.
证 明： 在 △CED、
A
△AEF和△BFD中，由正弦
F
定理可得sCinED=sin∠CDCED，
E
sin∠EAAFE=sin∠AFAEF， B
CD
sFinBD=sin∠BDBFD.
梅涅劳斯定理是射影几何学的一门基本定理， 它不仅在提高认识层次方面具有独特作用，而且在 论证方法，思考问题的方式等方面都很灵活，可是在 中学数学中没有涉及到，若能将此定理引入中学数 学教学中，可以引导学生居高临下的认识数学，有利 于学生思维能力和数学情操的培养.同时，探讨它对 中学数学的教学以及学生核心素养的培养具有十分 重要的指导意义.
=121DDFF··BCNP=BCNP.
2
2
又因为∠AQE=∠CPE，∠AEQ=∠CED，
故 Rt△AQE∽Rt△CPE，因此CAQP=CEEA.
同理可得BAQN=FAFB，由于 CP//BN，
则易得BCNP=BDDC，
故FAFB·BDDC·CEEA=BAQN·BCNP·CAQP=1.
Fra Baidu bibliotek
2.1 运用相似三角形的知识进行证明
由于平面内■A→B和■A→C是两个不共线向量， 则把它们把看作一组基底，那么
( ) ( ) ■D→E= μ1-1，μ1-1-γγ+1，■E→F= λλ+1，λ1+1，
由于 D、E、F三点共线，知■D→E与■E→F共线，
( ) 故μ1-1· γ1+1=λλ+1 μ1-1+γγ+1，整 理 得
λμγ=1. 通过运用已学过的初等数学知识对梅涅劳斯定
题中达到解决问题的目的.我们可以利用向量的加
法运算和向量的共线定理证明该定理.
证 明：由 题 意，我 们 可以设■A→F=λ■F→B，■B→D=μ ■C→D=γ■E→A，即证明 λμγ=
1即 可.那 么 我 们 可 以
A F
E
得到
B
CD
■D→C=■D→B-■C→B⇒■D→C=μ1-1■C→B，■C→E=■C→A-■E→A⇒
由于梅涅劳斯定理涉及到比例关系，而且还是
针对于三角形，故我们想到九年级数学的相似三角
形相关知识，通过作辅助线，创造出可以利用相似三
角形知识的条件，然后一一分析作答.
证 明：（法 一 ）如 图 所 G
A
示，过 A作 BC的平 行 线 交
F
DF的延长线于 G，则 ∠G=
E
∠D，∠BAG = ∠B.因 此
点，所以 BD=CD，故 BG=GF，那么 FG=1 2FB，故
EAED=2FABF.相比较而言，用梅涅劳斯定理思路简洁，
方法直观.
例 3 证明三角形的三条中线交于一点.
证 明：如 图，中 线
A
BE、CF、交 于 O，D为 BC 的中点，如图，把△AFC看 成梅式 三 角 形，BOE看 成
F
E
O
梅氏 线，则 有 BABF· F OOC· B
5 展望
运用高等数学的思想方法来剖析中学数学问 题，这样能使一部分学有余力的学生从中体验到智 力探险的乐趣，也能使另一部分学生不会因为害怕 高等数学而在进入高校学习时感觉到困难.像此类 高观点下的数学问题还有很多，期待更多学者加入 研究.
参考文献： ［1］黄家礼.几 何 明 珠 （第 三 版 ）［M］.北 京：国 家行政学院出版社，2013：37-43. ［2］杨春波.梅涅劳斯 （Menelaus）定理的十种 证明［J］.中学数学杂志，2015，（9）：27-28.
那么sins∠inCDED=CCDE，s si in n∠ ∠A AE FF E=A EFA，sins∠inBDFD=BFDB.
∵∠CED=∠AFE，∠BFD=180°-∠AFE，
∴sin∠BFD=sin∠AFE，sin∠CED=sin∠AEF，
故sins∠inCDED·
s si in n∠ ∠A AE FF E·
sins∠inBDFD=CCDE·
AF EA
·BFDB=1，那么可得FAFB·B DDC·CEEA=1.
因此结论成立.
2.4 利用向量法证明
向量是现代数学中的一个重要概念，已经成为
研究几何代数问题的重要工具.所谓向量法，即从问
题条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背
景下的形式，借助向量运算法则求解，然后回到原问
·73·
■C→E=λλ+1■C→A，
■A→F=■A→B-■F→B⇒■A→F=λλ+1■A→B，
■A→E=■A→C-■C→E⇒■A→E=-γ1+1■A→C，
故■D→E=■D→C+■C→E=μ1-1■C→B+λλ+1■C→A
( ) =μ1-1■A→B- μ1-1+γγ+1■A→C.
■E→F=■A→F-■A→E=λλ+1■A→B-λ1+1■A→C.
DP Q
F R
故运用梅涅劳斯定理得 B E
C
QAQE·EEBC·CFFA=QAQE·
1 3·
1 2
=1，
则 AQ=6QE=AE. 又点 E分别是边 BC的三等分点，
故 S△AEB =1 3S△ACB，
则 S△AQB =6 7S△AEB =6 7· 1 3S△ACB =2 7， 同理可得 S△BRC =S△CPA =2 7，
中，过 C作 DF边上的高 CP，在中，过 B作 DF边 上的高 BN.
A N
F Q
E P
则我们可以得到
B
C
D
S△CDF =12DF·CP=CP， S△AFD 12DF·AQ AQ
利于培养学生的独立思考能力与创造能力，增强学
生的数学能力.本文以梅涅劳斯定理为例，来探讨将
高等数学中的部分定理引入中学课堂.
判定线段成比例，另一方面，当不能直接证实要证的
比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”
成另两条线段的比.
证 明：过 点 C作 CG
A
∥DF交 AB于 G，如图，则
F
CEEA=GFFA，BDDC=BGFF，
G
E
故FAFB·BDDC·CEEA
B
=FAFB·BGFF·GAFF=1.
CD
因此结论成立.
△AFG∽△BFD.
B
CD
从而FAFB=BAGD.又因为∠AEG=∠CED，
所以△AEG∽△CED.故CEEA=CAGD.
从而BDDC·CEEA·FAEB=B DDC·CAGD·BAGD=1.
因此结论成立.
2.2 利用平行线分线段成比例定理进行证明
平行线分线段成比例定理是研究相似形和比例
关系的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接
故DEEA·FAFB=12，从而可以得到EAED=2FABF.
注：若该题不用梅涅劳斯定理，做法如下：
·72·
《数学之友》 2020年第 20期
过点 D作 CF的平行线交 AB于点 G，因为 CF
∥DG，则 EAED=FAFG，B CD D=B GG F，又因为 D为 BC的中
S△PQR
=S△ABC
-3S△AQB
=1-3·
2 7
=17.
4 在中学数学教学中引入梅涅劳斯定理的建议
梅涅劳斯定理可以解决平面几何中角、线段、边 长等问题.通过分析我们不难看出，可以用中学最基 础的知识来对该定理进行证明，例如：相似三角形， 正弦定理等；同时我们知道，利用梅涅劳斯定理可以 解决中学数学的有关问题，尤其是在中学数学中涉 及到特殊角度及比例关系的题目.
D D′
C
OCEC=1.
又因为 AB=2BF，CE=EA，
代入上式，得 2FO=OC.
连接 AO延长交 BC于 D′，将△ABC看成梅式
三角形 AOD′看成梅氏线，则有DBD′C′·C OOF·F ABA=1.
又因为 OC=2OF，AB=2FA，
所以 BD′=D′C，所以 D与 D′重合，
因而三角形的三条中线交于一点.
B
CE
又 AD=DC，所以BAEE=CBFF.
例 2 若 AD为△ABC的一条中线，引任一条直
线 CF，交 AD于 E，交 AB于 F，求证：EAED=2FABF.
证 明：如 图，我 们 可 以
A
将 CEF视 为 △ABD的 梅 氏
F
线，则由梅涅劳斯定理知CBDC
E
·DEEA·FAFB=1.
B
D
C
因为 D为 BC的中点，所以 BC=2DC，
2.3 利用正弦定理证明
因此梅涅劳斯定理得证.
正弦定理是三角形中的一个重要定理，揭示了
法二：如图，在中，过 A作 DF边上的高 AQ，在 三角形中边和角的关系，进而把三角函数的运算与
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《数学之友》 2020年第 20期
例 4 在 △ABC中，点 D、E、F分 别 是 边 AB、
BC、AC的三等分点，且 EC=2BE，BD=2AD，AF=
2FC，设 AE与 CD交于 P点，AE与 BF交于 Q点，
BF与 CD交于 R点.若 S△ABC =1，求 S△PQR.
解：如 图，对 于 △AEC，直
A
线 BQF为梅氏线， ∵EC=2BE，∴BC=3BE， 又 BD=2AD，AF=2FC，
梅涅劳斯定理：若直线 l
A
分别截三角形 ABC三边 BC、
F
CA、AB及延长线于点 D、E、
E
F，则FAFB·BDDC·CEEA=1.
B
CD
如图，我 们 称 直 线 DEF为 三 角 形 ABC的 梅
氏线.
2 运用中学数学知识证明梅涅劳斯定理
S△AFD S△BDF
=112DDFF··BAQN=BAQN，SS△△BCDDFF
理不同方法的证明，不仅可以让学生了解、掌握梅涅 劳斯定理对于学生已有的知识也可以起到一个巩固 的作用，还可以激发学生对课本以外的知识产生浓 厚的兴趣，让学生体会数学的奥妙，在一定程度上发 展了学生的数学思维，拓展了学生的数学视野.
3 梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
上文用中学学过的知识点来对梅涅劳斯定理进
行了证明，那么我们是否可以利用它来解答中学试
题呢？
例 1 若一直线和三角形 ABC的边 AB、AC及
BC的延长线分别相交于点 E、D及 F，并 且 AD=
DC，求证：BAEE=CBFF.
证明：视直线 EDF为 G
A
△ABC的 梅 氏 线，则 由 梅 涅劳斯定理得 CBDC· DEEA·
F D
FAFB=1.
《数学之友》 2020年第 20期
梅涅劳斯定理在中学数学中的应用
解题探索
龙仲城，侯万君
（云南师范大学数学学院，650000）
1 引言
近年来，越来越多的中学题目中出现高等数学 的背景，高观点下的中等数学在中学数学中有着越 来越广泛的应用，因此在平时的教学中，对于在数学 学习中学有余力的同学，鼓励他们学习一些高等数 学的知识和定理，用它来解决各种中学中的问题，有
代数式的 运 算 联 系 起 来，其 中 最 重 要 的 思 想 就 是
“角化边”，“边化角”.因此，我们也可以巧用它来对
梅涅劳斯定理进行证明.
证 明： 在 △CED、
A
△AEF和△BFD中，由正弦
F
定理可得sCinED=sin∠CDCED，
E
sin∠EAAFE=sin∠AFAEF， B
CD
sFinBD=sin∠BDBFD.
梅涅劳斯定理是射影几何学的一门基本定理， 它不仅在提高认识层次方面具有独特作用，而且在 论证方法，思考问题的方式等方面都很灵活，可是在 中学数学中没有涉及到，若能将此定理引入中学数 学教学中，可以引导学生居高临下的认识数学，有利 于学生思维能力和数学情操的培养.同时，探讨它对 中学数学的教学以及学生核心素养的培养具有十分 重要的指导意义.
=121DDFF··BCNP=BCNP.
2
2
又因为∠AQE=∠CPE，∠AEQ=∠CED，
故 Rt△AQE∽Rt△CPE，因此CAQP=CEEA.
同理可得BAQN=FAFB，由于 CP//BN，
则易得BCNP=BDDC，
故FAFB·BDDC·CEEA=BAQN·BCNP·CAQP=1.
Fra Baidu bibliotek
2.1 运用相似三角形的知识进行证明
由于平面内■A→B和■A→C是两个不共线向量， 则把它们把看作一组基底，那么
( ) ( ) ■D→E= μ1-1，μ1-1-γγ+1，■E→F= λλ+1，λ1+1，
由于 D、E、F三点共线，知■D→E与■E→F共线，
( ) 故μ1-1· γ1+1=λλ+1 μ1-1+γγ+1，整 理 得
λμγ=1. 通过运用已学过的初等数学知识对梅涅劳斯定
题中达到解决问题的目的.我们可以利用向量的加
法运算和向量的共线定理证明该定理.
证 明：由 题 意，我 们 可以设■A→F=λ■F→B，■B→D=μ ■C→D=γ■E→A，即证明 λμγ=
1即 可.那 么 我 们 可 以
A F
E
得到
B
CD
■D→C=■D→B-■C→B⇒■D→C=μ1-1■C→B，■C→E=■C→A-■E→A⇒
由于梅涅劳斯定理涉及到比例关系，而且还是
针对于三角形，故我们想到九年级数学的相似三角
形相关知识，通过作辅助线，创造出可以利用相似三
角形知识的条件，然后一一分析作答.
证 明：（法 一 ）如 图 所 G
A
示，过 A作 BC的平 行 线 交
F
DF的延长线于 G，则 ∠G=
E
∠D，∠BAG = ∠B.因 此
点，所以 BD=CD，故 BG=GF，那么 FG=1 2FB，故
EAED=2FABF.相比较而言，用梅涅劳斯定理思路简洁，
方法直观.
例 3 证明三角形的三条中线交于一点.
证 明：如 图，中 线
A
BE、CF、交 于 O，D为 BC 的中点，如图，把△AFC看 成梅式 三 角 形，BOE看 成
F
E
O
梅氏 线，则 有 BABF· F OOC· B
5 展望
运用高等数学的思想方法来剖析中学数学问 题，这样能使一部分学有余力的学生从中体验到智 力探险的乐趣，也能使另一部分学生不会因为害怕 高等数学而在进入高校学习时感觉到困难.像此类 高观点下的数学问题还有很多，期待更多学者加入 研究.
参考文献： ［1］黄家礼.几 何 明 珠 （第 三 版 ）［M］.北 京：国 家行政学院出版社，2013：37-43. ［2］杨春波.梅涅劳斯 （Menelaus）定理的十种 证明［J］.中学数学杂志，2015，（9）：27-28.
那么sins∠inCDED=CCDE，s si in n∠ ∠A AE FF E=A EFA，sins∠inBDFD=BFDB.
∵∠CED=∠AFE，∠BFD=180°-∠AFE，
∴sin∠BFD=sin∠AFE，sin∠CED=sin∠AEF，
故sins∠inCDED·
s si in n∠ ∠A AE FF E·
sins∠inBDFD=CCDE·
AF EA
·BFDB=1，那么可得FAFB·B DDC·CEEA=1.
因此结论成立.
2.4 利用向量法证明
向量是现代数学中的一个重要概念，已经成为
研究几何代数问题的重要工具.所谓向量法，即从问
题条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背
景下的形式，借助向量运算法则求解，然后回到原问
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■C→E=λλ+1■C→A，
■A→F=■A→B-■F→B⇒■A→F=λλ+1■A→B，
■A→E=■A→C-■C→E⇒■A→E=-γ1+1■A→C，
故■D→E=■D→C+■C→E=μ1-1■C→B+λλ+1■C→A
( ) =μ1-1■A→B- μ1-1+γγ+1■A→C.
■E→F=■A→F-■A→E=λλ+1■A→B-λ1+1■A→C.
DP Q
F R
故运用梅涅劳斯定理得 B E
C
QAQE·EEBC·CFFA=QAQE·
1 3·
1 2
=1，
则 AQ=6QE=AE. 又点 E分别是边 BC的三等分点，
故 S△AEB =1 3S△ACB，
则 S△AQB =6 7S△AEB =6 7· 1 3S△ACB =2 7， 同理可得 S△BRC =S△CPA =2 7，
中，过 C作 DF边上的高 CP，在中，过 B作 DF边 上的高 BN.
A N
F Q
E P
则我们可以得到
B
C
D
S△CDF =12DF·CP=CP， S△AFD 12DF·AQ AQ
利于培养学生的独立思考能力与创造能力，增强学
生的数学能力.本文以梅涅劳斯定理为例，来探讨将
高等数学中的部分定理引入中学课堂.
判定线段成比例，另一方面，当不能直接证实要证的
比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”
成另两条线段的比.
证 明：过 点 C作 CG
A
∥DF交 AB于 G，如图，则
F
CEEA=GFFA，BDDC=BGFF，
G
E
故FAFB·BDDC·CEEA
B
=FAFB·BGFF·GAFF=1.
CD
因此结论成立.
△AFG∽△BFD.
B
CD
从而FAFB=BAGD.又因为∠AEG=∠CED，
所以△AEG∽△CED.故CEEA=CAGD.
从而BDDC·CEEA·FAEB=B DDC·CAGD·BAGD=1.
因此结论成立.
2.2 利用平行线分线段成比例定理进行证明
平行线分线段成比例定理是研究相似形和比例
关系的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接
故DEEA·FAFB=12，从而可以得到EAED=2FABF.
注：若该题不用梅涅劳斯定理，做法如下：
·72·
《数学之友》 2020年第 20期
过点 D作 CF的平行线交 AB于点 G，因为 CF
∥DG，则 EAED=FAFG，B CD D=B GG F，又因为 D为 BC的中