专题训练 二次函数图像信息专题

专题训练 二次函数图像信息专题

► 类型之一 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号

1．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是( )

A ．b ≥－1

B ．b ≤－1

C ．b ≥1

D ．b ≤1

2．2018·威海抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图2－ZT －1所示，下列结论错误的是( )

A ．abc ＜0

B ．a ＋c ＜b

C ．b 2＋8a ＞4ac

D ．2a ＋b ＞0

图2－ZT －1 图2－ZT －2

3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图2－ZT －2所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，则P ，Q 的大小关系是________．

► 类型之二 利用二次函数的图像比较大小

4．点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )

A ．y 3＞y 2＞y 1

B ．y 3＞y 1＝y 2

C ．y 1＞y 2＞y 3

D ．y 1＝y 2＞y 3

5．二次函数的图像如图2－ZT －3所示，其对称轴为直线x ＝32，A (2，y 1)，B (4

3，y 2)两

点均在二次函数的图像上，则y 1与y 2的大小关系为________．

图2－ZT －3

► 类型之三 利用二次函数的图像解方程或不等式

6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图像经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是( )

A ．x ＜－4或x ＞2

B ．－4≤x ≤2

C ．x ≤－4或x ≥2

D ．－4＜x ＜2

7．图2－ZT －4是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图像，使y ≤1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．x ≤－1 C ．x ≥1 D ．x ≤－1或x ≥3

图2－ZT －4 图2－ZT －5

8．2018·孝感如图2－ZT －5，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是________．

9．如图2－ZT －6，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与y 轴交于点C (0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是A (－2，0)．

(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D 的坐标；

(2)将二次函数的图像沿x 轴向左平移5

2

个单位长度，当y ＜0时，求x 的取值范围．

图2－ZT－6

►类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图像

10．2017·阜新二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图2－ZT－7所示，则一次函数

y＝ax＋c的图像可能是()

图2－ZT－7 图2－ZT－8

11．抛物线y＝ax2＋bx＋c如图2－ZT－9所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数

y ＝c

x

在同一平面直角坐标系内的图像大致为( )

图2－ZT －9 图2－ZT －10

12．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像如图2－ZT －11所示，则一次函数y ＝bx ＋c 的图像不经过第________象限．

图2－ZT －11

► 类型之五 利用二次函数的图像求字母系数的值

13. 二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图像如图2－ZT －12所示，则m 的值是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．6

图2－ZT －12 图2－ZT －13

14．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2－ZT －13所示，若一元二次方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数根，则k 的最小值为________．

► 类型之六 利用二次函数的图像解决实际问题

15．如图2－ZT －14，直线y ＝－12x ＋9

4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y ＝

x 2＋bx ＋c 过点B ，C .

(1)求b，c的值；

(2)若D是x轴下方的抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E.当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

图2－ZT－14

16．有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图2－ZT－15①所示的二次函数y1＝ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图2－ZT－14②所示的正比例函数y2＝kx.

图2－ZT－15

(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)

(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？

教师详解详析

1．D [解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－2b

2×（－1）＝b ，而a ＜

0，∴当x ＞b 时，y 随x 的增大而减小．∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴b ≤1.

2．D [解析] 由图像可知：c ＞0，a ＜0，－b

2a ＞0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故选项A 正确；

当x ＝－1，y ＜0，∴y ＝a －b ＋c ＜0，

∴a ＋c ＜b ，故选项B 正确；顶点的纵坐标大于2， ∴4ac －b 24a

＞2.

∵a ＜0，∴4ac －b 2＜8a ，∴b 2＋8a ＞4ac ，故选项C 正确；对称轴为直线x ＝－b

2a

＜1，a ＜0，

∴2a ＋b ＜0，故选项D 错误．故选D.

3．P ＞Q [解析] ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵－b 2a ＝1，∴b ＞0且a ＝－b

2，

∴|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝b －2a .

∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0.

∴|3b ＋2c |＝3b ＋2c .由图像可知，当x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0， ∴－b

2

－b ＋c ＜0，

即3b －2c ＞0，∴|3b －2c |＝3b －2c ，

∴P ＝0＋3b －2c ＝3b －2c ＞0，Q ＝b －2a －(3b ＋2c )＝－(b ＋2c )＜0，∴P ＞Q . 4．D [解析] ∵y ＝－x 2＋2x ＋c ，∴其对称轴为直线x ＝1，又∵点P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，且3＜5，∴y 2＞y 3.

根据二次函数图像的对称性可知，点P 1(－1，y 1)与点(3，y 1)关于对称轴对称，故 y 1＝y 2＞y 3，故选D.

5．y 1＞y 2